Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 188 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
188
Dung lượng
5,08 MB
Nội dung
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com BÀI GIẢI LUYỆN THI HÌNH HỌC PHẲNG 2016 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K cho N trung điểm đoạn thẳng MK Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết K (5; 1) , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : x y điểm A có tung độ dương (Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014) ■ Nhận xét ý tưởng : Bài toán chia thành hai bước: + Bước 1: chứng minh AC KD (dùng giả thiết quan trọng để làm tiếp bước 2) + Bước 2: vận dụng AC KD vào việc giải tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D ☺ Bước 1: Nhận xét sau dựng hình xong phát KD AC Để chứng minh KD AC có nhiều cách kể đến: ● Cách 1: Chứng minh KDC ACD 90 (chứng minh tổng góc tam giác 90o suy góc DHC 90 Ta có DAC ACD 90 nên ta cần chứng minh DAC MKD (2 góc tam giác MKD ACD ) ● Cách 2: Vẫn với ý tưởng cách 1, ta chứng minh HDC ACD 90 để suy DHC 90 Ta có DAC ACD 90 DAC HDC (2 góc tan DAC tan HDC , để dễ hiểu mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình vuông ADEF (và bạn đọc không xa lạ với việc chứng minh AC KD) ● Cách 3: Dựng hệ trục tọa độ Bxy hình vẽ tọa độ hóa điểm điều phải chứng minh tương đương với AC.KD (Bạn đọc xem hình vẽ để hiểu rõ hơn) ● Cách 4: Dựa ý tưởng chứng minh AC.KD Ta sử dụng tích vô hướng hai véctơ a.b | a | | b | cos(a, b) Cụ thể ta gọi M = BC KD chuyển toán chứng minh AC.KD thành AC.MD (Ta dùng quy tắc “chèn điểm” để tạo tích vô hướng Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com cạnh có độ dài hợp góc cụ thể) ● Cách 5: Ta chứng minh “điểm thuộc đường tròn” dựa cách chứng minh tứ giác nội tiếp Cụ thể ta chứng minh “H nhìn AK góc vuông” Xét thấy “M nhìn AK góc vuông ” Ta chứng minh AMHK tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh DAC MKD (2 góc liên tiếp nhìn cạnh MH nhau) (việc chứng minh tương tự cách cách 2) ● Cách 6: Ta vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh HCD H AC KD để thực điều bạn cần tính số đo cạnh HC, HD, CD theo cạnh lại cạnh cho trước đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” xét thấy IC KD = H IK // CD) Ngoài bạn chứng minh cách “gián tiếp đổi đường” chuyển từ toán chứng minh vuông góc sang song song, chứng minh tam giác vuông đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có góc vuông nửa cạnh huyền, v,v,… ☺ Bước 2: Sau chứng minh AC KD Ta hai hướng sau: + Hướng thứ 1: (tạo thêm phương trình đường thẳng mới) _ Viết phương trình KD H = KD AC tọa độ H _ Vận dụng định lý thuận Thales cách 6) Ta tìm tỉ số độ dài HK HD chuyển KH kKD KH k KD, (k 0) tọa độ điểm D _ Viết phương trình đường thẳng AD qua điểm D có véctơ pháp tuyến AD tạo với AC góc với cos n (a; b), (a b 0) AD AD AC AD CD _ Sau viết phương trình AD tìm tọa độ điểm A tọa độ tâm M tọa độ tâm I hình chữ nhật ABCD (dựa quan hệ MK = 3MI MK 3MI ) _ Có tọa độ tâm I (là trung điểm AC BD) tọa độ B C + Hướng thứ 2: (tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK) _ Viết phương trình KD H = KD AC tọa độ H _ Tham số hóa điểm A theo đường AC ẩn nên cần phương trình độ dài AK = ? _ Dựa vào định lý thuận Thales cách ta tính độ dài AK AH AC CD KI _ Có tọa độ điểm A tọa độ C tọa độ trung điểm I tọa độ D tọa độ B ► Hướng dẫn giải chứng minh AC KD : Gọi H = AC KD * Cách 1: Ta có MKD = ACD (c-g-c) DAC MKD Ta có: DAC ACD 90 MKD ACD 90 HDC ACD 90 Suy DHC 90 HCD H AC KD H * Cách 2: Dựng hình vuông ADEF cho K trung điểm EF CD tan DAC AD Ta có: tan DAC tan MKD DAC MKD tan MKD MD MK Ta có: DAC ACD 90 KDE ACD 90 HDC ACD 90 Suy DHC 90 HCD H AC KD H * Cách 3: Dựng hệ trục Bxy hình vẽ, Đặt cạnh AB = a > AD = 2AB = 2a Ta có: A(0; a), C (2a; 0), D(2a; a), K (a; a) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com AC (2a; a) AC.KD 2a 2a AC KD H Mặt khác KD (a; 2a) * Cách 4: Gọi M = KD BC Xét: AC.MD AD DC MC CD