NGÂN HÀNG đề THI môn lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN

TẬP ĐỒN BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG VIỆT NAM HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG - CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc - NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Ban hành kèm theo Quyết định số: 899/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu viễn thơng ký ngày 17/11/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QUẢN TRỊ KINH DOANH SỐ TÍN CHỈ: THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ CÂU (một câu loại 1, câu loại 2, câu loại câu loại 4) A LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: Trong thành phố có hịm thư có đường liên lạc với Người bưu tá đưa thư theo trình tự Hỏi có cách đi? Câu 2: Một khách sạn có phịng đơn Có 10 khách đến th phịng, có nam nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để có nam nữ chọn Câu 3: Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố X −4 P 0, 45 0,30 0,15 0, 20 Tính kỳ vọng EX phương sai DX Câu 4: Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố X −3 P 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1 Tính kỳ vọng EX phương sai DX Câu 5: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có x1 = −1, x2 = 0, x3 = Tìm xác suất tương ứng p1 , p2 p biết kỳ vọng EX = 0,1 EX = 0,9 Câu 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có x1 = với xác suất p1 = 0,5 ; x2 = 0,6 với xác suất p2 = 0,3 x3 với xác suất p3 Tìm x3 p biết kỳ vọng EX = Câu 7: Hai biến ngẫu nhiên X , Y độc lập Tính E(Z ) , D(Z ) với Z = −3 X + Y Cho biết E(X ) = 2, E(Y ) = ; D( X ) = , D(Y) = Câu 8: Phát hành 10.000 vé xổ số, có vé trúng giải nhất, 10 vé trúng giải nhì, 100 vé trúng giải ba, 200 vé trúng giải tư 500 trúng giải năm Tìm xác suất để người mua vé trúng giải không thấp giải tư Câu 9: Cơ cấu chất lượng sản phẩm nhà máy sau: Sản phẩm loại I: 40%, sản phẩm loại II: 50%, lại phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy Tính xác suất sản phẩm lấy thuộc loại loại Câu 10: Hai người bắn vào mục tiêu Khả bắn trúng người 0,8 0,9 Tìm xác suất có người bắn trúng mục tiêu Câu 11: Để nhập kho, sản phẩm nhà máy phải qua vòng kiểm tra chất lượng, xác suất phát phế phẩm phòng theo thứ tự 0,8; 0,9 0,99 Tính xác suất phế phẩm nhập kho ( phòng kiểm tra hoạt động độc lập) Câu 12: Hãy tính giá trị trung bình mẫu x phương sai mẫu s mẫu cụ thể có bảng phân bố tần số thực nghiệm sau xi 21 24 25 26 28 32 34 ni 10 20 30 15 10 10 Câu 13: Hãy tính giá trị trung bình mẫu x độ lệch chuẩn mẫu s mẫu cụ thể có bảng phân bố tần số thực nghiệm sau xi 12 ni 10 Câu 14: Hãy tính giá trị trung bình mẫu x phương sai mẫu s mẫu cụ thể có bảng phân bố tần số thực nghiệm sau xi 3,5 3,8 4,4 4,5 ni Câu 15: Hãy tính giá trị trung bình mẫu x phương sai mẫu s mẫu cụ thể có bảng phân bố tần số thực nghiệm sau xi 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6 ni 30 40 18 B LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: quan có máy tính Khả có cố máy tính tương ứng 0,10; 0,15; 0,20 Tìm xác suất cho: a Cả máy tính bị hỏng b máy hoạt động c Cả máy tính hoạt động d Có khơng q máy tính bị hỏng Câu 2: Một nhà