CHUYỀN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - CHUYN BI DNG HSG TON PHN I S Chuyn 1: Cỏc bi toỏn thc hin phộp tớnh: Cỏc kin thc dng: - Tớnh cht ca phộp cng , phộp nhõn - Cỏc phộp toỏn v ly tha: an = a.a a ; am.an = am+n ; am : an = am n ( a 0, m n) n (am)n = am.n ; a an ( a.b)n = an bn ; ( )n n (b 0) b b Mt s bi toỏn : Bi 1: a) Tớnh tng : 1+ + + + n , 1+ + + + (2n -1) b) Tớnh tng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) Vi n l s t nhiờn khỏc khụng HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 2) + + n(n + 1)( (n+2) (n 1))] : = [ 1.2.3 1.2.3 + 2.3.4 2.3.4 ++ n( n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tng quỏt: ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Bi 2: a) Tớnh tng : S = 1+ a + a2 + + an b) Tớnh tng : A = c c c vi a2 a1 = a3 a2 = = an an-1 = k a1.a2 a2 a3 an1.an HD: a) S = 1+ a + a2 + + an aS = a + a2 + + an + an+1 Ta cú : aS S = an+1 ( a 1) S = an+1 Nu a = S = n Nu a khỏc , suy S = b) p dng Ta cú : A = a n a c c 1 ( ) vi b a = k a.b k a b c 1 c 1 c 1 ( ) ( ) ( ) k a1 a2 k a2 a3 k an1 an = c 1 1 1 ( ) k a1 a2 a2 a3 an1 an = c 1 ( ) k a1 an Bi : a) Tớnh tng : 12 + 22 + 32 + + n2 b) Tớnh tng : 13 + 23 + 33 + + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + + n3 = ( n(n+1):2)2 Bi 3: Thực phép tính: a) A = ( b) B HD : A = Bi 4: 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 46.92 510.73 255.492 125.7 59.143 ;B= 28 1 1, Tớnh: P = 2003 2004 2005 5 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - 2, Bit: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3 0,375 0,3 1,5 0,75 1890 11 12 : Bi 5: a) Tính A 115 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 11 12 b) Cho B 1 1 1 2004 2005 3 3 3 Chứng minh B 5 13 10 230 46 27 25 Bi 6: a) Tớnh : 10 1 : 12 14 10 1 1 2012 b) Tính P 2011 2010 2009 2011 HD: Nhn thy 2011 + = 2010+2 = MS 2012 2010 1 2011 2011 2012 2012 2012 1 1 2011 = 2012( ) 2011 2012 1 1 (1 99 100) (63.1,2 21.3,6) c) A 99 100 Bi 7: a) Tính giá trị biểu thức: 11 31 15 19 14 31 A 1 93 50 12 b) Chứng tỏ rằng: B 1 1 2 3 2004 2004 ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Bi 8: a) Tính giá trị biểu thức: 81,624 : 4,505 125 A 11 13 : 0,88 3,53 (2,75) : 25 25 b) Chứng minh tổng: S 1 1 1 n n 2002 2004 0,2 2 2 2 2 ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - CHUYấN 2: BI TON V TNH CHT CA DY T S BNG NHAU Kin thc dng : - a c a.d b.c b d -Nu - Cú a c e a c e abe vi gt cỏc t s du cú ngha thỡ b d f b d f bd f a c e = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk b d f Bi dng Dng Vn dng tớnh cht dóy t s bng chng minh ng thc Bi 1: HD: a2 c2 a a c Cho Chng minh rng: 2 b c b c b T a c suy c a.b c b ú a c a a.b b2 c b2 a.b = a ( a b) a b( a b) b Bi 2: Cho a,b,c R v a,b,c tho b2 = ac Chng minh rng: (a 2012b) a = (b 2012c) c HD: Ta cú (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Suy : (a 2012b) a = (b 2012c) c ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Bi 3: Chứng minh HD : t Suy : a c 5a 3b 5c 3d b d 5a 3b 5c 3d a c k a = kb, c = kd b d 5a 3b b(5k 3) 5k 5c 3d d (5k 3) 5k v 5a 3b b(5k 3) 5k 5c 3d d (5k 3) 5k Vy 5a 3b 5c 3d 5a 3b 5c 3d a b ab Biết vi a,b,c, d Chng minh rng : c d cd Bi 4: a c a d hoc b d b c HD : Ta cú