phương trình lượng giác (chương 1 toán 12)

Tài liệu được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa toán 12.tài liệu tổng hợp công thức và sơ đó tư duy cho từng bài,tóm tắt kiến thức một cách rõ ràng,ngắn gọn,tài liệu tóm tắt kiến thức ngắn gọn nhưng vô cùng rõ ràng và đầy đủ giúp học sinh dễ hiểu dễ tiếp nhận thông,tài liệu được trình bày theo từng bài theo chương trình chuẩn của sách toán 12, tin,tài liệu phù hợp cho người dạy thêm

ÔN TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC sin α = OK , cosα =OH, 1/ Định nghĩa : tan α = sin α cos α , cos α ≠ cot α = ,sin α ≠ cos α sin α , 2/Tính chất : cos (α +k2 π ) = cos α , sin ( α + k2 π ) = sin α tan ( α +k π )= tan α , cot ( α + k π )= cot α ( k số nguyên) -1 ≤ cos α ≤ , - ≤ sin α ≤ 3/ Giá trị lượng giác cung đặc biệt • • • α sin cot π π π π α 2 α 2 2 α α KXĐ cos tan cos sin I II III 3 KXĐ IV 4/ Dấu giá trị lượng giác cos sin tan cot I + + + + II + - III + + IV + - 5/ Hằng đẳng thức lượng giác • cos α + sin2 α = • • = + cot α sin α = + tan α cos α • tan α cot α = 6/ Cung liên kết Cung đối : sin(-  ) = sin  cos (-  ) = cos  tan ( - ) = -tan cot( -  ) = - cot  Cung bù : sin(  -  ) = sin  cos (  -  ) = -cos  tan (  -  ) = - tan  cot (  -  ) = - cot  Cung  : sin (  +  ) = -sin  cos (  +  ) = - cos tan (  +  ) = tan  cot (  +  ) = cot  Cung phụ : π sin ( cos( π π tan( cot ( π -  ) = cos  - ) = sin  -  )= cot  - ) = tan  CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng • cos(a+b)= cosa.cosb - sina.sinb • cos(a-b)= cosa.cosb + sina.sinb Công thức nhân • cos2a =cos2a-sin2a = 2cos2a-1 =1-2sin2a • sin2a = 2sina.cosa • • • • sin(a+b) =sina.cosb + sinb.cosa sin(a-b) = sina.cosb – sinb.cosa tan 2a = tan a + tanb tan ( a + b ) = − tan a.tan b • Hệ ( hạ bậc ) • sin a = • • • • [ cos(a-b) + cos(a+b)] u+v u −v cos 2 cos u − cos v = −2sin [cos(a-b)- cos(a+b)] • sina.cosb= − cos 2a cos u + cos v = 2cos sina.sinb= + cos 2a • Công thức biến đổi tổng thành tích cosa.cosb= − tan2 a cos2 a = tan a − tan b tan( a − b ) = + tan a tan b Công thức biến đổi tích thành tổng • tan a u+v u −v sin 2 sin u + sin v = 2sin sin u − sin v = 2cos [sin(a-b)+sin(a+b)] u+v u−v cos 2 u+v u−v sin 2 • cosa.sinb= [sin(a-b)-sin(a+b)] • Chương1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.Hàm số y=sinx +TXĐ là: R 1.Hàm số y=cosx +TXĐ hai hàm số là: R −1 ≤ sin x ≤ 1, −1 ≤ cos x ≤ 1, +Với xR ta có: +TGT T = [ -1; ] +Hàm y = sinx hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ T = 2π + tuần hoàn với chu kì 2.Hàm số y = tanx +Với xR ta có: + TGT T = [ -1; ] + Hàm y = cosx hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung T = 2π π  D = R \  + kπ , k ∈ Z  2  +, Hàm số y = tanx có TXĐ TGT là: T=R + Hàm số y = tanx hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì T =π + tuần hoàn với chu kì 2.Hàm số y = cotx D = R \ { kπ , k ∈ Z } +Hàm số y = cotx có TXĐ là: TGT là: T=R + Hàm số y = cotx số lẻ tuần hoàn với chu kì T =π Chú ý ∗ sin α ≠ ⇔ α ≠ kπ , k ∈ Z ∗ cos α ≠ ⇔ α ≠ π + k 2π , k ∈ ∗ cos α ≠ ⇔ α ≠ k 2π , k ∈ Z ∗ sin α ≠ ⇔ α ≠ π + kπ , k ∈ Z DẠNG TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC P( x ) Biểu thức có nghĩa  P(x)  P( x ) Biểu thức có nghĩa  P(x)  P( x ) Biểu thức có nghĩa  P(x) >0 Bài Tìm tập xác định hàm số a) y = tan2x, c) b) y = cot3x π  y = tan x −  5  d) x π y = cot  −  3 4 Bài 2.