BÀI GIẢNG kỷ THUẬT số

Ví dụ, điện áp ngõ ra của một hệ thống số có thể được biến đổi sao cho ngõ ra chỉ có 2 giá trị 0 và 1, trong khi điện áp ngõ ra từ hệ thống tương tự có giá trị thay đổi trong khoảng từ V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÀI GIẢNG

KỸ THUẬT SỐ

Ths NGUYỄN TRỌNG HẢI

LƯU HÀNH NỘI BỘ

TỔNG QUAN Trang 1

CHƯƠNG 1 HỆ THỐNG SỐ ĐẾM 4

1.1 Cơ số – chuyển đổi cơ số 4

1.2 Các bộ mã hóa số hệ mười thông dụng 14

CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC CỔNG LOGIC 24

2.1 Khái niệm về logic hai trạng thái 24

2.2 Bảng sự thật 24

2.3 Các phép toán cơ bản 25

2.4 Mô tả các mạch logic theo phương pháp đại số 25

2.5 Thực hiện các mạch logic từ biểu thức Boolean 25

2.6 Cổng NOR và NAND 26

2.7 Phép toán XOR và phép toán tương đương 27

2.8 Các định lý cơ bản của đại số Boolean 27

2.9 Logic dương và âm 31

2.10 Các hàm cơ bản và phương pháp biểu diễn 23

2.11 Tối thiểu hàm logic bằng bìa K 38

CHƯƠNG 3 MẠCH LOGIC TỔ HỢP 45

3.1 Giới thiệu 45

3.2 Thiết kế mạch logic tổ hợp 45

3.3 Kỹ thuật cực tiểu Quine-Mc Cluskey 47

3.4 Thiết kế mạch không sử dụng bảng sự thật 49

3.5 Mạch giải mã 53

3.6 Mạch mã hóa 59

3.7 Bộ chọn kênh 62

3.8 Bộ phân kênh 65

3.9 Mạch số học 67

3.10 Mạch chuyển mã .69

CHƯƠNG 4 HỆ TUẦN TỰ 74

4.1 Tổng quan 74

4.2 Các phần tử hai trạng thái bền 75

4.3 FlipFlop 76

4.4 FlipFlop dùng xung clock 79

4.5 Các ứng dụng của FlipFlop 83

4.6 Máy trạng thái 104

4.7 Lưu đồ máy trạng thái 105

4.8 Bộ nhớ bán dẫn 116

4.9 ROM – thiết kế hệ thống số dùng ROM 118

4.10 PLD tổ hợp 127

4.11 PLD tuần tự 132

4.12 Các PLD tuần tự khác 135

CHƯƠNG 5 CÁC HỌ VI MẠCH SỐ 146

5.1 Tổng quan 146

5.2 Các đặc trưng của vi mạch số 146

5.3 Họ RTL 148

5.4 Họ DTL 148

5.5 Họ TTL 148

5.6 Các đặc điểm của họ TTL chuẩn 149

5.7 Họ TTL cải tiến 150

5.8 Họ TTL với ngõ ra cực thu hở 150

5.9 Họ TTL ba trạng thái 151

5.10 Mạch logic MOS 151

5.11 Họ CMOS 151

5.12 Một số vi mạch thông dụng 152

CHƯƠNG 6 GIAO TIẾP TƯƠNG TỰ - SỐ 153

6.1 Biến đổi ADC 153

6.2 Biến đổi DAC 160

PHỤ LỤC A TRA CỨU CÁC IC THÔNG DỤNG 167

PHỤ LỤC B CÔNG CỤ CAD TRONG THIẾT KẾ SỐ 251

TỔNG QUAN

Các hệ thống số thường sử dụng rộng rãi trong tính toán và xử lý data như trong các hệ thống điều khiển, trong thông tin, và trong đo lường vì các hệ thống số có khả năng chính xác cao hơn các hệ thống tương tự

Trong một hệ thống số, các tín hiệu vật lý có thể xem như các giá trị rời rạc, trong khi ở hệ thống tương tự các đại lượng này thay đổi liên tục

Ví dụ, điện áp ngõ ra của một hệ thống số có thể được biến đổi sao cho ngõ ra chỉ có 2 giá trị 0 và 1, trong khi điện áp ngõ ra từ hệ thống tương tự có giá trị thay đổi trong khoảng từ Vmin đến Vmax

Do các hệ thống số làm việc với các đại lượng rời rạc, trong nhiều trường hợp có thể được thiết kế với kết quả ngõ vào và ngõ ra một cách chính xác

Ví dụ, nếu nhân 2 số gồm 5 chữ số sử dụng bộ nhân digital thì kết quả là một số có

10 chữ số chính xác cả 10 Nói cách khác, ngõ ra của bộ nhân analog có thể có một khoảng sai số (%) tùy thuộc vào độ chính xác của các thành phần thiết lập nên bộ nhân

Thiết kế của các hệ thống số có thể chia ra 3 phần:

• Thiết kế hệ thống (system design) bao gồm việc chia nhỏ một hệ thống lớn

thành các hệ thống con và chỉ rõ các đặc tính của mỗi hệ thống con Ví dụ, thiết kế hệ thống của một máy tính số bao gồm việc chỉ ra số và dạng của các đơn vị nhớ, đơn vị toán học, các thiết bị vào ra cũng như việc kết nối và điều khiển của các hệ thống con này v.v

• Thiết kế logic (logic design) bao gồm việc xác định làm thế nào để kết nối các khối logic cơ bản để hình thành hàm đặc biệt

• Thiết kế mạch bao gồm việc chỉ ra các kết nối bên trong của các thành phần như điện trở, diode, transistor để hình thành một cổng, flipflop hoặc các khối logic khác Hầu hết các thiết kế mạch hiện tại được thực hiện dưới dạng mạch tích hợp dùng công cụ thiết kế với sự trợ giúp của máy tính để tạo các kết nối trong giữa các thành phần trên một chip silicon

Nhiều hệ thống con có dạng chuyển mạch như sau:

Switching Network

X 1

X 2

X m

Z1 Z2

Thiết kế Mạch

Các khối cơ bản sử dụng trong các mạch tổ hợp là các cổng logic Khi thiết kế logic, phải xác định làm thế nào kết nối các cổng này để biến đổi các tín hiệu ngõ vào thành các tín hiệu ngõ ra mong muốn

