Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp đề thi và lời giải đề trường Đông ba miền 2015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập...
Đề 01: Câu 1: !"#$%&'(')*#+,%- Ưu điểm: ./%0123425'67!8'23)9:2 .; <1< .=%+>2?2 Nhược điểm: .@2)AB- .,C, .DC,3E, .F 153:%3G Câu 2: Các Phương pháp thông gió trong phòng kín: -HI&6J,K"<'7'L7<626,: MN .&6J,%776 .&6J,%7OC,PQ .=%C,I3&)1),3R<)1)#+, %3E,- .,S&:#2SO-Q2IIT U=& HIV>#W)#<X16C,P - Câu 3: Thông gió qua miệg thổi và hút hợp lí là thỏa mãn các yêu cầu .Y+:,Z2' 3T:9'[425\ .Y:,?44';#+R- .D)1)2;2%C,C,%T]1 J,1202- .V!T^:- .YC,P202_C,P,-1T6%<21 XC,P >3S+2I- .@3 ^NZ'1(E,)1)CZ2P .@+:,_6,]S+- Câu 5: '`aR23O-Q2))1)#,S,6, .b))1)#+,%3E,-Ycc1!3"#+,$1" <C,2)32 ?202"$)1),E :?T6%"$ .,3!X))3- .,,32))1)3T?9- .b)E!)&YS,''6)dX%3 - .b))1)3e11fgG^Ngg_+2 +- 'DX1& .=?T9,& MY9;!&a1Pag6?"<-hij%3+> ^N'2kg))13e11fg,S21f!g#+,%2"# 9 MYl9YG&a_?T6)W,:g3T?^C,hiYS% 3+>RC' hi3e11f"*?9,- .Y9;!m1V]9gW,J,C,9-@?+- .Y92V2%gE2,C,99- 3T?): - .YC,*?92;*?,-,, 32 a-YC,:T?a%)3 #,S,f,Ea;!- Y;,n& o)67TV7 H hpq r Y G h* r Yγ G h'ss$1 p r ps C= r p ps 't $ C kg m γ = GT6,#3 p '*n $ R kg m γ = & r p *t pq pr'q 'n $ * * tb tb R vlv t t t t t C kg m γ + + = = = => = p 'ss 'n r'rpt $ tb N t kg m γ γ γ ∆ = − = − = Hướng tới kỳ thi chọn hsg quốc gia môn Toán 2016 Trần Nam Dũng, Lê Phúc Lữ, Trần Quốc Luật (Tổng hợp giới thiệu) TỔNG HP ĐỀ THI & LỜI GIẢI ĐỀ TRƯỜNG ĐÔNG BA MIỀN 2015 Xin cám ơn chia sẻ thầy Huỳnh Tấn Châu, anh Võ Quốc Bá Cẩn bạn Lê Tạ Đăng Khoa để hoàn thành tài liệu Lời nói đầu Thế tuần kỳ thi chọn HSG cấp quốc gia năm 2016 diễn Kỳ thi năm tổ chức thời điểm thường lệ (trong ngày) mơn Tốn thi vào ngày 06-07/01/2016 Thời gian vừa qua, đội tuyển khắp nước tích cực ơn luyện, chuẩn bị hành trang kiến thức lẫn kỹ làm thi để mang kết tốt Song song với buổi bồi dưỡng lớp, địa phương chung tay tổ chức lớp học tập trung gồm học sinh đến từ nhiều tỉnh khác mà quen gọi “trường Đơng Tốn học” Chương trình Trường Đơng năm khởi đầu TP.HCM (từ ngày 22-29/11/2015) trải dài nhiều tỉnh từ Bắc vào Nam, địa điểm bật là: Hà Nội, TP Vinh, Phú n, TP.HCM trường Đơng Viện Tốn Trong trường thế, học sinh đội tuyển trải nghiệm tâm lý thi cử thực với đề thi thử gồm ngày, theo cấu trúc đề thi hàng năm Những đề thi hay, giá trị xem nguồn tài liệu hữu ích cho thí sinh giai đoạn ơn luyện Nhằm chia sẻ với bạn học sinh, q thầy nguồn tài liệu đó, chúng tơi dành thời gian tổng hợp, biên tập bình luận đơi chút tốn đề thi Hy vọng cố gắng giúp ích phần nhỏ cho bạn học sinh đóng góp nguồn tài liệu tham khảo cho q thầy q trình bồi dưỡng HSG TP.HCM, chiều cuối năm 31/12/2015, Ban biên tập Danh sách tác giả toán A Trường Đơng Hà Nội 1) Phạm Tiến Kha 2) Trần Quang Hùng 3) Dương Đức Lâm 4) Trần Nam Dũng (sưu tầm từ sách Nga) 5) Trần Nam Dũng (sưu tầm từ tài liệu 2001) 6) Trần Quang Hùng 7) Trần Nam Dũng B Trường Đơng Bắc Trung Bộ 1) Lê Xn Sơn 2) Trần Quốc Luật 3) Trần Quang Hùng 4) Đậu Hồng Hưng 5) Trần Nam Dũng (sưu tầm từ sách Nga) 6) Nguyễn Văn Nhiệm 7) Trần Nam Dũng (sưu tầm từ sách Nga) C Trường Đơng miền Nam 1) Huỳnh Phước Trường 2) Nguyễn Văn Huyện 3) Lê Thị Minh Thảo 4) Lê Tạ Đăng Khoa 5) Trần Nam Dũng 6) Phạm Tiến Kha 7) Tống Hữu Nhân Trường Đơng Nam Trung Bộ trường Đơng Viện