Khảo sát hàm số chọn lọc

tài liệu dành cho các em ôn thi đại học, cao đẳng. Tài liệu không phải của anh, anh chia sẻ cho các em, chúc các em học tập thật tốt _ phải cố gắng đạt thật nhiều điểm cao các em nhé, luôn cố gắng hết mình, không bỏ cuộc, luôn tiến về phía trước.

Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đừng bỏ EM nhé! Chị tin EM làm được! Ngọc Huyền Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim nữa! facebook.com/huyenvu2405 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN 2x  , có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm m để đường thẳng d: y = x + m – cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có  4 trọng tâm điểm G   ;   3 Câu 1: Cho hàm số y  LỜI GIẢI +) Phương trình hoành độ giao điểm (C) d là: 2x   x  m 1 x 1  2x    x  m  1 x  1 (do x = –1 không nghiệm)  x2 + (m – 2)x + (m – 4) = (1) +) Ta có: (1) = (m – 2) – 4(m – 4) = (m – 4) + > ∀ m ∈ ℝ 2  (1) có hai nghiệm phân biệt  d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Lúc đó, gọi tọa độ A(xA; xA + m – 1) B(xB; xB + m – 1) xA, xB hai nghiệm phân biệt (1) Theo định lí Viét: xA + xB = – m 2   m   x  x  x  3x  A   2  B O G   m  +) G  ;  trọng tâm OAB   3 y A  y B  y O  3y O   m    m      Khi m = O, A, B không thẳng hàng Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Bình luận: xA + xB + xO yA + yB + yO − Bản chất công thức xG = yG = xuất phát từ đẳng thức véctơ: 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + OO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ GO ⃗⃗⃗⃗⃗ + GA ⃗⃗⃗⃗⃗ + GB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ 3OG Các em nên hiểu rõ chất để vững kiến thức, không nên học thuộc công thức cách máy móc 2  2  m  3 – Nếu ta để ý bước biến đổi (1)  ⇔ m = thấy “trùng hợp ngẫu   m    m     nhiên” giải hai phương trình hệ (1) cho nghiệm m = Như ta thấy với điểm G tìm nghiệm tham số m thỏa mãn ⇒ Đặt vấn đề “những điểm G tìm m thỏa mãn yêu cầu toán”, ta có toán mở rộng sau: Cho đường thẳng d: y = x + m – (m tham số) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABO 2m   xG   y G   xG Biến đổi tương tự lời giải toán gốc, ta  m  y   G Mặt khác, với m = d: y = x đường thẳng qua O nên tạo thành tam giác ABO 1 Do quỹ tích trọng tâm G đường thẳng y = − x, trừ điểm ( ; ) 3 Khi giải toán tưởng chừng đơn giản em phải tìm tòi suy nghĩ, luôn đặt câu hỏi trả lời để hiểu cách sâu sắc vấn đề Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN 2x  có đồ thị (C) x 1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm giá trị tham số m để đường thẳng (d): y = – x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho A, B với điểm P(1;2) tạo thành tam giác Câu 2: Cho hàm số y  LỜI GIẢI Tọa độ giao điểm (C) (d) nghiệm hệ phương trình: y = −x + m 2x + y = −x + m y = 2x { x − ⇔ { + = −x + m ⇔ {x − (m − 1)x + m + = (1) y = −x + m x−1 (C) (d) cắt điểm phân biệt a b ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆> ⇔ m ≤ −1 (m − 1)2 − 4(m + 2) > ⇔ ⌊ (∗) m≥7 Với m thoả mãn điều kiện (*) PT (1) có nghiệm phân biệt xA xB Theo định lí Vi-et ta có: x + xB = m − { A xA xB = m + Tọa độ giao điểm (C) (d) A(xA ; −xA + m) B(xB ; −xB + m) m−1 m+1 m−3 m−3 m−3 Gọi I trung điểm AB Tọa độ I ( ; ) ⇒ ⃗⃗⃗ PI = ( ; ) ; PI = √2( ) 2 2 AB = √(xA − xB )2 + [(−xA + m) − (−xB + m)]2 = √2(xA − xB )2 = √2[(xA + xB )2 − 4xA xB ] = √2(m − 1)2 − 8(m + 2) = √2m2 − 12m − 14 Vecto phương (d) u ⃗ = (1; −1) m−3 m−3 PI ⊥ AB ⃗⃗⃗ + (−1) = PI ⃗ u = AB√3 ⇔ { ∆PAB ⇔ { ⇔{ 2 PI = 4PI = 3AB 2(m − 3)2 = 3(2m2 − 12m − 14) m = − 