Mối quan hệ giữa các tín hiệu ngõ vào và ngõ ra phải được mô tả toán học, trong

thiết kế số gọi là đại số Boolean

Các bước thiết kế một mạch tổ hợp

• Thiết lập một bảng mô tả mối quan hệ giữa ngõ ra và tổ hợp ngõ vào

• Thiết lập biểu thức logic toán học mô tả các ngõ ra như một hàm của các ngõ vào

• Rút gọn biểu thức logic mô tả ngõ ra dùng một số phương pháp thông dụng như bìa Karnaugh, Quine-McCluskey v.v

• Thực hiện mạch

Các phần tử nhớ cơ bản trong thiết kế mạch tuần tự là các FlipFlop Các flipflop có thể được kết nối với các cổng để hình thành một mạch tuần tự

Các bước thiết kế một mạch tuần tự

• Thiết lập một bảng mô tả mối quan hệ giữa ngõ ra hiện tại và ngõ ra kế tiếp

• Thiết lập biểu thức logic toán học mô tả các ngõ vào của flipflop như một hàm của các ngõ ra

• Rút gọn biểu thức logic mô tả ngõ vào dùng một số phương pháp thông dụng như bìa Karnaugh, Quine-McCluskey v.v

Hai trạng thái của diode là trạng thái dẫn và không dẫn Hai trạng thái của transistor là bão hòa và tắt, vì vậy thường dùng các số nhị phân trong các hệ thống số

Bất cứ các thiết kế logic số nào cũng có thể được thực hiện nhờ PLD

(Programmable Logic Design) PLD là tên gọi tổng quát của một IC số mà có thể lập trình được để thực hiện các hàm logic khác nhau và là một chip chứa các cấu trúc mạch có qui luật cho phép người thiết kế tạo các ứng dụng cụ thể

Quá trình thiết kế PLD như sau

Một số công cụ phần mềm hỗ trợ trong thiết kế số: MAX+PLUS II, ABEL, SYNARYO

Một số ngôn ngữ mô tả phần cứng: ABEL, VHDL, AHDL,

Ý tưởng

Trình soạn thảo mạch thảo văn bản Trình soạn

Trình biên dịch

và mơ phỏng

Kit nạp IC

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 4

CHƯƠNG 1 HỆ THỐNG SỐ ĐẾM

1.1 CƠ SỐ - CHUYỂN ĐỔI CƠ SỐ

1.1.1 Khái niệm

Bất cứ một số nguyên dương R (R>1) đều có thể được chọn làm cơ số cho một

hệ thống số

Nếu hệ thống có cơ số R thì các số từ 0 đến (R-1) được sử dụng

Ví dụ: nếu R=8 thì các chữ số cần thiết là 0,1,2,3,4,5,6,7

Các hệ thống cơ số thông dụng trong kỹ thuật số:

• Thập phân (cơ số 10)

• Nhị phân (cơ số 2)

• Bát phân (cơ số 8)

• Thập lục phân (cơ số 16)

Một hệ thống với cơ số R được biểu diễn dưới dạng

(…a3a2a1a0 a-1a-2a-3…)R

Khai triển theo hàm mũ của R

N =(a3a2a1a0a-1a-2a-3)R

= a3.R3 + a2.R2 + a1.R1 + a0.R0 + a-1.R-1 + a-2.R-2 + a-3.R-3

Với các cơ số lớn hơn 10 thì cần phải thêm các ký hiệu để biểu hiện các số lớn

hơn 10 Ví dụ hệ thập lục phân (hex) có cơ số 16 thì A biểu thị 10, B biểu thị

11,…, F biểu thị 15

Đổi giữa các cơ số

Phần nguyên và phần thập phân được đổi một cách riêng biệt

Phần nguyên được đổi bằng cách sử dụng phép chia lặp cho cơ số mới và sử dụng chuỗi các số dư phát sinh để tạo ra số mới Phép tính số học được thực hiện trên các số hạng của cơ số cũ

Phần thập phân được đổi bằng cách nhân lặp lại cho cơ số mới, sử dụng các

số nguyên được tạo ra để biểu thị phân số được chuyển đổi, phép tính số học được thực hiện trên các cơ số cũ

Phần nguyên

Phần thập phân

Ví dụ: Biến đổi phần nguyên trong hệ cơ số 10 sang hệ cơ số R

Quá trình trên được thực hiện tiếp tục cho đến khi tìm được tất cả các hệ số an

Ví dụ: Biến đổi phần thập phân của hệ cơ số 10 sang hệ cơ số R

F = (a-1a-2a-3…a-m)R

= a-1.R-1 + a-2.R-2 + a-3.R-3 +… + a-m.R-m Nhân F với R

FR = a-1 + a-2.R-1 + a-3.R-2 +… + a-m.R-m+1 = a-1 + F1 Với a-1 là phần nguyên, F1 là phần lẻ của phép nhân Tiếp tục nhân R với F1

F1.R = a-2 + a-3.R-1 + a-4.R-2 + … + a-m.R-m+2 = a-2 + F2

Tiếp tục quá trình cho đến khi xác định hết các hệ số a-m

Biến đổi giữa 2 cơ số khơng phải là cơ số 10 cĩ thể thực hiện dễ dàng bằng cách

đầu tiên biến đổi sang cơ số 10 rồi biến đổi tiếp từ cơ số 10 sang cơ số mới

1.1.2 Hệ thập phân (hệ cơ số 10)

Hệ thập phân được kết hợp bởi 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Một chữ số trong hệ thập phân được biểu diễn theo các số mũ của 10

Số mang trọng số lớn nhất gọi là MSD (most significant digit) Số mang trọng số nhỏ nhất gọi là LSD (least significant digit)

Ví dụ: Số 5346,72 biểu diễn như sau:

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 6

• Đếm trong hệ thập phân:

Tổng quát với N chữ số có thể đếm được 10N số khác nhau, bao gồm cả số 0 Số

thập phân lớn nhất là 10N – 1

1.1.3 Hệ nhị phân (hệ cơ số 2)

Hệ nhị phân dùng hai chữ số 0, 1

Một số trong hệ nhị phân được biểu diễn theo số mũ của 2

Một chữ số nhị phân gọi là bit

Chuỗi 4 bit nhị phân gọi là nibble

Chuỗi 8 bit gọi là byte

Chuỗi 16 bit gọi là word

Chuỗi 32 bit gọi là double word

Chữ số nhị phân bên phải nhất của chuỗi bit gọi là bit có ý nghĩa nhỏ nhất (least

significant bit – LSB)