ab a b ab 2ab a 2ab b (a b)2 ( ) (1) = 2 2 c d cd 2cd c 2cd d (c d ) cd a b a b ab 2ab a 2ab b (a b)2 ( ) (2) = 2 2 c d cd 2cd c 2cd d (c d ) cd a b a b c d c d ab a b T (1) v (2) suy : ( ) ( ) cd cd ab ba c d d c Xột TH i n pcm Bi : Cho tỉ lệ thức a c Chứng minh rằng: b d ab a b cd c d a b2 ab c d2 cd HD : Xut phỏt t a c bin i theo cỏc b d hng lm xut hin ab a b2 a c a b a b 2 ( ) 2 cd c d b d c d cd Bi : Cho dãy tỉ số nhau: ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Tính M HD : T ab bc cd d a cd d a ab bc 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d Suy : a bcd a bcd a bcd a bcd a b c d Nu a + b + c + d = a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) M ab bc cd d a = -4 cd d a ab bc Nu a + b + c + d a = b = c = d M ab bc cd d a =4 cd d a ab bc Bi : a) Chứng minh rằng: Nếu x y z a 2b c 2a b c 4a 4b c Thì a b c x y z 2x y z 4x y z b) Cho: a b c b c d a abc Chứng minh: d bcd HD : a) T a 2b c 2a b c 4a 4b c x y z x y z a 2b c 2a b c 4a 4b c a 2b c 2(2a b c) 4a 4b c a (1) x 2y z x 2y z 2(a 2b c) (2a b c) 4a 4b c b (2) 2x y z 2x y z ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - 4(a 2b c) 4(2a b c) 4a 4b c c (3) 4x 4y z 4x y z T (1) ;(2) v (3) suy : Bi 8: Cho a b c x y z 2x y z 4x y z x y z t y z t z t x t x y x y z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P HD T x y y z z t t x z t t x x y y z y z t z t x t x y x y z x y z t x y z t y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x yz x y z t x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t Nu x + y + z + t = thỡ P = - Nu x + y + z + t thỡ x = y = z = t P = Bi : Cho s x , y , z khỏc tha iu kin : yzx zx y x yz x y z x y z Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B = y z x Bi 10 : a) Cho cỏc s a,b,c,d khỏc Tớnh T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Bit x,y,z,t tha món: x 2010 y 2010 z 2010 t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010 a b2 c d a b c d b) Tỡm s t nhiờn M nh nht cú ch s tha iu kin: M = a + b = c +d = e + f Bit a,b,c,d,e,f thuc N* v a 14 c 11 e 13 ; ; b 22 d 13 f 17 ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - c) Cho s a, b, c tha : a b c 2009 2010 2011 Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a )2 MT S BI TNG T Bi 11: Cho dãy tỉ số nhau: 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d a b c d Tính M ab bc cd d a cd d a ab bc Bi 12: Cho s x , y , z, t khỏc tha iu kin : y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt ( n l s t nhiờn) x y z t v x + y + z + t = 2012 Tớnh giỏ tr ca biu thc P = x + 2y 3z + t ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - DNG : VN DNG TNH CHT DY T S BNG NHAU TèM X,Y,Z, Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit : 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x HD : p dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2y 2y vi y = thay vo khụng tha x x 12 Nu y khỏc => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta đ-ợc: 3y y y =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 12 15 Vậy x = 2, y = Bi : Cho thoả mãn đề 15 a b c v a + b + c 0; a = 2012 b c a Tớnh b, c HD : t a b c a bc a = b = c = 2012 b c a a bc Bi : Tỡm cỏc s x,y,z bit : y x x z x y x y z x yz HD: p dng t/c