(SGK/17) Tìm tập xác định hàm số y= a) + cos x sin x y= b) + cos x − cos x c) π  y = tan  x − ÷ 3  d) π  y = cot  x + ÷ 6  Bài Tìm tập xác định hàm số a ) y = − cos x b) y = cos x − sin x c) 3π   y = cot  3x − ÷   y= d) + sin x − cos x DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC −1 ≤ sin x ≤ 1, −1 ≤ cos x ≤ 1, Với xR ta có: a ≥0  Bài Tìm giá trị lớn ,nhỏ hàm số a)y = sin3x + b)y = cos2x + c)y = 3-2sinx (SGK/18) d)y = - 2cos5x Bài Tìm giá trị lớn ,nhỏ hàm số a)y = 3sin2x-2 b)y = - 2cos25x c)y = - | sin2x| d)y = - | cos3x| Bài Tìm giá trị lớn ,nhỏ hàm số y = sin x + a) y = − sin x , b) y = cos x + c) y = sin x − (SGK/18) d) y = sin x + cos x − , e) DẠNG XÉT TÍNH CHẴN , LẺ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y= f(x) với tập xác định D • Hàm số f gọi hàm số chẵn với x thuộc D, ta có –x thuộc D f(-x) =f(x) • Hàm số f gọi hàm số lẻ với x thuộc D, ta có –x thuộc D f(-x) = - f(x) Chú ý Có hàm số không chẵn, không lẻ Bài 1.Xét tính chẵn ,lẻ hàm số sau a) y = sin3x b) y = cos3x c) y = cos4x Bài 2.Xét tính chẵn ,lẻ hàm số sau a) y = sin22x+1 b) y = cos2x- sin2x c) y = tan2x BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.Phương trình sinx = a (1) 2,Phương trình cosx = a (2) a >1 + a >1 : PT(1) vô nghiệm a ≤1 + + a ≤1 α : đặt a = sin +  x = α + k 2π ⇔ ( k ∈ Z)  x = π − α + k 2π sinx = sin  +Các trường hợp đặc biệt:  x = α + k 2π ⇔ (k ∈ Z) α  x = −α + k 2π + cosx=1 ⇔ x=k 2π , k ∈ Z π + k 2π , k ∈ Z π + s inx= -1 ⇔ x= - + k 2π , k ∈ Z + s inx=0 ⇔ x=kπ , k ∈ Z + cosx= -1 ⇔ x=π + k 2π , k ∈ Z + cosx=0 ⇔ x= 3.Phương trình tanx = a (3) π kπ , k ∈ Z 4.Phương trình cotx = a (4) α α : Đặt a = cot : cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈ Z tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ Z Chú ý α : đặt a = cos cosx = cos +Các trường hợp đặc biệt: + s inx=1 ⇔ x= Đặt a = tan : PT(2) vô nghiệm  x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔   x = π − arcsin a + k 2π 1)Nếu a giá trị góc đặc biệt  x = arccos a + k 2π cos x = a ⇔   x = − arccos sa + k 2π 2) Nếu a giá trị góc đặc biệt Bài ( SGK/28): giải phương trình sau sin ( x + ) = a) b) sin 3x =  2x π  sin  − ÷ =  3 c) sin ( x + 200 ) = − d) Bài ( SGK/28): giải phương trình sau cos ( x − 1) = a) b)cos3x = cos120 c) Bài ( SGK/28): giải phương trình sau:  3x π  cos  − ÷ = −  4 2cos x =0 − sin2x cos 2 x = d) Bài ( SGK/28): giải phương trình sau tan ( x − 150 ) = a) 3 cot ( x − 1) = − b) c)cos2x.tanx = d) sin3x.cotx = Bài ( SGK/28): giải phương trình sau a/ sin3x - cos5x = b) tan3x.tanx = Bài ( SGK/28): giải phương trình sau a )2 sin x + sin x = b)sinx + cos2x - = c)cosx + cos2x + = π  x π d)sin  x −  − cos  −  = 3  2 4 BÀI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Dạng: asinx + bcosx = c (*) Cách giải: a2 + b2 B1: Xác định a = ?, b = ?, c = ? Tính a2 + b2 B2: Chia hai vế phương trình (*) cho a a +b 2 sin x + b a +b 2 cos x = ta được: c a + b2 (**) a  = sin α   a + b2  b  = cos α  a2 + b2  B3: Đặt: (I) α α Chú ý: Nếu có ( đặc biệt) thoả mãn hệ (I) chọn Khi (**) có dạng: sin α sin x + cos α cos x = c a2 + b2 α thích hợp không ta giữ nguyên ⇔ cos( x − α ) = c a + b2 (***) B4: Giải PT(***) (Là PT lượng giác bản) tìm nghiệm a2 + b2 < c2 Chú ý: Nếu PT(8) vô nghiệm Bài 1.