AD.MC DC.MC AD.CD DC.CD a AD.MC AD.MC.cos( AD; MC ) 2a cos a DC.MC (do CD MC ) Với nên AC.MD a2 a2 AD.CD (do AD CD) DC.CD CD a Suy AC MD AC KD H * Cách 5: CD tan DAC AD Ta có: tan DAC tan KDE DAC KDE tan KDE KE DE Suy tứ giác AMHK tức giác nội tiếp (2 góc liên tiếp nhìn cạnh nhau) Mà M nhìn AK góc vuông H nhìn AK góc vuông HAK H Suy AC KD H * Cách 6: Gọi M = KD BC IH HD IK Ta có KI // CD IC KD = H, theo định lý thuận Thales ta có: HC HK CD Suy HC 2 AC CD 2 2CD IH IC HD HK KD 5 5 CD HC Xét HC HD CD (theo định lý đảo Pytago) HCD H AC KD HD 4CD ► Hướng dẫn giải hướng thứ 1: * Gọi H = AC KD Do KD AC: 2x + y - = KD: x - 2y + m = KD qua K(5; -1) m = -7 Vậy KD: x - 2y - = Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 13 x 2x y 13 11 * Tọa độ H nghiệm hê: H ; 5 x y y 11 * Ta có IH HD IK 2 (theo định lý thuận Thales) HD KH HD KH HC HK CD 3 13 13 xD x 1 Suy D D(1; 3) y 11 11 1 yD 3 D 3 2 * Gọi n (a; b), (a b 0) véctơ pháp tuyến AD Đường thẳng AD qua D có dạng là: a(x - 1) + b(y + 3) = Ta có cos CAD AD AD 2 AC AD CD Mặt khác cos CAD | cos( AD; AC ) | | n.nAC | | 2a b | 2 | n | | nAC | 5 a b b AD : x Suy (2a b) 4(a b ) 3b 4a AD : 3x y * TH1: Với AD: 3x + 4y + = 21 x 2x y 21 27 Ta có A = AD AC Tọa độ A nghiệm hệ A ; 5 3x y y 27 Loại A có tung độ dương * TH2: Với AD: x - = 2 x y x A 1;1 Ta có A = AD AC Tọa độ A nghiệm hệ x 1 y 1 Nhận A có tung độ dương Do M trung điểm AD M(1; - 1) Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có MK 3MI I (2; 1) Mặt khác I trung điểm AC BD B(3;1) C(3; -3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B(3;1), C (3; 3), D(1; 3) ► Hướng dẫn giải hướng thứ 2: * Gọi H = AC KD Do KD AC: 2x + y - = KD: x - 2y + m = KD qua K(5; -1) m = -7 Vậy KD: x - 2y - = 13 x 2x y 13 11 * Tọa độ H nghiệm hê: H ; 5 x y y 11 * Ta có A AC: 2x + y - = A(a; - 2a) Do A có tung độ dương nên - 2a > a KA (a 5; 2a) Mặt khác AK KD KH d [ K ; AC ] | 5.2 1.1 | 3 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a 1(n) Suy AK 20 (a 5) (4 2a) 20 a Vậy A(1;1) 21 a (l ) AC 3IC AC AC IH HD IK AH AI IH 10 * Lại có HC HK CD AC AC AC AC 2 13 xC 1 x 3 Suy AC AH C C (3; 3) y 11 1 yC 3 C 4 * Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD I trung điểm AC BD I(2;-1) Ta có IK I (2; 1) CD IK D(1; 3) B(3;1) CD ■ Lời bình: Có thể thấy toán vận dụng linh hoạt nhiều kỹ thuật, phương pháp để giải đối tượng cần tìm Về phần chứng minh vuông góc, bạn thấy, với nhiều phương án tiếp cận khác có nhiều cách chứng minh khác Và sau chứng minh AC KD hướng giải sau ta thấy sức mạnh việc “vận dụng định lý Thales” cách mà “chuyển đẳng thức độ dài đẳng thức véctơ” Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(4; 0) , phương trình đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B tam giác ABC x y phương trình đường thẳng chứa trung trực cạnh BC : x y Tìm tọa độ điểm B, C, D (Trích đề thi thử khối A, THPT Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ, năm 2014) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Dễ dàng nhận thấy BD : x y Dựa vào tinh chất đường trung trực BC d vừa vuông BC nên d vuông AD viết phương trinh AD AD BD D nên ta tìm tọa độ điểm D _ Đến để tìm tọa độ tìm điểm B C ta cần tìm tọa độ I giao điểm đường cheo AC BD Dựa vào công thức trung điểm ta biểu diễn tọa độ B C theo tọa độ điểm I _ Cuối có hai hướng tiếp: + Hướng thứ 1: Gọi K trung điểm BC biểu diễn tọa độ K theo tọa độ B C Khi K thuộc đường thẳng trung trực BC + Hướng thứ 2: Ta có BC.ud Giải phương trinh để tìm B C Mời bạn đọc xem lời giải ► Hướng dẫn giải : * Từ giả thiết ta có BD : x y AD qua A(4;0) vuông góc với d : x y suy phương trình AD : x y 16 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 7 x y x D(3; 4) y 4 x y 16 * Tọa độ D thỏa mãn hệ C (2a 4; 2b) * Gọi I (a; b) giao điểm đường chéo AC BD B(2a 3; 2b 4) 4a ; 2b a 1 J d 4a 8(2b 2) * Mặt khác 1 7a 4b I BD b Khi tọa độ trung điểm BC J Do tọa độ B(-1; 3) C(-2; -1) Vậy tọa độ điểm cần tìm B(1;3), C (2; 1), D(3; 4) ■ Lời bình: Có thể