dóy t s bng nhau: y x x z x y 2( x y z ) (vỡ x+y+z 0) x y z ( x y z) x yz Suy : x + y + z = 0,5 t ú tỡm c x, y, z ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 10 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - *Phng phỏp gii : - c k bi , t ú xỏc nh cỏc i lng bi toỏn - Ch cỏc i lng ó bit , i lng cn tỡm - Ch rừ mi quan h gia cỏc i lng ( t l thun hay t l nghch) - p dng tớnh cht v i lng t l v tớnh cht dóy t s bng gii Bi : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi tc 5m/s, trờn cnh th ba vi tc 4m/s, trờn cnh th t vi tc 3m/s Hi di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy Bi : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đ-ợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đ-ợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đ-ợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đ-ợc nh- Bi : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đ-ợc nửa quãng đ-ờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bi : Trên quãng đ-ờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đ-ờng ng-ời tới lúc gặp ? Bi : Ba i cụng nhõn lm cụng vic cú lng nh Thi gian hon thnh cụng vic ca i , , ln lt l 3, 5, ngy Biờt i nhiu hn i l ngi v nng sut ca mi cụng nhõn l bng Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ? Bi : Ba ụ tụ cựng hnh i t A v phớa B Vn tc ụ tụ th nht kộm ụ tụ th hai l Km/h Bit thi gian ụ tụ th nht, th hai v th ba i ht quóng ng AB ln lt l : 40 phỳt, 5 gi , gi Tớnh tc mi ụ tụ ? ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 30 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - PHN HèNH HC I Mt s phng phỏp chng minh hỡnh hoc 1.Chng minh hai on thng bng nhau: P2 : - Chng minh hai tam giỏc bng cha hai on thng ú - Chng minh hai on thng ú l hai cnh bờn ca mt tam giỏc cõn - Da vo tớnh cht ng trung tuyn, ng trung trc ca on thng - Da vo nh lớ Py-ta- go tớnh di on thng 2.Chng minh hai gúc bng nhau: P2 : - Chng minh hai tam giỏc bng cha hai gúc ú - Chng minh hai gúc ú l hai gúc ỏy ca mt tam giỏc cõn - Chng minh hai ng thng song song m hai gúc ú l cp gúc so le ,ng v - Da vo tớnh cht ng phõn giỏc ca tam giỏc Chng minh ba im thng hng: P2 : - Da vo s o ca gúc bt ( Hai tia i nhau) - Hai ng thng cựng vuụng gúc vi ng thng th ti mt im - Hai ng thng i qua mt im v song song vi ng thng th - Da vo tớnh cht ng trung tuyn, phõn giỏc, trung trc, ng cao Chng minh hai ng thng vuụng gúc P2 : - Tớnh cht ca tam giỏc vuụng, nh lớ Py ta go o - Qua h gia ng thng song song v ng thng vuụng gúc - Tớnh cht ng trung trc, ba ng cao Chng minh ng thng ng quy( i qua mt im ) P2 : - Da vo tớnh cht ca cỏc ng tam giỏc So sỏnh hai on thng, hai gúc : P2 : - Gn hai on thng , hai gúc vo mt tam giỏc t ú nh lớ v quan h gia cnh v gúc i din mt tam giỏc , BT tam giỏc - Da vo nh lớ v quan h gia ng xiờn v hỡnh chiu, ng xiờn v ng vuụng gúc ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 31 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - II Bi dng Bi : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông D góc AB; AE vuông góc AC Chứng minh: DC = BE DC BE E HD: A Phõn tớch tỡm hng gii * CM DC = BE cn CM ABE = ADC ( c.g.c) Cú : AB = AD, AC = AE (gt) K Cn CM : DAC BAE I B Cú : BAE 900 BAC DAC * Gi I l giao