(SGK/37)Giải phương trình a) c) cos x − sin x − = b)3sin3x - 4cos3x = 2sin x + 2cos x − = d)5cos2x + 12sin2x – 13 = Bài 2.Giải phương trình a)2sinx + 2cosx = c) b) cos x − sin x − = sin x + cos x = d) cos x + sin x = Bài 3.Giải phương trình a) sin x + cos x = sin x b) sin3x - cos3x = 2sin2x (CĐ /08) DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng phương trình: aSin2x + bSinx + c = (a ≠ Dạng phương trình: aCos2x + bCosx + c = 0, (a 0) Cách giải: ≠ 0) Cách giải: t ≤ t ≤ - Đặt t = sinx, điều kiện - Giải phương trình bậc theo ẩn t - Giải phương trình lượng giác bản, kết luận nghiệm Dạng phương trình: - Đặt t = Cosx, điều kiện - Giải phương trình bậc theo ẩn t - Giải phương trình lượng giác bản, kết luận nghiệm Dạng phương trình: atan2x + btanx + c = 0, (a ≠ 0) Cách giải: - Đặt t = tanx - Giải phương trình bậc theo ẩn t - Giải phương trinh lượng giác bản, kết luận nghiệm Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số tanx: cosx ≠ ≠0⇔ x π + kπ ∈ ,k Z Bài 1.(SGK/36) Giải phương trình aCot2x + bCotx + c = 0, (a ≠ 0) Cách giải: - Đặt t = Cotx - Giải phương trình bậc theo ẩn t - Giải phương trinh lượng giác bản, kết luận nghiệm Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số cotx: sinx ≠ ⇔ ≠ kπ x ∈ ,k Z 2 a) 2cos x -3cosx + 1=0 b) 2sin2x + sin4x = Bài 2.(SGK/37)Giải phương trình sin a) x x − 2cos + = 2 b) 8cos2x + 2sinx – = b) 2tan2x + 3tanx + 1= c)tanx - 2cotx + 1= Bài 3.Giải phương trình a) 4sin x - ( ) − sin x − = (CĐ/2004) b) cos2x - 5cosx + = 0(CĐ/2003) DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d π Cách 1.Xét phương trình x = trình +k, kZ Nếu phương trình nghiệm nghiệm phương π Khi x  +k , chia hai vế phương trình cho cos2x ta : a.tg x + btgx +c = d(1+tg2x) sin x = − cos x + cos x , cos x = 2 Cách Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x cos2x .Ta phương trình bậc Bài 1.(SGK/37) Giải phương trình a) 2sin2x + sinxcosx -3cos2x = sin x + sin x − 2cos x = c) b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = d) 2cos x − 3 sin x − 4sin x = −4 Bài 2.Giải phương trình a) sin x + 3 sin x − cos x = c) sin2x - 3sinxcosx + cos2x +1= b) 4cos2x - 2sin2x - 4sinxcosx +1 = d) 2sin2x - 5sinxcosx - 8cos2x = -2 BÀI TẬP ÔN Bài Tìm tập xác định hàm số a) c)  x 2π  y = tan −  3  b) π  y = tan − x  6  d) x π y = cot  −  2 4 π  y = cot  − x  4  Bài Tìm tập xác định hàm số π a ) y = cot(2 x − ) sin x + d)y = cos x + b) y = tan(3 x + e) y = tan 2π ) cot x cos x − 1 f ) y = sin x −1 c) y = x Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ hàm số sau a) y = - 2sin2x b) y = 4- 3cos22x c) y = 3.