thấy vai trò giao điểm đường chéo hình binh hanh việc giải toan tìm điểm Trong tập ví dụ minh họa, tác giả nhấn mạnh đến việc chuyển quan hệ chưa biết điểm quan hệ với giao điểm Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy lớn CD Các đường thẳng AC, BD có phương trinh x y x y Gọi M trung điểm AB Xác định tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đường DM có phương trinh 3x y 11 B có hoành độ âm (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đức Mậu, Nghệ An, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Dễ dàng tìm tọa độ D D DB DM đồng thời điểm I với I AC BD _ Do tính chất hình thang cân nên AC = BD nên IA = IB suy tam giác IAB cân I Vì MI vuông góc AB _ Ta tham số A theo AC, B theo BD (2 ẩn nên cần phương trinh) biểu diễn tọa độ M theo tọa độ A B Do M thuộc DM nên ta pt (1) Mặt khác MI vuông AB (pt (2)) Từ giải (1) (2) ta tìm tọa độ A B _ Khi C CD AC nên ta cần lập phương trinh đường thẳng CD qua D CD // AB ► Hướng dẫn giải : x y 1 x7 D(7; 4) * Ta có tọa độ D thỏa mãn hệ 3x y 11 y 4 1 x x y 1 1 Và tọa độ I thỏa mãn hệ I ; 3 2 x y y1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a 2b 2a b A AC A(a;1 2a) ; * Ta có Ta lại có M trung điểm AB nên M 2 B BD B(1 2b; b) 13a 2b 11 ab IM AB a 1 * Mặt khác, suy A(1;3), B(3; 1) a b 2 M DM b 1 b * Phương trình CD qua D nhận IM làm vecto pháp tuyến C giao điểm AC CD nên ta có tọa độ C (4; 7) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán là: A(1;3), B(3; 1), C (4; 7), D(7; 4) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C): x y y cạnh AB có trung điểm M thuộc đường thẳng d : x y Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB tìm tọa độ điểm C (Trích đề thi thử lần 4, THPT Quế Võ, Bắc Ninh, năm 2013) 2 ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Để viết phương trình đường AB ta chắn phải sử dụng giả thiết liên quan đến trung điểm M mà cụ thể tìm tọa độ điểm M Do M thuộc d nên ta cần tìm thêm phương trinh liên hệ với M _ Ở đây, ta liên hệ M với I thông qua độ dài MI (sử dụng kiện tam giác ABC đều) _ Mặt khác C giao điểm MI đường tròn (C) nên ta cần viết phương trinh MI ► Hướng dẫn giải : * (C) có tâm I (0; 2) bán kinh R = 2 Gọi tọa độ điểm M (m; 2m 1) * Do tam giác ABC nội tiếp (C) nên m 1 R 2 IM m (2m 3) 5m 12m m * Với m = suy M(1; 1) Khi đó, AB qua M nhận IM (1; 1) có phương trinh: x y Mặt khác phương trình MC MC : x y Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2, y x 2, y x y 4x Do tọa độ C thỏa mãn hệ x y 2 Vì C(2;0) phía với M so với I nên không thỏa mãn Ta nhận C (2; 4) * Với m = 7 9 suy M ; 5 5 1 có phương trinh: x y 5 Khi đó, AB qua M nhận IM ; Mặt khác phương trình MC MC : x y 14 14 12 x y 14 x , y Do tọa độ C thỏa mãn hệ x y2 4x x 14 , y 5 14 12 14 ; phía với M so với I nên không thỏa mãn Ta nhận C ; 5 5 Vì C 14 ; C (2; 4) C Vậy yêu cầu toán tương đương với hay 5 AB : x y AB : x y Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH, phân giác AD 3x + 4y + 10 = 0, x – y + = 0; điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB MC = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết C có hoành độ nguyên (Trích đề thi thử THPT Tuy Phước, Bình Định, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Dựa vào tinh chất phân giác ta dễ dàng tìm điểm N (bạn đọc xem lại chương để hiểu rõ hơn) _ Khi ta dễ dàng viết phương trinh AC vuông góc BH qua N Đồng thời tìm điểm A A giao điểm AC AD _ Tới việc tìm tọa độ B cách tương giao đường AB BH (viết phương trinh AB qua A M) Với tọa độ C ta tham số hóa C theo đường AC sử dụng giả thiết MC để giải tìm tọa độ C Mời bạn đọc xem lời giải ► Hướng dẫn giải: * Gọi N điểm đối xứng với M qua AD, đường thẳng MN qua M(0; 2) vuông góc AD có phương trình là: x y Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 3 2 2 Tọa độ giao điểm K MN AD K ; suy tọa độ N (1;1) * Vì AD phân giác góc A, M thuộc AB nên N thuộc AC Do AC qua N vuông góc BH nên có phương trình: x y 4 x y x A(4;5) x y 1 y * Đường thẳng AB qua