Qua Tang Dac Biet De So 25 Mon Toan Megabook

ĐỀ SỐ 25 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x2 (C) x1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Giả sử d tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  , tìm giá trị lớn khoảng cách từ giao điểm I hai tiệm cận đến đường thẳng d Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  sin x  cos x 1  cos x   6cos2 x  sin x  sinx  xcosx dx 2  4sin x  x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I   Câu (1,0 điểm)   a) Giải phương trình log  x    log x2  x  b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện iz  1  3i  z z 1 i Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z   đường x y 1 z 2   Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d , cách mặt phẳng  P  1 đoạn thẳng độ dài cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến đường trịn có bán kính thẳng d : Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB  AD  a , AA '  a góc BAD  600 Gọi M , N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC ’ vng góc với mặt phẳng  BDMN  tính thể tích hình chóp A.BDMN Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác vuông ABC vuông A , đường thẳng AB đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác có phương trình 4x  3y   x  y   Điểm E 10;  thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC  y2  y2  x  2x  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x, y  x   y   2x   Câu (1,0 điểm) Cho x , y số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2  y  2x   x2  y  2x   y  HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác định: D  R / 1 - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y '    x  1 y '  0, x   ; 1  1;   , suy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  1;   + Cực trị: Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn: lim y  1; lim y  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  x  x  lim y  ; lim y   đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 x 1 x 1 + Bảng biến thiên x 1   y' y     - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm  2;  + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm  0;  + Đồ thị hàm số giao điểm I  1;1 hai tiệm cận làm tâm đối xứng  1      3 + Đồ thị hàm số qua điểm  3;  ,   ; 1  ,   ;  ,  1;  2       2 - Vẽ đồ thị: Câu 1.b Ta có y '    x  1  C  có giao tiệm cận là: I  1;1  x 2 Giả sử M  x0 ;  thuộc  C  ( x0  1 ), tiếp tuyến  C  tạic M có phương trình: x0    d:y  x  1 x0  2  x   x0  1 y   x0  1 x0    1 x  x   x Khoảng cách từ I đến d : d  I; d   x0   x0  1 x0    x0  1 x0   x0  12   x0  1 x0     x0  1  x Mà x  1   x0  1  2; x0  1  d  I; d   2 Dấu = xảy x  1 2  1   x0  1  x    x0  1   x0  1     x0  2 Vậy khoảng cách lớn từ I tới tiếp tuyến d là: d  M; d max  Nhận xét: Hướng giải: Tìm giao điểm hai tiêm cận I , lập phương trình tiếp tuyến tai điểm M   C  tính khoảng cách từ I tới tiếp tuyến Nhắc lại kiến thức phương pháp:      -Phương trình tiếp tuyến hàm số y  f  x  điểm Q xQ ; yQ  y  f  x  : y  f ' xQ x  xQ  yQ  x 2 - Tham số hóa điểm M  x0 ;   C  với x0  viết phương trình tiếp tuyến viết M x0    - Tính khoảng cách từ điểm I  1;1 tới tiếp tuyến -Sử dụng bất đẳng thức AM  GM , ta có a, b  : a  b  ab  d  I ; d   Bài toan kết thúc Bài tập tương tự: 2x Giả sử d tiếp tuyến đồ thị Tìm khoảng cách lớn từ tâm x2 đỗi xứng tới  d  Đáp số: Max  a Cho hàm số y  2x  Viết phương trình tiếp tuyến hàm số khoảng cách từ tâm đối x 1 xứng tới tiếp tuyên lớn Đáp số: y  x  5; y  x  b Cho hàm số y    Câu Phương trình tương đương với  sin x  cos x   