ON THI CAO HOC, TOAN CC1 Chuong3_Tich_phan_Bat_dinh

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) khỏang (a,b) điểm x thuộc (a,b) ta có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) F(x)+C nguyên hàm hàm f(x) Mọi nguyên hàm f(x) có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục [a,b] (liên tục ∀x ∈ (a, b) liên tục trái b, liên tục phải a) có nguyên hàm [a,b] Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) nguyên hàm hàm f(x) F(x)+C (C: số) gọi tích phân bất định hàm f(x), kí hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Tính chất: ∫ F '( x)dx = F ( x) + C d f ( x)dx = f ( x) ∫ dx ∫ a f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Tích phân bất định ∫ x dx = ln x + C Bảng tích phân hàm α +1 x α ∫ dx = tan x + C ∫ x dx = α + + C ,α ≠ −1 cos x x a x ∫ dx = − cot x + c ∫ a dx = ln a + C sin x xdx 1 x = ln x + a + C dx = arctan + C ∫ ∫ 2 a a x +a a +x ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + c 1 x+a ∫ 2 dx = 2a ln x − a + C a −x dx x ∫ sin x = ln tan + C dx x π ∫ cos x = ln tan  + ÷ + C   Tích phân bất định ∫ xdx x2 ± a2 dx dx = x ±a +C ∫ x ∫ 2 = arcsin a + c a −x x2 ± a2 ∫ = ln x + x ± a + C xdx a2 − x2 = − a2 − x2 + C a x x +a 2 +C ∫ x + a dx = ln | x + x + a | + 2 2 a x x a − x 2 a − x dx = arcsin + +C ∫ a ∫ shxdx = chx + C ∫ dx = thx + C ∫ dx = −cthx + C 2 ch x sh x ∫ chxdx = chx + C Tích phân bất định Phương pháp tích phân phần: Định lý: Cho hàm u(x), v(x) khả vi u(x), v’(x) có nguyên hàm (a,b) Khi hàm u’(x), v(x) có nguyên hàm (a,b) ta có ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u′( x)v( x)dx Đẳng thức tương đương với: ∫ ( u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ) dx = u ( x)v( x) Đẳng thức hiển nhiên theo công thức đạo hàm tích Ta viết CT dạng ∫ udv = uv − ∫ vdu Tích phân bất định n αx αx 1) ∫ x e dx : u = x , dv = e dx n Ví dụ: Tính I = ∫ x 2e x dx 2x u = x , dv = e dx ⇒ du = xdx, v = e Đặt 2 2x e2 x e2 x x e 2x I5 = x −∫ d (x ) = − ∫ xe dx 2 2 2x Tương tự,lấy tích phân phần lần nữa: 2x x e I5 =  xe x x  x e x xe x e x − − ∫ e dx ÷ = − + +C 2   Tích phân bất định 2) ∫ x cos α xdx : u = x , dv = cos α xdx ∫x n n n n sin α xdx : u = x , dv = sin α xdx Ví dụ: Tính I = ∫ x cos xdx Đặt u = x , dv = cos xdx ⇒ du = xdx, v = sin x I = x sin x − ∫ x sin xdx = x sin x + x cos x − ∫ cos xdx = x sin x + x cos x − 2sin x + C Tích phân bất định α n α n 3) ∫ x ln xdx,α ≠ −1: u = ln x, dv = x dx Ví dụ: Tính Đặt I = ∫ x ln xdx dx x u = ln x, dv = x dx ⇒ du = , v = x 3 x ln x x I6 = − ∫ dx 3 x3 ln x x3 = − +C 9 Tích phân bất định 4) I = ∫ e cos α xdx : u = e , dv = cos α xdx kx kx J= ∫ e sin α xdx : u = e , dv = sin α xdx kx Ví dụ: Tính kx x I = ∫ e cos dx 2x Đặt u = e x , dv = cos x dx ⇒ du = 2e x dx, v = 2sin x x x 2x I = 2e sin − 4.