Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian lê hồng đức

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ PHƯƠNG PHÁP GIAI TOÁN GỒ M 36 CHỦ ĐẾ CHO 58 DẠNG TOÁN VỚI 146 v í D Ị 119 BÀI TOÁN CHỌN LỌ C VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ Giải hình không gian phương pháp tọa độ khôn? gian Đ CpGỈ Hã NỘI NHÀ XU Ấ T BẢN ĐẠI HỌC QUỐC G IA HÀ NỘI LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ n n lM I I Ì N I T U G P I I H H M Ọ Ỉ H I I Í P G C I Ả G l lt I Ả a I T O I T G Á N Í C H I M NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Hưởng ứng lời kêu goi đối phương pháp day hoc LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM T i liệ u n y x in d n h tặ n g C đ n g k ín h củ a tá c g iả LỜI GIỚI THIỆU Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu P 1I I \< , PHÁI* GIẢI TO ÁN T R lT iW H Ọ C P H Ổ T I I Ô M Ỉ Thạc s ĩ 7(kín học Lô Hổm; Dứcchỉì Nôn Bỏ tài iiôu gồm 10 tập: Tập Tâp Tâp Tâp Tâp Tâp Tâp Tảp Tập Tập 10 Phương phap giãi Toón LưỢng giác Phương pháp giài Toán Hình học Giai tích Măt phảng Phướng pháp giài Toán Hình học Giài tích trorg Khổng gian Phương pháp giài Toán Hình học Không gian Phương pháp giải Toán Véctơ Phương pháp giài Toán Dại số Phương pháp giài Toan Hàm sổ Phương pháp giài Toán Tích phân Phương pháp giải Toán Tổ hợp Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông Với mục LĨích giúp Thả V, Cổ giáo cỏ dược giiìng có hiệu quà em có dược nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ dưđ phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi thi, nên m ôi tập tài liệu chúng tỏi xếp, hộ thông kiến thức dược dề cập chương trình Toán Trung học Phô thông thành Chủ dề Mỏi Chủ dể liươc chia thành ba mục: Kiến thức bần: Gồm phương pháp giẩi cho dạng toán dược trình bày dạng bdi toán ví dụ vẻ giải toán II Các toán chọn lọc: Gồm toán tuyển chọn có chọn lọc từ tập Bộ dề thi tuyển sinh môn Toán từ cấc Dề thi tuỵôn sinh môn Toán vào trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới III Bài tập để nghị I N hư m ỗi chủ dề: Với việc trình bày íỉiìĩlỊĩ bái toán hìn óìng ví dụ minh hoạ sau dó, giúp tăng chílt lượng giàng cho Thày, Cô giáo với cấc em học sinh sè hiểu biết cách trình bày Tiếp dó tới toán chọn lọc dược lây từ dề thi vào ưường Dại học, sè giúp Thàv, Cô giảo dẫn dát em học sinh tiếp cận nhanh chóng với đòi hòi thực tế Đặc biột nội dung ý sau vài ví dụ h(Jăc toán chọn lọc sè giúp Thảy, Cô giáo củng cố hiêu biết chưa thật thâu dáo, với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt cho em học sinh, đô trả lờ i cách thoà dáng câu hòi " Tại Ịại nghĩ làm ỉĩhư ? Ngoải có rât nhiều toán dược giải bắng nhiều cách khắc giúp học sinh trờ lên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giai Bộ tài liệu viết trôn tư tường hoàn toàn mè, có tính sư phạm, có tnh tông hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé vấn đố cùa toán học sơ cấp Bộ tải liệu ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ Thcìỵ, Cô giáo đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả em chuân bị dự thi môn Toán Tốt nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học Cuốn IMIIÍOỈNG PH Ấ P GIẢI TOẢN II ì MI HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAM việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm tiếp thu ỷ kiến dórtg góp bạn dọc từcuôh Tuyên tập cấc Chuyên dề Luyện thi Đại học Môn Toắn Hình học Giẩi tích Lê'Hồng Đức Trán Phương, dã Nhà xuất Hà N ội âh hành quý II năm 2002 Cuôh tài liệu dược chia ứìành phần: Phẩn I Mặt phăng Phẩn II Đường thăng không gian Phẩn III Các bải toán điểm, đường thăng vả mặt phăng Phần IV Mătcầu Phẩn V Các toán hình học không gian giải bàng phương pháp toạ độ không gian bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho 60 dạng toán hình học giải tích không gian thường gặp Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù việc liệt kê toán thay cho đáu mục Thay m ặt nhóm tác giả, xừỉ bày tỏ đđỵ lời cảm ơn đến người học trò m ình Lẽ Bích Ngọc vui lòng nhận kiêm tra lại phán thảo với việc cộng tác viết " Phương pháp giãi Toán Tích phân " Xùi dược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giúp dờ động viên từìh thấn người Thảy mà hàng kmh trọng, gồm: GS TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên Hiệu Trưởng Trường PTTH Hà N ội - Amsterdam, PCS TSKH Đinh Quang Lưu, GS TSK tì Nguyễn Văn Thu người Thày thủa thiếu thời Bấc Ngô Lâm Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng việc tham khảo m ột lượng rât lớn tài liệu naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đ ì giảng dạy cho học sinh m ình từ kiêm nghiệm bô’xung thiếu só t với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện tài liệu này.; thát khó tránh khỏi nhùng thiêu sót nhùng hiểu biết kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất m ong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu bạn đọc gần xa M ọiý kiến xin liên hệ trực tiếp gửi theo địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Mồn Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội Điện thoại: (04) 7196671 E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn lehongduc39(&yahoo.com Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004) Hà nội, ngày ữiắng năm 2003 LÊ HỔNG ĐỨC MỤC LỤC LỜIGIỚI THIỆU MỞ DẦU PHẨN I MẶT PHẢNG Chủ đế Phương trình măt phăng 15 Bài toán Phương trình măt phăng qua điếm cỏ vtpt n 16 Bài toán Phưưng trình mặt phảng qua điểm có vtcp ă b .17 Bài toán Phương trình mặt phăng qua điêYn khỏng thăng hàng 18 Bải toán Phương trình măt phăng theo đoạn chán .19 Chủ để Chuyển dạng phương trình măt phăng 21 Bầi toán Tìm căp vtcp măt phăng 21 Bài toán Bải toán Tìm vtpt mặt phăng 22 Chuyển phương trình tổng quát măt phăng Bài toán dạng tham số 23 Chuyển phương trình tham sô mặt phăng vẻ dạng tông quát 24 Chủ đế Vị trí tương đối hai măt phăng 31 Chù để Chùm mặt phăng 35 Chủ để Khoảng cách từ diêm đến mặt phăng 49 Bải toán Bài toán Khoảng cách hình học từ điểm đến măt phăng 49 Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p) Bài toán khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K 50 Viết phương trình mặt phăng phân giác góc tạo (Pj), (Pị) chứa điêm Mfl góc đối đỉnh với 51 Bài toán Viết phương trình mặt phăng phân giác góc nhị diện 52 PHẨN II ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n Chủ để Phương trình đường thăng 55 Chủ đế Chuyển dạng phương trình đường thăng 59 Bài toán Bàỉ toán Tim vtcp đường thâng (d) cho trước .59 Chuyển dạng phương trinh tổng quát đường thăng Bài toán sang dạng phương trình tham số tắc 60 Cách chuyển dạng phương trình tham số đường thăng sang dạng phương trình tổng quát 61 Chủ để Vị trí tương đối đường thăng mặt phăng 67 Bài toán Vị trí tương đối đường thăng mặt phăng 67 Bài toan Giả sử (d)r\(P)={A| Lâp phương trình đường tháng (d,)) qua A vuông góc với (d) năm mẫt phing (P) 75 Bài toán Chủ đê Bải toán họ đường thăng (đm) 71 Vị trí tương đối hai đường thăng 77 Bàỉ toán ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đôi hai đườnjg thăng 77 Bàỉ toán Bài toản Xét vị trí tương đô'i hai đường thăng 78 Viết phương trình măt phăng (P) song song cách đểu Bài toán hai đường thảng (đ,), (dj) chéo 79 Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai đường thăng song song (dj), (dj) thuộc măt phăng chiứa Bài toán hai đường thăng (dị), ( d j 79 Viết phương trình đường phân giác hai đường thăn$ cắt (dị), (cU) 80 Chủ để Hai đường thăng phăng toán lièn quan 83 Bài toán Bài toán Xác định toạ độ giao điôm hai đường thăng 83 Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng phảng (dt) (dj) 84 Chủ để Hai đường thăng chéo vả toán liên quan 93 Bài toán Bài toán z CMR hai đường thăng chéo 93 Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thăng chéo 94 Bài toán Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo 98 PHẦN IU ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNG w • Chủ để Chủ đế Đường thăng qua điểm cắt hai dường thăng cho trướtc 109 Đường tháng qua điôm vuông góc với hai Chủ để đường thăng cho trước 119 Đường thăng qua điôm vuông góc với đường thãng vả cắt đường tháng khác 123 Chủ để Hình chiêu vuông góc điểm lên mặt phăng .129 Bài toán Tim toạ độ hình chiếu điểm lên măt phăng 129 Bài toán Bài toán Tìm điểm đối xứng điểm A qua măt phăng (P) .129 Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với đường thing cho trước qua mặt phăng cho trước 130 Chủ đ í Hình chỉéíi vuông góc đường thing măt phăng 137 Chủ để Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng 147 Bái toán Tim toạ độ hình chiếu điểm đường thăng; 147 Bái toán Bài toán Tìm điểm đôì xứng điểm A qua đường thing (d ) 147 Xác định phương trình đường thảng đối xứng với đường thăng cho trước qua đường thăng cho trước 147 Chúi đề DiCrn phàn>; 159 Chúi đế Diổm đườn^ t h c l n ^ lf>7 Bài toán Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn tính chất K Bai toán 167 Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,) cho xịt + V\1 + Bai toán nhỏ nhát 168 Cho htii điốm A, Bvá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d) cho MA+MB nho nhát 168 C hủ đê Góc không gian 173 Bài toán Xác định góc hai đưỡnj; thăn^ 173 Bài toán Góc đường thân}' va mặt phănj; 174 Bài toán Xác dinh góc măt piling 175 Chủ để 10 Tam giác không gian 181 PHẦN IV M Ặ TC Ầ U Chủ đế Phương trình cẩu 189 Chủ đê Mặt cầu tiếp xúc với mặt phăng 197 Chủ đê Măt cầu cắt mặt phàng .203 Chủ để Măt cầu tiếp xúc với đường tháng 207 Bài toán Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c) tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước 207 Bài toán Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d) điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») thoả mán điều kiên K 208 Bài toán Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với đường thăng cắt (đj), (d2) cho trướr thoa mãn điổu kiộn K 209 Bải toán Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với đường thăng (đ ,), ( d j song song với cho trước thoà mân điểu kiện K 210 Bài toán Lâp phương trinh mặí cầu (S) tiôp xúc vơi dường thăng chéo (đ |), (d:) cho trước thoà mànđiõu kiộn K 2i2 Chủ để Mặt cầu cắt đường thỉỉng 219 Chu để Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện 223 Chủ đê Măt cầu nội tiếp khối đa điện 231 Chủ đê Vị trí tương đối cùa diêm mặt c ầ u 237 Bài toán Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) điôm A cho trước .237 Bài toán Cho mặt cầu (S) đỏm A khồng trùng với tâm ỉ (S) Tìm toạ độ ỏm M thuộc (S) cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 237 Chù đế Vị trí tương đối đường thăng măt c ầ u 239 Bài toán Xae định vị trí tương đối mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) 239 Báỉ toán Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đỏn (d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ 241 Chủ đế 10 Vị trí tương đối mặt phăng vả mặt cầu 245 Bái toán Xác định vị trí tương đối măt cầu (S) mặt pháng ( P) 245 Bài toán Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách tử M a V- a f'(x)= v => f'(x)=0 c=>v:-2av=0 v=2a (v-ar Bảng biến thiên Vậy MinMN=3a, đạt v=2a => u=2a dễ thây MN qua trung điểm I CjDj Ví du 2: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDAjBjCjDj cạnh đáy băng chiều cao X Tìm X đẽ góc tạo đường thăng BjD măt phăng (B jD jC) đ t giá trị lớn n h â t Giải Chọn hệ trục toạ độ A xyz với B e A x, D g A y Aj€ A z, đó: C ( U ) , (0 ,1 , 0), Bj(l, 0, x), ,(0 ,1 , x) =* B]D (-1 ,1 , x) Gọi n vtpt mặt phăng (BjD jC), ta có: nlC Bj(0-l,x) n (-X, -X, -1) n CD^-lAx) Gọi a góc tạo B,D (I^DjC), ta có: _ Ị BẰ Diư.n _ X D.n I _ s IX x - xX xX I s in a = - - í = —I I H = |B jD |.