| sinx| - d) y = 4-2 | cosx| y = − sin x y = − sin x e) f) y = + sin x + y = cos x + − g) h) Bài 4.Giải phương trình sau: a) 4sin2x – 4cosx – = , b) 2cos2x + cosx -1 = c) sin2x - 2cos2x + cos2x = d) cos2x + 9cosx + = e) tan2 x + ( − ) tan x − = f) 4sin2 x − ( + 1) sin x + = Bài 5.Giải phương trình sau: a) tan2x + cot2x = − 4sin x − 8cos c) b) cot22x – 4cot2x + = x = −4 2 d) cos x − ( + ) tan x − + = cos x e) + 3cot2x = f) – 13cosx + + tan2 x =0 Bài 6.Giải phương trình sau: cos x + sin x = a) c) e) sin x + cos x = b) cos3 x + sin x = d) sin2 x + sin x = sin x + cos x = sin x sin x − cos x = ( sin x + cos8 x ) f) Bài 7.Giải phương trình sau: a) 3sinx – 2cosx = b) cosx + 4sinx – c) cosx + 4sinx = –1 =0 d) 2sinx – 5cosx = Bài 8.Giải phương trình sau: a) c) sin2 x + sin x − cos2 x = 4sin x + 3 sin x.cos x − cos x = b) 3sin2 x + 8sin x.cos x + cos2 x = ĐỀ THI Bài 1.Giải phương trình sau: a) sin2x.sinx + cos5x.cos2x = b) c) + cos x π  sin  − x  + cos x = cos x − 4  1 π  + = sin x +  cos x sin x 4  d)c osx.cos2x.sin3x = sin x Bài 2.Giải phương trình sau: a) sin4x + cos4x = sin x b)1+ sinx + cosx + tgx = c) π   − sin x   tan2  x −  = 2    sin x   d) 2sin3x + 4cos3x = 3sinx e) cos4x -2sin2x + = f) cos2x +cos4x – = Bài 3.Giải phương trình sau: a) cos5x - 2sin3x.cos2x – sinx = 0(ĐH/09) b) sinx + cosx.sin2x + c) (1 − sin x ) cos x = (1 + sin x )(1 − sin x ) cos3x = 2(cos4x + sin3x) ( ĐH/09) (ĐHKA/09) d) 2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx ( ĐHKD/08) 3 e) sin x + sin x f) 3 cos x = sinx.cos x - sin2x.cosx (ĐHKB/08)  7π  = sin − x 3π     sin x −    ( ĐHKA/08) g) 2.sin22x + sin7x - 1= sinx h) (1+sin2x )cosx +(1+cos2x)sinx = + sin2x k) cos3x + cos2x – cosx - 1= ( ) cos x + sin x − sin x cos x l) − sin x =0 Bài 4.Giải phương trình a) cos4x + 12sin2x -1 = 0(CĐKD/2011) b) c) sin x − cos x + 3sin x − cos x − = s in2x + cos x − sin x − =0 tan x + (ĐH KD/2010) (ĐHKD/2011) d) (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = (ĐHKB/2010) e) sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x (ĐHKB/2011) π  (1 + sin x + cos 2x) sin  x + ÷ 4  = cos x + tan x f) g) h) (ĐH KA/2010) + sin x + cos x = sin x sin x + cot x sin x + cos x = cos x − (ĐH KA/2011) (ĐHKA2012) Bài 5.Giải phương trình a) sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x (ĐHKB/2008) b) (1+sin2x)cosx + (1+cos2x)sinx = + sin2x (ĐHKA/ 2008) c) x x   sin + cos  + cos x = 2 2  (ĐHCĐKD/2007) d) 2sin22x + sin7x -1 = sinx (ĐHCĐKB/2007) e) (1 + sin2x)cosx + (1+cos2x)sinx = + sin2x (ĐHCĐKA/2007) f) cos3x + cos2x – cosx – = 0(ĐHKD/2006) g) x  cot x + sin x1 + tan x tan  = 2  ( ) cos x + sin x − sin x cos x − sin x h) (ĐHCĐKB/ 2006) =0 (ĐHCĐKA/2006) Bài 6.Giải phương trình a) π  π  cos x + sin x + cos x −  sin 3x −  − = 4  4  (ĐHCĐKD/2005) b) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = (ĐHCĐKB/2006) c) cos23x.cos2x - cos2x = (ĐHCĐKA/2006) d) 2sinx(1+cos2x) + sin2x = + 2cosx (ĐHKD/2008) e) sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x (ĐHCĐKB/2011) Bài 7.Giải phương trình a) sin 3x + cos x − sin x + cos x = cos x ( (ĐHCĐKD/2012) ) cos x + sin x cos x = cos x − sin x + b) (ĐHCĐKB/2012) s in2x+cos2x=2cosx-1 c) d) e) f) (ĐHCĐKA/2012) sin 3x + cos x − sin x = (ĐHCĐ KD/2013) sin x + cos x = (ĐHCĐ KB/2013) π  + tan x = 2 sin  x + ÷ 4  (ĐHCĐ KA,A /2013)