máy có ba phân xưởng I, II, III sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng I, II, III sản xuất tương ứng 36%, 34%, 30% sản lượng nhà máy, với tỷ lệ phế phẩm tương ứng 0,12; 0,1; 0,08 a Tìm tỷ lệ phế phẩm chung nhà máy b Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiểm tra sản phẩm phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất Câu 3: Một thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời, có phương án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ phương án cho câu hỏi Tính xác suất để: a Anh ta điểm b Anh ta bị điểm âm Câu 4: Có hai bóng đèn điện với xác suất hỏng tương ứng 0,1 0,2 việc chúng hỏng độc lập với Tính xác suất để mạch khơng có điện bóng hỏng chúng mắc: a Nối tiếp b Song song Câu 5: Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi A biến cố xuất tổng số nốt lẻ B biến cố xuất mặt chấm Tính P ( AB ) , P ( A ∪ B ) , P ( AB ) Câu 6: Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn Nhóm thứ có người, nhóm thứ hai có người, nhóm thứ ba có người nhóm thứ tư có người Xác suất bắn trúng đích người nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba nhóm thứ tư theo thứ tự 0,8; 0,7; 0,6 0,5 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ biết xạ thủ bắn trượt Hãy xác định xem xạ thủ có khả nhóm Câu 7: Cho biến ngẫu nhiên X liên tục với hàm mật độ sau kx nÕu ≤ x ≤  f ( x) = k nÕu ≤ x ≤ 0 nÕu trái lại a Tỡm k v hm phõn b xác suất F ( x) b Tính kỳ vọng EX phương sai DX Câu 8: Một nhóm có 10 người có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ có nhóm chọn i Lập bảng phân bố xác suất X ii Tính kỳ vọng EX Câu 9: Trong thùng có 10 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Rút hú họa sản phẩm để kiểm tra Gọi X số phẩm số sản phẩm rút a Tìm bảng phân bố xác suất X b Xây dựng hàm phân bố xác suất X Câu 10: Tín hiệu thơng tin phát lần độc lập Xác suất thu tin lần phát 0,7 Tính xác suất: a Thu tín hiệu lần b Thu tin Câu 11: Điều tra doanh số hàng tháng 100 hộ kinh doanh ngân hàng, ta thu bảng số liệu sau: Doanh số triệu đồng/tháng 10,1 10,2 10,4 10,5 10,7 10,8 10,9 11 11,3 11,4 Số hộ 13 25 20 12 10 a Hãy vẽ biểu đồ đa giác tần suất mẫu cụ thể b Tìm doanh số trung bình phương sai mẫu có hiệu chỉnh doanh số dựa vào mẫu cụ thể Câu 12: Mức hao phí xăng loại tơ chạy từ A đến B biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, có trung bình 50 lít Đoạn đường xử lý lại, người ta cho mức hao phí xăng trung bình giảm xuống Quan sát 30 ô tô loại, người ta thu số liệu sau Hao phí X lít 48,5 − 49 49 − 49,5 49,5 − 50 50 − 50,5 50,5 − 51 Số chuyến 10 10 Hãy kết luận ý kiến với mức ý nghĩa α = 0, 025 Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025của phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 13: Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm 14 phút Liệu có cần thay đổi định mức khơng, theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm 250 công nhân ta thu kết sau: Thời gian lao động X phút 10 - 12 Số công nhân 20 12 - 14 60 14 - 16 16 - 18 18 - 20 100 40 30 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận ý định nói Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 14: Một cơng ty có hệ thống máy tính xử lý 1300 hố đơn Cơng ty nhập hệ thống máy tính mới, hệ thống chạy kiểm tra 40 cho thấy số hố đơn xử lý trung bình 1378 với độ lệch tiêu chuẩn 215 Với mức ý nghĩa 2,5% nhận định xem hệ thống có tốt hệ thống cũ hay khơng? Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 15: Trọng lượng sản phẩm ( X ) nhà máy sản xuất biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn σ X = kg trọng lượng trung bình 20 kg Nghi ngờ máy hoạt động khơng bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình sản phẩm Người ta cân thử 100 sản phẩm thu kết sau: Trọng lượng sản phẩm 19 Số sản phẩm tương ứng 10 20 60 21 22 23 20 5 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kết luận điều nghi ngờ nói Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 C LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: Hai xạ thủ bắn vào bia Mỗi người bắn viên Xác suất trúng đích người thứ 0,7, người thứ hai 0,8 Gọi X số viên bắn trúng bia a Tìm bảng phân bố xác suất X b Xây dựng hàm phân bố xác suất X c Tính kỳ vọng EX phương sai DX Câu 2: Có hai lơ sản phẩm Lơ I: Có phẩm phế phẩm Lơ II: Có phẩm phế phẩm Từ lô I lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ sang lơ II, sau từ lô II lấy sản phẩm Gọi X số phẩm lấy a Tìm bảng phân bố xác suất X b Xây dựng hàm phân bố xác suất X c Tính kỳ vọng EX phương sai DX Câu 3: Cho X , X , X ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân bố xác suất sau: X1 X2 X3 P 0,65 0,35 P 0,4 0,6 P 0,7 0,3 Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X = Câu 4: Cho X, Y X1 + X + X Tính E ( X ) ; D( X ) hai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố xác suất đồng thời a Tìm k Tính EX , EY b Tính cov( X , Y ), ρ ( X , Y ) c X Y có độc lập không Câu 5: Gieo đồng thời xúc xắc đồng tiền Gọi X biến ngẫu nhiên số chấm xúc xắc Y biến ngẫu nhiên mặt sấp (1) hay mặt ngửa (0) đồng tiền a Lập bảng phân bố xác suất X Y b Lập bảng phân bố xác suất đồng thời X Y Câu 6: Tuổi thọ lồi trùng biến ngẫu nhiên với hàm mật độ sau X (đơn vị tháng) kx (2 − x) nÕu ≤ x ≤ f ( x) = trái lại  k a Tìm b Tính xác suất để trùng chết trước tháng tuổi c Tìm EX , DX Câu 7: Biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố sau nÕu x ≤ 0   F ( x) =  x + kx nÕu < x ≤ 0 nÕu x >   k Tìm hàm mật độ a Tìm b Tính xác suất P ( { 1/ ≤ X < 5} ∪ { X ≥ 2} ) Câu 8: Ở tổng đài bưu điện điện thoại gọi đến xuất cách ngẫu nhiên, độc lập với trung bình có gọi phút Tính xác suất để: a Có gọi khoảng thời gian 10 giây b Trong khoảng thời gian phút có nhiều ba gọi c Trong khoảng thời gian phút liên tiếp phút có nhiều gọi Câu 9: Cho X, Y X hai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố xác suất đồng thời 26 30 41 50 2,3 0,05 0,08 0,12 0,04 2,7 0,09 0,30 0,11 0,21 Y a Tìm bảng phân bố xác suất thành phần X Y b Tìm bảng phân bố xác suất có điều kiện Y X = 26 X Y = 2, Câu 10: Cho X, Y X hai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố xác suất đồng thời 0,10 0,30 0,20 0,06 0,18 0,16 Y a Tìm bảng phân bố xác suất thành phần X Y b Tìm bảng phân bố xác suất có điều kiện X Y = c Tính kỳ vọng có điều kiện E  X Y =    Câu 11: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất X 0,1 0,4 0,6 P 0,2 