Tài Liệu ôn thi môn phương pháp tính ; Đề thi và lời giải môn phương pháp tính ;Tài liệu hay môn phương pháp tính, Bài tập và lời giải môn phương pháp tính, ôn thi môn phương pháp tính, Bài tập chọn lọc kèm lời giải môn phương pháp tính
Trang 1Bài 1.
a Trình bày các bước giải phương trình f(x) = 0 theo phương pháp lặp đơn với sai số
không quá cho trước
b Chứng minh sự hội tụ của dãy số
1
1
2
n
n
u
c Tính gần đúng giới hạn của dãy số trong câu b với sai số không vượt quá 108 bằng cách giải gần đúng phương trình thích hợp bằng phương pháp lặp đơn
Giải
a Trình bày các bước giải tìm một nghiệm của phương trình f(x) = 0 theo phương
pháp lặp đơn với sai số không quá cho trước
Bước 1 Xác định khoảng cách ly nghiệm [a;b] của phương trình
Bước 2 Lặp: Đưa phương trình về dạng x = (x)
Tính ’(x)
Kiểm tra max |’(x)| = q <1 (x[a;b]).
Cho đến khi max |’(x)| = q < 1.
Bước 3 Nhập sai số , tính := (1- q) / q;
i:=0;
Chọn xấp xỉ ban đầu x0
Bước 4 Tính Lặp
x i = (x i-1)
i = i+1 cho đến khi | x i - x i-1 | <
b Chứng minh sự hội tụ của dãy số
1
1
2
n
n
u
Đặt u0 = 2; u n =2+1/u n-1
Khi đó u1,…,u n là dãy lặp đơn tương ứng với phương trình lặp có dạng u = 2+1/u =
(u) và với u0 = 2
Ta có phương trình tương đương là f(u) = u2-2u - 1 = 0 có f(2) = -1 < 0, f(3) = 2 >
0, nên trong [2;3] có nghiệm của phương trình
Mặt khác |’(u)| = |- 1/ u2 | < 1/4 = q < 1 nên phép lặp đơn hội tụ Vậy dãy đã cho là
dãy hội tụ
Trang 2c Tính gần đúng giới hạn của dãy số trong câu b với sai số không quá 10 8
bằng cách giải gần đúng phương trình thích hợp bằng phương pháp lặp đơn
Theo câu b, dãy u n là dãy lặp đơn của phương trình u2 – 2u – 1 = 0, có nghiệm trong [2;3] với u0 được chọn ban đầu bằng 2 và phương trình lặp là u = 2+1/u, trong đó q =1/4
Vì vậy sau mỗi bước lặp ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức |u i – u i-1| < 0,3.10-7
Ta có bảng xâp xỉ sau
Vậy giới hạn
cần tìm là u11 =
điểm
Bài 2 Cho phân
thức
1 2 3
3 )
(
2
x x x
x x x
p
a Bằng phép nội suy hãy phân tích phân thức p(x) thành tổng các phân thức đơn
giản
b Tính tích phân sau bằng công thức Parabol (Simpson) với h=0,1 và với 4 chữ số
có nghĩa
Giải
a Bằng phép nội suy hãy phân tích phân thức p(x) thành tổng các phân thức đơn giản Đặt P2(x) = x2 + x + 3 Khi đó ta có P2(-1) = 3; P2(-2) = 5; P2(-3) = 9
và P2(x) được biểu diễn dưới dạng Lagrăng là
3 1 3 2
2 1 3
3 2 1 2
3 1 2
3 1 2 1
3 2 1
)
2
P x
x P
x x P
x
P
2
2 1 9 1
3 1 5 2
3 2 3 ) (
2
x
Từ đó
( ) 2 3 1 52 2 9 3
x x
x x p
u4 2.416666667 0.016666667
u5 2.413793103 -0.002873563
u6 2.414285714 0.000492611
u7 2.414201183 -8.45309E-05
u8 2.414215686 1.45028E-05
u9 2.414213198 -2.4883E-06
u10 2.414213625 4.26925E-07
u11 2.414213552 -7.32488E-08
u12 2.414213564 1.25675E-08
u13 2.414213562 -2.15624E-09
Trang 3b Tính tích phân sau bằng công thức Parabol (Simpson) với h=0,1 và với 4 chữ số có nghĩa
6 1
1
) (x dx
p với ( ) 1 23 3
2
x x x
x x x
p
Ta có bảng sau:
1 0.208333
1.6 0.166295
0.374628 2.215624 0.735772 0.110867 Vậy I 0.1109
Bài 3 Cho phương trình
0 1 6
, 0 0
, 2
y
Tính gần đúng nghiệm của phơng trình bằng phơng pháp Ơle cải tiến với h=0,1
Giải Với x0 và y0=y(x0) đã cho, công thức lặp là
Với mỗi i từ 0 đến n-1 thực hiện
y*
i+1 = y i +hf i
f*
i+1 = f(x i+1 ,y*
i+1)
y i+1 = y i + h/2(f i + f*
i+1)
Ta có bảng sau
Vậy nghiệm là bảng
y 1 1.0025 1.010044 1.022745 1.040797 1.064475 1.094147
Bài 4 Cho phương trình
Trang 40 5 , 1
x
a Chứng tỏ rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1 < 2 < 3
b Nêu các bước cơ bản để giải phương trình f(x)=0 bằng phương pháp lặp Niu tơn với độ chính xác cho trước
c Tìm nghiệm 1 của phương trình đã cho bằng phương pháp Niu tơn sau 3 bước lặp Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng vừa thu được
Giải.