im ca AB v CD CM : DC BE cn CM I B1 900 C Cú I1 I ( Hai gúc i nh) v I1 D1 900 Cn CM B1 D1 ( vỡ ABE = ADC) Li gii a) Ta cú BAE 900 BAC DAC DAC BAE , mt khỏc AB = AD, AC = AE (gt) Suy ABE = ADC(c.g.c) DC = BE b) Gi I l giao im ca AB v CD Ta cú I1 I ( Hai gúc i nh) , I1 D1 900 ( ADI vuụng ti A) v B1 D1 ( vỡ ABE = ADC) I B1 900 DC BC *Khai thỏc bi 1: T bi ta thy : DC = BE DC BE ABD v ACE vuụng cõn, vy nu cú ABD v ACE vuụng cõn , T B k BK CD ti D thỡ ba im E, K, B thng hng Ta cú bi toỏn 1.2 Bi 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC T B k BK CD ti K Chng minh rng ba im E, K, B thng hng HD : T bi chng minh c DC BE m BK CD ti K suy ba im E, K, B thng hng ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 32 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - *Khai thỏc bi 1.1 T bi 1.1 nu gi M l trung im ca DE k tia M A thỡ MA BC t ú ta cú bi toỏn 1.2 Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi M l trung im ca DE k tia M A Chng minh rng : MA BC Phõn tớch tỡm hng gii HD: Gi H l giao im ca tia MA v BC CM MA BC ta cn CM AHC vuụng ti H CM AHC vuụng ti H ta cn to tam giỏc vuụng bng AHC N Trờn tia AM ly im N cho AM = MN K DQ AM ti Q D Cn CM AHC = DQN (g.c.g) M E Q A CM: ND = AC , N1 ACB , BAC ADN CM : ABC = DNA ( c.g.c) B Cú AD = AB (gt) H Cn CM : ND = AE ( = AC) v BAC ADN + CM ND = AE C CM : MDN = MEA (c.g.c) + CM BAC ADN EAD ADN 1800 vỡ EAD BAC 1800 CM AE // DN (MDN = MEA) ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 33 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Li gii Gi H l giao im ca tia MA v BC , Trờn tia AM ly im N cho AM = MN k DQ AM ti Q Ta cú MDN = MEA ( c.g.c) vỡ : AM = MN ; MD = ME (gt) v EMA DMN ( hai gúc i nh) DN = AE ( = AC) v AE // DN vỡ N1 MAE ( cp gúc so le ) EAD ADN 1800 ( cp gúc cựng phớa) m EAD BAC 1800 BAC ADN Xột ABC v DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN v BAC ADN ( chng minh trờn ) ABC = DNA (c.g.c) N1 ACB Xột AHC v DQN cú : AC = DN , BAC ADN v N1 ACB AHC = DQN (g.c.g) AHC vuụng ti H hay MA BC * Khai thỏc bi toỏn 1.3 + T bi 1.2 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA BC , ngc li nu AH BC ti H thỡ tia HA s i qua trung im M ca DE , ta cú bi toỏn 1.4 Bi 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A n BC Chng minh rng tia HA i qua trung im ca on thng DE HD : T bi 1.2 ta cú nh hng gii nh sau: K DQ AM ti Q, ER AM ti R R Ta cú : + DAQ HBH ( Cựng ph BAH ) AD = AB (gt) AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn) E DQ = AH (1) D M Q A + ACH EAR ( cựng ph CAH ) AC = AE (gt) AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn) ER = AH ( 1) T (1) v (2) ER = DQ Li cú M1 M ( hai gúc i nh ) B QDM = REM ( g.c.g) MD = ME hay M l trung H im ca DE C ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 34 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - + T bi 1.3 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA DE , ngc li nu H l trung im ca BC thỡ tia KA s vuụng gúc vi DE, ta cú bi toỏn 1.4 Bi 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H trung im ca BC Chng minh rng tia HA vuụng gúc vi DE HD : T bi 1.3 ta d dng gii bi toỏn 1.4 Trờn tia AH ly im A cho AH = HA D CM c AHC = AHB ( g.c.g) D M E AB = AC ( = AE) v