0,3 0,5 Sử dụng bất đẳng thức Trêbưsép đánh giá xác suất biến cố X − E X < 0, Câu 12: Để xác định chiều cao trung bình vườn ươm người ta tiến hành đo ngẫu nhiên 40 Kết đo sau: Khoảng chiều cao (cm) 16,5-17 17-17,5 17,5-18 18-18,5 18,5-19 19-19,5 Số tương ứng 11 12 a Tìm khoảng tin cậy 90% cho chiều cao trung bình vườn b Nếu muốn khoảng ước lượng có độ xác ε = 0,1 cần lấy mẫu Cho biết giá trị tới hạn mức 0,05 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,64 Câu 13: Để ước lượng suất trung bình giống lúa mới, người ta gặt ngẫu nhiên 100 ruộng trồng thí nghiệm thu số liệu sau: Năng suất X (tạ/ha) 40-42 44-46 46-48 48-50 Số ruộng tương ứng 42-44 13 25 35 50-52 15 Giả sử biến ngẫu nhiên suất X có phân bố chuẩn a Tìm khoảng tin cậy 95% cho suất trung bình giống lúa b Nếu muốn khoảng ước lượng có độ xác ε = 0,4 cần lấy mẫu Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 14: Trọng lượng loại sản phẩm A biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn gam Cân thử 27 bao loại ta thu kết quả: Trọng lượng (gram) 47,5 - 48,5 48,5 - 49,5 49,5 - 50,5 50,5 - 51,5 51,5 - 52,5 Số bao tương ứng 15 a Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy trọng lượng trung bình loại sản phẩm b Nếu muốn độ xác ε = 0,1 kích thước mẫu cần thiết Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 15: Chiều dài chi tiết máy phân xưởng sản xuất biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N (µ, σ ) với σ = 3cm a Lấy ngẫu nhiên 36 chi tiết đem đo thu độ dài trung bình x = 20cm Hãy tính khoảng tin cậy µ = EX , với độ tin cậy 95% b Cần lấy mẫu kích thước với độ tin cậy 99% với sai số không vượt 0,3 cm Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 giá trị tới hạn mức 0,005 2,58 D LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: Hai xạ thủ A B tập bắn Mỗi người bắn hai phát Xác suất bắn trúng đích A lần bắn 0,4; B 0,5 a Gọi X số phát bắn trúng A trừ số phát bắn trúng B Tìm phân bố xác suất X , kỳ vọng E X phương sai D X b Tìm phân bố xác suất Y = X kỳ vọng EY Câu 2: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất X P k 2k 2k 3k k2 2k 7k + k a Xác định k b.Tính xác suất P{ X ≥ 5} P{ X < 3} c Tính kỳ vọng E X d Tính phương sai D X Câu 3: Có sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy sản phẩm (lấy khơng hồn lại) a Gọi X "số phế phẩm gặp phải" Lập bảng phân bố xác suất X b Tính kỳ vọng E X phương sai D X c Gọi Y "số phẩm gặp phải" Lập hệ thức cho biết mối quan hệ Y X d Tính kỳ vọng EY phương sai DY Câu 4: Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố xác suất đồng thời Y 0,12 0,15 0,03 0,28 0,35 0,07 X a Tìm bảng phân bố xác suất thành phần X Y b X , Y có độc lập khơng? c Tìm bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên Z = XY d Tính EZ Câu 5: Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố xác suất X P 0,15 0,30 0,25 0,20 0,08 0,02 Y P 0,30 0,20 0,2 0,15 0,10 0,05 a Tính kỳ vọng EX , EY b Tính phương sai DX , DY c Tính xác suất P { X + Y ≤ 3} , kỳ vọng E ( X − Y ) phương sai D ( X − Y ) X , Y độc lập Câu 6: Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập có phân bố xác suất X P 0,4 0,3 0,2 0,1 Y P 0,10 0,30 0,40 0,15 0,05 a Tính phân bố xác suất đồng