Tốn: thầy Huỳnh Tấn Châu, Vũ Thế Khơi, Hà Duy Hưng, Trần Quang Hùng, Võ Quốc Bá Cẩn nhiều thầy khác đề nghị Do chúng tơi khơng nắm cụ thể thơng tin nên khơng thể giới thiệu được, mong q thầy em học sinh thơng cảm Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đề số Đề thi trường Đơng miền Bắc (Hà Nội) Đề thi ngày Bài (5 điểm) Tìm tất hàm số f : thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) f (x y) f ( x y) f ( x y) yf ( y) với ii) lim x0 x, y ; f ( x) x Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp ( I ) tiếp xúc AC , AB E , F Gọi G , H theo thứ tự điểm đối xứng với E , F qua I Giả sử GH cắt BC P Các điểm M , N thuộc IP cho CM vng góc với IB BN vng góc với IC Chứng minh I trung điểm MN Bài (5 điểm) Chứng minh với số thực khơng âm a, b, c , khơng có hai số đồng thời ta có bất đẳng thức a b c b c a c a b 8abc 2 2 a bc b ca c ab a bb cc a Bài (5 điểm) Trên bàn cờ 88 , ta đặt qn xe màu xanh, đỏ, vàng cho qn xe khác màu khơng ăn Hỏi đặt tối đa qn xe biết số qn xe màu giống nhau? Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đề số Đề thi trường Đơng miền Bắc (Hà Nội) Đề thi ngày Bài (6 điểm) Dãy đa thức Pn ( x, y, z ) xác định sau: P0 ( x, y , z ) Pn1 ( x, y, z ) ( x z )( y z ) Pn ( x, y, z 1) z Pn ( x, y , z ), n Chứng minh Pn ( x, y, z ) đa thức đối xứng với n Bài (7 điểm) Cho tam giác ABC cân A có P nằm tam giác cho BPC 180A Các đường thẳng PB , PC cắt CA, AB E , F Gọi I , J tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B, C tam giác ABE ACF Gọi K tâm ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh KI KJ Bài (7 điểm) Tìm tất số ngun dương k cho phương trình x (k 4) y 24 có nghiệm ngun dương Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đáp án đề số Đề thi trường Đơng phía Bắc Đề thi ngày Bài (5 điểm) Tìm tất hàm số f : thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) f (x y) f ( x y) f ( x y) yf ( y) với ii) lim x0 x, y ; f ( x) x Lời giải Giả sử với x f ( x ) Ta thấy điều khơng thỏa ii) chẳng hạn xét dãy số ( xn ) xác định xn 2n rõ ràng xn 0, n xn , nhiên ta ln có f ( xn ) 0, n nên lim n f ( xn ) 0 xn Từ suy điều giả sử sai, tức phải tồn x0 cho f ( x0 ) Đặt f (0) a , ta chứng minh a Trong i), thay x y , ta có: a f (2 y ) f (2 y ) yf ( y ) với y hay a f (2 x) f (2 x ) xf ( x), x Trong i), tiếp tục thay y x, ta có: a f (2 x) f (2 x) xf (x ) So sánh đẳng thức trên, ta thấy xf ( x) 4 xf (x), x Do x f ( x) f (x ) , suy f hàm số lẻ Trong i), thay x y x 3y , ta có: Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 f (2 y ) af (4 y ) yf ( y ) f (2 y ) af (4 y ) yf ( y ) Tiếp tục thay vào đẳng thức y x0 , ý x f (2 y ) f , f (2 y ) x x f f Suy f (2 y ) f (2 y ) Do đó, ta phải có: af (4 y) af (4 y) af ( x0 ) af (x0 ) af ( x0 ) af ( x0 ) af ( x0 ) Vì f ( x0 ) nên a , ta có được: f (2 y ) yf ( y ), y f (2 y ) f ( y) Do đó, ...1 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ CỦA VIỆT NAM TỪ NĂM 2005 ĐẾN NĂM 2010 2 PHẦN I ***** ĐỀ BÀI 3 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2005 *Ngày thi thứ nhất. Bài 1. Cho tam giác ABC có (I) và (O) lần lượt là các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) trên các cạnh BC, CA, AB. Gọi , , A B C ω ω ω lần lượt là các đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn (I) và (O) lần lượt tại các điểm D, K (với đường tròn A ω ); tại E, M (với đường tròn B ω ) và tại F, N (với đường tròn C ω ). Chứng minh rằng: 1. Các đường thẳng , , DK EM FN đồng quy tại P. 2. Trực tâm của tam giác DEF nằm trên đoạn OP. Bài 2. Trên một vòng tròn có n chiếc ghế được đánh số từ 1 đến n. Người ta chọn ra k chiếc ghế. Hai chiếc ghế được chọn gọi là kề nhau nếu đó là hai chiếc ghế được chọn liên tiếp. Hãy tính số cách chọn ra k chiếc ghế sao cho giữa hai chiếc ghế kề nhau, không có ít hơn 3 chiếc ghế khác. Bài 3. Tìm tất cả các hàm số :f → ℤ ℤ thỏa mãn điều kiện: 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) f x y z f x f y f z + + = + + *Ngày thi thứ hai. Bài 4. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 8 a b c a b b c c a + + ≥ + + + trong đó , , a b c là các số thực dương. Bài 5. Cho số nguyên tố ( 3) p p > . Tính: a) 1 2 2 2 1 2 2 p k k k S p p − = = − ∑ nếu 1 (mod 4) p ≡ . b) 1 2 2 1 p k k S p − = = ∑ nếu 1 (mod8) p ≡ . Bài 6. Một số nguyên dương được gọi là “số kim cương 2005” nếu trong biểu diễn thập phân của nó có 2005 số 9 đứng cạnh nhau liên tiếp. Dãy ( ) , 1,2,3, n a n = là dãy tăng ngặt các số nguyên dương thỏa mãn n a nC < (C là hằng số thực dương nào đó). Chứng minh rằng dãy số ( ) , 1,2,3, n a n = chứa vô hạn “số kim cương 2005”. 4 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2006 * Ngày thi thứ nhất. Bài 1. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Đường phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại điểm K. Chứng minh rằng đường thẳng HK đi qua trung điểm của BC. Bài 2. Hãy tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( ) ; n k với n là số nguyên không âm và k là số nguyên lớn hơn 1 sao cho số : 2006 2 5 17 4.17 7.19 n n n A = + + có thể phân tích được thành tích của k số nguyên dương liên tiếp. Bài 3. Trong không gian cho 2006 điểm mà trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Người ta nối tất cả các điểm đó lại bởi các đoạn thẳng. Số tự nhiên m gọi là số tốt nếu ta có thể gán cho mỗi đoạn thẳng trong các đoạn thẳng đã nối bởi một số tự nhiên không vượt quá m sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất kì trong số các điểm đó đều có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại gán bởi số lớn hơn hai số đó. Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất. * Ngày thi thứ hai . Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số thực , , [1;2] x y z ∈ , ta luôn có bất đẳng thức sau : 1 1 1 ( )( ) 6( ) x y z x y z x y z y z z x x y + + + + ≥ + + + + + . Hỏi đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào ? Bài 5. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Một đường thẳng d thay đổi sao cho d luôn vuông góc với OA và luôn cắt các tia AB, AC. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d và các tia AB, AC. Giả sử các đường thẳng BN và CN cắt nhau tại K; giả sử đường thẳng AK cắt đường thẳng BC. 1. Gọi P là giao của đường thẳng Đề thi XSTK cho VB2 ngày 19-06-09: Đề thi XSTK ngày 19-04-09: Đáp án: Đề thi XSTK cho SV K10 đợt 2-2008 (chữ ư bị lỗi khi convert -> Sorry) Đáp án tóm tắt: Câu 1: Gọi A là biến cố "Người đó không tìm thấy chìa khóa" H 1 là biến cố "Chùm chìa khóa rơi ở cơ quan" P( H 1 )=0,6 H 2 là biến cố "Chùm chìa khóa rơi ở nhà" P( H 2 )=0,4 P( A/H 1 )=0,7; P( A/H 2 )=0,2 a) Theo CT xác suất đầy đủ P(A)=0,6.0,7+0,4.0,2=0,5. Theo CT xác suất Bayes P( H 1 / A)=0,42 / 0,5 =0,84. b) Gọi B là biến cố "Người bạn không tìm thấy chìa khóa ở cơ quan" Tính P( H 1 / AB)= P(H 1 AB) / P(AB) Mà P(AB)=P(H 1 AB)+P(H 2 AB) P(H 1 AB)= P(H 1 )P(A/H 1 )P(B/AH 1 )=0,6.0,7.0,7=0,294 P(H 2 AB)= P(H 2 )P(A/H 2 )P(B/AH 2 )=0,4.0,2.1=0,08 suy ra P( H 1 / AB)= P(H 1 AB) / P(AB)= 0,786 Câu 2: Gọi X là thời gian đi từ nhà đến trường của SV Bình a) Từ P(X>20)=0,65 và P(X>30)=0,08 tính được TG trung bình là 22,17phút và độ lệch là 5,56 phút b) Tính P(X>25)= =0,305. c) Gọi m là TG cần tìm thì P(X>m)<0,02 suy ra m> 33,62 phút. Câu 3: Trung bình mẫu là: 499,54 và độ lệch chuẩn mẫu s=2,3545 a) Ước lượng kỳ vọng toán bằng khoảng tin cậy đối xứng : (499,078; 500,002) b) Ước lượng tỷ lệ p bằng khoảng tin cậy bên trái: p< 0,4811. Suy ra số gói bị đóng thiếu tối đa là 481 gói. c) Kiểm định giả thuyết : H 0 Trung bình = 500 ; H 1 Trung bình < 500 Miền bác bỏ: W=(-∞; -1,645), Giá trị quan sát Tqs=-1,953 Kết luận: Đường bị đóng thiếu. Đề thi XSTK cho SV học lại Đáp án và hướng dẫn: Câu 1: Gọi A là biến cố "Lấy được 2 viên bi cùng màu" B là biến cố "Lấy được viên bi màu xanh" H 1 là biến cố "Bi của hộp 1" H 2 là biến cố "Bi của hộp 2" a) Ta có P(H 1 )=P(H 2 )=0,5 P(A/H 1 )= 28/105+21/105 = 7/15 và P(A/H 2 )= 15/105+36/105=17/35 Theo CT xác suất đầy đủ P(A)=7/30+17/70=10/21. b) Ta có P(H 1 )=1/16; P(H 2 )=15/16 P(B/H 1 )= 7/15 và P(B/H 2 )= 9/15 Theo CT xác suất Bayes P(H 1 /B)=7/142. Câu 2: a) Tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành: P(X<980)=0,5-0,4772=0,0228. b) Gọi Y là số sản phẩm phải bảo hành trong 3 sản phẩm. Y có phân phối B(n,p) với n=3, p= 0,0228. Ta có P(Y>=1)=1-P(Y=0)=1-0,9772^3=0,0668. c) Gọi Z là tiền lãi trung bình khi bán được 1 sản phẩm. Ta thấy: Z = 50000đ với XS là 1-0,0228=0,9772 Z = -450000đ với XS là 0,0228 Suy ra E(Z)=50000.0,9772-450000.0,0228=38600đ Câu 3: a) Ước lượng kỳ vọng toán với khoảng tin cậy bên phải. b) Kiểm định giả thuyết về tham số p với H 1 : p> p 0 c) Bài toán phân phối nhị thức. Đề thi MHT cho SV khóa 10 đợt 2 Đáp án tóm tắt: Câu 1: Gọi x j là số đơn vị hàng H j cần sản xuất, j=1,2,3. Ta có bài toán f(x)=70x 1 + 90x 2 +50x 3 > max Với các điều kiện: 5x 1 + 4x 2 +2x 3 <=2100 [...]... góc với BC và M là trung điểm của ST Chứng minh rằng khi E , F thay đổi thì đường thẳng GM luôn đi qua một điểm cố định 34 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đề số 3 Đề thi trường Đông phía Nam Trung Bộ (Phú Yên) Đề thi ngày 2 Bài 5 (7 điểm) Cho 2015 tập hợp, mỗi tập hợp có 45 phần tử Biết rằng hợp của hai tập hợp tùy ý thì có 89 phần tử Hỏi hợp của tất cả các tập hợp nói trên chứa bao nhiêu... số 2 Đề thi trường Đông phía Bắc Trung Bộ Đề thi ngày 2 Bài 5 (6,0 điểm) Trong một giải bóng đá có n > 4 đội bóng thi đấu vòng tròn 1 lượt, tức là hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng 1 trận Thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua 0 điểm Vào cuối giải người ta nhận thấy rằng tất cả các đội đều có điểm số bằng nhau Chứng minh rằng có 4 đội bóng có cùng số trận thắng, số trận hòa và số