Luận văn định lý dubovitskir milyutin và ứng dụng

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I TRẦ N TH Ị THOA Đ ỊN H LÝ D U B O V IT SK IR -M IL Y U T IN VÀ Ứ N G D Ụ N G L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C H N ội-2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I TRẦ N TH Ị THOA Đ ỊN H LÝ D U B O V IT SK IR -M IL Y U T IN VÀ Ứ N G D Ụ N G L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C Chuyên ngành: T o án giải tíc h Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: P G S T S N g u y ễn N ă n g T âm H N ội-2015 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo phòng sau đại học, trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên T rầ n T h ị T h o a Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý Dubovitskir-Milyutỉn ứng dụng”, hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 T ác g iả T rầ n T h ị T h o a M ục lục M đ ầ u C h n g M ộ t số k iến th ứ c ch u ẩ n bị Không gian Banach Toán tử phiếm hàm tuyến tính Toán t tu y ế n tín h 2 P h m tu y ế n tín h 11 1.3 Tô pô yếu, tô pô yếu* 13 1.3.1 Tôpô yếu 13 1.3.2 Tôpô yếu* 13 1.4 Tập lồi, nón lồi 14 1.5 Các định lý tách 15 s Anh xạ khả vi 18 1.7 Hàm lồi 19 Nón liên hợp 23 C hư n g Lý th u y ế t đ iề u k iện cực t r ị c ủ a D u b o v itsk irM ily u tin ứ n g d ụ n g 24 Điều kiện cần cực trị Dubovitskir-Milyutin 24 2 ứng dụng cho toán quy hoạch toán học 39 2.3 ứng dụng cho toán điều khiển tối ưu 53 K ế t lu ậ n 58 T ài liệu th a m k h ảo 58 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tà i Lý thuyết điều kiện tối ưu phát triển từ giai đoạn sớm Toán học Sự phát triển mạnh mẽ Lý thuyết toán cực trị cho ta điều kiện tối ưu dạng quy tắc nhân tử Lagrange nguyên lý cực đại Pontryagin Năm 1965 Dubovitskir Milyutin đưa lý thuyết điều kiện cần cực trị ngôn ngữ giải tích hàm Lược đồ mà Dubovitskir Milyutin đưa bao hàm tấ t toán cực trị Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Tôi chọn đề tài nghiên cứu “Định lý Dubovitskir-Miỉyutỉn ứng dụng” M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir- Milyutin ứng dụng N h iệm vụ nghiền cứu Nghiên cứu lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin áp dụng cho toán quy hoạch toán học toán điều khiển tối ưu Đ ối tư ợ ng phạm vi nghiền cứu Lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin không gian Banach ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Giải tích hàm Chương M ột số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi như: Không gian Banach, toán tử phiếm hàm tuyến tính, ánh xạ khả vi, tôpô yếu, tôpô yếu*, tập lồi, hàm lồi, nón lồi, nón liên hợp, Những kiến thức sử dụng để trình bày khái niệm tính chất quan trọng lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin ứng dụng toán quy hoạch toán học toán điều khiển tối ưu Các khái niệm ta tìm thấy [I]và [13j 1.1 K hông gian B anach Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Cho X không gian vectơ trường số thực M Chuẩn X , ký hiệu ||.||; ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn tiên đề sau i) (Vx e X ) ||a;|| > 0, ||a;|| = X = ớ; ii) (\/x G X ) (Va G M) ||a!x|| = \a\ ||x ||; Ui) {Vx,y e X ) ||a; + y II < ||a:|| + ||y|| Số ||x|| gọi chuẩn (hay độ dài) vectơ X Một không gian vectơ X với chuẩn xác định trongkhông gian gọi không gian tuyến tính định chuẩn Đ ịn h lý 1.1 (xem l$ỊỊ) Giả sử X ỉà không gian tuyến tínhđịnhchuẩn, đặt d ( x , y ) = \ \ x - y \ \ ì V x , y e X (1 ) Khi đó, d metric X N h ậ n x é t 1.1 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn không gian metric với metric (1.1) Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Dãy điểm {x n} không gian tuyến tính định chuẩn X gọi ỉà hội tụ tới điểm X £ X lim I I —x|| = ĩl— >00 Ký hiệu lim x n = X hay x n —>■X n —> 00 n— >oo Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Dẫy điểm {xn} không gian tuyến tính định chuẩn X gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim \\xn —x m II = m,n—>00 Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X , chuỗi 00 k x n gọi hội tụ tồn giới hạn lim «Sfc = s , với Sk = xn n=1 fc->00 n=l tổng riêng thứ k chuỗi Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X , chuỗi 00 00 Ỵ2 x n gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi Ỵ2 ll^nll hội tụ n= n=1 V í d ụ 2.4 X ét R2 hàm số 0, X1 = ipix1) = x 1sin—r, X1 Ф X1 Ký hiệu Q đồ thị hàm Đặt Si = Q Giả sử điểm X* = tập s ị đồ thị (p tập SỊ đồ \xl \} ,K l = {(a:1,^ 2) : X2 < —Ịx1!} Nên к \ П K ị2 — Mặt khác, ta chứng minh vectơ h — (1,0) ỉà tiếp tuyến tập Q điểm X* = Theo hướng này, cố định £ > ta chọn điểm (x1(e),0) G Q, x l {è) = — n số tự nhiên thỏa 7xn mãn bất đẳng thức 1 —} ГТ < e < -f- 7ĩ(n + 1) lĩĩl Khi x{è) = X* + eh + r(e), r(e) = ( — -e, ) V7Tĩl г (е ) ĩĩn 7r(n + 1) ) 7re o(e) 7тп(п + 1)1—7ĩ£ < — - — = - — - - Do h G К Dễ dàng nón chiều tiếp tuyến к tập Q điểm X* có dạng К = {(æ1,^ 2) : \x2\ < Nên К không lồi Suy ví dụ đơn giản ta có к]пк*ск V í d ụ 2.5 Xét M2 tập Q = Si П s2 Sị = {{xl , x 2) : X2 = (x 1)2} , S = {{xl , x 2) : X2 = -(ж 1)2} 44 Ta chọn X* = 0{x*) = R Vĩ tập Q chứa điểm X* nên nón chiều tiếp tuyến tập ta có đẳng thức K = {0} Đặt s{ = {( x1^ 2) : X2 > (x1)2} , ^ = {(a;1,^ 2) : X2 < (rr1)2}, s ị = {( xl , x 2) : a;2 > -(a :1)2} ,^ = {(a:1^ 2) : a;2 < -(a ;1)2} Khỉ K \ = K ị = {(a:1,^ 2) : X > 0} , K Ị = K