thời X , Y b Tính xác suất P { X > Y } Câu 7: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất X P 0,10 0,20 0,30 0,25 0,15 Xét biến ngẫu nhiên Y = X − X + 10 a Tìm bảng phân bố xác suất Y b Tính kỳ vọng EY phương sai DY Câu 8: Cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập X , Y có bảng phân bố xác suất sau: X Y P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,8 Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên a Z = X + Y b T = XY Câu 9: a Muốn ước lượng số cá hồ, người ta bắt 2000 cá hồ đánh dấu thả lại xuống hồ Sau bắt lại 400 thấy có 53 có dấu Hãy ước lượng số cá hồ với độ tin cậy 0,95 b Để so sánh trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành thị nông thôn, người ta theo dõi 10.000 cháu thu bảng sau Số cháu cân Trung bình mẫu x Độ lệch mẫu s Nơng thơn 8.000 3,0 kg 0,9 kg Thành thị 2.000 3,2 kg 0,4 kg Vùng Với mức ý nghĩa α = 0,05 coi trọng lượng trẻ sơ sinh thành thị cao nông thôn không? Giả thiết trọng lượng trẻ sơ sinh biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Cho biết giá trị tới hạn mức 0,05 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) tương ứng 1,64 1,96 Câu 10: a) Tại vùng rừng nguyên sinh, người ta đeo vòng cho 1000 chim thuộc loài quý Sau thời gian bắt lại 200 thấy có 40 có đeo vịng Hãy ước lượng số chim vùng rừng với độ tin cậy 95% b) Sau theo dõi thời gian hồn thành sản phẩm hai cơng nhân A B ta có kết sau: Kết Số sản phẩm Trung bình mẫu x Độ lệch mẫu s Công nhân A 50 32 phút phút Công nhân B 60 30 phút phút Với mức ý nghĩa α = 0,05 coi cơng nhân B hồn thành sản phẩm nhanh cơng nhân A khơng Giả sử thời gian hoàn thành sản phẩm hai cơng nhân hai biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 11: a) Cho X i ( i = 1, n ) biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn với E ( X ) = E ( X ) = = E ( X n ) = µ ; D( X ) = D( X ) = = D( X n ) = σ { } Lập cơng thức tính P X − µ < ε theo hàm phân bố Φ phân bố chuẩn tắc N (0;1) , biết X = n ∑ X i tuân theo quy luật chuẩn ε > tùy ý n i =1 b) Tỉ lệ phế phẩm máy tự động sản xuất 5% Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 sản phẩm phế phẩm Từ có ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất có chiều hướng tăng lên Hãy kết luận ý kiến với mức ý nghĩa α = 0, 025 Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 Câu 12: a) Giả sử biến ngẫu nhiên gốc có phân bố khơng – A( p ) Chọn mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 10 Hãy tính kỳ vọng phương sai trung bình mẫu b) Thống kê số tai nạn lao động hai xí nghiệp có số liệu sau: Xí nghiệp Số cơng nhân Số tai nạn lao động I 200 20 II 800 120 Với mức ý nghĩa α = 0,05 kết luận xem chất lượng cơng tác bảo hộ lao động hai xí nghiệp có khác khơng? Cho biết giá trị tới hạn mức 0,025 phân bố chuẩn tắc N(0;1) 1,96 10 a Xác suất hỏng bóng điện thứ : P ( A1 ) = 0,1 Xác suất hỏng bóng điện thứ hai : P ( A2 ) = 0, Khi mắc nối tiếp xác suất để mạch khơng có điện bóng hỏng là: P ( A) = P( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 A2 ) = 0,1 + 0, − 0,1.0, = 0, 28 b Khi mắc song song xác suất để mạch khơng có điện bóng hỏng là: P ( A) = P( A1 A2 ) = 0, 02 Câu 5: Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, đồng