Dãy fibonacci và đa thức fibonacci tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NHÀN DÃY FIBONACCI VÀ ĐA THỨC FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng HÀ NỘI, 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa, phát triển kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Nhàn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Quốc gia Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Nhàn Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Chương Dãy Fibonacci tổng quát 1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát 1.2 Các tính chất dãy Fibonacci tổng quát 1.2.1 Tính chất số Fibonacci 1.2.2 Tính chất số học dãy Fibonacci 14 1.2.3 Tính chất phương dãy Fibonacci tổng quát 17 1.3 Các vấn đề liên quan 20 1.3.1 Ma trận Fibonacci 20 1.3.2 Véc tơ Fibonacci 21 Chương Đa thức Fibonacci tổng quát 23 2.1 Đa thức Fibonacci 23 2.1.1 Định nghĩa đa thức Fibonacci 23 2.1.2 Một số tính chất đa thức Fibonacci 23 2.2 Một số đa thức dạng Fibonacci 37 2.2.1 Đa thức Jacobsthal 37 2.2.2 Đa thức Kn (x) 38 2.2.3 Đa thức Morgan - Voyce 39 2.3 Đa thức Fibonacci tổng quát 41 2.3.1 Định nghĩa đa thức Fibonacci tổng quát 41 2.3.2 Một số tính chất chung đa thức Fibonacci tổng quát 42 2.3.3 Tính chất chia hết đa thức Fibonacci tổng quát 45 2.3.4 Tính chất hàm đa thức Fibonacci tổng quát 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Bảng kí hiệu N R Q Z P ∅ (a, b) Cnk [a] int(R) Tập số tự nhiên Tập số thực Tập số hữu tỷ Tập số nguyên Tập số nguyên tố Tập rỗng Ước chung lớn a b Tổ hợp chập k n Phần nguyên a Phần R Kết thúc chứng minh Mở đầu Lý chọn đề tài Dãy Fibonacci dãy xác đinh công thức truy hồi dạng F0 = 0, F1 = 1; Fn+1 = Fn + Fn−1 , n = 1, 2, Dãy Fibonacci lần nhà toán học Ý Fibonacci nghiên cứu trình bày sách Liber Abaci Ông xuất năm 1202 Dãy Fibonacci nhiều nhà toán học khác nghiên cứu phát triển (xem, thí dụ [7]) Thậm chí có hội Fibonacci (Fibonacci Association) tạp chí The Fibonacci Quaterly từ năm 1964 (xem [8]) Một phát triển nghiên cứu dãy Fibonacci Đa thức Fibonacci, tức đa thức fn (x), n ≥ 0, t ∈ R xác định công thức truy hồi sau: f0 (x) ≡ 0, f1 (x) ≡ 1; fn+1 (x) = xfn (x) + fn−1 (x), n ≥ Nhiều tính chất hay đa thức Fibonacci nghiên cứu, xem, thí dụ, [7] Dãy Fibonacci nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển thành dãy Fibonacci tổng quát Dãy Fibonacci tổng quát dãy xác định hai công thức truy hồi sau: U0 (a, b) = 0, U1 (a, b) = 1; Un+1 (a, b) = aUn (a, b) − bUn−1 (a, b), n ≥ Hoặc V0 (a, b) = 2, V1 (a, b) = a, Vn+1 (a, b) = aVn (a, b) − bVn−1 (a, b), n ≥ Dưới số trường hợp đặc biệt dãy Fibonacci tổng quát: 1) Dãy