Mình cung cấp cho các bạn tài liệu ôn tập để các bạn dễ tự tin làm bài và kiểm tra. Tài liệu có kèm theo đáp án nên rất dễ so sánh khi làm xong. Chúc bạn thành công với bộ tài liệu này.............................
SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VIET TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Định lý Viet Nếu phương trình an x n + an−1 x n−1 + an −2 x n −2 + + a1 x + a0 = (an ≠ 0, ∈ R, ∀i = 0,1, 2, , n) (1) có n nghiệm thực x1 , x2 , , xn (1) ⇔ an ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − xn ) = ⇔ an x n − an S1 x n−1 + an S x n −2 − an S x n−3 + + (−1) n an S n = an −1 S = x + x + + x = − 1 n an S = x1 x2 + x1 x3 + + x1 xn + x2 x3 + x2 x4 + + x2 xn + + xn−1 xn Với S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + + x1 x2 xn + x1 x3 x4 + x1 x3 x5 + + x1 x3 xn + + xn −2 xn −1 xn S n = x1 x2 xn ( S1 , S , S3 , , S n có Cn , Cn , Cn , , Cn số hạng) n Đồng hệ số ta an −1 S = x + x + + x = − n an an− S = x x + x x + + x x + x x + x x + + x x + + x x = n n n −1 n an an −3 S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + + x1 x2 xn + x1 x3 x4 + x1 x3 x5 + + x1 x3 xn + + xn−2 xn −1 xn = − an S = x x x = (−1) n a0 n n an Đặc biệt: + Nếu phương trình bậc hai a2 x + a1 x + a0 = (a2 ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 a1 x + x = − a2 x x = a0 a2 Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT + Nếu phương trình bậc ba a3 x + a2 x + a1 x + a0 = (a3 ≠ 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 a2 x1 + x2 + x3 = − a a1 x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = a3 a0 x1 x2 x3 = − a3 + Nếu phương trình bậc bốn a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 = (a4 ≠ 0) có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 a3 x + x + x + x = − a4 a2 x x + x x + x x + x x + x x + x x = 4 a4 x x x + x x x + x x x + x x x = − a1 4 a4 x x x x = a0 a4 Một số toán áp dụng Bài Cho hàm số y = x + 2(m − 1) x + (m − 4m + 1) x − 2(m + 1) Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho 2 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 Lời giải Ta có y = x + 4( m − 1) x + m − 4m + / 2 y / = ⇔ 3x + 4(m − 1) x + m − 4m + = (1) m < −2 − / ⇔ ∆ > ⇔ m + m + > ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt m > −2 + 4(1 − m) x + x = x , x Khi gọi hai nghiệm (1) theo định lý Viet ta có x x = m − 4m + Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT Theo giả thiết 1 1 + = ( x1 + x2 ) ⇔ ( x1 + x2 )( − )=0 x1 x2 x1 x2 4(1 − m) m = x1 + x2 = =0 ⇔ m = −1 Vậy m = 1, m = ⇔ ⇔ − =0 − =0 m = x1 x2 m − 4m + Bài Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E cho tiếp tuyến (C m) D E vuông góc với Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x3 + 3x2 + mx + = x = x + 3x + m = ⇔ x(x2 + 3x + m) = ⇔ (1) (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt ⇔ (1) có nghiệm x1 , x2 ≠ ∆ = − 4m > m < ⇔ ⇔ (a) + 3.0 + m ≠ m ≠ x1 + x2 = −3 x1 x2 = m Khi gọi x1 , x2 hai nghiệm (1),Theo định lý Vi-et ta có Lúc tiếp tuyến D E có hệ số góc k1 = y’(x1) = x1 + x1 + m; D E) k2 = y’(x2) = x2 + x2 + m = (với x1 ; x2 hoành độ Các tiếp tuyến D, E vuông góc ⇔ k1k2 = –1 ⇔ ( x1 + x1 + m ) ( 3x2 + x2 + m ) = −1 2 ⇔ ( x1 x2 ) + 18 ( x1 + x2 ) x1 x2 + 3m ( x12 + x22 ) + 36 x1 x2 + 6m ( x1 + x2 ) + m = −1 ⇔ 9m − 54m + 27 m − 6m + 36m − 18m + m + = ⇔ 4m − 9m + = 1( ± 65 ) Thoả (a) Vậy m = ( ± 65 ) Bài Cho hàm số y = x + (m − 2) x + (5m + 4) x + 3m + Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1 < < x2 ⇔m= Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT Lời giải Ta có y = x + 2(m − 2) x + 5m + / y / = ⇔ x + 2( m − 2) x + 5m + = (1) m < (a) m > (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m − 9m > ⇔ / x1 + x2 = − 2m x1 x2 = 5m + Khi gọi x1 , x2 hai nghiệm (1) theo định lý Viet ta có Theo giả thiết x1 < < x2 ⇔ ( x1 − 2)( x2 − 2) < ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + < ⇔ 5m + − 2(4 − 2m) + < ⇔ m < Thoả (a) Vậy m < Bài Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d y = –x + m x+2 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) d − x + m = 2x + ( x ≠ −2) x+2 ⇔ x + = − x + (m − 2) x + 2m ⇔ x − (m − 4) x − 2m + = (1) x = −2 không nghiệm (1) ∀m ∆ = m + 12 > 0, ∀m x1 + x2 = m − x1 x2 = −2m + Khi gọi x1 , x2 hai nghiệm (1) theo định lý Viet ta có Gọi A, B giao điểm, ta có A( x1 ; − x1 + m) , B ( x2 ; − x2 + m) AB = ( x1 − x2 ) + ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( m + 12 ) ⇒ AB ngắn ⇔ AB2 nhỏ ⇔ m = Khi AB = Bài Cho hàm số y = 24 2x − Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN x +1 biết M(–3;0) N(–1; –1) Lời giải Đường thẳng MN có phương trình x + 2y + = Suy đường thẳng (d) ⊥ MN có phương trình y = 2x + m Gọi A, B ∈ (C) đối xứng qua MN Hoành độ A B nghiệm PT Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT 2x − = x + m ⇔ x + mx + m + = ( x ≠ −1) (1) x +1 x = −1 không nghiệm (1) ∀m (d) cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m2 – 8m – 32 > m < − ⇔ Gọi x1 , x2 nghiệm (1) ⇒ A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) (với x1, x2 m > + nghiệm (1)) m x + x = − 2 Theo định lý Viet ta có x x = m + 2 x1 + x2 m m ; x1 + x2 + m ÷ ⇒ I − ; ÷ 2 Gọi I trung điểm AB I Ta có I∈MN ⇒ − m + m + = ⇔ m = −4 , Từ (1) ⇒ 2x2 – 4x = ⇒ A(0; –4), B(2;0) Bài Cho hàm số y = 2x −1 (C) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm x −1 phân biệt A, B cho ∆OAB vuông O Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm d (C): x + ( m − 3) x + − m = 0, x ≠ (*) x = không nghiệm (1) ∀m ∆ = m − 2m + = ( m − 1) + > 0, ∀m Khi gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) theo định x1 + x2 = − m lý Viet ta có x x = − m 2 Gọi A, B giao điểm, ta có A( x1 ; x1 + m) , B ( x2 ; x2 + m) uuur uuur Để ∆OAB vuông O OA.OB = ⇔ x1 x2 + ( x1 + m ) ( x2 + m ) = ⇔ x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m = ⇔ m = −2 Vậy m = −2 Bài Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3) x + có đồ thị (Cm), đường thẳng (d) y = x+4 điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt (C m) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích (21) Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) d: x + 2mx + (m + 3) x + = x + (1) Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT x = (1) ⇔ x( x + 2mx + m + 2) = ⇔ g ( x) = x + 2mx + m + = (2) (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác ∆ ′= m − m − > m < −1 ∨ m > ⇔ ⇔ m ≠ −2 g (0) = m + ≠ Mặt khác: d ( K , d ) = 1− + Do đó: S ∆KBC = ⇔ (a) = BC d ( K , d ) = ⇔ BC = 16 ⇔ BC = 256 ⇔ ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 256 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình (2) ⇔ ( x1 − x2 ) + (( x1 + 4) − ( x2 + 4)) = 256 ⇔ 2( x1 − x2 ) = 256 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 128 ⇔ 4m − 4(m + 2) = 128 ⇔ m − m − 34 = ⇔ m = Vậy m = ± 137 (thỏa (a)) ± 137 2x −1 có đồ thị (C) Tìm giá trị m để đường thẳng x−2 y = mx + cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh (C) Bài Cho hàm số y = Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) d 2x −1 = mx + x −1 ⇔ mx − mx − = 0, x ≠ (*) m=0 (C) cắt d điểm, không thoả yêu cầu đề m ≠ : x = không nghiệm pt (*) (C) cắt d điểm hai điểm phân biệt ⇔ pt (*) có hai nghiệm phân biệt m < −4 ⇔ ∆ = m + 4m > ⇔ m > Gọi hoành độ giao điểm x1 ; x2 x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) Theo Viet ta có x1 + x2 = x x = − m d cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh (C) Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT ⇔ x1 < < x2 ⇔ ( − x1 ) ( − x2 ) < ⇔ − ( x1 + x2 ) + x1 x2 < ⇔ − − 0 m Vậy m > Bài Cho hàm số y = x − 3mx + x − có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) trục hoành: x − 3mx + x − = (1) Giả sử (Cm) cắt trục hoành ba điểm phân biệt, gọi hoành độ giao điểm x1 ; x2 ; x3 x1 ; x2 ; x3 nghiệm phương trình (1) Theo Viet ta có x1 + x2 + x3 = 3m Để x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng x1 + x3 = x2 ⇒ x2 = m ⇒ −2m3 + 9m − = ⇔ m = m = −1 ± 15 Thử lại ta m = −1 − 15 Bài 10 Cho hàm số y = x + 3mx − 3x + 3m + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt trục 2 Ox điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 cho x1 + x2 + x3 = 15 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) trục hoành x + 3mx − x + 3m + = (1) Giả sử (Cm) cắt trục hoành trục hoành ba điểm phân biệt, gọi hoành độ giao điểm x1 ; x2 ; x3 x1 ; x2 ; x3 nghiệm phương trình (1) Theo định lý Viet ta có x1 + x2 + x3 = −3m x x + x x + x x = − 3 Do x12 + x2 + x3 = 15 ⇔ ( x1 + x2 + x3 ) − ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) = 15 ⇔ 9m + = 15 ⇔ m = ±1 Thử lại ta m = ±1 Bài tập tự giải x + ( m + 3) x + ( m + 3) x + 2m − Tìm m để hàm số có cực 39 < m < −3 trị x1 , x2 cho x1 < x2 < Kết m > − 10 1) Cho hàm số y = 2 2) Cho hàm số y = x − 2mx + ( 2m − 1) x + m ( − m ) Ox ba điểm phân biệt có hoành độ lớn 3) Cho hàm số y = ( C ) Tìm m để ( C ) m m Kết m > x − 2(1 − sin α ) x − (1 + cos2α ) x + Tìm m để hàm số đạt Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT cắt cực trị x1 , x2 cho x1 + x2 = Kết sin α = 1− 4) (Đề thi ĐH khối D 2008) Cho hàm số y = x − x + (C) điểm I(1;2) Chứng minh với đường thẳng qua I có hệ số góc k > -3 cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, I I trung điểm AB 5) Cho hàm số y = x − x (C) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d) y = m ( x + ) + cắt đồ thị (C) điểm M cố định xác định giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến với đồ thị (C) N P vuông góc với Kết m = Phạm Đình Luyến Chuyên viên Sở GD&ĐT −3 ± 2