chất số khả xảy 6.6 = 36 A biến cố xuất tổng số nốt lẻ P ( A) = 18 / 36 = 1/ B biến cố xuất mặt chấm P ( B) = 12 / 36 = 1/ 1 P ( AB ) = = ; 23 P( A ∪ B) = ; 36 P ( AB ) = − P ( AB ) = Câu 6: Gọi Bi biến cố xạ thủ xét thuộc nhóm thứ i, i=1,2,3,4 Gọi A biến cố xạ thủ bắn trượt Theo đề ta có: P ( B1 ) = , P ( B2 ) = , P ( B3 ) = , P ( B4 ) = 18 18 18 18 P ( A B1 ) = 0, 2, P ( A B2 ) = 0,3, P ( A B3 ) = 0, 4, P ( A B4 ) = 0,5 P ( A ) = P ( B1 ) P ( A B1 ) + P ( B2 ) P ( A B2 ) + P ( B3 ) P ( A B3 ) + P ( B4 ) P ( A B4 ) = 57 × 0, + × 0,3 + × 0, + × 0,5 = 18 18 18 18 18 Áp dụng công thức Bayes, ta thu P ( B1 A ) = tương tự P ( B2 A ) = P ( B1 ) P ( A B1 ) 21 16 10 , P ( B3 A ) = , P ( B4 A ) = 57 57 57 Vậy xạ thủ có khả nhóm thứ hai Câu 7: a Ta có: ∞ ∫ −∞ f ( x)dx = k ∫ xdx + 3k = ⇔ P ( A) 7k =1 ⇒ k = ; 16 × 0, 10 = 18 = , 57 57 18 nÕu x ≤    x  Vậy hàm phân bố xác suất : F ( x ) =   + ( x − 1) 7   1 2 2 x3 b EX = ∫ x dx + ∫ xdx = 70 71 EX = 1 x2 + 2 x4 x dx + ∫ x dx = 7∫ 71 ⇒ DX = E X − ( E X ) = nÕu < x ≤ nÕu < x ≤ nÕu < x = 47 = 2, 238 21 x3 + = 85 14 85  47  937 − ÷ = = 1, 062 14  21  882 Câu 8: a) Gọi X “số nữ có nhóm chọn” i) P { X = 0} = P { X = 3} = C6 C10 C4 C6 C10 2 C4C6 15 C4 C6 = , P { X = 1} = = , P { X = 2} = = , 30 30 30 C10 C10 = 30 X P ii) EX = × 5/30 15/30 9/30 1/30 15 36 + 1× + × + × = = 30 30 30 30 30 Câu 9: a) Tìm bảng phân bố xác suất X : X P 2 C8 / C18 1 C8C10 / C18 2 C8 C10 / C18 X P 28 /153 80 /153 /17   0,1830  b) hàm phân bố xác suất X : f ( x) =  0, 7059   17 nÕu nÕu nÕu nÕu x≤0 < x ≤1 1< x≤ x>2 Câu 10: Gọi X số lần thu tín hiệu lần phát độc lập X ~ B ( 5; 0, ) 2 a Xác suất thu tín hiệu lần P { X = 2} = C5 0, 0,3 = 0,132 b Xác suất thu tín hiệu P { X ≥ 1} = − P { X = 0} = − 0, 002 = 0,998 Câu 11: a Biểu đồ đa giác tần suất mẫu cụ thể trên: b Doanh số trung bình: 10,1.2 + 10, 2.3 + 10, 4.8 + 10,5.13 + 10, 7.25 + 10,8.20 + 10,9.12 + 11.10 + 11,3.6 + 11, 4.1 + + + 13 + 25 + 20 + 12 + 10 + + = 10,74 x= Phương sai mẫu có hiệu chỉnh: ∑ xi − x s2 = n −1 ni = (10,1 − 10, 47) 2 + (10, − 10, 47) + + (11, − 10, 47) = 0, 0678 99 Câu 12: Gọi µ mức hao phí xăng trung bình ôtô chạy từ A đến B Ta kiểm định giả thiết H : µ = 50 ; đối thiết H1 : µ < 50 Test thống kê T = ( 50 − X ) S n Miền bác bỏ 18 A = { T > 1,96} Theo mẫu ta có x= s= ∑ xi ni = 48, 75.5 + 49, 25.10 + 49, 75.10 + 50, 25.3 + 50, 75.2 = 49,53 n 30 ∑ xi − x (48, 75 − 49,53) + (49, 25 − 49,53) 10 + + (50, 75 − 49,53) 2 = = 0,55 29 ni n ⇒ T= ( 50 − 49,53) 30 0,55 = 4, 68 > 1,96 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa mức hao phí xăng có giảm xuống Câu 13: Gọi µ thời gian trung bình hồn thành sản phẩm Ta kiểm định giả thiết H : µ = 14 ; đối thiết H1 : µ ≠ 14 ( X − 14 ) Test thống kê T = Đặt ui = xi − 15 n S ⇒ ∑ riui = ; ∑ riui = 300 ⇒  ( ∑ riui  s =2 × ∑ riui − n n −1   2 ⇒ T= ( 15 − 14 ) 300 2,195 { } Miền bác bỏ A = T > 1,96 ) x = 15 ;   = × 300 −  = 4,819 ⇒ s = 2,195  249  300     = 7,89 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa cần thay đổi định mức Câu 14: Gọi µ số hố đơn trung bình hệ thống máy tính xử lý Ta kiểm định giả thiết H : µ = 1300 ; đối thiết H1 : µ > 1300 Test thống kê T = Theo mẫu ta có