|n| Vl +1 + x Vx2 + x +1 V2x4 + x + Ta có a đạt giá trị lớn đạt giá trị lớn 5x + Xét hàm số f(x)= ■ x vớix>0 V2x4 + 5x2 + f-(x)= V2x* + 5x2 + - 7xx t x3 + 5x> V2x4+5x2 + 2x4 + 5x2 + 2-2x4 (2x4 + 5x2 + 2)3/2 f (x)=0 o 2-2x4«0 X”1 Bảng biến thiên X I -00 Vậy Max(sũia)“ — , đạt phương có cạnh 292 X=1 o ABCDA,B|CiD, lủ hình lập ( hu tjo 4: ( j u j Im ì l«in t'lK t i 1III hi fill hoc klio n ft ^in n Chú ý c ù n g có the sư d ụ n g bất điìn^ thức CỎSI đê tim CIÚ I i cu thê: Vì x>0 nén: siíìtt= I f “V 2x +5 + \ j5 f V 2x , X- P hướng pháp đuõc sư tiụng ctè hà lời ÙÍU hc i: 77/2? chiều Ccìo củtì lìình lăng ti ụ đê góc tịìo bơi dường t/hliìLỊ B.D 1(1 /;/«M / 'luínẹ (BịDịC) có iỊÙi trị l\ìiìg a clio trước Ví dụ 3: (Tho hình lảng trụ tứ giác ABCDAịBịCịDị cạnh đáy dài gấp đổi chiều cao Điểm M cạnh AB, tìm giá trị lớn nlìât ‘.ủa góc A j M C ] GLu Già sử lãng h ụ có chiểu cao băng a Chọn hệ trục toạ độ Axyz với BeAx, DeAy A]G A z , đó: A|(0, 0, a), Cj(2a, 2a, a) 7> A, Dl / VởiMeABtacó: B, / c, / M(x, 0, 0) với 00 7Ĩ Max A |MC| = — 1 đạt x=a o M(a, 0, 0) trung điểm AB Ví du 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông đường cao AB=a, B 02a, SA=a vuông góc với đáy, có SClBD a Tính AD b Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM=X (0 f(m)=0 » 8m-12a=0 m= — Bảng biến thiên Max(cosa)= ự=r MừiS^ Min(coscx)=—> MaxSj= a 2VĨ5 , đạt 111 = , tức MsA II.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài (ĐH5PI -Khôi B 2001): Cho hình hộp chữ nhật ABCDAjBjCjDjá) AB3^ AD=2a, AAj=a>/2 Tĩửicạnh ADlâyđiémHgậKlà trưngd^BjM Đặt AM=m (0 M A 12 Khi M trung điểm AD m =a suy M ( a , , 0), a Vì (B C C |B j)// (A D D ,Aị) n ê n (BlC'K)m(ADD|A1) = M N / / B 1C / / A , D nôn N trung điểm AAj, N(0, 0, ) va thiết diên BịCM N hình thang cân Ta l ó: Su, = SANB|M + SACBlM = i I [ NB, ,NM ] I + i I [ CBj,CM ] I a2^ + a 2V2 = 3a2>^ h Đe chứng minh đường thăng ta chứng minh d(N, BjM)= BịM tiếp xúc với mặt cầu đường kính AAị Thật vây: đ(N, B.N = = Bài (Đrtsp ViiỶi -Khôi D 20Ơ1): Cho hình lậpphuttìg AB(DA^QDị ạuih a Tiửì cạnhBD BjA lâv điắn M, N saocho BM=BjN=t Gọi a, plầnluựt Lìak' góc tạohởi MNvớicácđuờng thảngBDvà BjA a Tỉnhđộ đài đoạii MMtheoa t Tìmtđê độtỉài MNđạtgiátiịnhỏnhất b Chứng minh rângcosTDrKxxip=l/2 c TỉnhavàpkhiMNđạtgiátrịnhỏnhất BÀI GIẢI Chọn hệ trục toạ độ A xyz với D e Ax, Be Ay Aj€ Az, đó: A(0, 0* 0), B(0, a, 0), C(a, a, 0), D(a, 0, u=v Ta có: MN:~(a-u)2+(u-v)2+v2*2u2-2au+a2*2(u- —)2+ — £ — Vây MinMN® '7 b ' 2 , đat đươc u= — => t* aựĩ ' D, Ta có MN (u-a, 0, u) đó: — ,.H» L a -u I a.MN I # ft I b.MN I I b I I MN I u COSP= i —= r - m J2(2u2 -2au + a2) •N / |.|M N |” ự2(2u2 -2au + a2) Ạ)1 / - M suy ra: 2o_ (a - u)2 , u2 _ cos“oc+cosp= —— ị —z21 -+ - 7— - T" * • 2(2u - 2au + a ) 2(2u2 - 2au+ a 2) c Khi MN đạt giá trị nhò nhâ't u= — đo đó: cosa=cosP* — a=p=60° (OCA),(OAB)làa,bvc a rrìiOẠOB,OCđêthếtíditứđjênOABC đạtgiátiịnhỏnhâí b THiOA,OftOC0 zt Từ cách lấy giao điểm (P) với Ox, Oy, Oz, ta được: A (fS L tM lH , 0,0) => o A - ” ± ÌỊỀÍ , a a act + bp + qr v p aa + bp + cr y a O B g g g + b j + cy p ^ o c j g f bg.+ qr y Ta CÓ: Vqabc" - OA.OB.OO — Í?Ĩ1»>Ì2>Ì < y a(ỈỴ 9abc Vậy MinVOABC=—— , đạt aa=bp=cy, đó: A _ a a + b p +