Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 28 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
28
Dung lượng
2,24 MB
Nội dung
Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vơ tỷ đề tài lý thú vị Đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư tốn học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cánh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp THCS Chun đề '' Giải phương trình vơ tỉ'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi Chuyên đề giới thiệu số phương pháp hay dùng để giải phương trình vơ tỉ: Ôn thi học sinh đại trà: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn: Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Trong chuyên đề phương pháp có dành nhiều tập cho học sinh tự luyện Chúng hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Toán học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thày cô em học sinh để chuyên đề ngày hoàn thiện hơn! Mọi đóng góp xin gửi : khaiquyet@gmail.com Chúng xin cảm ơn! Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN TRƯỜNG THCS MỸ AN - LỤC NGẠN - BẮC GIANG Năm: 2010 - 2011 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I - Tác giả: Tổ toán trường THCS Mỹ An - Lục Ngạn - Bắc giang II - Mục Lục: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Bài tập tổng hợp: Trang 3-6 6-7 - 17 17 - 21 21 - 22 22 - 24 24 - 27 III - Tài liệu tham khảo: Các thầy cô em học sinh tham khảo : Nâng cao phát triển tốn - Tập - Vũ Hữu Bình Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: f ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) 1/ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x ) f ( x) ≥ 3/ f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔ g ( x) ≥ f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) ≥ (n ∈ N * ) 4/ n f ( x) = n g ( x) ⇔ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) 2/ g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ (n ∈ N * ) 2n f ( x) = g ( x) 6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) (n ∈ N * ) … II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x + = x − (1) x − ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x=3 x = x + = (x − 1) x − 3x = Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ ⇔ 2 x + = x x ≥ ⇔ x − 2x − = x ≥ ⇔ x = −1 ⇔ x = x = HD: (1) ⇔ Bài 3: Giải phương trình: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥ ⇔ 1 − x ≥ x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x) Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An x≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − 3x + −1 ≤x≤ −1 ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0 x + 7x = x = −7 Bài 4: Giải phương trình: x − − x − = x − ≥ ⇔ ⇔ x ≥ (1) x − ≥ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x − − x + = HD:ĐK: PT ( ) x−2 =0 ⇔ ⇔ 1− x + = ( ) x = x = −17 (2) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x HD:Đk: ≤ x ≤ pt đã cho tương đương: x + 3x + x − = 3 10 10 − ⇔x+ = ⇔ x = ÷ 3 3 Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − HD:Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : x = x + + = 3x 2 + + x = 9x ⇔ ⇔ x = −5 − 97 x + + = −3 x 18 ( ) Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 Bài Giải và biện luận phương trình: x − = x − m x ≥ m x ≥ m ⇔ HD: Ta có: x − = x − m ⇔ 2 2 x − = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ < m ≤ – Nếu m ≠ 0: x = Tóm lại: + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ –2 – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x = m2 + 2m – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: x − = x − m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) x ≥ m x ≥ m ⇔ x − = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = HD: Ta có: x − = x − m ⇔ 2 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 + m2 + ≥m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ ≤ m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ − – Nếu m ≠ 0: x = Tóm lại: – Nếu ≤ m ≤ hoặc m ≤ − Phương trình có một nghiệm: x = m2 + 2m – Nếu − < m ≤ hoặc m > : phương trình vô nghiệm Bài 10 Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x − x = m − m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) = x − m =0 ⇔ x = − m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m) + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 3/ x + − 