T = ( X − 1300 ) n S ( 1378 − 1300 ) 215 Miền bác bỏ Wα = { T > 1,96} 40 = 2, 294 > 1,96 Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa hệ thống máy tính xử lý tốt Câu 15: Miền bác bỏ Wα = { T > 1,96} Theo mẫu ta có x= ∑ xi ni = 19.10 + 20.60 + 21.20 + 22.5 + 23.5 = 20,35 n 100 19 Tqs = ( 20 − X ) δX n = (20 − 20,35) 100 = −1, 75 ⇒ Tqs ∉ Wα Vậy chưa có sở nói máy móc hoạt động khơng bình thường C LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: a) Xác suất hai người bắn trượt là: P ( X = 0) = (1 − 0, 7).(1 − 0,8) = 0, 06 Xác suất hai người bắn trúng là: P ( X = 2) = 0, 7.0,8 = 0,56 Xác suất có người bắn trúng P ( X = 1) = − P ( X = 0) − P ( X = 2) = − 0, 06 − 0,56 = 0,38 bảng phân bố xác suất X : X P 0,06 0,38 0,56 b) hàm phân bố xác suất X  0, 06  f ( x) =  0, 44   nÕu nÕu nÕu nÕu x≤0 < x ≤1 1< x ≤ x>2 c) EX = ∑ xi pi = 0.0, 06 + 1.0,38 + 2.0,56 = 1,5 EX = ∑ xi2 pi = 2.0, 06 + 12.0,38 + 22.0,56 = 2, 62 DX = EX − ( EX ) = 2, 62 − 1,52 = 0,37 Câu 2: a) Gọi A1 biến cố phẩm lấy từ lô I ⇒ P ( A1 ) = /10 = 0,8 A2 biến cố phế phẩm lấy từ lô I ⇒ P ( A2 ) = /10 = 0, { A1 , A2 } hệ đầy đủ biến cố X biến cố lấy phẩm P ( X ) = P ( A1 ).P ( X / A1 ) + P ( A2 ).P ( X / A2 ) X = ⇒ P ( X / A1 ) = /12; P( X / A2 ) = /12 ⇒ P ( X ) = 0,8 X P 0,0639 0,4388 0,4973 20  0, 0639  f ( x) =  b) 0,5027   nÕu nÕu nÕu nÕu x≤0 < x ≤1 1< x ≤ x>2 c) EX = ∑ xi pi = 0.0, 0639 + 1.0, 4388 + 2.0, 4973 = 1,3934 EX = ∑ xi2 pi = 02.0, 0639 + 12.0, 4388 + 22.0, 4973 = 2, 428 DX = EX − ( EX ) = 2, 428 − 1,3934 = 0, 4064 Câu 3: P ( X = 1/ 3) = 0, 65.0, 4.0, = 0,182 ; P ( X = / 3) = 0, 65.0, 6.0, = 0, 273 ; P ( X = / 3) = 0,35.0, 4.0, + 0, 65.0, 4.0,3 = 0,176 ; P ( X = / 3) = 0,35.0, 6.0, + 0, 65.0, 6.0,3 = 0, 264 ; P ( X = / 3) = 0,35.0, 4.0,3 = 0, 042 ; P ( X = / 3) = 0,35.0, 6.0,3 = 0, 063 ; 1/3 0,182 X P 2/3 0,273 3/3 0,176 4/3 0,246 5/3 0,042 6/3 0,063 E X = ∑ X i Pi = 1/ 3.0,182 + / 3.0, 273 + + / 3.0, 063 = 0,9427 2 E X = ∑ X i Pi = ( 1/ 3) 0,182 + ( / 3) 0, 273 + + ( / ) 0, 063 = 1,1236 2 ( DX = EX − EX ) 2 = 1,1236 − 0,9427 = 0, 2349 Câu 4: k >  ⇔ k = 1/15 a Điều kiện:  ∑ pi = 15k =  −9 −7 + = 15 15 15 EY = 1.(5k ) + 2.(5k ) = 15k = EX = −1.9k + 1.2 k = b cov ( X , Y ) = ∑∑ xi y j p ( xi , y j ) − EX EY = −1.1 ⇒ ρ ( X ,Y ) = 21 − 1.2 + 1.1 + = 15 15 15 15 c X , Y khơng độc lập P { X = 1} = , P { Y = 2} = P { X = 1, Y = 2} = 15 15 Câu 5: a) Bảng phân bố xác suất X Y : X Y P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P 1/2 1/2 b) Bảng phân bố xác suất đồng thời X Y: X 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 Y Câu 6: a Vì  x3 x  16 ⇒ k= x ( − x ) dx =  − ÷ = −4= ∫  4 ÷  0 1  x3 x  b P { X < 1} = ∫ x ( − x ) dx =   − ÷ = − = 12 ÷  0 c EX = ∫ x3 ( − x ) dx = EX = ∫ x ( − x ) dx = x=2  x4 x5  8   − ÷ = 3 − ÷= 4 ÷ 5    x=0 x =2  x5 x 1 ữ = ì 16  − ÷ =  4 ÷ 5 6   x =0 6 ⇒ DX = EX − ( EX ) = −  ÷ = 5 25 Câu 7: 1  x3 kx  k + 3k ⇒ + 3k = ⇒ k = / a ∫ ( x + kx)dx =  + ÷ = + =  ÷   0 nÕu x ≤ 0  f ( x) = 2 x + 4/3 nÕu < x < 0 nÕu x ≥  b P = ( { 1/ ≤ X < 5} U{ X ≥ 2} ) = F (1) − F (1/ 2) = Câu 8: 22 11 17 − = 12 12 a Gọi X số gọi khoảng thời gian 10 giây X có phân bố Poisson tham số λ = 1/ Vậy xác suất có gọi khoảng thời gian 