2cos x  cos2 x  3cos x  sin x    3sin x  8sin x cos x  4sin x cos x  cos x  8cos2 x  4cos x    3sin x  2sin x cos x  4cos x  6cos x  2cos x  3cos x  4sin x cos x  6sin x cos x  2cos x     2cosx   sin x  cos x  cos x  sin x    cos x       π k2  sin x  cos x  cos x  sin x   sin  x     sin  2 x      x      4 4     x    k 2 π k2π ; x    k 2; k  Phương trình có nghiệm: x    Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử vận dụng cơng thức lượng giác Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Sử dụng công thức hạ bậc  cos2a  2cos2 a;1  cos2a  2sin a  2cos x   -Khai triển phương trình nhóm nhân tử chung   sin x  cos x  cos x  sin x    - Công thức lượng giác sin a  cos a  sin  a    sin x  cos x  cos2x  sin2x  trở thành 4      sin  x    sin  2 x   4 4    x    k 2 - sin x  sin     k  Z  x      k 2 Bài tập tương tự:  2 7 2  k ;x  k 18 54  4 2 b Giải phương trình sin x  cos x  tan x  3cot x Đáp số: x    k; x  k a Giải phương trình 3sin 3x  cos9x   4sin 3x Đáp số: x   Câu I    2cosx  1 2cosx  dx   dx  2sinx  x  2sinx  x     d  2sinx  x  d  2sinx  x     2sinx  x  2sinx  x 4 2sinx  x  ln 2sinx  x           ln        Nhận xét: Bản chất toán tách tử biểu thức dấu tích phân theo đạo hàm mẫu Nhắc lại kiến thức phương pháp: 1 -Xét tử biểu thức tích phân: sin x  x cos x   2cos x  1 2sin x  x    2cos x  1 2sin x  x  4 Sử dụng đẳng thức a2  b2   a  b  a  b  ta có mẫu biểu thức dấu tích phân viết lại dạng 4sin2 x  x2   2sin x  x  2sin x  x  -Nhận thấy  2sin x  x'   2cos x  1 ;  2sin x  x'   2cos x  1 nên tích phân có dạng u'  u du  ln u  C Bài tập tương tự: e a Tính tích phân I  2ln x  ln x dx Đáp số: I  ln  e  1  x  x  ln x   e b Tính tích phân I   Câu 4.a Điều kiện x  ln x   ln x x  ln x  dx Đáp số: I    72 Phương trình tương đương log x2  4x   log x2  4x   t   3z 2 1 Đặt t  x2  4x   ; ta log t   log t  z nên  , z   3z        (1) z  3 3 t  z z z z 2 1 Vì      nghịch biến ℝ nên (1) có nghiệm z   3 3 x   z   log t   x  x      x    l  Phương trình có nghiệm: x   Nhận xét: Bài toán giải phương trình logarit với phép đặt ẩn phụ phương pháp hàm số Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Sử dụng công thức log an b  log a b; n log a b  log a bn chuyển đổi phương trình n -Đặt ẩn phụ t  x  4x   log t   log t -Sử dụng ẩn phụ với log t   log t  z z z 2 1 -Hàm số f  z        nghịch biến R nên có nghiệm  3  3 - Kiểm tra điều kiện ta nghiệm phương trình Bài tập tương tự: log x  a Giải phương trình    x Đáp số: x    b Giải phương trinh log  x  log7 x Đáp số: x  343 Câu 4.b Gọi z  a  bi  a ,b  Ta có iz  1  3i  z z    a  4b   b  a  i  a2  b2 1 i 1 i  a  4b   b  a  i    i     a2  b2  3a  3b   5b  a  i  a  b2  45 3a  3b  a  b2 a   26 26b2  9b  a        b  a  b  b  a       b  26  45 Vậy có số phức cần tìm: z  z    i 26 26 Nhận xét: Bài tốn tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước, ta đặt số phức z cần tìm thay vào điều kiện cho Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Đặt z  a  bi  a, b  R   -Thay vào biểu thức   iz    3i  z z 1 i - Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương tứng Bài tập tương tự: 15  10i a Tìm số phức z thỏa mãn z  z    i    i  Đáp số: z  b Tìm số phức z thỏa mãn z3  18  26i Đáp số: z   i  x  t  Câu Đường thẳng  có phương trình tham số  :  y  1  2t z   t  Gọi I  t; 1  2t;  t   tâm mặt cầu Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng  P  khoảng nên, ta có d I;   2t   2t   2t  6t    t  3 t       17  Suy có hai tâm mặt cầu I   ; ;  , I  ;  ;   7  3 3  Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính nên mặt cấu có bán kính 2 2 2   2  1  8 7  17   1 Phương trình mặt cầu là:  x     y     z    25;  x     y     z    25 3  3  3 3    3   Nhận xét: Để viết phương trình mặt cầu ta tìm tâm mặt cầu bán kính mặt cầu sử dụng phương pháp tọa độ hóa điểm cơng thức tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  tâm I theo đường trịn  C  có mối liên hệ bán kính với khoảng cách tâm I tới  P  : d2  I ; P   RS2  R2C  -Khoảng cách từ điểm Q tới mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d  d Q; R   axQ  byQ  czQ  d a2  b2  c Áp dụng cho tốn: - Tham số hóa tọa độ điểm I  Do I cách mặt phẳng  P  khoảng  d  I ; P    I - Sử dụng cơng thức tính RS  R2C   d2  I ; P   RS Với tâm bán kính ta viết phương trình mặt cầu thỏa mãn Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: x 1 y 1 z 1   a Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  d  : Viết phương trình mặt cầu 2 S  có tâm I 1;0; 3 cắt d hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB vuông I Đáp số:  x  1  y   z    40 b Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;0;  , B  0;1;0  , C  2;0;0  Gọi H trực tâm tam 2 giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm H tiếp xúc với trục Oy 2  1  2  1 Đáp số:  x     y     z    3  3  3  Câu Gọi I tâm đáy ABCD , S điểm đối xứng A qua A ' Khi S, M , D thẳng hàng; S, N , B thẳng hàng M , N trung điểm SD SB Từ giả thuyết ta suy ABD đều, AO  a  AC  a CC '  AO Ta có OAS  C ' CA  900 Suy AOS  CC ' A  c.g.c   AC '  SO (1) Vì BD  AC , BD  AA' suy BD   ACC ' A '   BD  AC ' (2) Từ (1) (2) suy AC '   BDMN  S  MN  3 Ta có SMN      SBDMN  SBDS  VA BDMN  VS ABD SSBD  BD  4 1 1 a a3 a  Ta có VSABD  SA.SABD  a AO.BD  a 3 2 (đvtt) 3a (đvtt) 16 Nhận xét: Ta tính trức tiếp thể tích khối chóp thơng qua cơng thức thể tích nhiên ta sử dụng phương pháp sử dụng tính thể tích thơng qua tỉ số thể tích Vậy VA BDMN  Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Chứng minh đường thẳng  d  vng góc với mặt phẳng  d    d1  ,  d    d2  với  d1  ,  d2       ta chứng minh -Cơng thức tính thể tích khối chóp V  B.h với B diện tích đáy, h chiều cao - Chứng minh AC '   BDMN  : AC '  SO; AC '  BD  AC '   BDMN  S  MN  3 -Sử dụng tỉ số diện tích SMN      SBDMN  SBDS  VA.BDMN  VS ABD SSBD  BD  4 Bài tập tương tự: a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA  a, SB  a mặt phẳng SAB  vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB,BC Tính thể a3 b Cho hình chóp S.ABC mặt bên tam giác vuông, SA  SB  SC  a Gọi N , M , E trung điểm AB, AC , BC , gọi D điểm đối xứng S qua E Giả sử AD cắt mặt tích khối chóp S.BMDN Đáp số: VS.BMDN  phẳng SMN  I Tính thể tích khối tứ diện MBSI Đáp số: VM BSI  a3 36 4 x  y    A  1;1 Câu Tọa độ điểm A nghiệm hệ  7 x  y   Gọi F điểm thuộc AM cho EF / / AB Suy EF có phương trình 4x  3y  49  Vì F thuộc 4 x  y  49   F 1;15  AM nên tọa độ điểm F nghiệm hệ  7 x  y   Đường trung trực d EF có phương trình 6x  y  39  Do MAB cân M , nên MEF cân M Suy d qua trung điểm H AB trung điểm M BC 6 x  y  39   9  M ;  Tọa độ M thỏa mãn hệ   2 7 x  y   Ta có BC  2BM , suy C  3;  4 x  y     Tọa độ H thỏa mãn hệ   H   ;  Ta có AB  AH , suy B  4;    6 x  y  39  Vậy A  1;1 , B  4; 5 ,C  3;  Nhận xét: Bài toán thuộc lớp giải tam giác Ta tìm họ đường thẳng chứa điểm A, B, C Lấy giao đường thẳng có điểm chung tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm P  a; b  nhận   n  ;       :   x  a    y  b    x  kx2 -Kiến thức vector : Cho hai vector u  x1 ; y1  , v  x2 ; y2   u  kv     y1  ky2 Áp dụng cho toán:  A  AM - Tọa độ điểm A nghiệm hệ   