3x − = 5/ x + = − x − 6/ x + − x − = 12 − x 4/ + x x + = x + 7/ x − x − − x − + x + = 10/ 5x − + =0 8/ x−2 −5 = 11/ − x + = 9/ = 6x − x 19 13/ 16 x + 17 = x − 23 14/ 3x + + − x = Bài 2: Giải phương trình: b) x − x + = a) x − = x − d) + x + − x = e) 3x − + x − = g) x + = − x + h) 3x + − x + = x + Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + 3x − = Bài 4: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x + mx − = x − m a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị m phương trình có nghiệm Tháng năm 2011 12/ 8− x −5 = 15/ 20 − − x = x − c) x + x + = f) + x − − x = i) x − x − = 2m + x − x Lục Ngạn - Bắc Giang Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Bài 6: Giải phương trình sau: a/ x − x − − = d/ x − − x − + x − = −17 b/ 2x − = e/ c/ 3x − x + = g/ x −2 = 6− x x −4 7− x h/ x + − x − = x−3 − x − 27 + x − 12 = −1 i/ −5 x + x + 12 = f) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) ≥ 0) f ( x ) = − g ( x ) ( f ( x) < 0) Sử dụng đẳng thức sau: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ⇔ II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) HD: (1) ⇔ (x − 2) = − x ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x ≥ : (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2) x + ≥ HD: (2) ⇔ x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + + x ≥ −1 ⇔ (*) x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | Đặt y = x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) đã cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x − + x − + x + + x − = HD:ĐK: x ≥ PT ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ⇔ 2x − + + x − + = 14 ⇔ 2x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x + x − + x − x − = HD:ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x −1 +1+ x −1 −1 = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R | ≤ x ≤ 2} Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x + = Tổ Toán Trường THCS Mỹ An 2/ x − x + = 3/ x − x + = x − 4/ 5/ x − x + + x + x + = 6/ x − x + − x − x + = 10 8/ x2 − x + + x2 − x + = 10/ x − − x − + x − x − = 7/ x − x + + x + x + = x − x + 9/ x + x − + x − x − = 11/ x + − x + + x + 11 − x + = 13/ x + x − x + x + − = 15/ x − x + + x = 10 17/ 19/ x+ x+ 1 + x+ = 2 x + x −1 + x − x −1 = x + x + = 5x + 12/ x − + x − + x + + x − = 14/ x + + x − + x − − 2 x − = 16/ x − x + + x = x + x +1 − − = 18/ x+3 21/ ( x − 1) + − x − + x − − x − + = 20/ x − x + = − x 22/ x + − x − = PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Bài Giải phương trình: x − x − + x + x − = HD:Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x − x + x − = 1 Đặt t = x − x − phương trình có dạng: t + = ⇔ t = t Thay vào tìm x = Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vaø x = + Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện x − x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với y ≤ 5) ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = Từ ta tìm giá trị x = 11 − 17 ( + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 )( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x ) HD: ĐK: ≤ x ≤ 2 Đặt y = − x phương trình trở thành: ( − y ) ( y + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x + 1 HD: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: x − ÷+ x − = x x Đặt t= x − 1± , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ −5 y= ⇔ y =1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔ y =1 x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔ Là nghiệm phương trình cho x = −6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình t lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành : ÷ + α ÷+ β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp nếu: P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : ( x + ) = x3 + HD: Đặt u = x + (u ≥ 0) ; v = x − x + (v ≥ ) u = 2v ± 37 phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ Tìm được: x = u = v 2 Bài Giải phương trình : x − x + = − x + x + (*) 4 2 2 HD:Dễ thấy: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) 2 Ta viết α ( x + x + 1) + β ( x − x + 1) = − Đồng vế trái với (*) ta : −3 ( x + x + 1) + ( x − x + 1) = − (x (x + x + 1) ( x − x + 1) + x + 1) ( x − x + 1) 3 3 2 Đặt : u = x + x + u ≥ ÷ ; v = x − x + v ≥ ÷ 4 4 phương trình trở thành :-3u+6v=- uv ⇒ u = 3v Từ ta tìm x Bài 3: Giải phương trình sau : x + x − = x3 − (*) HD:Đk: x ≥ Nhận xét : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng vế trái với (*) ta : ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Bài Giải phương trình : x − 3x + Tổ Toán Trường THCS Mỹ An ( x + 2) − 6x = HD:Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y: x = y x − 3x + y − x = ⇔ x − 3xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − Bài 5:Giải phương trình: 10 x3 + = ( x + ) HD:ĐK: x ≥ −1 Pt ⇔ 10 x + x − x + = 3( x + 2) u = x + (u , v ≥ 0) Đặt v = x − x + u = 3v v = 3u Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2) ⇔ ( 3u − v ) ( u − 3v ) = ⇔ Nếu u = 3v ⇔ x + = x − x + ⇔ x − 10 x + = (vô nghiệm) x = − 33 2 Nếu v = 3u ⇔ x − x + = x + ⇔ x − 10 x − = ⇔ x = + 33 nghiệm b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài Giải phương trình : x + x − = x − x + u = x ( u, v ≥ 0; u ≥ v ) phương trình trở thành : u + 3v = u − v HD:Ta đặt : v = x − hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v ) ( u − v ) Bài 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = 3x + x + HD:Đk x ≥ Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) u = x + x ta có hệ : v = x − Ta đặt : 1− v u = uv = u − v ⇔ 1+ v u = 1+ 1+ Do u, v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Bài Giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + ( x − x − 20 ) ( x + 1) − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) ta không HD:Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = Nhận xét : Không tồn số α , β để : x 2 u = x − x − 20 thể đặt : v = x + Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 10 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Ta có hệ phương trình u+v =3 2 v − u = u+v =3 u + v = u = ⇔ ⇔ ⇔ v = v − u = (v + u )(v − u ) = x + x − = ⇔ x + x + = x3 + x − = ⇔ x + x + = ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = (do x + x + > ∀x) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} 2 Bài Giải phương trình: − x = − x 3 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ≤ x ≤1 HD: Điều kiện: x≥0 x≥0 2 Với điều kiện (*),đặt u = x ; v = − x , với u ≥ 0, v ≤ 1− x2 Ta có: − (*) = 1− u4 x = v2 Do dó ta có hệ u+v = u+v = ⇔ − u4 = v2 u + v = u+v = u+v = 3 ⇔ ⇔ ( u + v ) − 2u v = ( u + v ) − 2u.v − 2u v = u+v = u+v = ⇔ ⇔ − 2u.v − 2u v = 2u v − 16 u.v − 65 = ÷ 9 81 u + v = − 194 u.v = 18 ⇔ u + v = + 194 u.v = 18 ⇒ u v nghiệm phương trình Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 14 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An 2 − 194 = 0(a ) y − y + 18 y − y + + 194 = 0(b) 18 • (b) vơ nghiệm • (a) có nghiệm 97 −3 1+ y1 = ; y2 = u1 = y1 u = y ∨ Do đó: v = y v = y1 1− Vì u ≥ nên ta chọn 1+ ⇒ x= 97 −3 1+ u = y2 = 1+ 97 −3 ⇒ x = 97 −3 97 −3 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1 + Bài Giải phương trình: 18 + x + 64 − x = 97 − 3 HD:Với điều kiện 18 18 + x ≥ x ≥ − 18 64 ⇔ ⇔− ≤x≤ 64 5 64 − x ≥ x≤ (*) Đặt u = 18 + x , v = 64 − x , với u ≥ 0, v ≥ u = 18 + x v = 64 − x Suy Phương trình cho tương đương với hệ: u+v =4 u+v = 2 2 u + v = 82 ⇔ u + v − 2(uv) = 82 v ≥ 0, v ≥ v ≥ 0, v ≥ ( ) Đặt A = u + v P = u.v, ta có: S =4 2 S − P − P = 82 P ≥ 0, S ≥ S =4 S =4 ⇒ p − 32 P + 87 = ⇔ P = ∨ P = 29 P≥0 P≥0 ( ) (1) Với S = 4, P = u v nghiệm phương trình: Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 15 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An y =1 y2 − y + = ⇔ y = u = u = ∨ Do ta có: v = v = 18 + x = 18 + x = ∨ Suy 64 − x = 64 − x = 18 + x = 18 + x = 81 ⇔ ∨ 64 − x = 81 64 − x = 17 63 ⇔x=− ∨x= thoả mãn (*) 5 (2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn u v Vậy phương trình cho có nghiệm là: 17 x1 = − x = 63 5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II ( x + 1) = y + Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( y + 1) = x + đơn giản Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f ( x ) (1) (2) việc giải hệ cho (2) , y = x + − , ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + − 1) + ⇔ x + x = x + 2 Vậy để giải phương trình : x + x = x + ta đặt lại đưa hệ ( α x + β ) = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : , ta xây dựng ( α y + β ) = ax + b phương trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , ta có phương trình : a β ( α x + β ) = ax + b + b − α α a β n Tương tự cho bậc cao : ( α x + β ) = n ax + b + b − α α Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : n ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ đặt α y + β = n ax + b để đưa hệ , ý dấu α ??? n Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ chọn Bài 1: Giải phương trình: x − x = 2 x − HD:Điều kiện: x ≥ Ta có phương trình viết lại là: ( x − 1) − = 2 x − Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 16 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − ta đưa hệ sau: y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Cách 2: Đặt x − = t + a ⇒ x − = t + 2at + a Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2 x − x = 2t − kết hợp với đầu ta có hệ phương trình: t − 2t = x − Giải hệ ta tìm x Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện x ≥ − Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau: (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇔ y = − x ⇔ −2 x − = x + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x = + Bài 3:Giải phương trình: x − x + = HD:ĐK: x ≥ −5 Pt ⇔ x − = x + ; x ≥ (*) Đặt x + = t + a ⇔ x + = t + 2at + a Chọn a = ta được:t2 - = x kết hợp với (*) ta hệ phương trình: x − = t từ ta tìm nghiệm 2 t − = x 4x + ( x > 0) Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = 28 4x + 4x + = t + 2at + a =t+a ⇒ HD:Đặt 28 28 4x + 1 = t + t + ⇒ 7t + 7t = x + Chọn a = ta được: 28 7 x + x = t + Kết hợp với đầu ta hệ phương trình: 7t + 7t = x + Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: x + x + = x + PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai số : ( a , b), (x , y) ta có: (ax + by)2 ≤ (a + b )( x + y ) Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 17 Chun đề giải phương trình vơ tỉ a Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An b Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ x = y 2.Bất đẳng thức côsi: a) Với hai số a, b ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b a+b ≥ ab b) Với ba số a, b, c ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c a+b+c ≥ abc c) Với bốn số a, b, c, d ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a = b = c = d e) Với n số a1, a2,…, an ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) ≥ m a+b+c+d ≥ abcd a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) ≤ M ⇒ A≥m ⇒ MinA = m ⇒ A≤M ⇒ MaxA = M Dấu ''='' xảy ⇔ f(x) = Dấu ''='' xảy ⇔ g(x) = Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2 + B ≥ , ta xây dựng phương trình dạng A2 + B = Từ phương trình ( ) ( 5x − − x + ) − 5x − + x − = ( ta khai triển có phương trình : x + 12 + x − = x x − + − x Dùng bất đẳng thức ) A ≥ m (1) B ≤ m (2) Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: dấu (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A = B ≥ , dấu x +1 + 1+ x x = Vậy ta có phương trình: − 2008 x + + 2008 x = x +1 A ≥ f ( x ) Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng : : B ≤ f ( x) A = f ( x ) A=B⇔ B = f ( x ) Ta có : + x + − x ≤ Dấu x = x +1 + Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá II-BÀI TẬP: Bài Giải phương trình : Tháng năm 2011 2 + x = x+9 x +1 Lục Ngạn - Bắc Giang 18 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An HD:Đk: x ≥ 2 x = x+9 + x +1 + x + x + ÷ 1 ⇔ x= x +1 2 + x÷ ≤ 2 Ta có : x +1 Dấu ⇔ 2 = x +1 ( ) Bài Giải phương trình : 13 x − x + x + x = 16 HD:Đk: −1 ≤ x ≤ ( Biến đổi pt ta có : x 13 − x + + x ) = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x 2 ) 16 ≤ ÷ = 64 2 x= + x2 1− x = ⇔ Dấu ⇔ 10 x = 16 − 10 x x = − 3` Bài Giải phương trình: x − 3x − x + 40 − 4 x + = HD:Ta chứng minh : 4 x + ≤ x + 13 x − 3x − x + 40 ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 3) ≥ x + 13 Bài 4: Giải phương trình: − x + x − = x − 12 x + 38 HD:Ta có :VT2=( − x + x − )2 ≤ (1 + 1).