A M có phương trình 3x y Ta có tọa độ A thỏa mãn hệ x 3 1 3x y Ta có tọa độ B thỏa mãn hệ 1 B 3; 3 x y 10 y * Ta có MC nên C thuộc đường tròn (C) tâm M, bán kinh MC Ngoài C thuộc AC nên tọa độ C nghiệm hệ: x 1, y x ( y 2) (do C có hoành độ nguyên ta nhận C(1;1) x 31 , y 33 4x y 1 25 25 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(4;5), B 3; 1 , C (1;1) 4 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , điểm C thuộc đường thẳng có phương trinh x y Đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng AB có phương trình 3x y 23 Tìm tọa độ điểm B C, Biết B có hoành độ dương (Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc, năm 2014) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Ta liên hệ quan hệ điểm đặc biệt A, M, C, D cách cho AC cắt DM I _ Vận dụng định lý Thales thuận quen thuộc ta có tỉ số độ dài cạnh CD IC ID Từ AM IA IM ta tham số hóa C theo đường thẳng x – y + = đồng thời biểu diễn tọa độ I theo A C _ Lại có I thuộc đường thẳng DM nên thay vào ta tìm tọa độ điểm C _ Để xác định tọa độ điểm B ta liên hệ qua trung điểm M thuộc DM sử dụng tính chất hình chữ nhật ABCD AB BC để giải tìm tọa độ điểm B ► Hướng dẫn giải: * Ta có C x y C (c; c 4) , M trung điểm AB I giao điểm AC DM * Theo định lý Thales thuận ta có CD IC ID c 10 c 10 AI AC I ; AM IA IM 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác I thuộc DM nên ta có * Ta có M thuộc MD M m; c 10 c 10 4 23 c C (1;5) 3 3m 23 3m B 2m 5; 3m AB 2m 10; 3m 3m 19 Và Lại có AB.CB (2m 10)(2m 6) 0 CB 2m 6; 3m 19 Suy m hay m 29 33 21 33 21 ; Do B có hoành độ dương nên ta nhận B ; 5 5 * Do B(3; 3) hay B 33 21 ; , C (1;5) 5 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán B Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 Tâm I giao điểm hai đường thẳng điểm d1 : x y đường thẳng d2 : x y Trung điểm cạnh AD giao d1 với trục hoành Xác định tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật (Trích đề thi thử lần 2, THPT Thanh Chương 3, Nghệ An, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Với gợi ý đề ta dễ dàng xác định tọa độ trung điểm M tâm I Điều giúp ta dễ dàng viết phương trình đường thẳng AD qua M AD vuông góc với MI _ Đối với hình chữ nhật có đường tròn ẩn minh chinh đường tròn tâm I bán kinh IA Như ta cần xác định độ dài IA Ở ta dựa vào quan hệ diện tích hình chữ nhật để tính độ dài IA _ Khi A D giao điểm đường tròn đường thẳng AD Và đồng thời tọa độ B D tìm dựa vào tâm I hình chữ nhật ► Hướng dẫn giải : 9 3 x y I ; * Tọa độ I nghiệm hệ: 2 2 x y y M (3;0) Gọi M trung điểm AD, Tọa độ M nghiệm hệ x y Suy AB = IM = 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2x y x 2 B 2;1 * Ta có B giao điểm BM BE nên toa độ B thỏa hệ 7 x y 15 y * Gọi H hình chiếu A lên phân giác BE K điểm đối xứng A qua BE Khi H trung điểm AK K thuộc đường BC Ta có: AH vuông góc BE suy AH: x + 2y + m = AH qua A(1; 2) suy m = - 2 x y x 1 H 1;3 Do AH: x + 2y – = Khi tọa độ H thỏa hệ x y y 3 Lại có H trung điêm AK nên ta suy tọa độ K 3;4 BC * BC qua K(-3; 4) nhận BK ( 1;3) làm vecto phương có dạng tham số là: x 3 t (t R) Ta có: C thuộc BC nên C (3 c; 3c) BC : y 3t c 3c ; Lại có M trung điểm BC suy M * Do M thuộc BM nên ta có: c 3c 15 c C 4; 2 Do BC 10 BC có phương trình tổng quát là: BC: 3x + y + = Ta có S ABC 1 |3 25| d [ A; BC ].BC 10 10 (đvdt) 2 12 32 Vậy yêu cầu toán S ABC 10 (dvdt ) Câu 190 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y 0, d2 : x y Giả sử d1 , d cắt I Viết phương trình đường thẳng qua M ( 1;1) , cắt d1 , d tương ứng A B chọ AB = 3IA (Thử sức trước kì thi đề số 8, Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ, Số 431, năm 2013) ► Hướng dẫn giải : x y20 x I 2;0 * d1 cắt d I nên tọa độ I thỏa hệ phương trình: x y y Chọn A0 (0; 2) d1 , ta có IA0 2 2 * Lấy B0 (2 2b; b) d cho A0 B0 3IA0 (2 2b) (b 2) 72 174 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B0 (6; 4) b 5b 4b 64 6 42 16 b B ; 0 5 * Suy đường thẳng đường thẳng qua M (1; 1) song song với A0 B0 * Suy