Chữ số nhị phân bên trái nhất của chuỗi bit gọi là bit có ý nghĩa lớn nhất (most

significant bit – MSB)

Thường dùng chữ B cuối chuỗi bit để xác định đó là số nhị phân

Ví dụ: Số 1011,101B biểu diễn giá trị số:

• Đếm trong hệ nhị phân

Xét bộ đếm 4 bit, bắt đầu với tất cả các bit = 0

Cũng như trong hệ thập phân, nếu dùng N bit sẽ đếm được 2N lần

• Chuyển số nhị phân thành số thập phân:

Phương pháp: Cộng trọng số các bit 1

Ví dụ: 1011,11B = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1 + 1.2-1 + 1.2-2 = 11,75

• Chuyển số thập phân thành số nhị phân:

Phương pháp:

Phần nguyên: Chia 2, nhớ lại số dư

Phần thập phân: Nhân 2, nhớ lại phần nguyên

Ví dụ: Chuyển (25)10 ra số nhị phân

122

25 = + số dư 1 6

2

12 = + số dư 0 3

2

6 = + số dư 0

12

3 = + số dư 1 0

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 8

Ví dụ: Chuyển (0,625)10 thành số nhị phân 0,625 × 2 = 1,25

0,25 × 2 = 0,5 0,5 × 2 = 1,0 0,625 = 0,101B

1.1.4 Các phép tốn số học trên số nhị phân

Các phép toàn số học trên số nhị phân chủ yếu vẫn giống các phép toán trên số

thập phân, ngoại trừ phép cộng và phép nhân thì đơn giản hơn

Bảng phép cộng cho số nhị phân

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 nhớ 1 cho số hạng kế tiếp

Ví dụ: cộng 1310 với 1110 dưới dạng nhị phân

1111 ← các số nhớ

1 x 1 = 1

Ví dụ: Nhân 1310 với 1110 ở dạng nhị phân

11011011

- Thành phần đầu tiên của tổng sẽ chính là số bị nhân nếu như LSB của số

nhân là 1 Ngược lại, LSB của số nhân bằng 0 thì thành phần này bằng 0

- Mỗi thành phần thứ i kế tiếp sẽ được tính tương tự với điều kiện là phải dịch

trái số bị nhân i bit

- Kết quả cần tìm chính là tổng các thành phần nói trên

Phép chia cho số nhị phân

Phép chia các số nhị phân cũng tương tự như đối với các số thập phân

đến khi không thể thực hiện phép trừ được nữa

1.1.5 Số cĩ dấu - khơng dấu

Hệ thống số được chia làm 2 loại: không dấu và có dấu

Trong hệ thống có dấu: để biểu thị số nhị phân có dấu thường sử dụng bit MSB

để chỉ dấu: bit 0 chỉ số dương, bit 1 chỉ số âm, các bit còn lại để chỉ độ lớn

Như vậy, nếu ta dùng 8 bit để biểu diễn thì sẽ thu được 256 tổ hợp ứng với các

giá trị 0 255 (số không dấu) hay –127 –0 +0 … +127 (số có dấu)

Tuy nhiên, không đơn giản là cứ thay đổi bit MSB bằng 1 để biểu diễn giá trị

âm, ví dụ như 01000001 (+65) thành 11000001 (-65), các phép tính số học sẽ

không còn đúng

Giá trị âm được mô tả dưới dạng số bù 2

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 10

Số bù 2 (2’s component)

Số bù 2 của một số nhị phân xác định bằng cách lấy đảo các bit rồi cộng thêm 1

Ví dụ: Trong hệ thống có dấu 8bit

Số +65 biểu diễn là: 0100 0001

Số bù 2 của +65 là: 1011 1110 + 1 = 1011 1111 (– 65)

Nhưng nếu đổi ngược 1011 1111 sang thập phân sẽ không nhận được -65 Để

xác định giá trị tuyệt đối của một số nhị phân âm, thực hiện lại các bước trên

Trong phép cộng với số bù 2, ta bỏ qua bit nhớ cuối cùng bởi vì có một bit gán

cho bit dấu nên kết quả vẫn đúng

Khi biểu diễn theo số bù 2, nếu sử dụng 8 bit ta sẽ có các giá trị số thay đổi từ

-128 127

Phép trừ thông qua số bù 2

Ngoài cách trừ như trên, ta cũng có thể thực hiện phép trừ thông qua số bù 2 của

Kết quả 0011 1100, Bit MSB = 0 cho biết kết quả là số dương

Xét khoảng thay đổi sau

0 00000000 -1 11111111 -2 11111110 -3 11111101

Thấy rằng các bit 0 ở số nhị phân âm biểu thị giá trị thập phân của nó: tính giá

trị của các bit 0 theo vị trí giống như với bit 1, cộng các giá trị lại và cộng 1

1.1.6 Hệ bát phân (hệ cơ số 8)

Hệ bát phân được kết hợp bởi 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Vị trí của mỗi chữ số có trọng số như sau:

Với N chữ số bát phân, ta có thể đếm từ 0 đến 8N-1, 8N lần đếm khác nhau

¾ Chuyển số bát phân sang số thập phân:

Ví dụ: (24.6)8 = 2.81 + 4.80 + 6.8-1 =(20.75)10

¾ Chuyển số thập phân sang bát phân:

Ví dụ: đổi (266)10 sang hệ bát phân

338

266 = + số dư 2

48

Điểm bát phân

4128

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 12

¾ Chuyển số bát phân sang số nhị phân:

Phương pháp: Biến đổi mỗi chữ số bát phân sang 3 bit nhị phân tương ứng

Vậy (472)8 chuyển sang nhị phân là 100111010B

¾ Chuyển số nhị phân sang số bát phân

Phương pháp: nhóm từng 3 bit bắt đầu tại LSB, sau đó chuyển mỗi nhóm

này sang số bát phân tương ứng (theo bảng chuyển đổi ở trên)