Fibonacci: Un (1, −1) 2) Dãy Lucas: Vn (1, −1) 3) Dãy Pell: Un (2, −1) 4) Dãy Pell-Lucas: Vn (2, −1) 5) Dãy Jacobsthal: Un (1, −2) 6) Dãy Jacobsthal-Lucas: Vn (1, −2) 7) Dãy Mersenne: Un (3, 2) 8) Dãy Fermat tổng quát: Vn (3, 2) 9) Đa thức Fibonacci: Un (x, −1) 10) Đa thức Lucas: Vn (x, −1) Rất nhiều tính chất toán học thú vị dãy Fibonacci tổng quát phát Dãy Fibonacci tổng quát có nhiều ứng dụng thực tế, liên quan đến đường cong elliptic mật mã (xem, thí dụ, [9]) Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp dãy số đa thức, cụ thể, đủ phong phú thú vị, đồng thời sử dụng trực tiếp giảng dạy ứng dụng toán học, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, chọn đề tài Dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu 1) Tìm hiểu trình bày kiến thức dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát 2) Tìm hiểu trình bày số vấn đề toán liên quan đến dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát 3 Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát • Nghiên cứu số toán liên quan đến dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu Dãy Fibonacci, đa thức Fibonacci tổng quát số toán liên quan Phương pháp nghiên cứu 1) Thu thập tài liệu liên quan tới dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát 2) Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát dạng luận văn cao học Đóng góp luận văn Cố gắng xây dựng Luận văn thành tài liệu tổng quan tốt đề tài Dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát Chương Dãy Fibonacci tổng quát 1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát Số Fibonacci Fn định nghĩa công thức: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, F0 = 0, F1 = Số Lucas Ln định nghĩa công thức:  Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, L = 2, L = 1 Dãy Fibonacci tổng quát định nghĩa công thức sau: Un+1 = aUn − bUn−1 , U0 = A, U1 = B, a, b số thực cho trước Dãy Fibonacci coi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số hằng: un+1 − un − un−1 = f (n), với f (n) hàm số cho trước Nếu f (n) ≡ ta có dãy Fibonacci un+1 − un − un−1 = 0, với n = 1, 2, (1.1.1) Phương trình đặc trưng (1.1.1) λ2 − λ − = 0, (1.1.2) có hai nghiệm √ 1+ =: ϕ; λ1 = 2√ 1− λ2 = =: − ϕ = −ϕ−1 Ta có công thức nghiệm tổng quát (1.1.1) un = C1 λn1 + C2 λn2 , với n = 1, 2, , (1.1.3) C1 , C2 số Với u0 = 0, u1 = 1, từ (1.1.3) ta có C1 + C2 = 0, C1 λ1 + C2 λ2 = Giải hệ ta được: C1 = 1 = √ , C2 = − √ λ1 − λ2 5 Do nghiệm tổng quát (1.1.1) có dạng √ n √ n 1+ 1− un = √ − = √ ϕn − −ϕ−1 2 5 Vì n √ √ 1+ 1− λ1 = λ2 = 2 nên ta có λ1 + λ2 = λ1 λ2 = −1 Do λ21 = λ1 (1 − λ2 ) = λ1 − λ1 λ2 = λ1 + 1, λ31 = λ1 (λ1 + 1) = λ21 + λ1 = 2λ1 + 1, λ41 = λ1 (2λ1 + 1) = 2λ21 + λ1 = (λ1 + 1) + λ1 = 3λ1 + 2, λn1 − λn2 Đặt un = √ , ta có Một phần mở rộng tương ứng số Lucas đa thức Lucas tổng quát xác định công thức: Ln (x, y) = xLn−1 (x, y) + yLn−2 (x, y), L0 (x, y) = 2, L1 (x, y) = x, n ≥ Từ công thức ta có số hạng đa thức Lucas là: L2 (x, y) = x2 + 2y, L3 (x, y) = x3 + 3xy, L4 (x, y) = x4 + 4x2 y + 2y , L5 (x, y) = x5 + 5x3 y + 5xy , L6 (x, y) = x6 + 6x4 y + 9x2 y + 2y , L7 (x, y) = x7 + 7x5 y + 14x3 y + 7xy , L8 (x, y) = x8 + 8x6 y + 20x4 y + 16x2 y + 2y 2.3.2 Một số tính chất chung đa thức Fibonacci tổng quát Để cho gọn ta kí hiệu Un (x, y) := Un Định lý 2.3.1 [6, trang 114] Cho n ≥ 0, ta có: Xn − Y n Un = , X −Y (2.3.1) X= x+ x2 + 4y , x− x2 + 4y Y = Nhận xét 2.3.1 XY = −Y, X + Y = x 42 (2.3.2) Thật XY = x+ x2 + 4y x2 − (x2 + 4y) = = −y, x2 + 4y x − X +Y = x+ x2 + 4y x − + x2 + 4y = x Chứng minh Với n = U1 = Giả sử Định lý với n = k − 1, n = k, ta có Uk−1 = X k−1 − Y k−1 , X −Y Xk − Y k X −Y Ta chứng minh Định lý với n = k + Uk = Thật vậy, áp dụng công thức truy hồi đa thức Fibonacci tổng quát công thức XY = −Y, X + Y = x ta có Uk+1 = xUk + yUk−1 = Uk (X + Y ) − XY Uk−1 = = = = = (X − Y )(Uk (X + Y ) − XY Uk−1 ) X −Y Uk (X − Y )(X + Y ) − XY Uk−1 (X − Y ) X −Y k k (X − Y )(X + Y ) − XY (X k−1 − Y k−1 ) X −Y k+1 k X + X Y − XY k − Y k+1 − X k Y + XY k X −Y k+1 k+1 X −Y X −Y Định lý chứng minh Định lý 2.3.2 [6, trang 115] Cho n ≥ 0, ta có: [(n−1)/2] Un (x, y) = n−i−1 i i=0 43 xn−2i−1 y i , (2.3.3) n−i−1 i i = Cn−i−1 , với i Cn−i−1 = (n − i − 1)! i! (n − 2i − 1)! Chứng minh Với n = ta có U0 = công thức (2.3.3) Với n = ta có: U1 = = x0 y 0 Giả sử công thức (2.3.3) với n ≤ k với k ≥ cố định Ta phải chứng minh công thức (2.3.3) với n = k + Thật vậy, áp dụng công thức truy hồi đa thức Fibonacci tổng quát ta có Uk+1 = xUk + yUk−1 [(k−1)/2] k−i−1 = i i=0 [(k−1)/2] k−i−1 = i i=0 [k/2] = i=0 k−i i [(k−2)/2] xk−2i y i + k−i−2 i i=0 [k/2] xk−2i y i + i=0 k−i−1 i−1 xk−2i−2 y i+1 xk−2i y i xk−2i y i Suy công thức (2.3.3) với n = k + Định lý chứng minh Định lý 2.3.3 [6, trang 114] Cho m ≥ 0, n ≥ Ta có: Um+n+1 = Um+1 Un+1 + yUm Un (2.3.4) Chứng minh Ta có công thức truy hồi đa thức Fibonacci tổng quát Un (x, y) = xUn−1 (x, y) + yUn−2 (x, y), U0 (x, y) = 0, U1 (x, y) = 1, n ≥ 44 Cố định n Ta chứng minh Định lý với m theo quy nạp Vì U1 (x, y) = U2 (x, y) = x nên từ công thức truy hồi đa thức Fibonacci tổng quát ta có Un+2 = xUn+1 + yUn = U2 Un+1 + yU1 Un Định lý với n ≥ Giả sử Định lý với m ≤ k, ta chứng minh Định lý với m = k + Thật vậy, với m = k, m = k − 1, ta có Uk+n+1 = Uk+1 Un+1 + yUk Un , Uk−1+n+1 = Uk Un+1 + yUk−1 Un Lần lượt nhân hai vế đẳng thức thứ thứ hai với x y, ta xUk+n+1 = xUk+1 Un+1 + xyUk Un , yUk−1+n+1 = yUk Un+1 + y Uk−1 Un Cộng vế với vế hai đẳng thức ta dược xUk+n+1 + yUk+n = xUk+1 Un+1 + xUk Un+1 + xy Uk Un + y Uk−1 Un Uk+n+2 = Un+1 (xUk+1 + yUk ) + yUn (xUk + yUk−1 ) = Un+1 Uk+2 + yUn Uk+1 Vậy công thức (2.3.4) với m = k + với n ≥ Định lý chứng minh Bổ đề 2.3.1 [6, trang 114] Cho n ≥ 0, ta có: (y, Un ) = 2.3.3 Tính chất chia hết đa thức Fibonacci tổng quát Định lý 2.3.4 [6, trang 115] Cho n ≥ 0, ta có (Un , Un+1 ) = 45 (2.3.5) Chứng minh Định lý với n = n = U0 = 0, U1 = U2 = x Giả sử Định lý với n ≤ k, với n = k − ta có (Uk−1 , Uk ) = 1, k số nguyên, k ≥ Đặt d(x, y) = (Uk+1 , Uk+2 ) Ta có Uk+2 = xUk+1 + yUk Do Uk+2 Uk+1 chia hết cho d(x, y) nên Uk y d(x, y) Nhưng theo Bổ đề 2.3.1 (d(x, y), y) = nên ta có Uk d(x, y) Ta lại có: d(x, y), (Uk , Uk+1 ) = 1,theo quy nạp Vậy (Un , Un+1 ) = với n ≥ Định lý chứng minh Định lý 2.3.5 [6, trang 116] Cho m ≥ 1, n ≥ Khi Un chia hết cho Um n chia hết cho m Chứng minh Ta có Um Um Giả sử quy nạp Ukm Um với k ≥ cố định Ta chứng minh U(k+1)m Um Theo Định lý 2.3.3 ta có U(k+1)m = Ukm+m = U(km−1)+(m+1) = Ukm Um+1 + yUkm−1 Um Nhưng Ukm Um theo giả thiết quy nạp nên ta có: U(k+1)m Um Như vậy, Un Um n m (n = km) Ngược lại, giả sử m ≥ Un Um Phản chứng, giả sử n không chia hết cho m, nghĩa tồn số nguyên q r, cho < r < m, n = mq + r Một lần nữa, theo Định lý 2.3.3 ta có Un = Umq+r = Umq+1 Ur + yUmq Ur−1 Như vậy, Umq Um theo phần Định lý, suy Umq+1 Ur Um (Umq+1 Ur = Un − yUmq Ur−1 ) Nhưng (Umq , Umq+1 ) = theo Định lý 2.3.4 nên Ur Um điều 46 Vì < r < m Vì r = n m Vậy Định lý chứng minh Hệ 2.3.1 Trong dãy Fibonacci, Fn Fm n m Chứng minh Giả sử n chia hết cho m, tức n = qm Theo công thức (1.2.16) ta có Fn = Fqm chia hết cho Fm Giả sử Fn Fm Theo thuật toán Euclid, n = qm+r, ≤ r < m Từ công thức (1.2.11) Fn = Fm Fn+1−m + Fm−1 Fn−m ta suy Fm−1 Fn−m Fm Nhưng theo công thức (1.2.15) (Fm−1 , Fm ) = Suy Fn−m Fm Tương tự, Fn−2m Fm Tiếp tục trình ta đến Fn−qm Fm Nghĩa Fr Fm Vì Fr < Fm r < m nên điều xảy r = 0, tức n = qm, hay n chia hết cho m Định lý chứng minh Định lý 2.3.6 [6, trang 114] Nếu X, Y Z nằm Z [x, y] đa thức với hệ số nguyên XY Z với Z bất khả quy (không thể phân tích thừa số tập đa thức với hệ số nguyên), X Z Y Z Định lý 2.3.7 [6, trang 116] Cho m 0, n ≥ 0, (Um , Un ) = U(m,n) Chứng minh Kí hiệu d = d (x, y) = (Um , Un ) Theo Định lý 2.3.5 ta có d U(m,n) (Vì (m, n) ước m n nên Um Un chia hết cho U(m,n) ) Ta biết rằng, tồn số nguyên r s với r > s < cho: (m, n) = rm + sn Vậy theo Định lý 2.3.3 ta có: Urm = U(m,n)+(−s)n = U[(m,n)−1]+[(−s)n+1] = U(m,n) U−sn+1 + yU(m,n)−1 U−sn 47 Nhưng theo Định lý 2.3.5 ta có U−sn d, nên Urm d U m,n U−sn+1 d Theo Định lý 2.3.4 (d, U−sn+1 ) = 1, nên theo Định lý 2.3.6 suy U(m,n) d Vậy d = U(m,n) Định lý chứng minh Định lý 2.3.8 [6, trang 117] Đa thức Un = Un (x, y) bất khả quy trường hữu tỷ Q n số nguyên tố Chứng minh Từ Định lý 2.3.2 ta thay y = y , ta có: [(n−1)/2] n−i−1 Un (x, y ) = i i=0 xn−2i−1 y 2i Đa thức Un (x, y) đa thức bậc n − Ta biết (xem, ví dụ [3, trang 376]) đa thức F (x, y) F tối giản đa thức f (x, 1) bất khả quy F Vì Un (x, 1) = fn (x) bất khả quy theo Định lý [11], nên Un x, y bất khả quy Do đó, Un (x, y) bất khả quy trường số hữu tỷ, nên bất khả quy trường số nguyên Định lý chứng minh Định lý 2.3.9 [6, trang 117] Cho r = r (x, y) đa thức chứa x Nếu tồn số nguyên dương m nhỏ mà Um r, Un n m y r Chứng minh Theo Định lý 2.3.5 Nếu n m Un Um Vì vậy, Um r có Un r Giả sử Un r n không chia hết cho m Tồn số nguyên q s với < s < m mà n = mq + s Do theo Định lý 2.3.3 ta có: Un = Umq+s = Umq+1 Us + yUmq Us−1 Vì Umq r, Un r, nên suy Umq+1 Us r Nhưng (Umq , Umq+1 ) = 1, nên Us r (vô lý m số nguyên dương nhỏ 48 để Um r) Vậy n m Định lý chứng minh Từ định lý ta có mối liên hệ đa thức Un (x, y) Un (x, 1) = fn (x) Ngoài ra, ta có định lý sau: Định lý 2.3.10 [6, trang 119] Ta có định lý 1) fn (x) x n chẵn 2) fn (x) x2 + n 3) fn (x) x2 + n 4) fn (x) x2 + n 5) x2 + c fn (x) c = 1, c số nguyên Chứng minh Ta có, trừ x tất đa thức với hệ số nguyên chia fn (x)đều phải chẵn Từ đến dựa vào Định lý 2.3.9 với y = Ta thấy f2 (x) đa thức Fibonacci chia hết cho x, mà f3 (x) đa thức Fibonacci chia hết cho x2 + Và vậy, phần 5) ≤ 4cos2 α < 4, α ∈ 0, Π2 Định lý 2.3.11 [6, trang 120] Giả sử r số nguyên dương với (r, b) = Khi ấy, tồn m cho Um (a, b) r Chứng minh Cho dãy Un (a, b) modulo r, tồn r2 = (c, d)modulo r Tập hợp cặp có thứ tự: {(U0 (a, b) , U1 (a, b)) , (U1 (a, b) , U2 (a, b)) , , (Ur2 (a, b) , Ur2 +1 (a, b))} phải có cặp giống hệt theo modulo r Đó tồn s t với ≤ s < t ≤ r2 mà Us (a, b) ≡ Ut (a, b) (mod r) , Us+1 (a, b) ≡ Ut+1 (a, b) (mod r) 49 Nhưng bUs−1 (a, b) ≡ Us+1 (a, b) − aUs (a, b) , bUt−1 (a, b) ≡ Ut+1 (a, b) − aUt (a, b) Điều có nghĩa : bUs−1 (a, b) ≡ bUt−1 (a, b) (mod r) Khi (r, b) = 1, Us−1 (a, b) ≡ Ut−1 (a, b) (mod r) Lặp lại trình nhiều lần cuối ta = Us−s (a, b) ≡ Ut−s(a,b) (mod r) Nên Ut−s (a, b) r Định lý chứng minh Định lý 2.3.12 [6, trang 118] Với n ≥ Ta có: n−1 Un (x, y) = k=1 kΠ √ x − 2i ycos n Chứng minh Theo chứng minh Định lý 2.3.8, ta có Un x, y = y n−1 Un x ,1 y = y n−1 fn x , y fn (x) đa thức Fibonacci thứ n Do đó: Un (x, y) = y (n−1)/2 fn x √ y , từ [11, trang 462] ta có fn x √ y n−1 = k=1 x kΠ √ − 2icos y n Kết hợp với phương trình ta có điều phải chứng minh 50 Hệ 2.3.2 [6, trang 118] Với n ≥ 2, n chẵn, ta có (n−2)/2 x2 + 4ycos2 Un (x, y) = x k=1 kπ , n với n lẻ ta có: (n−1)/2 x2 + 4ycos2 Un (x, y) = k=1 kπ n Chứng minh Đây hệ trực tiếp Định lý 2.3.12 Từ đó, cho ≤ k < n2 , cos kΠ (n − k) Π = −cos n n Định lý 2.3.13 [6, trang 119] Cho m số nguyên dương kí hiệu N (m) số đa thức bậc 2m có hệ số nguyên mà chia hết cho phần tử dãy {fn (x)} Khi m k k Cm N (m) < k=1 Chứng minh Cho f (n) đa thức N (m) Từ Hệ 2.3.2 với y = ta có f (n) = x2m + am−1 x2m−2 + + a1 x2 + a0 m x + αj , = j=1 αj = 4cos2 βj , < βj < Π2 , với j Do < αj < 4, với j Vì am−k hàm đối xứng thứ k αj ta có: k k < am−k < Cm Như vậy, m k k Cm Nm < k=1 Định lý chứng minh 51 2.3.4 Tính chất hàm đa thức Fibonacci tổng quát Định lý 2.3.14 [10, trang 5] Tính chất hàm đa thức Fibonacci tổng quát cho công thức: ∞ Un z n = n=0 z − xz − yz Ứng dụng kết ta được: ∞ n=0 Fn = 2n+1 Đây trường hợp đặc biệt với x = y = z = 12 Hệ 2.3.3 [10, trang 6] Cho x, y ∈ P, ta có ∞ n=0 Chứng minh Đặt z = tUn (x, y) n+1 = x+y−1 (x + y) 1 x+y với x+y nhỏ 1 |X| , |Y | , với x2 + 4y X= x − x2 + 4y Y = vào công thức hàm Định lý 2.3.14 ta điều phải x+ Thay z = x+y chứng minh Mệnh đề 2.3.1 [10, trang 6] Cho n n k=0 n k ta có: Uk (x, y) = Un (x + 2, y − x − 1) Đặc biệt, cho x = y = 1, n k=0 n k Fk = F2n 52 Chứng minh Sử dụng Định lý 2.3.1, ta có công thức hàm tổng theo cấp số nhân: ∞ k=0 zk exz − eyz Uk (x, y) = k! X −Y Lưu ý: (x + 2) + (x + 2) + x2 + 4y X +1= = (x + 2)2 + (y − x − 1) (x + 2) − (x + 2)2 + (y − x − 1) (x + 2) − x2 + 4y = Y +1= 2 Sử dụng quy tắc tính đạo hàm tích cho hàm số mũ ta được: ∞ n=0 zn n! n k=0 n k Xz ze − eYz Uk (x, y) = e X −Y = e(X+1)z − e(Y +1)z X −Y zn = Un (x + 2, y − x − 1) n! n≥0 Khai triển so sánh hệ số zn n! ta có điều phải chứng minh Áp dụng: Từ chứng minh trên, ta có: Un (3, −1) = U2n (1, 1), hay:  √ 1+ U2n (1, 1) = √  √ 3+ =√ = Un (3, −1) 53 √ 2n − n − 1− √ 3− 2n   n Kết luận Luận văn trình bày dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát Để làm rõ vấn đề trên, luận văn đưa số kiến thức định nghĩa, tính chất số vấn đề liên quan dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát Vai trò cốt yếu đa thức Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát Từ ta đưa công thức biểu diễn tính chất dãy Fibonacci đa thức Fibonacci tổng quát Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn 54 Tài liệu tham khảo [1] Brother U Afred (1965), An Introduction to Fibonacci Discovery, The Fibonacci Association, USA [2] Marjorie Bicknell and Verner E Hoggatt (Eds.) (1973), A Primer for the Fibonacci Numbers, The Fibonacci Association, USA [3] S MacLane and G Birkhoff (1967), Algebra, The MacMillan Company, New York, N.Y [4] Verner E Hoggatt (1969) Fibonacci and Lucas Numbers, The Fibonacci Association, USA [5] Verner E Hoggatt and Marjorie Bicknell (Eds.) (1980), A Collection of Manuscrift Related to the Fibonacci sequences, The Fibonacci Association, USA [6] Verner E Hoggatt, Jr and Calvin T Long (1974), "Divisibility Properties of generalized Fibonacci Polynomials, " Fibonacci Quarterly, pp 113-120 [7] Thomas Koshy, (2001) Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley and Sons, USA, 672 pages [8] Journal, (1964) The Fibonacci Quaterly [9] Thokchom Chhatrajit Singh ( 2012), Lucas Numbers and Cryptography, Master’s Thesis [10] Tewodros Amdeberhan and Xi Chen and Victor H.Moll and Bruce E Sagan (2013), "Generalized Fibonacci polynomials and Fibomial coefficients" 55 [11] W A Webb and E A Parberry (Dec 1969), "Divisibility properties of Fibonacci polynomials" Fibonacci Quarterly, pp 457-463 56 [...]... = R−1 Vn 22 Chương 2 Đa thức Fibonacci tổng quát 2.1 Đa thức Fibonacci 2.1.1 Định nghĩa đa thức Fibonacci Dãy đa thức Fibonacci được định nghĩa bởi fn (x) = xfn−1 (x) + fn−2 (x), f0 (x) = 0, f1 (x) = 1, n ≥ 2 Dãy đa thức Lucas được định nghĩa như sau: ln (x) = xln−1 (x) + ln−2 (x), l0 (x) = 2, l1 (x) = x, n ≥ 2 2.1.2 Một số tính chất cơ bản của đa thức Fibonacci Giả sử α(x) và β(x) là hai nghiệm của... Hệ quả 2.1.1 Tổng các số Fibonacci đầu tiên: n Fk = Fn+2 − 1 k=1 Chứng minh Thay x = 1, vào công thức truy hồi của đa thức Fibonacci fn (x) = xfn−1 (x) + fn−2 (x), ta được fn (1) = fn−1 (1) + fn−2 (1), hay fn = fn−1 + fn−2 , Vậy fn (1) = Fn Vì fn (1) = Fn , nên thay x = 1 vào công thức (2.1.6) ta được n Fk = Fn+1 + Fn − 1 = Fn+2 − 1 k=1 Hệ quả được chứng minh Định lý 2.1.4 Cho đa thức Fibonacci fn... Chứng minh Công thức (2.1.3) αn (x) − β n (x) fn (x) = α(x) − β(x) Với n = 1 thì f1 (x) = 1 công thức (2.1.3) đúng Giả sử công thức (2.1.3) đúng với n ≤ k, với n = k − 1, n = k ta có: αk−1 (x) − β k−1 (x) fk−1 (x) = α(x) − β(x) αk (x) − β k (x) fk (x) = α(x) − β(x) Ta phải chứng minh công thức (2.1.3) đúng với n = k + 1 Thật vậy, áp dụng công thức truy hồi của đa thức Fibonacci và công 24 thức (2.1.1),... − β(x) Công thức (2.1.3) được chứng minh Chứng minh công thức (2.1.4) ln (x) = αn (x) + β n (x) Với n = 1 thì l1 (x) = x công thức (2.1.4) đúng Giả sử công thức (2.1.4) đúng với n ≤ k, với n = k − 1, n = k, ta có lk−1 (x) = αk−1 (x) + β k−1 (x), lk (x) = αk (x) + β k (x) Ta