Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 236 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
236
Dung lượng
2,81 MB
Nội dung
CHUN ĐỀ ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Năm học 2015 - 2016 1 | P a g e CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Chủ đề 1: Bài tốn tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) (C ) : y f ( x) * Tính y ' f ' ( x) ; tính k f ' ( x0 ) (hệ số góc của tiếp tuyến) * Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f ( x) tại điểm M x0 ; y0 có phương trình y y0 f ' ( x0 ) x x0 với y0 f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7). b) Tại điểm có hồnh độ x = 2. c) Tại điểm có tung độ y =5. Giải: a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y y0 f '( x0 )( x x0 ) Ta có y ' x y '( 1) Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y hay y = 7. b) Từ x y y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 2 là: y 9( x 2) y x 18 y x 11 x c) Ta có: y x3 3x x3 3x x x +) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5). Ta có y’(0) = -3. Do đó phương trình tiếp tuyến là: y 3( x 0) hay y = -3x +5. +) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5) y '( 3) 3( 3) Do đó phương trình tiếp tuyến là: y 6( x 3) hay y x +) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: y x Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y x3 x x a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. Giải: Ta có y ' x x Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: y y0 y '( x0 )( x x0 ) y y '( x0 )( x x0 ) y0 (1) a) Khi M (C ) Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình: 2 | P a g e x3 x x x ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y 6( x 2) b) Khi M (C ) Oy thì x0 = 0 y0 y (0) 4 và y '( x0 ) y '(0) , thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y x c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4. 88 2 2 y” = 0 x x x0 y0 y ; y '( x0 ) y ' 27 3 3 Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y 100 x 27 Ví dụ 3: Cho hàm số y x x (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hồnh độ x=2. b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N. Giải a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hồnh độ x0 y0 Ta có y '( x) x y '( x0 ) y '(2) Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y y '( x0 )( x x0 ) y0 y 9( x 2) y x 15 Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y x 15 b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N x Xét phương trình x3 x x 15 x3 12 x 16 x x x x Vậy N 4; 51 là điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y x x (C ) và điểm A( x0 , y0 ) (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hồnh độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 ) (C) y0 x03 3x0 , y ' x y ' ( x0 ) 3x02 Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng: y y ' ( x0 )( x x0 ) y0 y (3x02 3)( x x0 ) x03 3x0 y (3x02 3)( x x0 ) x03 (d ) Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C): x3 x (3 x02 3)( x x0 ) x03 x3 x02 x x03 ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) x x0 ( x0 0) x x x x 0 Vậy điểm B có hồnh độ xB 2 x0 3 | P a g e Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y x2 tại các giao điểm của (C) với đường x 1 thẳng (d): y x + Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C): x2 3x x (3x 2)( x 1) (x = 1 khơng phải là nghiệm phương trình) x 1 x x x ( y 2) x ( y 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4) 3 + Ta có: y ' ( x 1) + Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3x + Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3 x 10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là: y 3x và y 3 x 10 m Ví dụ 6: Cho hàm số y x3 x (Cm) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ 3 bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' x mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' (1) m m 1 Khi m ta có hàm số y x3 x ta có x0 1 thì y0 2 3 ' Phương trình tiếp tuyến có dạng y y ( x0 )( x x0 ) y0 y 5( x 1) y x Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m là giá trị cần tìm. Ví dụ 7: Cho hàm số y x 3x m (1). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hồnh độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng Giải Với x0 y0 m M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến tại M là d: y (3 x02 x0 )( x x0 ) m d: y = -3x + m + 2. m2 - d cắt trục Oy tại B: yB m B(0 ; m 2) - d cắt trục Ox tại A: 3 x A m x A m2 A ; 0 4 | P a g e - SOAB 3 m2 | OA || OB | | OA || OB | m (m 2) 2 m m m 3 m 5 Vậy m = 1 và m = - 5 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y f ( x) (C) biết trước hệ số góc + Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) k x x0 , y0 f ( x0 ) + Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y k ( x x0 ) y0 Các dạng biểu diễn hệ số góc k: *) Cho trực tiếp: k 5; k 1; k 3; k 2 *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc , với 150 ;300 ; 450 ; ; Khi đó hệ 3 số góc k = tan *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a. 1 *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b ka 1 k a k a tan *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc Khi đó, ka Ví dụ 8: Cho hàm số y x3 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' x x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điể m Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x02 x0 3 x02 x0 x0 Vì x0 y0 2 M (1; 2) Phương trın ̀ h tiếp tuyến cần tìm là y 3( x 1) y 3x Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6 Giải: Ta có: y ' x x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6 tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 x 1 M (1; 3) 3x02 x0 x02 x0 x M (3;1) 5 | P a g e Phương trın ̀ h tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y 9( x 1) y x (loại) Phương trın ̀ h tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y 9( x 3) y x 26 Ví dụ 10: Cho hàm số y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y 1 x Giải: Ta có y ' x Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y 1 x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9. Do đó y ' k 3x x x 2 +) Với x = 2 y Pttt tại điểm có hồnh độ x = 2 là: y 9( x 2) y x 14 +) Với x 2 y Pttt tại điểm có hồnh độ x = - 2 là: y 9( x 2) y x 18 Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đường thẳng y 1 x là: y =9x - 14 và y = 9x + 18. Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y x x , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x y 2010 Giải: 1 (d) có phương trình: y x 402 nên (d) có hệ số góc là - 5 Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì k 1 k (do (d )) Ta có: y ' x x nên hồnh độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x3 x x x ( x 1)( x x 5) x x y 9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ là M 1; 4 11 Tiếp tuyến có phương trình: y 5( x 1) y x 4 11 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y x x2 Ví dụ 12: Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến 2x 6 | P a g e cắt trục hồnh tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vng cân tại O, với O là góc tọa độ Giải 1 Ta có: y ' (2 x 3)2 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vng cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là: k 1 Khi đó gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) 1 x0 2 1 1 x (2 x0 3) Với x0 1 thì y0 lúc đó tiếp tuyến có dạng y x (trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi qua góc tọa độ, nên khơng tạo thành tam giác OAB) Với x0 2 thì y0 4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y x Vậy tiếp tuyến cần tìm là y x 2x 1 có đồ thị (C). x 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. Giải Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA 4OB Ví dụ 13: Cho hàm số y = OB 1 Hệ số góc của d bằng hoặc OA 4 x ( y ) 0 1 0 Hệ số góc của d là y ( x0 ) ( x0 1) ( x0 1) x ( y ) y ( x 1) y x 4 Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: y ( x 3) y x 13 4 Do OAB vuông tại O nên tan A 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điể m Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( ; ) Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) , (với x0 là hoành độ tiếp điểm). + Tiếp tuyến qua A( ; ) nên f ( x0 ) f '( x0 )( x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến. Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): y x x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1) Giải: 7 | P a g e Ta có: y ' x Gọi M x0 ; x03 x0 1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) x02 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là : y x03 3x0 1 (3x02 3)( x x0 ) qua A(-2;-1) nên ta có: 1 x03 x0 1 (3 x02 3)(2 x0 ) x03 x02 x0 y0 1 ( x0 1)( x02 x0 4) x0 2 y0 1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: : y 1; : y x 17 x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết 2x tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân tại gốc tọa độ O. Giải: Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các đường Ví dụ 15: Cho (C) là đồ thị hàm số y thẳng y = x hoặc y = -x. 1 y '( x ) 0 Ta có: y ' nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: (2 x0 1) (2 x 1) Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x 1 Do đó, 1 (2 x0 1) ; ( x0 khơng là nghiệm phương trình) 2 (2 x0 1) x0 x0 y0 Vậy có hai tiếp điểm là: M (0;1) , M (1;0) x0 1 x0 1 y0 + Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y x 1; y x x3 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Cho điểm M o ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) Ví dụ 16: Cho hàm số y tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB. Giải a) HS tự làm b) M o ( xo ; yo ) (C) y0 x0 Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0: y y0 ( x x0 ) ( x0 1) 8 | P a g e Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 1;1), B (1;2 y0 1) x A xB y yB x0 ; A y0 M0 là trung điểm AB. 2 x2 Ví dụ 17: Cho hàm số: y (C) x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích khơng đổi Giải a) Tự làm a2 b) Giả sử M a; (C). a 1 PTTT (d) của (C) tại M: y y (a).( x a) a2 3 a 4a x y (a 1) (a 1) a 1 a5 Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A 1; , B (2a 1;1) a 1 6 IA IA 0; ; IB (2a 2;0) IB a a 1 a 1 Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = 6 (đvdt) ĐPCM 2x Ví dụ 18: Cho hàm số y x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất Giải 2x 1 Giả sử M x0 ; , x0 , y '( x0 ) x0 x0 Phương trình tiếp tuyến () với (C) tại M: y 1 x (x x ) 2 2x x0 2x Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: A 2; ; B x0 2;2 x0 x xB x0 y yB x0 x0 xM , A yM suy ra M là trung điểm của AB. Ta thấy A x0 2 Mặt khác I(2; 2) và IAB vng tại I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 9 | P a g e x0 ( x0 2) S = IM ( x0 2) 2 ( x0 2) x0 x0 1 Dấu “=” xảy ra khi ( x0 2) x ( x0 2) Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3) 2x 1 Ví dụ 19: Cho hàm số y Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới x 1 tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. Giải. Nếu M x0 ; (C ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình x0 3 y2 ( x x0 ) hay 3( x x0 ) ( x0 1) ( y 2) 3( x0 1) x0 ( x0 1) Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến là 3(1 x0 ) 3( x0 1) d x0 1 Theo bất đẳng thức Côsi x0 ( x0 1) ( x0 1) 2 ( x0 1) ( x0 1)2 , vây d ( x0 1) Khoảng cách d lớn nhất bằng khi ( x0 1) x0 1 x0 1 ( x0 1) Vậy có hai điểm M: M 1 3;2 hoặc M 1 3;2 2x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến x 1 cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2). Giải Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm ( x0 1 ). Ví dụ 20: Cho hàm số y PTTT (d) là y 2x 1 ( x x0 ) x ( x0 1) y x02 x0 ( x0 1) x0 Ta có: d ( A, d ) d ( B, d ) 4( x0 1) x02 x0 4 2( x0 1)2 x02 x0 x0 x0 x0 2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y x ; y x 1; y x 4 10 | P a g e ... bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' x mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có ... + Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: ... (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6 Giải: Ta có: y ' x x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả? ?thi? ??t, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6