Ví dụ: chuyển 100111010B sang số bát phân

1 0 0 1 1 1 0 1 0 ↓ ↓ ↓ (4 7 2)8

Trường hợp các số nhị phân không đủ thành 1 nhóm 3 bits, ta thêm 1 hoặc 2

số 0 về bên trái của MSB

Ví dụ: chuyển 11010110 sang số bát phân

0 1 1 0 1 0 1 1 0 ↓ ↓ ↓ (3 2 6)8

¾ Lợi ích của hệ bát phân

Việc dễ dàng chuyển từ hệ bát phân sang nhị phân và ngược lại làm cho hệ

bát phân rất có lợi trong việc rút ngắn các số nhị phân lớn Trong máy tính,

các số nhị phân này không phải luôn luôn biểu hiện một con số mà thường

biểu thị dưới dạng mã mang thông tin, ví dụ:

• dữ liệu bằng số thực

• các số tương ứng với các vị trí (địa chỉ) trong bộ nhớ

• mã lệnh

• mã biểu thị số học và các đặc điểm khác

• một nóm các bit biểu hiện trạng thái của các thiết bị trong và ngoài mày tính

Khi giải quyết một lượng lớn các số nhị phân với nhiều bit, thường dùng các

số dưới dạng bát phân hơn là nhị phân để tăng độ tiện lợi, mặc dù các mạch

số và các hệ thống số làm việc hoàn toàn trên số nhị phân

Ví dụ: Chuyển số 11710 sang hệ bát phân rồi chuyển sang hệ nhị phân

Phương pháp chuyển số thập phân thành số nhị phân này thường nhanh hơn

việc chuyển thẳng từ thập phân sang nhị phân, đặc biệt đối với các số lớn

Cũng như vậy đối với việc chuyển ngược lại từ nhị phân sang thập phân

bằng cách chuyển sang số bát phân

1.1.7 Hệ thập lục phân (hệ cơ số 16)

Trong hệ thống này, ta dùng các số 0 9 và các kí tự A F để biểu diễn cho một

giá trị số (tương ứng với 10 đến 15 trong hệ 10) Thông thường, ta dùng chữ H ở

cuối để xác định đó là số thập lục phân

Hệ thập lục phân Hệ thập phân Hệ nhị phân

¾ Đếm trong hệ thập lục phân (hex)

Khi đếm trong hệ thập lục phân mỗi chữ số tăng từ 0 đến F sau đó về 0 và

chữ số có trọng số lớn hơn kế tiếp sẽ tăng lên 1

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 14

¾ Chuyển số hex sang nhị phân

Phương pháp: mỗi chữ số hex được biến đổi thành số nhị phân 4 bit tương

ứng

Ví dụ: 9F216 = 9 F 2

¾ Chuyển đổi số nhị phân sang số hex

Phương pháp: các bit nhị phân được nhóm vào nhóm 4 bit từ LSB, mỗi

nhóm 4 bit được biến đổi sang số hex tương ứng Nếu số bit không đủ 4, thì

cộng thêm bit 0 vào MSB

Ví dụ: 11101001102 = 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 = 3A616

3 A 6

Ví dụ: Chuyển (378)10 sang số hex rồi chuyển sang số nhị phân, nhận xét

Ví dụ: Chuyển B2F16 sang bát phân

Khi các số, mẫu tự hoặc các từ words được biểu thị dưới dạng một nhóm các ký

hiệu khác, ta nói rằng chúng được mã hóa và nhóm ký tự đó được gọi là một

mã

Một trong những mã thông dụng nhất là mã Morse, chúng bao gồm các chấm và

gạch để biểu hiện các mẫu tự hay các chữ cái

Bất cứ số thập phân nào cũng có thể được mô tả bằng số nhị phân tương ứng,

một nhóm các số nhị phân 0 và 1 có thể được xem là một mã cho số thập phân

Khi một số thập phân được mô tả bằng số nhị phân tương ứng với nó, người ta

gọi là mã nhị phân trực tiếp (straight binary code)

Tất cả các hệ thống số dùng một số dạng các số nhị phân cho việc thực thi bên

trong, nhưng các từ bên ngoài thì thường là thập phân, nghĩa là có một sự biến

đổi thường xuyên từ thập phân sang nhị phân, sự biến đổi từ thập phân sang nhị

phân có thể chiếm một khoảng thời gian lâu và phức tạp đối với một số lớn Vì

lý do đó, việc mã hóa các số thập phân bằng cách kết hợp một vài chức năng

của cả hệ thống thập phân và nhị phân được sử dụng trong các tình huống

1.2.1 Mã BCD (Binary-Coded-Decimal Code)

Nếu mỗi chữ số của số thập phân được mô tả bằng số nhị phân tương ứng với

nó, kết quả ta được 1 mã gọi là mã BCD, vì chữ số thập phân lớn nhất là 9, cần

4 bit để mã hóa

Các số 8,4,2,1 được gọi là trọng số của mã và được gọi là mã BCD 8-4-2-1

Đôi khi trọng số 8-4-2-1 tỏ ra không thuận tiện trong tính toán, một số trọng số

khác cũng được sử dụng như 2-4-2-1, 5-4-2-1, 7-4-2-1…

MÃ BCD Trọng số Trọng số Trọng số Trọng số

2-1 và 7-4-2-1 lại duy nhất

Ví dụ: Số thập phân 874 chuyển sang tương đương nhị phân như sau:

1000 0111 0011 (BCD 8-4-2-1)

1011 1010 0011 (BCD 5-1-2-1) hoặc 1011 1101 0110 (BCD 5-1-2-1) Một lần nữa, mỗi chữ số thập phân được biến đổi trực tiếp sang số nhị phân

tương ứng, lưu ý rằng 4 bit luôn được dùng cho mỗi chữ số thập phân

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 16

Trong bài giảng này lấy mã BCD 8-4-2-1 làm ví du Mã BCD biểu thị mỗi chữ

số của số thập phân bằng số nhị phân 4 bit, sử dụng các số nhị phân 4 bit từ

0000 đến 1001, không sử dụng các số 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 và 1111