phải chứng minh công thức (2.1.4) đúng với n = k + 1 Thật vậy, áp dụng công thức truy hồi của đa thức Lucas và công thức α (x)... Thay u0 = 2, u1 = 1 vào công thức un = C1 λn1 + C2 λn2 ta được: C1 + C2 = 2, C1 λ1 + C2 λ2 = 1 Giải hệ này ta được C1 = 1, C2 = 1 Vậy ta có Ln = λn1 + λn2 1.2 Các tính chất cơ bản của dãy Fibonacci tổng quát 1.2.1 Tính chất cơ bản của số Fibonacci Để tiện nghiên cứu, ta đưa vào 7 Định nghĩa 1.2.1 Số Fibonacci với chỉ số âm F−n = (−1)n+1 Fn , n = 1, 2, (1.2.1) Nhận xét 1.2.1 Từ công thức truy hồi: Fn... fn (1) = Fn , (theo chứng minh Hệ quả 2.1.1) nên (Fm , Fn ) = (Fr , Fn ) Bổ đề được chứng minh Định lý 2.1.7 Ước chung lớn nhất của hai đa thức Fibonacci là một đa thức Fibonacci: (fm (x), fn (x)) = f(m,n) (x) Chứng minh Giả sử rằng fm (x) và fn (x) là hai đa thức Fibonacci Ta chứng minh (fm (x), fn (x)) = fd (x), ở đó d = (m, n) Giả sử rằng m 32 n ... = 1 Hệ quả được chứng minh Định lý 2.1.5 Ta có hệ thức: fn+m (x) = fn (x)fm+1 (x) + fn−1 (x)fm (x) (2.1.8) Chứng minh Ta có công thức truy hồi của đa thức Fibonacci fn (x) = xfn−1 (x) + fn−2 (x), f0 (x) = 0, f1 (x) = 1, n ≥ 2 Cố định n, ta sẽ chứng minh Định lý đúng với m theo quy nạp Vì f1 (x) = 1, f2 (x) = x nên từ công thức truy hồi của đa thức Fibonacci ta có fn+1 (x) = xfn (x) + fn−1 (x) = fn... (x)(xfk+1 (x) + fk (x)) + fn−1 (x)(xfk (x) + fk−1 (x)) = fn (x)fk+2 (x) + fn−1 (x)fk+1 (x), Vậy công thức (2.1.8) đúng với m = k + 1, và với mọi n Định lý được chứng minh Từ Định lý trên ta suy ra hệ thức (1.2.8) trong dãy Fibonacci Hệ quả 2.1.3 Ta có hệ thức: Fn+m = Fn Fm+1 + Fn−1 Fm Chứng minh Thay x = 1 vào công thức (2.1.8) ta được fn+m (1) = fn (1)fm+1 (1) + fn−1 (1)fm (1) Mà fn (1) = Fn (chứng minh Hệ... Fn+1 Mặt khác, theo công thức Cassini (1.2.10) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ta có: Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1 13 hay Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n−1 Vậy F3n = 2Fn3 +3Fn Fn+1 Fn−1 = 2Fn3 +3Fn Fn2 + (−1)n = 5Fn3 +3 (−1)n Fn Định lý được chứng minh 1.2.2 Tính chất số học của dãy Fibonacci Định lý 1.2.13 [9, trang 11] Cho dãy Fibonacci , với mọi n 1 thì hai số hạng Fn và Fn+1 của dãy Fibonacci nguyên tố cùng nhau,... Định lý được chứng minh Định lý 1.2.16 [9, trang 12] Trong dãy Fibonacci Fn Fm khi và chỉ khi n m Chứng minh Xem Hệ quả (2.3.1) Định lý 1.2.17 [9, trang 12] Tỷ lệ của hai số Fibonacci liên tiếp hội tụ đến tỷ số vàng, tức là Fn+1 = ϕ n→∞ Fn lim (1.2.18) Chú ý Tỷ số vàng ϕ (số phi) được định nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần (a và b) sao cho a+b a = = ϕ a b Khi ấy a+b b 1 =1+ =1+ a a ϕ