Bổ đề BOlzano-Weiestrass Bổ đề BOlzano-Weiestrass dãy con { } { } 1 2 n . . k n n k a a n n < < < < { } [ , ] k n a a b { } k n a Mọi dãy đều có 1 dãy con hội tụ đến 1 điểm trong [a,b] * Nếu có vô số a n =c thì ta tìm được dãy {a nk =c} a nk -> c Trái lại chia I 1 = [a,b] thành 2 đoạn bằng nhau gọi I 2 chứa vô số phần tử a n , lại chia I 2 thành 2 đoạn bằng nhau .ta tìm được dãy thắt {I k } trong đó I k chứa vô số a n * Gọi c là điểm chung duy nhất dãy I k chọn n 1 =1 ta có a n1 I 1 , chọn n 2 >n 1 sao cho a n2 I 2 . chọn n k >n k-1 sao cho a nk I k . Ta được dãy {a nk } | a nk - c | (b a)/2 k-1 0. Vậy khi k thì Lim a nk =c tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn Định lý (Veierstrass) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] thì nó đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên [a,b], tức là c 1 , c 2 [a,b] sao cho f(c 1 ) f(x) f(c 2 ) với x[a,b]. * f(x) bị chặn trên [a,b]: Nếu f(x) không bị chặn trên nN, a n [a,b] ta có a n n. Theo bổ đề Bonzano-Veierstrass có dãy con {a nk }của a n mà a nk -> c. Vì f(x) liên tục tại c nên f(a nk ) ->f(c) mâu thuẫn với f(a nk ) f(c) Vậy f(x) bị chăn trên. f(x) bị chăn dưới tương tự. Đặt M=Sup{f(x) | x [a,b]}; m=Inf{f(x) | x [a,b]} ta chỉ ra sự tồn tại của c 1 , c 2 để f(c 1 )=m, f(c 2 )=M. Vì M=Sup{f(x)| x [a,b]}=> nN, a n [a,b], M -1/n < f(a n ) M. Theo bổ đề có dãy con {a nk }của a n mà a nk -> c 2 Vì | f(a nk )- M | < 1/n k 0. Vậy khi a nk c 2 thì f(c 2 )=M. Vì m=Inf{f(x)| x [a,b]}=> nN, a n [a,b], m< f(a n ) m-1/n. Theo bổ đề có dãy con {a nt }của a n mà a nt -> c 1 Vì | f(a nt )-m | < 1/n t 0. Vậy khi a nt c 1 thì f(c 1 )=m. tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn Định lý (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] mà f(a) f(b) < 0 thì c (a,b) sao cho f(c) = 0. Giả Sử f(a)<0, f(b)>0, đặt I=[a,b]. Chia I thành 2 đoạn bằng nhau bởi điểm chia d=(a+b)/2. Nếu f(d)=0 thì d là điểm phải tìm. Nếu f(d)>0 chọn I 1 =[a,d]; nếu f(d)<0 chọn I 1 =[d,b] ; Chia I 1 thành 2 đoạn bằng nhau chọn I 2 là đoạn mà ở 2 mút giá trị hàm f trái dấu . Ta tìm được dãy đoạn thắt {I k } có giá trị hàm f tại 2 mút trái dấu. Đặt I k = [a k ,b k ]}, gọi c là điểm chung duy nhất của mọi đoạn I k khi đó a k ->c và f(a k )<0 => f(a k )->f(c) 0; b k ->c và f(b k )>0 => f(b k )->f(c) 0; vậy c(a,b), f(c)=0 (f(c)=0 nên c # a và c # b) tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn tính chất hàm liên tục trên 1 đoạn Định lý (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b], f(a)=A, f(b)=B thì mọi nằm giữa A và B đều c (a,b) sao cho f(c) = . Đặt g(x)=f(x)- =>g(A)g(B)=[f(a)-][f(b)-]=(A- )(B-)<0 => g(c)=f(c)-=0 => f(c) = . Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b], m=Inf{f(x) | x [a,b]}; M=Sup{f(x) | x [a,b]}Khi đó mọi [m,M]}, c [a,b] sao cho f(c) = .