∫ e sin dx 2 x x 2x 2x = 2e sin − 4[ −2e cos + I ] 2 x x 2x 2x ⇒ I = {2e sin + 8e cos } + C 17 2 2x 10 Tích phân bất định 2.∫ f ( x, ax + bx + c )dx 7.∫ 8.∫ ax + b x + px + q ax + b dx, p u = x + ⇒ + dx p u = x − ⇒ + − x + px + q 9.∫ x + px + qdx, 10.∫ − x + px + q dx p u = x + ⇒ p u = x − ⇒ 44 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I13 = ∫ Đặt: I13 = ∫ du u + 22 dx x2 − x + u = x −1 ⇒ = ln u + u + 22 + C = ln ( x − 1) + ( x − 1) + 22 + C 45 Tích phân bất định Ví dụ: Tính Đặt I15 = ∫ ( x + 4)dx − x − x2 1 2 u = x + ⇒ dx = du , u = x + x + udu du I15 = ∫ + ∫ 9 −u −u 4 2u =− − u + acr sin +C 2x +1 = − − x − x + arcsin +C 46 Tích phân bất định b 2.∫ f ( x, ax + bx + c )dx Đặt u = | a |( x + ) 2|a| Đưa tam thức bậc dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 dùng cách đổi biến lượng giác: a Dạng u2+a2: đặt u=a.tant u=a.cotant b Dạng u2-a2: đặt u=a/cost u=a/sint c Dạng a2-u2: đặt u=a.cost u=a.sint 47 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I14 = ∫ a − x dx Đặt x = a sin t I14 x ⇒ t = arcsin , a − x = a cos t , dx = a cos tdt a a 2 = ∫ a cos tdt = (1 + cos 2t )dt ∫ a2 sin 2t = (t + )+C 2 a2 = (t + sin t cos t ) + C 2 2 a x x a − x ⇒ ∫ a − x dx = arcsin + +C a 48 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I =∫ Đặt x ( dx x +a ) x a adt 2 , dx = = a tan t ⇒ t = arctan , x + a = a cos t cos t 1 I = ∫ cos tdt = sin t + C a a x a +C = tan t.cos t + C = a a x + a2 a ⇒I= x a2 x2 + a2 +C 49 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I14 = ∫ x − 1dx x sin udu Đặt x = ⇒ x − = tan u, dx = , cos u cos u I14 tan u.sin u.du 2 =∫ = ∫ tan udu = ∫ (tan u + 1)du − ∫ du cos u = tan u − u + C = x − − arccos + C x Chú ý : Có thể đặt t = x −1 50 Tích phân bất định Trường hợp sau, dùng cách tính hàm mx + n hữu tỉ dx ∫ ax + bx + c ( x + 4)dx Ví dụ: Tính I15 = ∫ − x − x2 d ( x + ) −1 (−2 x − 1) dx I15 = ∫ + ∫ 2 − ( x + )2 2− x− x 2 d ( x + ) −1 d (2 − x − x ) = ∫ + ∫ 2 ( )2 − ( x + )2 − x − x2 2 2x +1 = − − x − x + arcsin +C 51 Tích phân bất định 52 Tích phân bất định =m =m =m =m Dấu – x>0 , dấu + x[...]... +C 2 3 3 2 4 2x + 1 = ln( x + x + 1) + arctan +C 3 3 2 22 Tích phân bất định Trường hợp 1: n < m Bước 1: Giả sử Qm ( x) = (a1x + b1 )l1 (ar x + br )lr (c1x 2 + d1x + e1) k1 (cs x 2 + d s x + es ) ks Trong đó l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m và các tam thức bậc 2 dạng - cx2+dx+e - không có nghiệm thực Bước 2: Ta phân tích hàm f(x) thành tổng các phân M jx + N j thức đơn giản dạng Mi , li (ai x + bi ) (c j x 2