Dãy fibonacci và đa thức fibonacci tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NHÀN DÃY FIBONACCI VÀ ĐA THỨC FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHÀN

DÃY FIBONACCI VÀ

ĐA THỨC FIBONACCI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS Tạ Duy Phượng

HÀ NỘI, 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Dãy Fibonacci

và đa thức Fibonacci tổng quát” do tôi tự làm Các kết quả và tàiliệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, pháttriển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Nhàn

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, Viện Hànlâm Khoa học và Công nghệ Quốc gia

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS TS Tạ Duy Phượng,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thànhluận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Nhàn

Mục lục

Bảng kí hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Dãy Fibonacci tổng quát 5

1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát 5

1.2 Các tính chất cơ bản của dãy Fibonacci tổng quát 7

1.2.1 Tính chất cơ bản của số Fibonacci 7

1.2.2 Tính chất số học của dãy Fibonacci 14

1.2.3 Tính chất chính phương của dãy Fibonacci tổng quát 17

1.3 Các vấn đề liên quan 20

1.3.1 Ma trận Fibonacci 20

1.3.2 Véc tơ Fibonacci 21

Chương 2 Đa thức Fibonacci tổng quát 23

2.1 Đa thức Fibonacci 23

2.1.1 Định nghĩa đa thức Fibonacci 23

2.1.2 Một số tính chất cơ bản của đa thức Fibonacci 23

2.2 Một số đa thức dạng Fibonacci 37

2.2.1 Đa thức Jacobsthal 37

2.2.2 Đa thức K n (x) 38

2.2.3 Đa thức Morgan - Voyce 39

2.3 Đa thức Fibonacci tổng quát 41

2.3.1 Định nghĩa đa thức Fibonacci tổng quát 41

2.3.2 Một số tính chất chung của đa thức Fibonacci tổng quát 42

2.3.3 Tính chất chia hết của đa thức Fibonacci tổng quát 45

2.3.4 Tính chất hàm của đa thức Fibonacci tổng quát 52

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

[a] Phần nguyên của a

int(R) Phần trong của R

 Kết thúc chứng minh

và một tạp chí The Fibonacci Quaterly từ năm 1964 (xem [8]).

Một phát triển trong nghiên cứu dãy Fibonacci là Đa thức Fibonacci,tức là đa thức fn(x), n ≥ 0, t ∈ R được xác định bởi công thức truy hồisau:

U0(a, b) = 0, U1(a, b) = 1;

Un+1(a, b) = aUn(a, b) − bUn−1(a, b), n ≥ 1

Hoặc

V0(a, b) = 2, V1(a, b) = a,

Vn+1(a, b) = aVn(a, b) − bVn−1(a, b), n ≥ 1

Dưới đây là một số trường hợp đặc biệt của dãy Fibonacci tổng quát:

TS Tạ Duy Phượng, tôi chọn đề tài Dãy Fibonacci và đa thức Fibonaccitổng quát làm đề tài luận văn cao học.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát

• Nghiên cứu một số bài toán liên quan đến dãy Fibonacci và đa thứcFibonacci tổng quát

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Dãy Fibonacci, đa thức Fibonacci tổng quát và một số bài toán liênquan

5 Phương pháp nghiên cứu

1) Thu thập các tài liệu liên quan tới dãy Fibonacci và đa thức Fibonaccitổng quát

2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới dãyFibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát dưới dạng một luận văn caohọc

6 Đóng góp mới của luận văn

Cố gắng xây dựng Luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tàiDãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát

Chương 1 Dãy Fibonacci tổng quát

1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát

Số Fibonacci Fn được định nghĩa bởi công thức:

Dãy Fibonacci có thể được coi như là nghiệm của phương trình sai phântuyến tính cấp 2 với hệ số hằng:

un+1 − un− un−1 = f (n),với f (n) là hàm số cho trước

Nếu f (n) ≡ 0 thì ta có dãy Fibonacci

un+1− un− un−1 = 0, với n = 1, 2, (1.1.1)Phương trình đặc trưng của (1.1.1)

có hai nghiệm là

λ1 = 1 +

√5

2 =: ϕ;

λ2 = 1 −

√5

2 =: 1 − ϕ = −ϕ

−1

Ta có công thức nghiệm tổng quát của (1.1.1) là

un = C1λn1 + C2λn2, với n = 1, 2, , (1.1.3)trong đó C1, C2 hằng số bất kì

!n

− 1 −

√52

2 và λ2 =

1 −√

5

2 .nên ta có λ1 + λ2 = 1 và λ1λ2 = −1 Do đó

√

5 , ta có

0, u1 = 1 Nói cách khác, un = Fn và ta có

Fn = λ

n

1 − λn 2

un = C1λn1 + C2λn2, với n = 1, 2, , (1.1.5)trong đó

λ1 = 1 +

√5

2 và λ2 =

1 −√

5

2 .Thay u0 = 2, u1 = 1 vào công thức un = C1λn1 + C2λn2 ta được:

1.2.1 Tính chất cơ bản của số Fibonacci

Để tiện nghiên cứu, ta đưa vào

Định nghĩa 1.2.1 Số Fibonacci với chỉ số âm

F−n = (−1)n+1Fn, n = 1, 2, (1.2.1)Nhận xét 1.2.1 Từ công thức truy hồi:

Định lý 1.2.1 [9, trang 9] Tổng các số Fibonacci đầu tiên:

n

X

k=1

Chứng minh Xem Hệ quả 2.1.1

Định lý 1.2.2 [9, trang 9] Tổng của các số Fibonacci với chỉ số lẻ đầutiên:

F1 + F3 + F5 + + F2n−1 = F2n.Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.3 [9, trang 10] Ta có:

F12 + F22 + + Fn2 = FnFn+1 (1.2.4)Chứng minh Chúng ta biết rằng:

FkFk+1 − Fk−1Fk = Fk(Fk+1 − Fk−1) = Fk2,

F12 = F1F2,

F22 = F2F3 − F1F2, ,

Fn2 = FnFn+1 − Fn−1Fn

Cộng vế với vế ta được:

F12 + F22 + F32 + + Fn2 = FnFn+1.Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.4 Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn đầu tiên, (Lucas,1876)

Fn+m = Fn−1Fm+ FnFm+1 (1.2.8)Chứng minh Ta có công thức truy hồi của số Fibonacci

(

Fn = Fn−1 + Fn−2, n ≥ 2,

F0 = 0, F1 = 1

Cố định n, ta sẽ chứng minh Định lý đúng với m theo quy nạp

Vì F1 = F2 = 1 nên từ công thức truy hồi của số Fibonacci ta có:

Fn+1 = Fn−1 + Fn = Fn−1F1 + FnF2 Vậy (1.2.8) đúng với m = 1 và vớimọi n

Giả sử quy nạp Định lý đúng với m ≤ k Ta phải chứng minh Định lýđúng với m = k + 1 Theo quy nạp, ta có:

Fn+k = Fn−1Fk + FnFk+1,và

Fn+(k−1) = Fn−1Fk−1+ FnFk.Cộng vế với vế của hai phương trình trên ta được:

Fn+k + Fn+(k−1) = Fn−1(Fk + Fk−1) + Fn(Fk+1 + Fk)

Fn+(k+1) = Fn−1Fk+1+ FnFk+2.Vậy công thức (1.2.8) đúng với m = k + 1 và với mọi n

Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.8 [9, trang 10-11]

Fn+12 = FnFn+2 + (−1)n (1.2.9)

Chứng minh Ta chứng minh Định lý đúng với mọi n theo quy nạp.Với n = 1 ta có: F22 = 1 = F1F3 − 1 nên Định lý đúng với n = 1.

Giả sử rằng, Định lý đúng với n = 1, 2, , k Ta phải chứng minh Định

lý đúng với n = k + 1 Thật vậy, ta có

Fk+12 = FkFk+2 + (−1)k.Cộng vào cả 2 vế hệ thức trên với Fk+1Fk+2 ta được:

Fk+12 + Fk+1Fk+2 = Fk+1Fk+2 + FkFk+2+ (−1)k

Fk+1(Fk+1+ Fk+2) = Fk+2(Fk + Fk+1) + (−1)k

Fk+1Fk+3 = Fk+22 + (−1)k.Vậy ta có:

Fk+22 = Fk+1Fk+3 + (−1)k+1

Định lý được chứng minh

Từ Định lý 1.2.8 ta có công thức Cassini (Cassin’s Formula):

Fn−1Fn+1 − Fn2 = (−1)n, n = 1, 2, 3, (1.2.10)Định lý 1.2.9 (L.Carlitz, 1964)

Fm = FkFm+1−k+ Fk−1Fm−k (1.2.11)Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo k

Vì F0 = 0, F1 = 1, nên từ công thức truy hồi của số Fibonacci ta có:

Fm = Fm + Fm−1 = FmF1 + Fm−1F0 Vậy (1.2.11) cũng đúng với k = 1

và với mọi m

Giả sử công thức (1.2.11) đúng với mọi k 6 q, nghĩa là

Fm = FqFm+1−q+ Fq−1Fm−q

Ta phải chứng minh (1.2.11) đúng với k = q + 1 Thật vậy, ta có:

Fm = FqFm−q+1 + Fq−1Fm−q

= Fq(Fm−q + Fm−q−1) + Fq−1Fm−q

= (Fq + Fq−1) Fm−q + FqFm−q−1

= Fq+1Fm−q + FqFm−q−1Vậy (1.2.11) đúng với k = q + 1 và với mọi m

Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.10 (Tính chất D’Ocagne)

FmFn+1− Fm+1Fn = (−1)nFm−n (1.2.12)Định lý 1.2.11 Với k > 2 ta có:

F2n+k = FkFn+12 + 2Fk−1Fk+1Fn + Fk−2Fn2 (1.2.13)Định lý 1.2.12

F3n = 2Fn3 + 3FnFn+1Fn−1 = 5Fn3 + 3 (−1)nFn (1.2.14)Chứng minh Theo công thức (1.2.13) với k = n, ta có:

Fn−1Fn+1 = Fn2 + (−1)n−1.Vậy

F3n = 2Fn3+3FnFn+1Fn−1 = 2Fn3+3Fn Fn2 + (−1)n
= 5F3

n+3 (−1)nFn.Định lý được chứng minh

1.2.2 Tính chất số học của dãy Fibonacci

Định lý 1.2.13 [9, trang 11] Cho dãy Fibonacci , với mọi n > 1 thì hai

số hạng Fn và Fn+1 của dãy Fibonacci nguyên tố cùng nhau, tức là

(Fn, Fn+1) = 1 (1.2.15)Chứng minh Giả sử (Fn, Fn+1) = d, nghĩa là Fn+1 = pd và Fn = qd Suy

Vì Fmk Fm theo giả thiết quy nạp nên ta suy ra Fm(k+1) Fm.

Định lý được chứng minh

Bổ đề 1.2.1 [9, trang 11] Nếu m = nq + r, thì

(Fm, Fn) = (Fr, Fn) (1.2.17)Chứng minh Từ công thức (1.2.8)

Fn+m = Fn−1Fm + FnFn+1

ta có:

(Fm, Fn) = (Fnq+r, Fn) = (Fnq−1Fr + FnqFr+1, Fn)

= (Fnq−1Fr, Fn)

Ta có (Fnq−1, Fn) = 1 Thật vậy, giả sử d = (Fnq−1, Fn), nghĩa là Fnq−1 =

pd và Fn = qd Vì Fnq Fn, mà Fn = qd nên Fnq d Vậy d là ước chungcủa Fnq và Fnq−1 Nhưng theo Định lý 1.2.13 (Fnq−1, Fnq) = 1 Vậy d = 1

Bổ đề được chứng minh

Định lý 1.2.15 [9, trang 12] Ước chung lớn nhất của hai số Fibonacci

là một số Fibonacci:

(Fm, Fn) = F(m,n).Chứng minh Giả sử rằng Fm và Fn là hai số Fibonacci Ta chứng minh(Fm, Fn) = Fd, ở đó d = (m, n) Giả sử rằng m > n Áp dụng thuật toánEuclid cho m và n ta có phương trình sau:

Từ Bổ đề 1.2.1 ta có:

(Fm, Fn) = (Fr1, Fn) = (Fr1, Fr2) = = Frn−2, Frn

Từ rn−1 rn, thì Frn−1 Frn Suy ra Frn−1, Frn
= Frn Nhưng rn =(m, n) 6= 0 Vậy (Fm, Fn) = Fd, với d = (m, n)

Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.16 [9, trang 12] Trong dãy Fibonacci Fn Fm khi và chỉkhi n m

Chứng minh Xem Hệ quả (2.3.1)

Định lý 1.2.17 [9, trang 12] Tỷ lệ của hai số Fibonacci liên tiếp hội

2 ≈ 1.61803398874989 ≈ 1.618

Chứng minh Với n = 1, 2, đặt

rn = Fn+1

Fn .

Áp dụng công thức truy hồi của số Fibonacci ta có

Tương tự ta có

xn+1xn−1 − x2n = xnxn−2 − x2n−1 = = x2x0 − x21

= (mx1 − x0)x0 − x21 = abm − a2 − b2.2)

x2n+1+ x2n− mxn+1xn = x2n+1+ xn(xn − mxn+1)

= x2n+1− xnxn+2 = a2 + b2 − abm

Vậy các tính chất trên được chứng minh

Bây giờ, ta xây dựng dãy số với các số hạng là số chính phương

Dựa vào công thức truy hồi của dãy số đã cho và áp dụng tính chất 2)

an+2 = (m2 − 2)an+1 − an − 2(a2 + b2 − abm), n ∈ N

Dãy số {an} có các số hạng đều là số chính phương (gọi là dãy chínhphương)

Bằng cách cho a, b, m những giá trị cụ thể, ta sẽ được các dãy chínhphương

Ví dụ 1.2.1 Với a = 1, b = 1, m = 7 và với mọi n ∈ N, dãy số {an}xác định bởi

(

a0 = 1, a1 = 1,

an+2 = 7an+1− an− 2,

là số chính phương

Nhận xét 1.2.2 Theo cách xác định trên, ta biết an = x2n với dãy {xn}xác định bởi

x2n+1 + x2n − 3xn+1xn = x2n + xn+1(xn+1 − 3xn) = x2n− xn+1xn−1.Suy ra:

3 2

2 1

#,

"

Fk+2 Fk+1

Fk+1 Fk

#.Định lý được chứng minh

Hệ quả 1.3.1 Cho n ≥ 1 Khi ấy

Fn−1Fn+1− Fn2 = (−1)n.Điều này suy ra từ |Q| = 1 Do đó [Q]n = (−1)n

|Qn− xI| =

Fn+1− x Fn

Fn Fn−1 − x