Ví dụ: Biến đổi 0110100000111001 (BCD 8-4-2-1) sang giá trị thập phân

Giải

Chia số BCD thành các nhóm 4 bit và biến đổi sang thập phân

0110 1000 0011 1001 = 6839

So sánh BCD và nhị phân. Một điều quan trọng là mã BCD không giống như

mã nhị phân trực tiếp Mã nhị phân trực tiếp biến đổi số thập phân sang nhị

phân trong khi mã BCD biến đổi mỗi chữ số trong số thập phân sang nhị phân

Xét ví dụ biến đổi 137 sang mã nhị phân trực tiếp và sang BCD 8-4-2-1 như sau:

13710 = 100010012 (nhị phân)

13710 = 0001 0011 0111 (BCD 8-4-2-1)

Mã BCD cần 12 bit trong khi mã nhị phân trực tiếp chỉ cần 8 bit để biểu thị số

137 Mã BCD cần nhiều bit hơn là bởi vì BCD không dùng hết các khả năng của

các nhóm 4 bit và vì vậy có phần nào đó không hiệu quả

Ưu điểm chính của BCD là dễ dàng chuyển sang thập phân Chỉ phải nhớ các

nhóm mã 4bit cho các số thập phân từ 0 đến 9 Sự dễ dàng chuyển đổi này đặc

biệt quan trọng theo quan điểm về phần cứng vì trong một hệ thống số, nó là

các mạch logic để tạo nên sự chuyển đổi sang và từ thập phân

1.2.2 Các phép tốn số học với mã BCD

Cộng BCD

Cộng hai số BCD có điểm khác so với cộng hai số nhị phân Khi tổng của mỗi

số hạng BCD ≤ 9 thì tổng đó là kết quả cuối cùng

Ví dụ,

Khi tổng hai số nhị phân ≥ 9 thì tổng phải được cộng thêm 6 và nhớ 1 lên hàng

BCD có nghĩa cao hơn

Trừ BCD

Giống quy luật trừ số nhị phân nhiều bit, nếu số bị trừ nhỏ hơn số trừ thì phải

mượn 1 ở hàng có nghĩa lớn hơn (giống trừ thập phân)

Biểu diễn số BCD âm

Giống hệ nhị phân, để biểu diễn số âm trong hệ nhị phân thường dùng số bù 2,

để biểu diễn số BCD âm thường dùng số bù 10

Số bù 10 bằng số bù 9 cộng 1

Bit tận cùng bên trái là bit dấu: 1 cho số âm và 0 cho số dương

Ví dụ,

1.2.3 Mã quá 3 (excess-3code)

Mã quá 3 được hình thành bằng cách cộng thêm 3 đơn vị vào mã BCD 8421

Ví dụ: biến đổi 48 sang mã quá 3

4 8

7 11

Bảng liệt kê mã BCD và mã quá 3 tương ứng với các chữ số thập phân

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 18

1.2.4 Mã Gray

Mã Gray nằm trong nhóm mã thay đổi cực tiểu minimun-change codes, ở đó chỉ

1 bit trong nhóm mã thay đổi ở khi đi từ bước này qua bước khác

Mã Gray là mã không có trọng số, nghĩa là mọi vị trí của bit trong nhóm mã

không được gán trọng số nào Vì vậy, mã Gray không phù hợp với các biểu thức

số học nhưng phù hợp với các thiết bị ứng dụng vào/ra & một số dạng biến đổi

analog - digital

Bảng chuyển đổi mã Gray từ số thập phân (0 đến 15) với mã nhị phân trực tiếp

Thập phân Nhị phân Mã Gray Thập phân Nhị phân Mã Gray

Mã này sử dụng năm chữ số nhị phân để biểu diễn các chữ số hệ mười

Phương pháp: Khi chuyển sang số tiếp theo mã sẽ thay chữ số 0 bằng chữ số

1, bắt đầu từ phái sang trái, cho đến khi đạt 11111 thì sẽ bắt đầu thay thế dần

chữ số 1 bằng chữ số 0 và cũng theo chiều từ phải sang trái

điểm của các loại mã này là độ dài từ mã lớn nên chiếm nhiều thời gian trong

kênh thông tin nhưng ưu điểm là có thể phát hiện sai và trong nhiều trường hợp

còn có thể sửa sai, vì vậy thường gọi là mã chống nhiễu (nội dung này nằm

trong lý thuyết thông tin)

1.2.6 Các mã Alphanumeric (mã theo chữ cái và con số)

Ngoài các dữ liệu số, một máy tính phải có khả năng xử lý các công tin không

số Nói cách khác, một máy tính phải nhận ra các mã biểu thị các ký tự của chữ

cái, các dấu chấm, và các ký tự đặc biệt khác Các mã này được gọi là mã

alphanumeric Một mã alphanumeric hoàn tất bao gồm 26 chữ cái thường, 26

chữ cái hoa, 10 chữ số, 7 chấm câu, và từ 20 đến 40 ký tự khác, như +, /, #, %,

*,v.v… Có thể nói rằng mã alphanumeric biểu thị tất cả các ký tự khác nhau và

các hàm tùy thuộc vào chuẩn bàn phím của máy tính hay máy đánh chữ

Mã ASCII Mã alphanumeric dùng rộng rãi hiện nay là mã ASCII (American

Standard Code for Information Interchange), sử dụng hầu hết trong các máy vi

tính, trong các thế hệ máy tính lớn (mainframe) Mã ASCII là một mã 7 bit và vì

vậy nó có 27 = 128 nhóm mã Điều này thì đủ để biểu thị tất cả các ký tự bàn

phím chuẩn cũng như các hàm điều khiển như (RETURN) và (LINEFEED)

$

* )

- /

= RETURN

28 2B

24 2A

29 2D 2F 2C 3D 0D 0A

Ví dụ: Thông điệp được mã hóa trong ASCII như sau

1001000 1000101 1001100 1010000

Giải Kết quả theo HEX là 48 45 4C 50

Theo bảng ASCII, biến đổi HEX sang ký tự là H E L P

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 20

Mã ASCII thường dùng trong các bộ truyền các thông tin alphanumeric giữa

một máy tính và các thiết bị vào ra như thiết bị video hay printer Máy tính cũng

sử dụng nó để lưu trữ các thông tin như các dạng lệnh

Để có thể biểu diễn thêm nhiều ký tự khác (ký hiệu không phải là chữ La Ting

như α, β, χ, δ…) mã ASCII được thêm 1bit nữa để có mã ASCII 8bit diễn tả được

256 ký tự, đây là mã ASCII mở rộng (Extended ASCII)