HAC HA ' B A AC // AB BAC ABA ' 1800 ( cp gúc cựng phớa) M DAE BAC 1800 DAE ABA ' Xột DAE v ABA cú : AE = AB , AD = AB (gt) DAE ABA ' DAE = ABA(c.g.c) B ADE BAA ' m ADE BAA ' 900 ADE MDA 900 Suy HA vuụng gúc vi DE H C A' ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 35 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Bi : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đ-ờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần l-ợt M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đ-ờng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh A BC * Phõn tớch tỡm li gii a) cm DM = EN M Cm BDM = CEN ( g.c.g) C I Cú BD = CE (gt) , D E 900 ( MD, NE BC) B E D H BCA CBA ( ABC cõn ti A) b) Cm Đ-ờng thẳng BC cắt MN trung N O điểm I MN Cn cm IM = IN Cm MDI = NEI ( g.c.g) A c) Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A xung BC , O l giao im ca AH vi ng thng vuụng gúc vi MN k t I Cn cm O l im c nh cm O l im c nh Cn cm M OC AC C I B Cn cm OAC OCN 900 E D H N O Cn cm : OBA OCA v OBM OCM Cn cm OBM = OCN ( c.c.c) v OAB = OAC (c.g.c) *Khai thỏc bi ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 36 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - T bi ta thy BM = CN , vy ta cú th phỏt biu li bi toỏn nh sau: Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy điểm N cho BM = CN ng thng BC ct MN ti I Chứng minh rằng: a) I l trung im ca MN b) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay i A li gii: T li gii bi gii bi 2.1 ta cn k MD BC ( D BC) NE BC ( E BC) M C I B E D H N O Bi : Cho ABC vuụng ti A, K l trung im ca cnh BC Qua K k ng thng vuụng gúc vi AK , ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt D v E Gi I l trung im ca DE a) Chng minh rng : AI BC A b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao? *Phõn tớch tỡm li gii a) Gi H l giao im ca BC v AI D cm AI BC Cn cm A1 ACK 900 cm A1 ACK 900 B H K C I Cú AEK EAK 900 cn cm A1 AEK v ACK CAK ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 E 37 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Cn cm AIE cõn ti I v AKC cõn ti K b) so sỏnh DE vi BC cn so sỏnh IE vi CK ( vỡ 2.IE = DE, 2CK = BC) So sỏnh AI vi AK ( vỡ AI = IE, AK = CK) Cú AI AK Li gii : a)D dng chng c AIE cõn ti I v AKC cõn ti K cn cm A1 AEK v ACK CAK m AEK EAK 900 A1 ACK 900 AI BC b) ta cú BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) M AI AK DE BC , DE = BC K trựng vi I ú ABC vuụng cõn ti A Bi 4: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC ng thng i qua M v vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ti H ct hai tia AB, AC ln lt ti E v F Chng minh rng: a) EF AH AE b) 2BME ACB B c) BE = CF lỡ gii p dng nh lý Py ta-go cho tam giỏc vuụng AFH, ta cú: 2 A HF + AH = AF M AHE = AHF (g-c-g) nờn HF = Suy ra: EF; AF = AE EF AH AE Từ AEH AFH Suy E1 F C Xét CMF có ACB góc suy CMF ACB F E BME có E1 góc suy BME E1 B CMF BME ( ACB F ) ( E1 B) B M H D ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 F 38 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - hay 2BME ACB B (đpcm) T AHE AHF Suy AE = AF v E1 F => BME CMD( g c g ) BE CD T C v CD // AB ( D EF ) (1) Li cú: E1 CDF (cp gúc ng v) Do ú CDF F CDF cõn CF = CD ( 2) T (1) v (2) suy BE = CF Bi : Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l hai gúc nhn Trờn tia i ca tia AB ly im D cho AD = AB , trờn tia i ca tia AC ly im E cho AE = AC a) Chng minh rng : BE = CD b) Gi M l trung im ca BE , N l trung im ca CB Chng minh M,A,N thng hng c)Ax l tia bt k nm gia hai tia AB v AC Gi H,K ln lt l hỡnh chiu ca B v C trờn tia Ax Chng minh BH + CK BC d) Xỏc nh v trớ ca tia Ax tng BH + CK cú giỏ tr ln nht *Phõn tớch tỡm li gii a) cm BE = CD Cn cm ABE = ADC (c.g.c) D b) cm M, A, N thng hng E Cn cm BAN BAM 1800 M Cú BAN NAD 1800 Cn cm MAB NAD cm k K MAB NAD Cn cm ABM = ADN (c.g.c) c) N A I B C H Gi l giao im ca BC v Ax ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 x 39 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - cm BH + CK BC Cn cm BH BI ; CK CI Vỡ BI + IC = BC d) BH + CK cú giỏ tr ln nht = BC ú K,H trựng vi I , ú Ax vuụng gúc vi BC Bi Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đ-ờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN vuông góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH N b) Chứng minh: EN // FM E F *Phõn tớch tỡm li gii a) M cm EM + HC = NH A Cn cm EM = AH v HC = AN + cm EM = AH cn cm AEM =BAH ( cnh huyn gúc nhon) + cm HC = AN cn cm AFN =CAH ( cnh huyn gúc nhon) b) B cm EN // FM H C AEF EFN ( cp gúc so le trong) Gi I l giao im ca AN v EF cm AEF EFN Cn cm MEI = NFI ( g.c.g) Bi : Cho tam ABC vuụng ti A , đ-ờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đ-ờng thẳng song song với AC cắt đ-ờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 40 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - *Phõn tớch tỡm li gii Gi F l giao im ca BA v IE Cm cm : AE = BC cn cm : AFE = CAB AFE = CAB E AF = AC (2); AFC BAC 900 (1); EAF ACB (3) Cn cm F + cm (1) : AFC BAC 900 Cm CI // AE vỡ cú FI // AC v BAC 900 Cm A CI // AE Cm I B M AMB = DMC ( c.g.c) H C + cm (2) : AF = AC D Cm AFI = ACI ( Cnh huyn gúc nhn) EAF ACB ( vỡ cựng ph HAC ) + Cm (3) : *Khai thỏc bi toỏn : T bi ta thy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vỡ AM = MB = MC) Vy HE ln nht = 3AM = BC H trựng M ú tam giỏc ABC vuụng cõn Bi Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh A rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE AB AC F B * Phõn tớch tỡm li gii C M a) cm N AE = AF I E ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 41 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - ANE = ANF ( c g c) Hoc AEF cõn ti A ( Cú AH va l tia phõn giỏc , va l ng cao) b) cm BE = CF cn to tam giỏc cha BE( hoc cú cnh = BE) m bng tam giỏc MCF + K BI // AC MBI = CMF( c g c) cm BE = CF BEI cõn ti B E BEI Cú BIE ABF ( cp gúc ng v ) m E AFE vỡ AEF cõn ti A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF m CF = BC v AE = AF Bi AE = AB + AC hay AE AB AC Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đ-ờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K lần l-ợt giao điểm DE với AB AC a) Chng minh : Tam giỏc ADE cõn ti A b) Tính số đo góc AIC AKB ? A *Phõn tich tỡm hng gii - Xột TH gúc A < 900 K E I a) cm ADE cõn ti A cn cm : AD = AH = AE D ( p dng t/c ng trung trc) b) D oỏn CI IB , BK KC Do IB, KC tia phõn giỏc gúc ngoi ca HIK nờn HA l tia phõn giỏc Do AHC 900 nờn HC B C H l tia phõn giỏc