phương trình : x y : x y Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y hay x y Câu 191 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;3) hai giao điểm đường tròn (C1) (C2) có phương trình x y 13, x y 12 x 11 Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung khác có độ dài (Thử sức trước kì thi đề số 8, Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ, Số 419, năm 2012) ► Hướng dẫn giải cách 1: Sử dụng phương pháp Thales I1 (0;0) (C2) có R1 13 * Đường tròn (C1) có I (6;0) R 36 11 R1 R 13 Nên ta có: | R1 R | 13 suy | R1 R | I1 I2 R1R I1I Suy (C1) (C2) cắt điểm có điểm chung A(2; 3) * Gọi H1, H2, I trung điểm AA1, AA2, I1I2 Vì H1, H2 trung điểm hai dây cung AA1, AA2 I1H1 AA1, I2H2 AA2 (định lýđường kính dây cung) I1H1 // I2H2 Do M trung điểm A1A2, I trung điểm I1I2 MI đường trung bình hình thang I1I2H1H2 AI // I1H1 // I2H2 AI d * Ta có I trung điểm I1I2 I 3;0 Đường thẳng d qua A(2; 3) nhận IA 1;3 làm véctơ pháp tuyến có dạng là: 1(x 2) 3(y 3) x 3y Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y ► Hướng dẫn giải cách 2: Sử dụng phương pháp gọi điểm * Chứng minh (C1) (C2) cắt điểm (xem cách 1) x x 2x A x x1 * Gọi A1 (x1; y1 ), A (x ; y ) Do A trung điểm A1A2 y1 y2 2yA y y1 175 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x12 y12 13 A1 (C1 ) 2 A2 (C2 ) x y2 12x 11 * Ta có: x12 y12 13 2 (4 x1 ) (6 y1 ) 12(4 x1 ) 11 x12 y12 13 (1) 2 x1 y1 4x1 12y1 15 (2) * Trừ vế theo vế hai phương trình (1) (2) ta được: x1 y1 A d (do(*)) * Đặt d: x - 3y + = Ta có: d: x - 3y + = phương trình cần tìm Ad Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y ► Hướng dẫn giải cách 3: Sử dụng phương pháp khoảng cách * Chứng minh (C1) (C2) cắt điểm (xem cách 1) * Gọi n (a; b), (a b 0) véctơ pháp tuyến (vtpt) đường thẳng d Đường thẳng d qua A(2;3) có dạng tổng quát là: a(x - 2) + b(y - 3) = d: ax + by - 2a - 3b = 2 AA12 R1 [d(I1 ; d)]2 * Theo định lý Pi-ta-go ta có: mà AA1 = AA2 AA 2 R [d(I ; d)]2 (2b 3b) (4a 3b) 25 2 a b2 a b 2 2 (4a 3b) (2a 3b) 12(a b ) b 3ab (*) Suy R [d(I1 ;d)] R [d(I ;d)] 13 2 2 (*) Nhận xét a = b = (loại a b ) nên với b ≠ 0, ta chọn a = b0 Do (*) b 3b b 3 * TH1: với a = 1, b = -3 d1 : x - 3y + = TH2: với a = 1, b = d2: x - = (loại ta có I1I2 (6;0) n I1I2 (0; 1) nên n I1I2 n , Khi đường thẳng d trở thành đường thẳng chưa dây cung chung (C1), (C2)) Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y ■ CÁCH : Sử dụng phép biến hình (phép đối xứng tâm) ► Hướng dẫn giải cách 4: * Chứng minh (C1) (C2) cắt điểm (xem cách 1) * Xét phép đối xứng tâm A(2;3) biến điểm I2(6; 0) thành điểm I2’(-2;6), biến đường tròn (C2) thành 176 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com đường tròn (C2’) biến điểm A2 (C2) thành điểm A1 (C2’) * Khi (C1) (C2’) có dây cung AA1 chung I1I2’ AA1 * Đường thẳng d qua A(2; 3) nhận I1I2 ' 2;6 2(1; 3) làm véctơ pháp tuyến có dạng là: 1(x 2) 3(y 3) x 3y Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y Câu 192 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A có G trọng tâm, B(10;1), C (10;1) Xác định tọa độ đỉnh A biết diện tích tam giác ABG 20 (Thử sức trước kì thi đề số 3, Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ, Số 426, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : Gọi M trung điểm BC S ABG AB.d (G; AB) S d ( M ; AB) MA ABM S ABM 30 * Ta có: S ABG d (G; AB) GA S AB.d ( M ; AB) ABM Suy S ABC 2S ABM 60 d ( A; BC ).BC (*) * Ta có BC (20;0) 20(1;0) BC 20 đường thẳng BC: y – = BA CA BA.CA Đặt A(a; b) Ta có A thỏa hệ: (I) S ABC d ( A; BC ) d ( A; BC ) BC a 8; b a 8; b 5 a 64 (a 10)(a 10) (b 1)(b 1) * Do đó, (I) a 8; b | b 1| | b 1| a 8; b 5 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(8; 7) hay A(8; 7) hay A( 8; 5) hay A(8; 5) Câu 193 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1), B(1;5), C (4;0) Gọi G, H trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, G, H (Thử sức trước kì thi đề số 4, Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ, Số 427 , năm 