2√6 ⇔ 4m2 − 24m − 60 = ⇔ { m = + 2√6 Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy giá trị m thoản mãn Vậy có giá trị m thỏa mãn toán m = − 2√6 + 2√6 Câu 3: Cho hàm số y  x  2mx  2m  m , với m tham số thực 4 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà điểm cực đại, cực tiểu đồ thị tạo thành tam giác có diện tích LỜI GIẢI +) Xét hàm số y = x – 2mx Tập xác định 𝔻 = ℝ  x 0 Ta có: y   4x3  4mx; y     x  m +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu  phương trình y’ = có ba nghiệm phân biệt  m > Lúc đó, đồ thị hàm số có điểm cực đại A(0; m4 + 2m) hai    điểm cực tiểu B  m ; m4  m2  2m , C  m ; m4  m2  2m Do tính chất đối xứng đồ thị hàm số qua trục tung nên ABC cân A +) Gọi H trung điểm BC  H(0; m4 – m2 + 2m)  SABC = 1 AH.BC = m2 m = m2 2 m Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN Theo ra, SABC =  m2 m =  m = 1, thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm Bình luận: Tổng quát toán trên: Cực trị hàm số bậc trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)  x 0  x2   b (*)  2a   Ta có: y   4ax3  2bx  2x 2ax2  b ; y     b  ab   + Hàm số có cực trị  phương trình y   có nghiệm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt khác  ab < Lúc đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác cân, là: + Hàm số có cực trị  (*) vô nghiệm có nghiệm kép  b 0 2a    b b   b b   (ABC cân A) A  0; c  ; B    ; y      ; C   ; y     2a  2a    2a  2a    * Các kiểu câu hỏi: + Ba điểm cực trị tạo thành tam giác  AB = BC + Ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân (và vuông cân A)  AB2 + AC2 = BC2 1 + Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S  SABC  BC.d  A,BC   xB  xC y A  y B  S 2 Câu 4: Cho hàm số y = x + 3x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm đường thẳng y = 9x − điểm mà qua kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) hàm số LỜI GIẢI Gọi M(m; 9m − 7) điểm nằm đường thẳng y = 9x − Vì đường thẳng có dạng x=m không tiếp tuyến đồ thị (C) nên ta xét d đường thẳng qua M có dạng: y = k(x − m) + 9m − (d) Đường thẳng d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: x  3x   k(x  m)  9m  x  3x   (3x  6x)(x  m)  9m    3x  6x  k 3x  6x  k Qua M kẻ ba tiếp điểm đến (C) hệ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 2x3  3x  3mx  6mx  9m  5=0  (x  1) 2x  (5  3m)x   9m   Do điều kiện m là:  m   (5  3m)  8(5  9m)  9m  42m  15       m   2.1  (5  3m).1   9m  m    m  2  m  Bình luận: Để làm trình bày chặt chẽ toán trên, cần nắm vững số điểm quan trọng sau đây: - Hàm đa thức có tiếp tuyến tiếp tuyến tồn hệ số góc Như lời giải, ta nhận xét x = m không tiếp tuyến đồ thị hàm số Nhờ mà ta biểu diễn phương trình (d) qua M có hệ số góc k Nếu quên lập luận điều lời giải thiếu chặt chẽ Vậy điểm M cần tìm có tọa độ (m; 9m − 7) với m < −5 Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN f(x) = kx + p (1) - (d): y = kx + p tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) ⟺ { ′ f (x) = k (2) Sau ta thay k từ phương trình (2) vào (1) tìm m để (1) có nghiệm Kinh nghiệm giải bước nhẩm nghiệm để tìm nghiệm “đẹp”, giả sử x0 (đối với x0 = 1) Sau phân tích thành nhân tử để đưa phương trình có dạng: (x − x0 )(ax + bx + c) = mà m nằm a, b, c Hàm số có nghiệm ⟺ (ax + bx + c) = có nghiệm phân biệt khác 𝐱𝟎 Như ta tìm m Nếu nhẩm nghiệm “đẹp” ta tiến hành mà phải xét hàm bậc truyền thống x 2 , có đồ thị (C) 2x  1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình đường thẳng d qua C(–3; 13) cho d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho CA = CB Câu 5: Cho hàm số y  LỜI GIẢI  a 2  1 +) A ∈ (C)  A  a; )  (với a   2a    b2  1 B ∈ (C)  B  b; )  (với b   2b    3CA  2CB +) CA  CB   3CA  2CB     b2 a 2 Ta có: CA   a  3;  13   13  CB   b  3; 2b  2a      3a   2b  2b  3a  (1)     3CA  2CB   – Nếu   a 2   b2    a 2  3a   3  2a   13    2b   13  3  2a   13   3a    26 (2)          a 2  3a  (2)    13     a  23a    13 2a  13a    3a  12a    2a   3a   75a2  150a  75   a  1  b = (thỏa mãn) ⇒ A(–1; 3); B(0; –2) 2b  15  3a (3)  3a    2b      – Nếu 3CA  2CB    a   3a  15    b2     a 2 3  2a   13   2  2b   13  3  2a   13    15  3a  26 (4)          a  2 3a  19  65  3 a  23a  14    3a  192a  1  65 3a  14 2a  1 2a  3a  14  13  26 a    375a2  1950a  975   5a2  26a  13    13  26  a   (4)   −13 + 2√26 −18 − 3√26 (thỏa mãn điều kiện) ⇒b= 5  13  26 23  26   18  26 28  26  ; ; Suy ra: A   B       5  24  26 31  6     ∗) a = Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN −13 − 2√26 −18 − 3√26 (thỏa mãn điều kiện) ⇒b= 5 −13 − 2√26 23 + 2√26 −18 + 3√26 −28 + 3√26 Suy ra: A ( ; ; );B( ) 5 24 + 4√26 −31 + 6√26 Bình luận: – Cách khai thác véctơ cách khai thác hữu hiệu hợp lý Mặc dù sử dụng, phải chia làm trường hợp, trường hợp dễ dàng biến đổi kết Nếu để đoạn thẳng 3CA = 2CB vô phức tạp ⃗⃗⃗⃗⃗ = −2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ Như vô nguy hiểm làm – Khi làm nhiều người thường quên trường hợp 3CA ∗) a = nghiệm toán – Gọi A, B cần ý đặt kiểm tra điều kiện: a  1 1 b  Mặc dù không ảnh hưởng đến kết quả, 2 điểm Câu 6: Cho hàm số: y = x − 2mx + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = −1 Tìm giá trị tham số (P) để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính LỜI GIẢI Để đồ thị (1) có điểm cực trị y ′ = phải có nghiệm phân biệt x=0 x=0 ′ (m > 0) y = 4x − 4mx = ⇔ [ ⇔ [ x = √m x =m x = −√m Giả sử A(√m; − m2 ); B(−√m; − m2 ); C(0; 1) Ta thấy A B đối xứng qua Oy, tam giác ABC cân C, nhận Oy làm trục đối xứng ⇒ Tâm I đường tròn ngoại tiếp ΔABC nằm trục Oy y=0 Đặt I(0; y) ⇒ IC = R ⇔ √(1 − y)2 = ⇔ |1 − y| = ⇔ [ y=2 ∗ y = ⇒ I(0; 0) ≡ IA = R ⇔ √m + (1 − m2 )2 = ⇔ m4 − 2m2 + m = −1 ± √5 ⇔ m = m = m = −1 + √5 Nhưng m > ⇒ m = m = ∗ y = ⇒ I(0; 2) IA = R ⇔ √m + (1 − m2 )2 = ⇔ m4 + 2m2 + m = (pt vô nghiệm ∀m > 0) −1 + √5 KL: m = m = Bình luận: + Trong câu hỏi cực trị hàm trùng phương, ta nên dùng phương pháp tính trực tiếp + ΔCAB tam giác cân C (C điểm thuộc trục Oy) Câu 7: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 9x – y + = LỜI GIẢI Ta có y’ = 3x – 6x Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 9x – y + = nên tiếp tuyến có hệ số góc Suy hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình:  x  1 3x2  6x   x2  2x     x  – Với x = –1  y(–1) = –3 Khi tiếp tuyến có phương trình y = 9x + (loại trùng với đường thẳng d) – Với x =  y(3) = Khi tiếp tuyến có phương trình y = 9x – 26, thỏa mãn Vậy phương trình tiếp tuyến cầi tìm y = 9x – 26 Nhận xét: Đây toán Chúng ta cần sử dụng phần lý thuyết bản: – Hai đường thẳng song song với hệ số góc nhau: k = k’ Chú ý: dùng từ “thì” mà không dùng tương đương k = k’ hai đường thẳng trùng – Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm (x0; y0) có phương trình là: y = f ’(x0 ) (x – x0) + y0 Đề yêu cầu viết đường thẳng song song với d nên phải loại trường hợp trùng d 2x  , có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành trục tung Câu 8: Cho hàm số y = điểm A, B phân biệt thỏa mãn AB = 82 OB LỜI GIẢI +) Ta có: y   1  x  1  2x   Gọi M  x0 ;  tiếp điểm  x    Phương trình