ị = {(a:1,^ 2) : X < 0} n ỡ r í n ^ H « * 1, *2) : X2 = 0} i=1 Do đó, ví dụ ta có kết luận ngặt K c f l (Kỉ n Kỉ) ỉ=1 Tuy nhiên, có trường hợp đặc biệt quan trọng mà bất đẳng thức (2.22) trở thành đẳng thức Đầu tiên, ta khảo sát trường hợp đặc biệt liên kết với nón, liên hợp nón chiều tiếp tuyến tập Si điểm X*, tập AT*(1.10), ỉ — m + , , n — M ệ n h đ ề 2.11 Giả sử giả thiết sau đãy đúng: Một tập Sị thỏa mãn Giả thiết 2JỈ Nón có hướng K Ị K ị tương ứng tập SỊ điểm X* nửa không gian mở, xác định siêu phẳng Hị K hi tập Kị điều kiện làm không không gian Hị Nón liên hợp H* siêu phẳng nón Hị trùng với nón K * 45 Chứng minh Chọn hàm tuyến tính liên tục fi cho (2.23) Kị = i x ■f i i x ) > 0}, K ỉ = i x ■f i i x ) < 0}, Do Hị = Ker f i , tức siêu phẳng Hị hạch hàm /i[KoF] Nên nón liên hợp có dạng ( K l r = {A/„ Ằ > 0}, (KfỴ = { —\fị, X > 0} (2.24) Sử dụng (2.11) ta định nghĩa tập hàm tuyến tính liên tục K*: k ; = {KỊỴ u (K'ỈY = { \ f i , -0 < A < 00}, (2.25) tức là, Kị điều kiện làm không không gian Hị Mặt khác, lấy hàm thuộc nón Hị liên hợp với nón siêu phẳng Hị Giả sử (Pi(x) > với X € Hi V ì Hi không gian nên —X £ Hi Cho nên theo định nghĩa nón liên hợp ta có > Nhưng = —tpi(x) < Mâu thuẫn H* trùng với điều kiện làm không không gian Hi, tức H* = K* Ta ý k \ n k ]) = Hị H ệ q u ả 2.2 Giả sử □ giả thiết sau xảy ra: Cấc tập S ị,i = m + 1, , n — thỏa mãn Giả thiết Nón có hướng Kị Kị tương ứng tập SỊ điểm X* nửa không gian mở, xác định siêu phẳng H ị, vôi i = m + 1, ,n — Trong không gian đối ngẫu tập K *,i = m + 1, , n — xác định (2AĨ) n —1 Khi tập 71— K* trùng với nón liên hợp H* nón H — Pl Hị i=m+ i=m+ Chứng minh Với i = m + 1, ,n — 1, ta chọn hàm tuyến tính liên tục fi cho hệ thức (2.23) —(2.25) xảy Vì H không gian nên 46 nón liên hợp H* điều kiện làm không H Ngoài ra, với 71—1 X e H số Aj, với i = m + 1, ,n — 1, ta có Xịfi(x) = Do = 771+1 71—1 £ K* c i= m + l Ngược lại, giả sử / € #* Nếu X & H, /j(a;) = với i = m + , , n — Cho nên, từ điều kiện suy f ( x ) = Do tồn sốAj,ĩ = m + l , , n — 1, cho n —1 f ( x) = ^ i=m+1 với X G í?[KoF, Sh] Do 71—1 E Kỉ = H'- i=m+ □ M ệ n h đề 2.12 Giả sử giả thiết sau đúng: Các tập Sị,i = m + 1, , n — thỏa mẫn Giả thiết 2.2 Nón có hướng KỊ Kị tương ứng tập s } điểm X* nửa không gian mở, xác định siêu phẳng Hi, với ỉ = m + 1, ,n — n—1 Tập Q có dạng Q = n Sị i =m + n 71—1 SỐ đối chiều không gian H = B i (n — — m ) i=m+ Khi nón chiều tiếp tuyến K tập Q điểm X* trùng với không gian H Chứng minh Lấy h e K Giả sử h Ệ H Khi ta có số siêu phẳng Hj mà h Ệ Hj Tuân theo cách ta chứng minh Hệ 2.3, ta chứng minh trường hợp tồn lân cận 47 u vectơ h cho với < £ < £0 điểm có dạng X* + eh + e(h — h), h e u , không thuộc tập Sj Cho nên điểm xác định không thuộc tập Q Dễ dàng chứng minh kết mâu thuẫn với h thuộc nón K Nên h e H, tức K c H Ta chứng minh mệnh đề đảo Để cho tiện, ta tạm thời đặt lại tên Si, giả sử * = 1, ,p, (p = n — m — 1) Vì với p = đẳng thức K = H (xem Hệ 2.3), ta xét trường hợp p > Đầu tiên, ta thiết lập cho nón có hướng tập Sị với ẽ {1,2} bất đẳng thức sau đúng: N lm r Kị n K m n_ n Giả sử ngược lại nón N lm- r tập rỗng K r ^ 0_ (2_26) Khi theo Bổđề Dubovitskir- Milyutin, phương trình / ì + /2 + ••• + fp = (2.27) có nghiệm không tầm thường tập giới hạn fị G { Kị y với ỉ = 1, ,p Không giảm tính tổng quát ta giả sử đẳng thức u Ỷ với ỉ = ỉ = với k < p, fi = với 1, ,p Theo Mệnh đề 2.11 hạch hàm không tầm thường k , , k trùng với siêu phang tương ứng Hị Do X G k + fi,i = i=2 ) = với ỉ = , , k, từ (2.27) suy f i ( x ) = 0, tức k X G Hí Cho nên c H Ij suy râ ĩĩicLU thuan bơi VI th60 gici thi6tj i= số đối chiều không gian H p Do bất đẳng thức (2.26) fi(x Chọn vectơ hGH lân cận lồi u 48 gốc tọa độ Từ Mệnh đề 2.10 suy я = п w i=1 n K ĩ)- Ta chứng minh lân cận (h + и ) vectơ h chọn 2P vectơ h lm• " r , với l, m , , r ẽ { ,2 }, cho vectơ thuộc tập tương ứng N ỉm■■■r T hật vậy, vectơ z ỉm' ■■r thuộc tập N lm■■■r kết luận Лz lm' " r Ễ í/ với số Л dương Do vậy, ta chọn vectơ hlm r h ị n g h m r ) = h + X z4 m r) ( 28 ) Hiển nhiên hlm•" r ẽ (h + u ) Vì vectơ h thuộc biên nón lồi N lm• ••r , vectơ Лz lm' ■•r thuộc phần nón đó, nên hỉm■■■r G N lm■■■r Sử dụng định nghĩa phương chấp nhận tính hữu hạn số vectơ hỉm• ■' r, dễ dàng chứng minh tồn eữ > lân cận V điểm không cho với tập có dạng M mL - r := { x : X = X* + £h, h e (hlm-■ r + V), < £ < £0}, 1,т п, ,г £ { , } , kết luận sau đúng: M ml r c Bởi tập Si,i = s ị n s ? n n s pr ,p điểm tập M mL" r tập mở, ta xác định kết luận cho cách xác hơn: M ml- r С int5ị П i n ts 2m П int5; Mặt khác, từ Mệnh đề 2J) suy ta viết kết luận cuối thành M mi r с Д» n Я? n n 49 ỉ, m , r € {1, 2}, (2.29) ỉ phần bù số i tập {1,2} Cố định e € (0, £0) ta xét đa giác lồi A{è) căng 2P điểm dạng X* + eh ' ' r , l, m , , r e { ,2 }, hlm■ ■r vectơ chọn Đặt il 1-1 tdI Từ điều kiện (2.29) định nghĩa đa giác A{è) suy L lm -r Ỷ với l, m , r £ {1,2} Bây ta (2.30) T hật vậy, tấ t tập L lm■■■r tập mở trong không gian tôpô cảm sinh không gian A{È) Hợp bao đóng tập phủ A(s) u ư'm r n(ủuRỉ)=A(e)1,2} \ị= lj= l / Bây giả sử giao phần biên vế trái (2.2) rỗng Khi với X G A(e) ta có điểm thuộc tập lớp tập L lm -r, với l, m , r L lm- r Do € {1,2} tạo thành phủ đa giác A(e) Nhưng tập L 11'1 tách biệt với tập L lm -r chí số khác Do L 11-1 tách biệt với tập ỊJ L ìm- r : l + m + • • • + r > p > J Nên ta biểu diễn lại đa giác A{è) dạng hợp hai tập rời Nhưng đa giác A{è) tập liên thông tính lồi Mâu thuẫn 50 bất đẳng thức (2.30) Đa giác A{È), coi không gian tôpô, điểm biên Nên điều kiện (2.30) có nghĩa tồn điểm x(e) € A(e) cho x{e) € Fr(R[nR£ n - - - n R pr) u (2.31) ỉ , m , , r e { 1,2} Với hai tập số có thứ tự {/, m , r } {/', m 1, r'}, lấy đạo hàm theo vị trí ta có kết Fr(R[ nR™n n Rrp) n Fr(i?í n R f n n RT p) c Si, với i số vị trị mà số khác Nên từ (2.31) suy p x(e) € P |5 i = Q i=1 Do đó, x{e) G A(e) n Q Bởi điểm thuộc đa giác lồi A(s), ta biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính góc đa giác: ỉm r X ( e ) = X* + £ (2.32) l , m , , r e { 1,2} OLim T > ,} Oiim r — 1- Từ (Ị2.28D (2.32) ta có 12 x{È) = X* + sh 4- ( e ) , với (e) = e ,2 } - (e) G u cường độ lồi lân cận £ u Nên vectơ h thỏa mãn điều kiện chiều tiếp tuyến tập Q điểm X*, tức h € K Do H c K suy H = K □ 51 Theo phương pháp Dubovitskir-Milyutin, toán tối ưu khảo sát có nón xấp xỉ không lồi điểm cho trước, ta phải biểu diễn nón thành hợp tập lồi Ngoài xét tổ hợp nón lồi tương ứng Trong trường hợp này, toán tối ưu có nhiều phương trình Euler Ta dựa vào đề nghị Ví dụ 2J3 Nón chiều tiếp tuyến K tập Si điểm X* = trùng với Sị Ta biểu diễn K dạng K = K u K Kị — { ( xl , x 2) : X1 > , x 2— 0}, K — {( xl , x 2) : X = , x 2> 0} Đối với nón liên hợp tương ứng ta có ( K i Ỵ = {(x1^ 2) : X > 0, (K2y = {(íc1, z 2) : X > 0} Ta chọn hàm sau làm nghiệm hai phương trình Euler tương ứng /o = ( - , - ) e K l h = (1,1) e Nhận xét Trong toán tối ưu cực tiểu cục ( K 1)*, (K 2y ngặtcóđiều kiện, tập »So có dạng So — s 0(x*) — {X : F ( x ) < F(x*), x Ỷ a:*}Trường hợp khác biệt so với trường hợp xét Tương tự với toán cực đại cục có điều kiện cực đại cục ngặt có điều kiện tập So tương ứng có dạng So = s 0(x*) = {x : F(x) > So = F(x*), x 7^ a;*} 52 Kết thu hoàn toàn chuyển toán 2.3 ứ n g dụng cho toán điều khiển tố i ưu Ta xét trình điều khiển mô tả hệ phương trình vi phân thường sau x ^ t) = ỉ \ x l { t ) , , x N{ t),m m [i/i {ul { t ) ) , ^ ị { u L{t))]),ỉ = (2.33) (x1( í) , , x N(t)) = x(t) vectơ trạng thái, (m1(í), ,u L(t)) = u (t) vectơ điều khiển /*(•••), F{x'(T))} Định nghĩa tập J* c {1, (2 38) theo tính chất hàm F (x*(T )) (2.37) đạt giá trị cực đại thành phần vectơ X*(T) M ệ n h đề 2.13 Nếu giả thiết sau Hàm • • ),i = 1, N xuất (2.37) tách R Với ỉ đạo hàm bậc thỏa mãn bất đẳng thức dipi{z)/dz \x*(T) 7^ Thì nón tập s0 K = ị {h(t),q(t)} : điểm {x*(t), u*(t)} 'dipi (z) dz h‘( T ) j > o , i € j ; ( T ) \ , 54 (2 39) {h(t),q(t)} e Ar([0,T]) L^([0,T]) Nón K Q tập lồi Hàm X f thuộc ỉiên hợp nón Kq biểu diễn dạng 'd 