2013) ► Hướng dẫn giải : 177 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Ta có G trọng tâm tam giác ABC nên suy tọa độ G(1; 2) * Ta có AH qua H qua A(-2; 1) nhận BC (3; 5) làm vecto pháp tuyến nên có dạng là: 3( x 2) 5(y 1) AH : x y 11 Lại có BH qua B(1; 5) nhận AC (6; 1) làm vecto pháp tuyến nên có dạng là: 6( x 1) 1(y 5) BH : x y Khi H giao điểm AH BH nên tọa độ H thỏa hệ: 16 x 27 3x y 11 16 23 H ; 27 6x y 1 y 23 * Gọi phương trình đường tròn (C) cần tìm có dạng là: x y 2ax 2by c 49 a 108 4a 2b c A (C ) 49 2a 4b c b Ta có: G (C ) 36 5017 32 46 H (C ) 25 a bc 729 27 c 54 2 Vậy phương trình đường tròn thỏa yêu cầu toán (C ) : x y 49 49 25 x y 0 54 18 54 Câu 194 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AB x y 0, x y Điểm M (1; 2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D cho DB.DC có giá trị nhỏ (Trích đề thi thử lần khối A, THPT Quỳnh Lưu 1, Nghệ An, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : 178 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Gọi vecto pháp tuyến AB, AC, BC là: n1 (1;2), n2 (2;1), n3 (a; b)(a2 b2 0) Phương trình BC qua M(1; 2) có dạng: BC : a( x 1) b( y 2) * Tam giác ABC cân A nên: cos B cos C | cos(n1; n2 ) || cos(n2 ; n3 ) | | a 2b | | 2a b | a b ab a b a b * TH1: a = - b, ta chọn b = -1 suy a = nên BC: x – y + = 2 Dễ dàng suy tọa độ B(0;1), C ; (không thỏa mãn M thuộc đoạn BC) 3 * TH2: a = b, ta chọn b = suy a = nên BC: x + y – = Dễ dàng suy tọa độ B(4; 1), C 4;7 (thỏa mãn M thuộc đoạn BC) 2 2 * Gọi trung điểm BC I(0; 3) BC BC Ta có: DB.DC DI Dấu xảy D I D (0;3) 4 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán D (0;3) Câu 195 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuôn cân A, biết cạnh huyền nằm đường thẳng x + 7y – 31 = Điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; –3) thuộc đường thẳng AB (Trích đề thi thử lần 1, THPT Triệu Sơn 4, Thanh Hóa, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : * Đường thẳng AB có phương trình a( x 2) b( y 3) (a b2 0) Do góc ABC 450 nên ta có: 3a 4b | a 7b | 12a 7ab 12b 50 a b2 4a 3b * Với 3a = 4b, ta chọn a = suy b = Ta có phương trình AB: 4x + 3y + = Vì AC vuông AB nên AC: 3x – 4y + = 4x 3y 1 x 1 A 1;1 Tọa độ A nghiệm hệ phương trình 3x y y 1 x y 31 x 4 B 4;5 Tọa độ B nghiệm hệ phương trình 4x 3y 1 y 5 cos 450 179 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x y 31 x C 3; Tọa độ C nghiệm hệ phương trình 3x y y * Với 4a = – 3b, ta chọn a = 3, b = –4, ta có AB: 3x – 4y – 18 = Vì AC vuông AB nên AC: 4x – 3y – 49 = 4 x y 49 x 10 A 10;3 Tọa độ A nghiệm hệ phương trình 3x y 18 y 3 x y 31 x 10 B 10;3 A (!!!) loại Tọa độ B nghiệm hệ phương trình 3x y 18 y 3 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B( 4;5), C (3; 4) Câu 196 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I giao điểm hai đường chéo AC BD 10 ; Tìm tọa độ 2 Cho điểm A(1; 0) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD điểm J đỉnh lại hình vuông ABCD biết góc CD trục hoành nhỏ 450 (Trích đặc san số 2, Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : * Gọi độ dài cạnh hình vuông a > Bán kinh đường tròn nội tiếp tam giác ICD r, ta có: a2 1 2S ICD a r a IC ID CD a a 2(1 2) 1 a a d ( J ; AB) a r (1) Phương trình AB có dạng: * Ta có: a a d (J; AD) 2 AB : k ( x 1) ly (k l 0) AD : l ( x 1) ky * Áp dụng công thức khoảng cách ta có: 180 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 k 1 l l 3k 2 d ( J ; AB) 3 l k d (J; AD) 2 10 l 1 k 95 ) Do AB // CD nên góc AB trục hoành nhỏ 450 tức giá trị tuyệt đối hệ số góc đường AB nhỏ Do có cặp k 1, l 3 thỏa mãn suy AB: x – 3y – = Ta chọn ( k 1, l 3) hay (k 1; l * Phương trình đường thẳng IJ qua J vuông góc AB có dạng là: 2 10 3 x y IJ : 3x y 5 1 Giao điểm IJ AB H ; B 4;1 Từ tìm C(3; 4), D(0; 3) 2 2 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán B 4;1 , C (3; 4), D(0;3) Câu 197 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết AB = BC, tọa độ điểm A(2;3) , đường phân giác góc ABC có phương