A  AB  F  EF - Gọi F  AM thỏa mãn EF / / AB  EF  F nghiệm hệ   F  AM -Viết phương trình trung trực EF d qua trung điểm H AB; M BC nên tọa độ M thỏa  M  BC hệ  Sử dụng tính chất vector BC  2BM  C , AB  AH  B  M  AM Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC Đường cao kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ B, C có phương trình x  y   0; x  y   0; x   Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Đáp số: A  5;1 , B  3; 1 , C 1;  b Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A Phương trình BC : x  3y   , đường cao hạ từ B : x  3y   Đường cao qua đỉnh C qua điểm M  3;  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Đáp số: A 1;0  , B  2; 1 , C  2;  Câu Điều kiện x  y2  y2   20 x x  y2    1 (vn)  y2  x   2 0   x y  2     y   4x   x Phương trình thứ tương đương với  y2        x   Thế y   4x  vào phương trình thứ hai, ta 4x   2x   a  x  1; a    a  a  b  a   b Đặt  Khi hệ phương trình trở thành    3  a  2b    2b  b  2b  b  b  x    x   4 x   a  1  x y0 Với  , ta  b   x   2 x   1  Hệ phương trình có nhiệm:  x; y    ;  2  Nhận xét: Hướng giải: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử đặt ẩn phụ Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Từ phương trình thứ hệ khó tìm mối quan hệ x , y Ta xét phương trình thứ phân tích - Phương trình thứ hệ coi ẩn t  y2  giải phương trình ẩn t ta có  y   4x  x 4x   2x   Với phương trình vơ tỉ - Thay y   4x  vào phương trình thứ ta bản, chọn phương pháp sử dụng ẩn phụ a  4x  1; b  2x  Ta tìm nghiệm hệ phương trình Lưu ý: Ta sử dụng phương pháp nhận lượng liên hợp hàm số để giải phương trình 4x   2x   Bài tập tương tự: a Giải phương trình x3  8x2  32x  5x2 x    x  4  Đáp số: x   17 ;x    x  y   x  y   x  y  b Giải hệ phương trình  Đáp số:  x; y   1;  ;  3; 1 2  x  y  xy  22 Câu Xét điểm M 1  x; y  , N  x  1; y  Ta có OM  ON  MN   x  1  y2   x  1  y2   4y2   y2 Do f  y    y  y   P  Với y   f  y    y    y   f '  y   2y  y2  1 y   Khi f '  y    y   y   y  4 y  y  Ta có bảng biến thiên y 3  f ' y  f  y   2 Với y   f  y    y  y    y    P   3 Do P nhỏ  , x  y  Nhận xét: Bài tốn tìm giá trị nhỏ sử dụng bất đẳng thức vector dồn biến y kết hợp xét hàm số Vậy P   với x , y Khi x  y  Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác sử dụng bất đẳng thức vector Cho hai vector a  u1 ; v1  , b  u2 ; v2   a  b  a  b  u12  v12  u22  v22  u1  u2    v1  v2  Nhận thấy biểu thức P có y  độc lập biến y nên ta chuyển giá trị nhỏ biểu thức theo biến y - Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức vector cho hai vector a 1  x; y  , b 1  x; y   a  b   2; y  (Chọn cặp 1  x;1  x  1  x   y2  cộng 1  x  tọa độ vector rút gọn cịn theo biến y) ta có  y2   y2 - Để tìm giá trị nhỏ P ta tìm giá trị nhỏ hàm số f  y    y  y  ; y Bài tập tương tự: a Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc Chứng minh a  2b b  2c c  2a2    ab bc ca b Chứng minh với số thực a , b ta có a2  b2  2a  2b  37  a2  b2  6a  6b  18  - Hết Megabook chúc em học tốt 10 ... 1  8 7  17   1 Phương trình mặt cầu là:  x     y     z    25;  x     y     z    25 3  3  3 3    3   Nhận xét: Để viết phương trình mặt cầu ta tìm... 16 Nhận xét: Ta tính trức tiếp thể tích khối chóp thơng qua cơng thức thể tích nhiên ta sử dụng phương pháp sử dụng tính thể tích thơng qua tỉ số thể tích Vậy VA BDMN  Nhắc lại kiến thức phương... tam giác ABC cân A Phương trình BC : x  3y   , đường cao hạ từ B : x  3y   Đường cao qua đỉnh C qua điểm M  3;  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Đáp số: A 1;0  , B  2; 1 , C  2; 