ngoi nh H Cỏc tia phõn giỏc gúc ngoi nh H v K ca HIK ct C nờn IC l tia phõn giỏc ca gúc HIK , ú IB IC , Chng minh tng t ta cú BK KC - Xột TH gúc A>900 *Khai thỏc bi toỏn : Gi M l im bt k thuc cnh BC , qua M ly im D, E cho AB l trung trc ca DM, AC l trung trc ca ME Khi ú ta cú ADE cõn ti A v gúc DAC cú ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 42 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - T ú ta cú bi toỏn sau: Bi 9.1 Cho tam giỏc ABC nhn Tỡm im M trờn cnh BC cho nu v cỏc im D, E ú AB l ng trung trc ca MD, AC l ng trung trc ca ME thỡ DE cú di nh nht D A HD T nhn xột bi d dng tỡm c v trớ im M trờn cnh BC E Bi 10 Cho ABC vi gúc A khụng vuụng v gúc B khỏc 135o Gi M l trung im ca BC V phớa ngoi ABC v ABD vuụng cõn ỏy AB ng thng qua A vuụng gúc vi ABCv ng B H M thng qua C song song vi MD ct ti E ng thng AB ct CE ti P v DM ti Q Chng minh rng Q l trung im ca BP E HD Trờn tia i ca tia MQ ly im H cho MH = MQ A - Cm BMQ = CMH ( c.g.c) D P BQ = CH (1) v MBQ MCH BQ//CH hay PQ // CH ( vỡ MBQ, MCH l Q cp gúc so le trong) - Ni PH , cm PQH = HCP ( g.c.g) B C M PQ = CH (2) , Do Q nm gia B v P dự gúc B nh hn 1350 H T (1) v (2) Suy pcm Bi 11 Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú A 200 , v tam giỏc u DBC (D nm tam giỏc A ABC) Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC 20 b) AM = BC M HD a) Chng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC D Do ú DAB 200 : 100 b) ABC cõn ti A, m A 200 (gt) nờn ABC (1800 200 ) : 800 B ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 C 43 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - ABC u nờn DBC 600 Tia BD nm gia hai tia BA v BC suy ABD 800 600 200 Tia BM l phõn giỏc ca gúc ABD nờn ABM 100 Xột tam giỏc ABM v BAD cú: AB cnh chung ; BAM ABD 200 ; ABM DAB 100 Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC Bi 12 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB > AC) Tia phõn giỏc gúc B ct AC D K DH vuụng gúc vi BC Trờn tia AC ly im E cho AE = AB ng thng vuụng gúc vi AE ti E ct tia DH K Chng minh rng : a) BA = BH B I b) DBK 45 c) Cho AB = cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK K HD : a) Cm ABD = HBD ( cnh huyn gúc nhn) b) Qua B k ng thng vuụng gúc vi EK , ct EK ti I H A Ta cú : ABI 90 , Cm HBK = IBK ( cnh huyn cnh gúc vuụng) D C E B3 B4 m B1 B2 DBK 450 c) Chu vi tam giỏc DEK = DE + EK + KD = = 2.4 = cm * T bi ta thy DBK 450 thỡ chu vi DEK = AB vy nu cú chu vi DEK = thỡ ta cng cm c DBK 450 Ta cú bi toỏn sau : ng ký hc Toỏn lp c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 44 [...]... vy n = 8 , m = 9 ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 15 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Bi 4 : Tỡm x , bit : x 7 x 1 x 7 x 11 0 HD : x 7 x 1 x 7 x 7 x 11 0 1 x 7 10 0 10 x 1 x 7 1 x 7 0 x7 x10 1( x7)10 0 x 1 x7010 x7 x 8 ( x7) 1 x 6 Bi 5 : Tỡm x, y bit : x... trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 HD a) ta cú 17a 34 b 17 v 3a + 2b 17 17a 34b 3a 2b 17 2(10a 16b) 17 10a 16b 17 vỡ (2, 7) = 1 10a 17b 16b 17 10a b 17 b) Ta cú f(0) = c do f(0) 3 c 3 f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a b + c) = 2b , do f(1) v f(-1) chia ht cho 3 2b 3 b 3 vỡ ( 2, 3) = 1 f(1) 3 a b c 3 do b v c chia ht cho 3 a 3 Vy a, b, c u chia ht cho 3 Bi 7 : a) Chứng minh rằng... b) Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + 1 ( k N*) 4133 = ( 7. 