trình x y , hình chiếu vuông góc 29 đỉnh B đường thẳng CD điểm H ; Tìm tọa độ đỉnh B, C, D biết diện tích hình thang 5 ABCD 12 (Trích đề thi thử số 7, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Tam giác ABC cân B nên AC vuông góc đường thẳng d suy AC: x + y – = x y x I (3; 2) * Gọi I giao điểm AC d, nên tọa độ I nghiệm hệ: x y 1 y * Lại có I trung điểm AC nên ta có tọa độ C (4;1) 9 3 3 (3;1) làm vecto pháp tuyến có dạng là: Đường thẳng BH qua H nhận HC ; 5 29 x y BH : 3x y 181 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3x y 19 x B(5; 4) * Khi tọa độ B nghiệm hệ x y 1 y Ta có: AB 10, BH 10 S ABCD BH ( AB CD ) CD 10 AB 4 xD 2(5 2) x 2 * Suy DC AB D D(2; 1) 1 yD 2(4 3) yD 1 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán B(5; 4), C (4;1), D(2; 1) Câu 198 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x y x y điểm A(4;1) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm B, C cho tam giác ABC (Trích đề thi thử số 8, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) bán kính R * Vì AB = AC IB = IC nên IA đường trung trực cạnh BC suy d vuông góc IA Do đường thẳng d nhận IA (3;3) 3(1;1) làm vecto pháp tuyến * Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác IAB ta có: AB AH IB IA AB IA AB.cos IAB AB AB 12 AB AH 2 2 * Trường hợp 1: AH AI H I H (1; 2) d : x y * Trường hợp 2: AH AI 1 H trung điểm AI H ; d : x y 2 2 Vậy phương trình đường thẳng yêu cầu toán d : x y hay d : x y Câu 199 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I, K tương ứng trung điểm cạnh 10 3MC AD BC Điểm M nằm cạnh CD cho MD , biết điểm G 1; trọng tâm tam giác BDK đường thẳng IM có phương trình x y 11 Viết phương trình đường thẳng BD (Trích đề thi thử số 9, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 182 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Ta có: IM DL ( ID DM )( DC CL) ID.DC ID.CL DM DC DM CL Suy IM DL ID.CL DM DC (do ID DC , DM CL) 1 3a 3a a a DL IM DL : x y 11 11 x x y 11 11 22 H ; * Khi tọa độ H nghiệm hệ: 22 5 3x y 11 y 1 64 100 3a DH Mặt khác (với a = AB > 0) 2 DH DI DM a 9a 9a 10 Suy IM DL Do đó, DL DC CL2 a * Vì 9a 5a DL 5a DG 16 DH 9 10 DH DG D(4; 5) DG a 10 DG 25 25 t I (3; 2) Ta có I IM I (t ;3t 11) ID 10 (t 4) (3t 6) 10 t I ; 34 5 2 * Mà IG JG , Với I (3; 2) J(0; 3) JD (4; 2) BD : x y 34 2 21 22 4 Với I ; J ; JD ; BD : x 11y 47 5 5 5 Vậy phương trình đường thẳng yêu cầu toán d : x y hay d : x 11y 47 Câu 200 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm cạnh BC cho MC 2MB , tia đối DC lấy điểm N cho NC 2ND Biết điểm D(1; 3) , điểm A nằm đường thẳng d : 3x y phương trình đương thẳng MN x y Tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 10, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 183 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Gọi E giao điểm AD MN Khi ED đường trung bình tam giác MCN MC BC AD 3ED AD (*) Suy ED 3 a 3e 2 a 2 4e * Ta có A d A(a;3a 9), E MN E e; 1 Từ (*) 3a 4e 6 e Suy A(2;3) AD (3; 6) 3(1; 2) CD : x y 4 x y x 3 N 3; 5 * Khi tọa độ điểm N nghiệm hệ x y y 5 * Do D trung điểm CN nên ta có C(5; -1) mà BC AD B (2;5) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(2;3), B(2;5), C (5; 1) Câu 201 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB < AC, đường tròn tâm D bán kính 22 7 CD cắt đường thẳng AC, AD rại điểm E ; F (0; 1) Biết điểm D nằm 13 13 đường thẳng d : x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 11, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Ta có D d D(d ; d 7) Vì E, F thuộc đường tròn (T) nên DE = DF 2 22 84 DE DF d d d (d 6) d D(2; 5) 13 13 2 184 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CD : x y 12 * Suy FD (2; 4) 2(1; 2) AD : x y (T ) : ( x 2) ( y 5) 20 x y 12 x 6; y 3 C (6; 3) * Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x 2; y 7 C (2; 7) ( x 2) ( y 5) 20 Do C E phía so với đường AD nên ta nhận C(6; -3) 56 32 AC qua C * Ta có EC ; 7; 4 AC : x y 13 13 13 4 x y A(1;1) Tọa độ A nghiệm hệ phương trình 2 x y Ta