trận thua Lời giải. .. nhất các tập hợp con 3 phần tử của tập hợp Sn 1,2,3, , n sao cho tập hợp con gồm 4 phần tử tùy ý của Sn luôn chứa ít nhất một trong các tập hợp con 3 phần tử này 1) Xác định t6 1 2) Chứng minh rằng tn Cn3 4 21 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đề số 2 Đề thi trường Đông phía Bắc Trung Bộ (TP.Vinh) Đề thi ngày 2 Bài 5 (6,0 điểm) Trong một giải bóng đá có n > 4 đội bóng thi đấu vòng... Trong lời giải trên, BĐT GX VX 7 hoặc GX VX 6 đều có thể kiểm tra trực tiếp bằng cách xét các trường hợp Tuy nhiên, nhờ sự tương quan giữa hàng – cột trong bàn cờ, đánh giá tích như ở trên lại được thấy rõ hơn (nếu có 1 số bằng 1 thì số kia phải bằng 7, nếu có 1 số bằng 2 thì 1 trong 2 số kia phải ít nhất là 4, …) 13 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đáp án đề số 1 Đề thi trường Đông. .. 22 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đáp án đề số 2 Đề thi trường Đông phía Bắc Trung Bộ Đề thi ngày 1 Bài 1 (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f : 0; 0; thỏa mãn f xf ( x) 1 2 3 với mọi số thực x 0 f ( x ) xf ( x) Lời giải Phương trình đã cho được viết thành xf ( x) f xf ( x) xf ( x) 2 x 3, x 0 Đặt xf ( x) h( x), x 0 ta được h( x) 0, x 0 và h h( x) ... với một đường tròn cố định khi A thay đổi lần lượt thuộc OB , OC sao cho OB OC 35 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đáp án đề số 3 Đề thi trường Đông phía Nam Trung Bộ Đề thi ngày 1 Bài 1 (5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng 1 1 1 3 a ab b bc c ca 2abc Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2bc 2ca 2ab 3 a a b b b c c c a Đặt x... là một ứng dụng thú vị của định lý thặng dư Trung Hoa Bước đầu tiên kiểm tra với hợp số thì khá rõ, đến số nguyên tố thì cần xử lý nhiều hơn, khai thác tính có nghiệm của các hệ phương trình đồng dư để chỉ ra phản ví dụ 33 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đề số 3 Đề thi trường Đông phía Nam Trung Bộ (Phú Yên) Đề thi ngày 1 Bài 1 (5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng 1 1... m 2 2 3n m 2 n1 1 (VN TST 2011) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho A 2 n2 (2 n 1) 8 3n 1 là một số chính phương 20 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 Đề số 2 Đề thi trường Đông phía Bắc Trung Bộ (TP.Vinh) Đề thi ngày 1 Bài 1 (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f : 0; 0; thỏa mãn f xf ( x) 1 2 3 với mọi số thực x 0 f ( x ) xf ( x) Bài 2 (5,0 điểm)... FN AC và FBN = EBC Gọi BM cắt CN tại P Chứng minh rằng điểm P luôn thuộc một đường thẳng cố định khi các điểm E , F di chuyển Lời giải T A S E F O K N L P M B C Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi CF , BE lần lượt cắt (O ) tại S , T khác C , B Gọi CM , BN lần lượt cắt AB , AC tại K , L Từ đề bài ta có CBL = TBA , lại từ góc nội tiếp ta có LCB = ATB Từ đó, ta có BAT BLC... ta có t6 6 27 Hướng tới kỳ thi HSG cấp quốc gia năm 2016 2) Do t4 1 và t n không thay đổi khi thay Sn bởi tập hợp gồm n phần tử tùy ý nên ta sẽ 1 chứng minh tn Cn3 bằng quy nạp 4 1 Với n 4 thì t4 C43 4 1 1 Giả sử tn Cn3 đúng với n 4 , ta sẽ chứng minh tn1 Cn31 4 4 Xét họ tn1 các tập hợp các tập hợp 3 phần tử thỏa mãn điều kiện đầu bài là một tập hợp 4 phần tử tùy ý luôn chứa một