1.6 Đổi các số bát phân ở 1.4 thành số nhị phân

1.7 Đổi các số nhị phân ở 1.1 thành số bát phân

1.8 Hãy liệt kê các số bát phân liên tục từ 1658 đến 2008

1.9.Khi các số thập phân lớn, để đổi sang nhị phân, trước tiên ta đổi sang bát

phân, sau đó đổi số bát phân thành số nhị phân Hãy dùng cách này đổi số

231310 thành số nhị phân và so sánh với cách đổi dùng ở bài 1.2

1.10 Đổi các giá trị hex sau thành số thập phân:

a 92

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 22

1.12 Đổi các giá trị nhị phân ở bài 1.1sang thập lục phân

1.13 Đổi các giá trị Hex ở bài 1.10 sang nhị phân

1.14.Trong máy vi tính, địa chỉ các vị trí ô nhớ được biểu diễn ở dạng thập lục

phân Địa chỉ này là những số liên tục mà nó nhận dạng mỗi mạch nhớ

a Một máy tính cụ thể có thể chứa 1 số 8 bit trong mỗi vị trí nhớ Nếu các

địa chỉ ô nhớ nằm trong khoảng từ 000016 đến FFFF16, có bao nhiêu vị

trí nhớ?

b Một bộ vi xử lý có 4096 vị trí nhớ thì khoảng địa chỉ Hex mà bộ vi xử lý

này dùng là gì ?

1.15 Hãy liệt kê những số hex trình tự từ 280 đến 2A0

1.16 Hãy mã hóa các số thập phân sau thành số BCD:

1.20 Hãy thêm bit chẵn lẻ vào mã ASCII ở bài 1.19 và đưa kết quả về số Hex

1.21 Các nhóm mã dưới đây được truyền đi, hãy thêm bit chẵn lẻ cho mỗi nhóm:

1.23 Trong hệ thống số, số thập phân từ 000 đến 999 được thể hiện ở dạng mã

BCD Một bit chẵn lẻ lẻ cũng được đích kèm ở cuối mỗi nhóm mã Hãy kiểm tra

các nhóm mã bên dưới và giả sử rằng mỗi một mã được truyền từ vị trí này đến vị

trí khác Một vài nhóm có chứa lỗi Giả sử không quá 2 lỗi trong mỗi nhóm Hãy

xác định nhóm mã nào có 1 lỗi đơn và nhóm mã nào có 1 lỗi kép:

a 100101011000

b 0100011101100

c 011110000011

d 1000011000101

1.24 Thực hiện các sự chuyển đổi dưới đây Trong số đó, có thể thử 1 cách tốt

nhất trong nhiều cách đã khảo sát

1.25 Thể hiện giá trị thập phân 37 theo những cách sau:

a Biến đổi thẳng nhị phân

b BCD

c ASCII

d Bát phân

e Hex

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 24

CHƯƠNG 2

ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC CỔNG LOGIC

Phép toán cơ bản trong thiết kế logic các hệ thống số là đại số Boolean Đại số

Boolean có nhiều ứng dụng khác nhau bao gồm lý thuyết tập hợp và logic toán,

vì tất cả các phần tử chuyển mạch về cơ bản đều là các phần tử hai trạng thái (như diode, transistor), cho nên sẽ tập trung khảo sát trường hợp đại số Boolean với sự thay đổi giả sử chỉ ở 1 trong 2 giá trị Đại số Boolean sử dụng 2 giá trị này xem như đại số về chuyển mạch

Phần này sử dụng các biến Boolean như X hoặc Y… để biểu diễn ngõ vào hoặc ngõ ra của mạch chuyển mạch, mỗi biến có thể lấy 1 trong hai giá trị Ký hiệu

“0” và “1” được dùng để đại diện cho hai giá trị khác nhau này Vì vậy, nếu X là biến chuyển mạch hay biến Boolean thì hoặc X=0, hoặc X=1

Mặc dù ký hiệu “0” và “1” giống như số nhị phân, nhưng không phải như vậy Đây chỉ là 2 ký tự đại diện cho 2 giá trị của biến chuyển mạch và được xem là

mức logic, một số vị dụ về các hiện tượng mà mức logic đại diện như sau

Sai Tắt Mức điện áp thấp Không Mở mạch

Đúng Mở Mức điện áp cao

Có Đóng mạch

Vì chỉ có hai giá trị, nên đại số Boolean tương đối dễ dàng hơn so với đại số thông thường Ở đại số Boolean, không có phân số, thập phân, căn bậc hai, căn bậc ba, logarit, số ảo, v.v Đại số Boolean chỉ có 3 phép toán cơ bản: cộng (OR), nhân (AND) và lấy bù (NOT)

A

chuyển mạch

Các bảng sự thật tiêu biểu ứng với các mạng chuyển mạch trên như sau:

Ở mỗi bảng sự thật, các tổ hợp mức logic 0 và 1 đối với ngõ vào (A, B, C, D) được thể hiện bên trái, mức logic ở ngõ ra X được thể hiện bên phải

Lưu ý, nếu có 2 ngõ vào thì có 4 khả năng xảy ra, tương tự 8 khả năng cho 3 ngõ

vào và 16 khả năng cho 4 ngõ vào Sẽ có 2N khả năng xảy ra đối với N ngõ vào Tất cả các tổ hợp ngõ vào được thể hiện theo chuỗi đếm nhị phân

Kết luận

• Phép toán OR sẽ có kết quả bằng 1 nếu một hay nhiều biến ngõ vào bằng 1

• Cổng OR chỉ có một ngõ ra và có thể có nhiều hơn hai ngõ vào

Ngõ vào Ngõ ra ↓ ↓ ↓

Trang 23

Ký hiệu và bảng sự thật cho cổng OR 3 ngõ vào

Ví dụ

Xác định dạng sóng ngõ ra cổng OR khi ngõ vào A, B thay đổi theo giản đồ sau:

2.3.2 Phép tốn AND và cổng AND

Nếu hai biến logic A và B được kết hợp qua phép AND, kết quả là:

X= A.B Bảng sự thật của phép nhân 2 biến A và B như sau:

Kết luận

• Phép toán AND sẽ có kết quả bằng 0 nếu một hay nhiều biến ngõ vào bằng 0

• Cổng AND chỉ có một ngõ ra và có thể có nhiều hơn hai ngõ vào

Ví dụ AND 3 ngõ vào có bảng sự thật như sau

1 0

B

A

OutB

A

Ví dụ

Xác định dạng sóng ngõ ra của cổng AND ứng với các ngõ vào như sau

`

Trong ví dụ này thấy rằng, ngõ ra x sẽ bằng với ngõ vào A khi B ở mức logic 1

Vì vậy ta có thể xem ngõ vào B như ngõ vào điều khiển, nó cho phép dạng sóng ở ngõ vào A xuất hiện ở ngõ ra hay không Trong trường hợp này cổng AND được dùng như một mạch cho phép, và đây là ứng dụng rất quan trọng của cổng AND và sẽ được khảo sát sau

2.3.3 Phép tốn NOT và cổng NOT

Nếu biến A được đưa qua phép toán NOT, kết quả x sẽ là:

Cổng NOT chỉ có một ngõ vào và một ngõ ra

Bất cứ một mạch logic nào cũng có thể được mô tả bằng cách sử dụng các phép toán Boolean đã đề cập ở trên (cổng OR, AND và NOT là những khối cơ bản trong một hệ thống số)

Ví dụ, xét mạch sau

Mạch có 3 ngõ vào A, B và C và một ngõ ra x Sử dụng các biểu thức Boolean cho mỗi cổng ta xác định được biểu thức ngõ ra x = AB + C

Trang 25

Ví dụ xác định hàm ngõ ra của mạch sau

2.5 THỰC HIỆN CÁC MẠCH LOGIC TỪ BIỂU THỨC BOOLEAN

Ví dụ thực hiện biểu thức sau: y = AC+BC+ABC

Ví dụ vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức sau: x=AB+BC

Ví dụ vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức x = ABC A+D( ) sử dụng các cổng có số ngõ vào nhỏ hơn 3

B C

C B

A

Ký hiệu đảoX=A+B

X=A+B B

A

A B

BA

Ví dụ, xác định dạng sóng ngõ ra của cổng NOR ứng với ngõ vào như sau

Ví dụ, xác định dạng sóng ngõ ra của cổng NAND ứng với ngõ vào như sau

Ví dụ, thực hiện mạch logic có biểu thức như sau: x=AB(C+D) chỉ dùng cổng NOR và NAND

Ví dụ xác định mức logic ngõ ra của ví dụ trên với A=B=C=1 và D=0

2.7 PHÉP TỐN XOR (Exclusive-OR) và phép tốn tương đương

2.7.1 Phép tốn XOR và cổng XOR

Phép toán XOR (ký hiệu ⊕) có bảng sự thật như sau:

Biểu thức toán của phép toán XOR: X ⊕ Y = XY+YX

Ký hiệu đảoX=A+B

X=A+B

B

A

AB

B

A

1 A

B

0

B

X A

Trang 27

2.7.2 Phép tốn tương đương và cổng XNOR

Phép tóan tương đương (ký hiệu ≡) có bảng sự thật như sau:

2.8.1 Phép giao hốn, kết hợp và phân phối

X⊕YCổng XNOR

Ví dụ, rút gọn biểu thức y=ABD+AB.D

Giải y=AB(D+D), sử dụng định lý (8):D+D=1

BABA

y= 1=

Ví dụ, Rút gọn biểu thức x=ACD+ABCD

Ví dụ Rút gọn biểu thức z=(A+C).(B+D)

Ví dụ Thực hiện mạch logic với biểu thức ngõ ra z=A+B+C chỉ dùng cổng

NAND và cổng đảo

Ví dụ Rút gọn biểu thức a.b+ac+bc+bc+ab

Ví dụ Rút gọn biểu thức (a+b+c)(a+b+d)(b+c+d)

2.8.5 Các phép biến đổi trên cổng NAND và NOR

Tất cả các biểu thức Boolean đều có thể được thực hiện thông qua các cổng OR, AND và NOT Tuy nhiên, để thực hiện các biểu thức logic mà chỉ dùng 1 loại cổng NAND (hay cổng NOR), ta sẽ biến đổi cổng NAND (hay cổng NOR) để thực hiện các phép toán AND, OR, NOT như sau

Thực hiện các phép tốn bằng cổng NAND

AA.A

BAB.A

Trang 29

Thực hiện các phép tốn bằng cổng NOR

Ví dụ Thiết kế mạch thực hiện biểu thức x=AB+CD, sao cho dùng ít IC nhất Giả sử có các IC sau

2.8.6 Biểu diễn qua lại giữa các cổng

Ở trên đã khảo sát 5 loại cổng logic (AND, OR, NOT, NAND, NOR) và các ký hiệu chuẩn để biểu diễn chúng trên một mạch logic Mặc dù vậy một số mạch cũng sử dụng thêm một số cách biểu diễn khác như sau:

AAA

x= + =

B.ABA

7408

GND Vcc

8 9 10 11 12 13 14

7432

GNDVcc

Khái nhiệm về mức logic tích cực

Ví dụ,

Ở cổng NAND (a) có thể diễn giải: Ngõ ra tích cực ở mức thấp chỉ khi A và B ở

mức cao

Ở cổng NAND (b): Ngõ ra tích cực ở mức cao khi A hoặc B ở mức thấp

Ví dụ, diễn giải ý nghĩa ngõ ra Z theo các ngõ vào ABCD sau

`

AB B

A + = AND

B

B A B

A = +B

B A

A

B A

B A

B

A B

A

(a)

C D

B

Z A

A tích cực

mức 1

A tích cực mức 0

A tích cực cạnh lên

A tích cực cạnh xuống

Trang 31

¾ Lưu ý: khi hoán chuyển các cổng, một nguyên lý chung là: Kết nối ngõ ra

đảo của cổng này vào ngõ vào đảo của cổng kia (hình b), và ngỏ ra không đảo của cổng này nào ngõ ra không đảo của cổng kia (hình c)

Ứng với điều kiện họat động bình thường, điện áp cung cấp cho các ngõ vào của cổng logic được hạn chế để có được một trong hai giá trị 0 và 1 Khi mức điện áp ngõ vào đúng cung cấp cho một cổng logic thì điện áp ngỏ ra sẽ nhận một trong hai giá trị