có: AB DC B(3;3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B(3;3), C (6; 3), D(2; 5) Câu 202 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30, hai điểm E (3;3) , điểm F nằm đường thẳng BC Hình chiếu vuông góc điêm D đường thẳng AF điểm 1 14 3 H ; Biết điểm M ;0 trung điểm cạnh AD đường thẳng BC có hệ số góc số 5 nguyên Tìm tọa độ hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 12, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Tam giác HAD vuông H có MH trung tuyến nên AD 2MH Ta có: S ABCD AB AD 30 AB d (M ; BC) * Đường thẳng BC qua E nên phương trình có dạng ax by 3a 3b a 3a 3b a 2b (tm) 31a 84ab 44b a b2 31a 22b (ktm) Suy BC : x y AD : x y Ta có A AD A(a; 2a 1) Ta có d ( M ; BC ) a A(1; 3) 1 45 * AM a (2a 1)2 2 a 2 A(2;3) M Với A(1; 3) D(2;3) Phương trình đường thẳng AB x – 2y – = x y B(5; 1) Tọa độ B nghiệm hệ 2 x y 185 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x y C(2;5) Phương trình đường thẳng CD x – 2y + = tọa độ C thỏa 2 x y * Với A(2;3) , giải tương tự ta có D(1; 3), B(2;5), C (5; 1) D(2;3), B(2;5), C (5; 1), A(1; 3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(2;3), B(2;5), C (5; 1), D(1; 3) Câu 203 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, tia đối tia BA lấy điểm E cho EB AB cạnh AD lấy điểm F cho DF 3AF Các đường thẳng CE, CF tương ứng có phương trình x y 20 x 11 y 10 Biết điểm M (2; 4) nằm đường thẳng AD, tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD (Trích đề thi thử số 13, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 4 x y 20 x C(5;0) * Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x 11y 10 y ID CD Đặt AB = a > Ta có * Gọi I giao điểm AD CE: IA AE AD a ID DF AD 3a 4 5a IF ID DF IF CF suy tam giác ICF cân F * Ta có: 5a 2 CF CD DF * Gọi vecto pháp tuyến đường thẳng AD n (a; b) (a b 0) Ta có: cos FIC cos FCI cos(n; nCE ) cos(nCF ; nCE ) | 4a 3b | | 4.2 3.11| 125 a b a 2b AD : x y Nên | 4a 3b | 5(a b ) 11a 24ab 4b 11a 2b (ktm) * Phương trình đường thẳng CD: x – 2y – = 2 186 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x y x D(1; 2) Tọa độ điểm D nghiệm hệ 2 x y y 2 4 x y 20 x I (2; 4) Tọa độ điểm I nghiệm hệ 2 x y y 4 * Ta có: DA ID A(1; 2) , AB DC B(3; 4) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1; 2), B(3; 4), C (5;0), D(1; 2) Câu 204 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) Gọi M trung 10 điểm cạnh AB, đường thẳng CM cắt đường tròn (C) E (0; 2) Biết G ; trọng tâm tam 3 giác ABC, điểm F (2; 4) nằm đường tròn (C) đểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 14, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : IE IF * Gọi I(a; b) tâm hình chữ nhật ABCD Ta có: IE 3IG 41 a (b 2) (a 2)2 (b 4) 41 x ;y I ;8 8 2 1 10 1 x ; y 1 a (b 2) x y 3 3 I ; 2 2 1 41 1 * Với I ; , IB 3IG B ; (ktm) Với I ; , IB 3IG B 5; D(0; 3) 4 8 2 10 5 * Ta có: EG ; nEG (1; 2) EF : x y 3 2 5 1 25 IB (C ) : x y Tọa độ điểm C nghiệm hệ: 2 2 2 187 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 5 25 x 0, y (ktm) x y C (6; 1) A(1;0) 2 2 x 6; y 1 (tm) x y Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;0), B(5;0), C (6; 1), D(0; 3) Câu 205 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm cạnh BC, phương 1 25 trình đường tròn ngoại tiêp ABE x ( y 1) phương trình đường thẳng 2 DE : 3x y 18 Biết điểm M (0; 3) nằm đường thẳng AB, tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 15, Website: toanmath.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 1 * Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE có tâm I ;1 , bán kính R 2 1 25 x ( y 1)2 Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình 2 E (2;3) 3x y 18 * Do tam giác ABE vuông B nên I trung điểm AE suy A(-1; -1) Suy AM (1; 2) AB : x y BC : x y AD : x y 2 x y x 2 B(2;1) * Tọa độ B nghiệm hệ x y y x 3x y 18 3 Tọa độ D nghiệm hệ D 4; 2 x y 1 y xC xD xA xB 7 * Ta có BC AD C 3; 2 yC yD y A yB 7 3 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1; 1), B(2;1), C 3; , D 4; 2 2 188