tiếp tuyến M là: y    x  x0    x0  1 2x0  x0   2x  2x2   0  +) Tiếp tuyến cắt trục Ox A 2x20  x0  1; , cắt Oy B  0;   x0  1     ΔOAB vuông O ⇔ OA2  OB2  AB2 Mặt khác ta có: AB  82.OB  OA2  OB2  82.OB2  OA2  81.OB2  OA  9.OB (1) Ta có: (1) ⇔ 2x20  x0   2x0  2x20   x0   x    x0       x0  x  2   – Với x0 = 4, ta có: y    x  4  Bình luận: – Với x0 = 2, ta có: y  – Một hướng quen thuộc kiểu tiếp tuyến đồ thị hàm số Ta có y'(x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị Từ ta có phương trình tiếp tuyến tìm tọa độ A, B theo x0 – Các em để ý kiện AB  82.OB Ta có chút nghi nghờ Sao lại 82 mà số khác (82 gần 81)? Từ ta kết hợp với ΔOAB vuông O ⇒ OA = 9.OB Đến toán giải Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN 2x  (1), có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến đồ thị (C) điểm song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông O Câu 9: Cho hàm số y = LỜI GIẢI −2a + −2b + Gọi A (a; ) ; B (b; ) (a ≠ b) a−1 b−1 Hệ số góc tiếp tuyến A B là: k1 = − 2 ; k2 = − (a − 1) (b − 1)2 Do tiếp tuyến song song nên k1 = k a = b (loại) ⇔ (a − 1)2 = (b − 1)2 ⇔ [ a + b = (𝟏) −2a + −2b + Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ OA = ( a; ) ; ⃗⃗⃗⃗⃗ OB = (b; ) a−1 b−1 ΔOAB tam giác vuông O Ta có: OA.OB   ab   2a  4 2b  4  (2)  a  1 b  1 Rút b = – a từ (1) thay vào (2) ta có: a  1  b  a   b   2a    22  a    a 2  a     a  a  3 a  2 a      a   b   a  12  a  1  a   b  1 Vậy có tất cặp điểm thỏa mãn đề A1(–1; –3), B1(3; 1); A2(0; –4), B2(2; 0); A3(2; 0), B2(0; –4) A4(3; 1), B4(–1; –3) Nhận xét: – Đây dạng tập tiếp tuyến đồ thị hàm số ta thường phải dùng đến hệ số góc tiếp tuyến y' – Điều kiện đề cho ΔOAB vuông, ta dùng vector ⃗⃗⃗⃗⃗ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OB = từ đưa đến cách gọi tọa độ điểm A, B Câu 10: Cho hàm số y   x  2 x  1 C  Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  C  Tìm điểm M đường thẳng d : y  2x  19 , biết tiếp tuyến đồ thị  C  qua điểm M vuông góc với đường thẳng x  9y   LỜI GIẢI Hướng giải: Bài toán quen thuộc Chúng ta phân tích để tìm kết – Thứ đọc kỹ đề ta thấy mấu chốt đầu tiên: Tiếp tuyến đồ thị (C) qua M vuông góc với đường thẳng x + 9y – = Từ điều ta tìm hệ số góc tiếp tuyến qua M Mà hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) điểm N(x0 ;y ) f '(x0 ) Như ta tìm x0 viết công thức tiếp tuyến (C) mà vuông góc với đường thẳng x  9y   Dựa vào công thức tiếp tuyến biết: y  y'(x  x0 )  y Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017 Bài tập ứng dụng khảo sát hàm số chọn lọc Sưu tầm biên soạn: NGỌC HUYỀN – Sau có tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng yêu cầu công việc cuối tìm M M giao điểm đường thẳng (d) tiếp tuyến Hướng làm toán thế, hoàn thiện qua lời giải sau Lời giải: Từ giải thiết: Gọi N(x0 ;y ) tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị (C) qua M vuông góc với đường thẳng x  9y   , ta suy f '(x0 )   3x20    x0   – Với x0   y  , ta có tiếp tuyến đồ thị (C) N là: y  (x  2).9   9x  14 y  2x  19 Tọa độ M nghiệm hệ   M(3; 13) y  9x  14 – Với x0  2  y   tiếp tuyến N y  (x  2).9  9x  18 y  2x  19  207  Tọa độ M nghiệm hệ   M ;   11 11  y  9x  18  207  Kết luận: Có điểm M thỏa mãn yêu câu toán M1(3; 13) M2  ;   11 11  Tư liệu tham khảo: - Bộ đề thi thử trường THPT chuyên 2014- 2015 - Sách “Chinh phục đề thi thử THPT quốc gia môn Toán tập – Lovebook” - Sách “Chinh phục tập ứng dụng khảo sát hàm số - Lovebook” - Đề thi ĐH thức BGD 2013, 2014 Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia 2017