0,i G J^{T) vài số nhân vô hướng Chứng minh Theo công thức (2.39), rõ ràng nón K lồi Từ tập hàm q(t) (2.39) giống không gian L ^([0,T ]), thành phần q / e K q hàm tầm thường Do dạng / xác định thành phần h Định nghĩa tập UooịOiT] hàm u{t) không gian L ^([0,T]) theo tính chất hàm thỏa mãn điều kiện (2.36) Sau định nghĩa tập s cặp hàm {x(t),u(t)} theo tính chất cặp thỏa mãn giới hạn không gian C iV([0,T]) X L^([0,T ]) Điều cho thấy s ^ c ^ a o T D x iy o T ] (2.41) □ M ệ n h đ ề 2.14 Cho giả thiết sau Tập u (2.36) đóng, lồi R L ỉnt u ^ Điểm {x*(t) 1u*(t)} e Sị Nếu hàm u*(t) điểm biên tập UooịO^T] nón KI có hướng đến tập S ị điểm {x* (t), u* (t)} ffi = {{fc«).ĩ( °>Vr É [ , n * e {1, , N } } (2.49) Với ỉ = Ĩ , , N định nghĩa tập ) c {1 theo tính chất cực tiểu tương ứng đạt thành phần hàm điều khiển u* công thức (2.13) t e [0,T] cố định 57 □ K ết luận Nội dung luận văn nghiên cứu Lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin ứng dụng Các kết trình bày luận văn bao gồm: Điều kiện cần cực trị Dubovitskir-Milyutin ứng dụng cho toán quy hoạch toán học ứng dụng cho toán điều khiển tối ưu Mặc dù tác giả cố gắng, song kiến thức cònhạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mongnhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 58 [...]... Núi chung, nún cú phng tip tuyn khụng l tp m cng khụng l mt tp úng n h n g h a 2.6 Tp hn ch Q khụng cú im trong c gi l u ti im X* nn nún K cú phng tip tuyn ca tp Q ti im X* l tp li n h lý 2.1 (nh lý Dubovitskir- Milyutin) Gi s cỏc gi thit sau: Hm F(x) cú cc tiu a phng ti mt im X* e s = n Si i=1 Hm F ( x ) gim u ti im X* v tp cỏc phng gim tng ng to thnh mt nún K q Tt c cỏc tp hn ch S,i = 1, khụng... kin Pl K = 0 ỳng Sau ú, i=0 ta phi ỏp dng kt qu n gin sau: B 2.1 (B Dubovitskir- Milyutin) Cho K : K , , K n l cỏc nún li cú nh ti gc ta trong ú nún K Q, , K n_I l tp m Trong n trng hp ny ng thc fỡ K = 0 ỳng khi v ch khi phng trỡnh i=0 (2.1) cú nghim khụng tm thng Mt khỏc, kt qu sau l quan trng trong chng minh b DubovitskirMilyutin M n h 2.4 Gi s cỏc gi thit sau ỳng: Cỏc nún m K , , K m cú... F(x*) n h n g h a 2.7 Ta núi tp Q tha món iu kin Dubovitskir- Milyutin ti im X* nu tp ó cho cú nún cú phng khỏc rng ti im ny Tip theo chỳng ta cụng thc húa cỏc gi thit tớnh cht ca tp S i,i = 0 , , n Ký hiu in t l phn trong ca tp Q, tc l hp mi im trong ca tp Q 29 G i th i t 2.1 Cỏc tp Si, = 0 , , m, trong ú m < n tha món iu kin Dubovitskir- Milyutin ti im X* G i th i t 2.2 Nu e {m + 1, ,... : = 0 ) \ > = 1,2, tha món iu kin Dubovitskir- Milyutin ti im G i th i t (2.7) X* 2.3 Tp Sn khụng cú im trong v tn ti mt ln cn On(x*) ca X* sao cho phn bự R n = On(x *)\Sn cú th c vit di dng R n = R}n R 2n, trong ú cc tp con R}n v R n2 l cỏc tp khỏc rng v ri nhau Ngoi ra, mt trong cỏc phn bự Sl-.