(7- x + x - 5) = Nên : < VT ≤ Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 ≥ Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 5: Giải phương trình: − x + 3x − + x + = HD:ĐK: x ∈ [ 1; 2] (1) PT ⇔ − x + 3x − = − x + (2) Từ (2) ta có: 2 − x +1 ≥ ⇔ x +1 ≤ ⇔ x +1 ≤ ⇔ x ≤ (3) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn.Vậy :x = Bài 6:Giải phương trình : HD: Điều kiện x > x 4x − + =2 x 4x − 1 Áp dụng bất đẳng thức si ta có: x 4x − + 4x − ≥2 x Tháng năm 2011 x 4x − × 4x − = x Lục Ngạn - Bắc Giang 19 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Theo giả thiết dấu xảy khi: x = 4x − x 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ (x − 2) = ⇔ x = 2± Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± (Thoả mãn) Vậy : x = ± Bài 7:Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − HD: Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải: 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm Bài 8:Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x (1) 4 9 HD: Ta có (1) ⇔ x + 2x + + ÷ + x + 2x + + ÷ = −(x + 2x + 1) + 3 5 ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = − (x + 1) Ta có: Vế trái ≥ + = + = Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 Bài 9:Giải phương trình : HD: điều kiện x ≥ x+7 + = 2x + 2x − x +1 Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu ≤ x < : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + + < + Mà: VP > + x +1 2x − > 2.22 + = + VT < + 1+ x > ⇒ x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Bài 10:Giải phương trình : Tháng năm 2011 + =6 3− x 2−x Lục Ngạn - Bắc Giang 20 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An nghiệm phương trình Ta cần chứng < 6 Tương tự với < x < 2: 3− x 2−x HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1 + + + ×××+ = 1.2 2.3 3.4 x ( x + 1) 4−x +4 4− x +5 HD:ĐK: x ≤ (1) Ta có: − x + = − 4− x +5 ⇔ − x = x − (*) Ta có: VP(*) = x − ≥ ⇒ x ≥ (2) Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm III-BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải phương trình sau : − 2x + + 2x = − 2x + 2x + + 2x − 2x 2x4 + = 4 + x4 + x4 − x 3` − 3x − x + 40 − 4 x + = x + 1− x + x − 1− x = + Bài 2: Giải phương trình sau : 1/ x - + - x = x - 8x + 24 3/ − x + x + = x − x + 13 5/ x − + − x = x − 12 x + 14 − x2 + − 1 = 4−x+ ÷ x x 16 x + = x + x + x + 64 − x3 = x − x + 28 x − + − x = x − x + 18 2/ x − + − x = x − 10 x + 27 4/ − x + + x = 6/ x − + 10 − x = x − 12 x + 40 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x) = f ( x0 ) = k x0 nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x) > f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Với x < x0 ⇔ f ( x) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 21 Chuyên đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u ) = f (v) ⇔ u = v ( ) ( ) 2 Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1) + x + x + + x + x + = ( HD:pt ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ) ) ( ( + = ( −3 x ) + ( −3x ) ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3 x ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + , hàm đồng biến R, ta có x = − Ví Dụ 2: Giải phương trình: x + + x + + x + = HD: nhận thấy x = -2 nghiệm phương trình Đặt f ( x ) = x + + x + + x + Với x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) hàm số f(x) đồng biến R Vậy x = -2 nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: Giải phương trình: c) x − = + x − x e) a) x − + x − = b) x − = − x3 − x + x = − x + x − x3 d) f) x −1 + x + = 2x − + x2 + = − x PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm Bài 1:Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x (1) HD: C1: ĐK x ≤ −2; x ≥ ( 1) ⇔ ⇔ x2 − x − x2 − 2x x ( x − 1) − x ( x + ) −3 x x ( x − 1) − x ( x + ) =2x =2x ( 2) −3 −3 x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = x + Nếu x ≥ ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = x ( 3) Giải (3) ta tìm x x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = −2 x + Nếu x ≤ -2 ta có x ( x − 1) + x ( x + ) = −2 x Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: x ≤ −2; x ≥ Nếu x ≥ ta chia hai vế cho Tháng năm 2011 x ta được: ( x + 2) + ( x − 1) ( 4) =2 x Lục Ngạn - Bắc Giang 22 Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Tốn Trường THCS Mỹ An Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x Nếu x ≤ -2 Đặt t = -x ⇒ t ≥ Thay vào phương trình ta −t ( −t + ) + −t ( −t − 1) = ⇔ t ( t − ) + t ( t + 1) = ( −t ) ( t) 2 Chia hai vế cho t ta ( t − ) + ( t + 1) = t Bình phương hai vế tìm t Sau tìm x Trong C1 ta sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định ẩn phương trình.nhìn chung việc vận dụng theo C2 đơn giản x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Bài Giải phương trình sau : HD: 2 2 Ta nhận thấy : ( x − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) v ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) −2 x + Ta trục thức vế : x − x + + ( x − x + 1) 3x − = x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau: x + 12 + = x + x + 5 Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x2 − x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ = 3( x − 2) + x + 12 + x2 + + x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ HD: Để phương trình có nghiệm : x+2 x +1 ⇔ ( x − 2) − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + Bài Giải phương trình : x − + x = x − HD :Đk x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình x + ( x − 3) ( x + x + ) 3 x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 + = 3 x2 − x3 − + ( ) + x − + Ta chứng minh : x+3 1+ (x − 1) + x − + = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 − + + x3 − + ) Vậy pt có nghiệm x = Bài 5:Giải phương trình sau: x2 + x+ x + + x2 − x− x − =x HD:ĐK: x ≥ Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình cho ta được: (x )( ) ( )( ) − x + x − − x + x − x − = 3.x Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang 23 Chun đề giải phương trình vơ tỉ (x ⇒ − x > ⇒ x − ( ) (x + ) +( x 2 + + ) ) Tổ Toán Trường THCS Mỹ An = 3.x (x +2 − 3) = 27 x x > x > ; x ( − 2x ) ≥ ⇒ ⇒ 4 4 ( x − 3) = x ( − x ) 4( x − 3) = x ( − x ) Giải hệ ta tìm x = 2 x2 = x+9 Bài 6:Giải phương trình: − + 2x ( x ≥ − HD:ĐK: x ≠ Pt ⇔ ⇔ ( 2x2 + + x ( − + 2x ( )( ) ) + + 2x x 18 + x + + x 4x ⇔ + 2x = ⇔ x = − nghiệm ) = x+9 ) = x+9 Bài tập vận dụng: 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x − 1) = ( x + 3) Tổng quát: α f ( x ) g ( x ) + β f ( x ) h ( x ) = λ f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + − BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: x1 − 12 + x2 − 22 + + 2005 x2005 − 20052 = ( x1 + x2 + + x2005 ) Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y −1 + z − = ( x + y + z) Bài 3: Giải phương trình sau: x − + 2x − = 3( x − x + 1) = ( x + x − 1) x − + x +1 = x + 48 = x − + x + 35 2( x + 2) = x + Tháng năm 2011 x2 − x + = ( )( x − − x − = −1 ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) ) x −3 4− x = 9− x x + 17 − x + x 17 − x = x+4 =6 x+2 − x − 3x − = x2 + x + − x2 − x + = Lục Ngạn - Bắc Giang 24 Chun đề giải phương trình vơ tỉ − 10 − x = x − Tổ Toán Trường THCS Mỹ An − x = x 27 x10 − x + 864 = x2 + x − + x − x2 + = x2 − x + 3+x 3x + x = x + x + − x x + 24 + = x + x + Bài 4: Giải phương trình sau: 25 − x − 10 − x = ( − x) − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 ( x + 3) x2 − 4x + + x2 − 4x + + x2 − x + = + x +1 +3= x −3 ( x − 3) ( x + 1) − ( x − 3) =2 x + x + 20 = x + 10 10 − x = x − x − 12 2x + = x x2 + x + = 2 x + x − + = x − 20 − 3x + 3x − x + x = + x + 1− x = x + x − x − 12 = 48 + x 2x 2x − = +1 5− 3 +1 1 x + ÷− x + ÷+ = x x x − 20 + 2+ x + 2+ x 4x + + = x−5 − x − 45 = + 2− x − 2− x x− x −5 ( − x) = − x + x2 − =4 − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3−x 3+x a + b − x = + a − b − x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = − x x + x + − x + x + 28 = Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x 3 Giải phương trình sau: + + + x − = 855 Bài 6:Cho phương trình: x 6− x + x + = x x + 62− x Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x − y = 48 Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: + x−2 d/ x + y = 2000 1225 + = 74 − x − − y − − z − 771 y −1 z − 771 Bài 9:Giải phương trình sau : x − 14 x + − x − x − 20 = x + x −1 1 2x + = 1− + x − x x x x + = x3 − x − 15 30 x − x ) = 2004 ( ( x − 1) x − x − 10 = x − x − 10 ( x3 + = x3 + x + ) ( x + − = x + 3x + x + ) ( x + x + 12 x + = 36 ( + x ) + 3 − x2 + ( − x ) = 2008 x − x + = 2007 x − x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 2 x − + x3 + x + x + = + x − Tháng năm 2011 ) 30060 x + + ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 Lục Ngạn - Bắc Giang 25 ... Mỹ An PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN TRƯỜNG THCS MỸ AN - LỤC NGẠN - BẮC GIANG Năm: 2010 - 2011 CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I - Tác giả: Tổ tốn trường THCS Mỹ An - Lục Ngạn - Bắc giang... b = c = d e) Với n số a1, a2,…, an ≥ ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) ≥ m a+b+c+d ≥ abcd a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) ≤ M ⇒ A≥m... trực ti? ??p Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Tháng năm 2011 Lục Ngạn - Bắc Giang Chun đề giải phương trình vơ tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An