Logic dương: Mức điện áp cao trong hai mức điện áp biểu thị mức logic 1 và

mức điện áp thấp trong hai mức điện áp biểu thị mức logic 0

Logic âm: Mức điện áp thấp trong hai mức điện áp biểu thị mức logic 1 và mức

điện áp cao trong hai mức điện áp biểu thị mức logic 0

Ví dụ cho cổng logic và quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra như sau:

0

0 +V +V

0

0 +V +V

0 +V

0 +V

0 +V

0 +V

Cổng Logic

B A

Z B

D

C D

Z

Bảng trạng thái logic dương được mô tả như sau

Từ đó thấy rằng, cổng trên tương đương với cổng AND cho mạch logic dương Nếu chuyển bảng trạng thái sang logic âm, được như sau

E0 = 1 nếu E1 hoặc E2 hoặc E3 = 1, nghĩa là: E0 = E1+E2+E3

Từ đó thấy rằng, cổng trên tương đương với cổng OR cho mạch logic âm

Nếu có một hàm đối với mạch logic dương, dễ dàng xác định hàm cho mạch đó

nhưng ứng với logic âm bằng cách áp dụng định lý logic âm

Định lý logic âm

Nếu một mạch tổ hợp có hàm F quan hệ giữa ngõ ra và ngõ vào theo logic dương, thì mạch tổ hợp đó sẽ có hàm đối ngẫu với hàm F khi ngõ vào và ngõ ra được định nghĩa theo logic âm bằng cách biến đổi AND thành OR và ngược lại

Ví dụ Xét mạch tổ hợp sau:

Giả sử hàm G được định nghĩa theo logic dương là

G=ABC+A.BC

ABC

G

Trang 33

thì hàm G định nghĩa theo logic âm sẽ là

G = (ABC+A.BC)D = (A+B+C)(A+B+C)

Ví dụ Ứng dụng định lý logic âm, tìm đối ngẫu của hàm XOR

2.10 CÁC HÀM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN

2.10.1 Hàm logic cơ bản

Một hàm y=f(x1, x2, …, xn) với các biến x1, x2, …, xn chỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1 và hàm y cũng chỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1 được gọi là hàm logic

(1) Hàm logic một biến: y=f(x)

Vì biến x sẽ nhận một trong hai giá trị: 0 hoặc 1, nên hàm y có 4 khả năng hay thường gọi là 4 hàm y0, y1, y2, y3, và bảng chân lý như sau:

Bảng chân lý Tên hàm

x 0 1 Thuật tóan logic Ghi chú Hàm không y0 0 0 y0 = 0 Hàm luôn bằng 0 Hàm đảo y1 1 0 y1 = x

Hàm lặp y2 0 1 y2 = x Hàm đơn vị y3 1 1 y3 = 1

y3=x+x

Hàm luôn bằng 1

(2) Hàm logic hai biến y=f(x1 , x 2)

Với hai biến logic x1, x2, mỗi biến nhận hai giá trị là 0, 1, như vậy có 16 tổ hợp logic tạo thành 16 hàm Bảng tóm tắt 16 hàm từ y0 – y15

Hàm đảo x1 y3 0 0 1 1 Y3 =x1Hàm cấm x2 y4 0 1 0 0 Y4=x2x1Hàm đảo x2 y5 0 1 0 1 Y5 =x2Hàm XOR y6 0 1 1 0 Y6=x1x2+ x1.x2Hàm Cheffer y7 0 1 1 1 Y7=x1+x2 = x1x2Hàm AND y8 1 0 0 0 Y8 = x1x2

Hàm XNOR y9 1 0 0 1 Y9 = x1x2 + x1.x2Hàm lặp theo x2 y10 1 0 1 0 y10 = x2

Hàm kéo theo x2 y11 1 0 1 1 Y11= x1+x2

Hàm lặp theo x1 y12 1 1 0 0 y12= x1

Hàm kéo theo x1 y13 1 1 0 1 y13= x1+x2Hàm OR y14 1 1 1 0 y14 = x1 + x2

(3) Hàm logic n biến y=f(x1, x2,…, xn)

Với hàm logic n biến, mỗi biến nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 nên ta có 2n

tổ hợp biến, mỗi tổ hợp biến lại nhận hai giá trị 0 hoặc 1, do vậy số hàm logic

tất cả là 2 n

2 Với 1 biến có 4 khả năng tạo hàm, với 2 biến có 16 khả năng tạo hàm, với 3 biến có 256 khả năng tạo hàm, như vậy khi số biến tăng thì số hàm

có khả năng tạo thành rất lớn Tuy nhiên tất cả khả năng này đều được biểu

hiện qua các khả năng tổng logic, tích logic và nghịch đảo logic của các biến

Trong tất cả các hàm được tạo thành, đặc biệt chú ý đến hàm tổng chuẩn và

hàm tích chuẩn

Hàm tổng chuẩn là hàm chứa tổng các tích mà mỗi tích có đủ tất cả các biến

của hàm

Hàm tích chuẩn là hàm chứa tích các tổng mà mổi tổng đều có đủ tất cả các

biến của hàm

2.10.2 Các phương pháp biểu diễn hàm logic

(1) Phương pháp biểu diễn thành bảng

Ở đây các giá trị của hàm phụ thuộc vào các biến được trình bày trong một bảng

gọi là bảng sự thật

Ví dụ. một hàm 2 biến với giá trị hàm đã cho được biểu diễn thành bảng như

Ghi chú: dấu X là giá trị hàm không xác định (có thể 0 hay 1)

Ưu điểm của cách biểu diễn hàm bằng bảng là dễ nhìn, ít nhầm lẫn

Nhược điểm của phương pháp này là cồng kềnh, đặc biệt khi số biến lớn

(2) Phương pháp hình học

Ở đây miền xác định của hàm được biểu diễn trong không gian n chiều Mỗi tổ

hợp biến được biểu diễn thành 1 điểm ở trong không gian đó, ứng với mỗi điểm

sẽ ghi 1 giá trị của hàm Hai điểm nằm trên cùng một trục chỉ khác nhau bởi sự

thay đổi giá trị của một biến