= Oi(x) \ I ỡ i , j = 1,2, c th s , tha món iu kin Dubovitskir- Milyutin ti im (2.8) X* M n h 2.6... (x* ,x0) (Vx G K ) M n h 1.3 Hai tp li khỏc rng bt k khụng tng giao trong khụng gian tụpụ tuyn tớnh, mt tp cú im trong thỡ tỏch c 23 Chng 2 Lý thuyt cỏc iu kin cc tr ca D u b ovitskir-M ilyutin v ng dng Trong chng ny, tụi trỡnh by cỏc iu kin cc tr ca DubovitskirMilyutin v ng dng ca nú trong bi toỏn quy hoch toỏn hc v bi toỏn iu khin ti u Cỏc kt qu ca chng ny da trờn [5] 2.1 iu kin cn cc tr ca D u b... (Xj, f(x i)) Gepi /(ô = 1, nh lý 1.10 ta cú (AiEi + + Amx my, X1f { x 1) + + A / ( ^ 1^1 + + < A i/(xi) + + 21 e epi / nờn theo M n h 1.1 Gi s f : E = > E J l hm li khi v ch khi / ( Xx + (1 X)y) < Xr + (1 A)s (VA e (0; 1); Va;, y : f ( x ) < r; f ( y) < s ) n h n g h a 1.24 Mt hm f xỏc nh trờn E c gi l thun nht dng nu / ( Xx) Xf(x) vi Vx e Ê , V A > 0 n h lý 1.15 (xem ) Hm thun nht dng... xỏc nh trờn E Kh ú hai chun ny c gi l tng ng nu tn ti 0 < m < M sao cho mllx^ < ||x||2 < MIxlluVx E n h lý 1.2 (xem l$$) (Tiờu chun Cauchy v s hi t ca chui) 00 Cho X l khụng gian Banach Chui 2 x n hi t khi v ch khi Ve > 0, n= 1 tn ti n e N* sao cho Vn > n0 v 'ip e N* +2 - ' ' ' - ^n+pll Ê n h lý 1.3 (xem I) Khụng gian tuyn tớnh nh chun X l khụng gian Banach khi v ch khi mi chui hi t tuyt i trong... S =: s ^ 0^ ca khụng gian Hausdorff tụpụ tuyn tớnh li a phng E Gi s hm F xỏc nh trờn cỏc tp con S i , , Sn, v trong lõn cn ca im X* G s Gi s hm F cú cc tiu a phng trờn s ti im X* Cỏch tip cn DubovitskirMilyutin phõn tớch cỏc iu kin tn ti cc tr l cho trc cỏc tp Si, i 1, ,n 1, cú im trong, nhng tp Sn khụng cú im trong Theo nguyờn tc, cỏc tp S i , , S n - 1 c xỏc nh bi mt s bt ng thc v Sn c xỏc... (x nk+1 - x nk)\ = lim x n k too k-Ơ00 T chng minh trờn v t h thc ill + |K * +1 - s II 0(k,n co) suy ra s = lim x n trong khụng gian tuyn tớnh nh chun X Do ú, l^oo X l khụng gian Banach nh lý c chng minh n h lý 1.4 (xem 3$) Nu E l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun hu hn chiu thỡ mi chun trờn E l tng ng Chng minh T ht vy, gi s trờn E cú ||.1 v ||.2 l hai chun cho trc Gi s = {x e X : ||a;IIx = 1} Vỡ... phim hm tuyn tớnh trờn Xc gi l khụng gian liờn hp i s hay khụng gian i ngu i s ca X ; kớ hiu l X * n h lý 1.7 (xem S$) Gi s h c X* l c lp tuyn tớnh Khi ú tn ti X I, ,xn G X sao cho: 1, nu i = j 0, nu i 3 Chng minh Vi n = 1 : /i 0 => 3a:0 E X : f i ( x ) 0- Ly X = ocQ T' ta cú f ( x i) = 1 Gi s nh lý ỳng cho 77, 1 phim hm Ly 11 /i, f n X* sao cho h { f u fn} c lp tuyn tớnh =>- 3y2, y n X sao cho