6 1)33 = 7. q 1 ( q N*) Suy ra : A 3638 4133 = 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q) 7 Bi 5 : a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên d-ơng b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z) Bi 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f ( x) ... 2n 1 chia hết cho 7 HD : Vi n < 3 thỡ 2n khụng chia ht cho 7 Vi n 3 khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 ( k N * ) Xột n = 3k , khi ú 2n -1 = 23k 1 = 8k 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7. A + 1 -1 = 7. A 7 Xột n = 3k +1 khi ú 2n 1 = 23k+1 1 = 2.83k 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7 Xột n = 3k+2 khi ú 2n 1 = 23k +2 -1 = 4.83k 1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng chia ht cho 7 Vy n = 3k vi k... x 15 ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 21 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn Tel: 0936.128.126 *** - Vy Max C = 3 23 8 (1 ) khi x = 2 4 9 3 Bi 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số HD : Ta cú n 7n 8 có giá trị lớn nhất 2n 3 7n 8 7 2(7n 8) 7 14n 16 7 5 (1 ) 2n 3 2 7( 2n 3) 2 14n 21 2 14n 21 7n 8 5 ln nht thỡ ln... Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 23 y 2 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 HD: a) T 51x + 26y = 2000 17. 3.x = 2.( 1000 13 y) do 3, 17 l s NT nờn x 2 m x NT x = 2 Li cú 1000 13y 51 , 1000 13y > 0 v y NT y = b) T 7( x 2004)2 23 y 2 (1) do 7( x2004)2 0 23 y 2 0 y 2 23 y {0, 2,3, 4} Mt khỏc 7 l s NT 13 y 2 7 vy y = 3 hoc y = 4 thay... di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy Bi 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đ-ợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đ-ợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đ-ợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đ-ợc đều nh- nhau Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đ-ợc... nguyờn t x 1 y y 2 Bi 2 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7 b) Tỡm x, y bit: 25 y 2 8( x 2012)2 HD : a) T x y + 2xy = 7 2x 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) T 25 y 2 8( x 2012)2 y2 25 v 25 y2 chia ht cho 8 , suy ra y = 1 hoc y = 3 hoc y = 5 , t ú tỡm x ng ký hc Toỏn lp 7 c bn v nõng cao | Tel: 0936.128.126 17 GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn... S DNG BT GI TR TUYT I Bi 1 : a) Tỡm x ngyờn bit : x 1 x 3 x 5 x 7 8 b) Tỡm x bit : x 2010 x 2012 x 2014 2 HD : a) ta cú x 1 x 3 x 5 x 7 x 1 7 x x 3 5 x 8 (1) M x 1 x 3 x 5 x 7 8 suy ra ( 1) xy ra du = 1 x 7 3 x 5 do x nguyờn nờn x {3;4;5} Hay 3 x 5 b) ta cú x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2 (*) M x 2010 x 2012 x 2014 2 nờn (*)... ,6n, 7n, 8n, 9n * Tớnh cht chia ht ca mt tng 2 Bi tp vn dng: Bi 1 : Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 3n2 2n2 3n 2n chia ht cho 10 HD: ta cú 3n2 2n2 3n 2n = 3n2 3n 2n2 2n = 3n (32 1) 2n (22 1) = 3n 10 2n 5 3n 10 2n1 10 = 10( 3n -2n) Vy 3n2 2n2 3n 2n 10 vi mi n l s nguyờn dng Bi 2 : Chng t rng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100 HD: A = 75 (42004