a Chứng tỏ rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1 < 2 < 3
Ta có f ’(x) = 3x2 -3 = 0 có nghiệm -1 và 1, do đó có bảng sau
x -2 -1 1 2
f ’ + 0 - 0 +
f + +
-Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn
-2 < 1 < -1 < 2 <1 < 3 <2
b Nêu các bước cơ bản để giải phương trình f(x)=0 bằng phương pháp lặp Niu tơn với độ chính xác cho trước
Bước 1 Xác định khoảng cách ly nghiệm [a;b] của phương trình
Bước 2 Tính các đạo hàm f ’(x) và f ’’(x) Kiểm tra tính không đổi dấu trên [a;b] của các đạo hàm đó Tìm m1 = min f ’(x) và M2 = max f ’’(x) 0.5 điểm
Bước 3 Nhập sai số , tính := (2m1 /M2)1/2;
i:=0;
Chọn xấp xỉ ban đầu x0 thỏa mãn f(x0)f’’(x0)>0
Bước 4 Tính Lặp
x i = x i-1 – f(x i-1 )/ f ’(x i-1)
i = i+1 cho đến khi | x i - x i-1 | < 0.5 điểm
c Tìm nghiệm 1 của phương trình đã cho bằng phương pháp Niu tơn sau 3 bớc lặp Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng vừa thu được
Theo câu a nghiệm 1 thuộc khoảng [-2;-1] và f ’(x) > 0; f ’’(x) <0 trên đoạn này.
Và do f(-2) < 0 nên ta có điểm -2 là điểm Fourier, nên chọn x0 = -2
Mặt khác f ’’(x) = 6x, nên M2 = 12, m1 = 3
Sau 3 bước lặp ta có bảng sau
Trang 5n x
1 -1.9444444
2 -1.9422452
3 -1.9422419
Và sai số là
2 2 3 1
6
12
|
| 2
x x m M
Bài 5 Cho hàm số y = f(x) bởi bảng sau:
a Cho hàm số y=f(x) bởi bảng sau:
Bằng phép nội suy bậc 3 hãy tính f(0).
b Tính gần đúng tích phân
3
3
dx x
x
theo công thức parabol (simpson) với h = 0,5 và biểu diễn kết quả với 5 chữ số có
nghĩa
Giải
a Bằng phép nội suy bậc 3 hãy tính f(0).
Theo công thức nội suy Lagrăng ta có
2 1 4
2 1 1 2 1 1 3
3 1 1 4 , 12 2 1 2
3 2 1 4 , 10 4 3 2
3 2 1 0 2 , 5 )
0
f
4 5 , 0 4 , 12 6 , 15 3 , 1 2
1 4 , 12 4
6 4 , 10 4
1 2 , 5 ) 0
f
b Tính gần đúng tích phân
3
3
dx x
x
theo công thức parabol (simpson) với h=0,5 và biểu diễn kết quả với 5 chữ số có
nghĩa
Ta có bảng sau
Trang 6-1 -3
-1.2 10.20952 5 2.334921 Vậy I 2.3349
Bài 6 Giải gần đúng phương trình vi phân
y x
xy y
'
trên đoạn [0;1] theo phương pháp Ơle cải tiến với y(0) = 1 và h = 0.2
Giải.
Theo công thức lặp
y i+1 = y i + h/2(f i + f*
i+1)
với f*
i+1 = f(x i+1 ,y*
i+1 ) trong đó y*
i+1 = y i +hf i
y 1 1.016667 1.062345 1.130479 1.217817 1.322892
f 0 0.167123 0.290587 0.391965 0.482826 0.569502
f* 0.166667 0.289662 0.390754 0.481413 0.567919 Vậy Nghiệm của phương trình là bảng sau:
y 1 1.016667 1.062345 1.130479 1.217817 1.322892