10 giây P { X ≥ 1} = − P { X = 0} = − e −1/ = 0, 2825 b Gọi Y số gọi khoảng thời gian phút Y có phân bố Poisson tham số λ = Vậy xác suất có nhiều ba gọi khoảng thời gian phút P { Y ≤ 3} = 0,151 c Gọi Z số gọi khoảng thời gian phút Z có phân bố Poisson tham số λ = Xác suất có nhiều gọi khoảng thời gian phút P { Z ≤ 1} = 0, 406 Vậy xác suất để khoảng thời gian phút liên tiếp phút có nhiều gọi P { Z ≤ 1} = 0, 4063 = 0, 0067 Câu 9: a) Bảng phân bố xác suất thành phần X Y: 263041500,140,380,230,25 2,32,70,290,71 b) X Y = 2, 26 30 41 50 0,09/0,71=0,1268 0,3/0,71=0,4225 0,11/0,71=0,1549 0,21/0,71=0,2958 P Y X = 26 P 2,3 2,7 0,05/0,14=0,357 0,09/,014=0,643 Câu 10: a) Bảng phân bố xác suất thành phần X Y: 0120,160,480,36 b) Bảng phân bố xác suất có điều kiện X Y = X Y =0 P 0,1/0,6=1/ 0,3/0,6=3/ 0,2/0,6=2/6 c) E  X Y =  = + + =   6 6 Câu 11: EX = 0,1.0, + 0, 4.0,3 + 0,5.0, = 0, 44 EX = 0,12.0, + 0, 42.0,3 + 0, 2.0,5 = 0, 23 DX = EX − ( EX ) = 0, 23 − 0, 442 = 0, 0364 23 010,60,4 { } P X − EX < 0, ≥ − DX ( 0, ) = 1− 0, 0364 = 0,909 0, Vậy P ≥ 0,909 Câu 12: xi − 18, 25 Đặt ui = ⇒ x =5 ∑ ui + 18, 25 n (16, 75 − 18, 25).3 + (17, 25 − 18, 25).5 + + (19, 25 − 18, 25).3 (−1,8) = = + 18, 25 = 18, 025 5.40 40 2 2   52  ( ∑ ui )  = 25  0, 76 − ( −1,8 )  = 0, 435 s = ∑ ui − n  39  n −1  40      ⇒ s = 0, 66; uβ s 0, 66 = 1, 64 × = 0,171 n 40 a) Khoảng tin cậy 90%: [ 18, 025 − 0,171;18, 025 + 0,171] ⇔ [ 17,854; 18,196] b) Kích thược mẫu cần thiết n ≥ u 2β s2 ε2 = 1, 642.0, 662 = 116,99 chọn n = 117 0,12 Câu 13: Đặt ui = ⇒ x =2 xi − 47 ∑ ui + 47 = (41 − 47).7 + (43 − 47).13 + + (51 − 47).5 = ( −47 ) + 47 = 46, 06 n 200 100 2 2   22  ( ∑ ui )  = 175 − ( −47 )  = 6,178 s = ∑ ui − n  99  n −1  100      ⇒ s = 2, 486; uβ s 2, 486 = 1,96 × = 0, 487 n 100 a) Khoảng tin cậy 95%: [ 46, 06 − 0, 487; 46, 06 + 0, 487 ] ⇔ [ 45,573; 46,547 ] b) Kích thược mẫu cần thiết n ≥ u 2β s2 ε2 = 1,962.2, 4862 = 148,33 chọn n = 149 0, 42 Câu 14: Đặt ui = xi − 50 ⇒ x = uβ ∑ ui + 50 = (−2).3 − 1.6 + 0.15 + 1.2 + 2.1 + 50 = −8 + 50 = 49, 704 n 27 σ = 1,96 × = 0,377 n 27 24 27 a) Khoảng tin cậy 95%: [ 49, 704 − 0,377 ; 49, 704 + 0,377 ] ⇔ [ 49,327 ; 50, 081] b) Kích thược mẫu cần thiết n ≥ u 2β σ ε2 = 1,962.12 = 384,16 chọn n = 385 0,12 Câu 15: uβ σ = 1,96 × = 0,98 n 36 a) Khoảng tin cậy 95%: [ 20 − 0,98 ; 20 + 0,98] ⇔ [ 19, 02 ; 20,98] b) Kích thược mẫu cần thiết n ≥ u 2β σ ε2 = 2,582.32 = 665, 64 chọn n = 666 0,32 D LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: Ai biến cố : “A bắn trúng i viên”, a) Kí hiệu: Bi biến cố : “B bắn trúng i viên”; i = 0, Dễ thấy P ( A0 ) = (1 − 0, 4).(1 − 0, 4) = 0,36; P ( A2 ) = 0, 4.0, = 0,16 ; P ( A1 ) = − P ( A0 ) − P ( A2 ) = 0, 48 Tương tự: P ( B0 ) = 0, 25 ; P ( B1 ) = 0,5 ; P ( B2 ) = 0, 25 Từ P { X = −2} = P ( A0 ) P ( B2 ) = 0, 09 P { X = −1} = P ( A0 ) P ( B1 ) + P ( A1 ) P ( B2 ) = 0,18 + 0,12 = 0,3 P { X = 0} = P ( A0 ) P ( B0 ) + P ( A1 ) P ( B1 ) + P ( A2 ) P ( B2 ) = 0,37 P { X = 1} = P ( A1 ) P ( B0 ) + P ( A2 ) P ( B1 ) = 0, P { X = 2} = P ( A2 ) P ( B0 ) = 0, 04 Vậy bảng phân bố xác suất X −2 0, 09 X P −1 0,3 0,37 0, 0, 04 EX = ( −2 ) × 0, 09 + ( −1) × 0,3 + × 0,37 + 1× 0, + × 0, 04 = −0, EX = ( −2 ) × 0, 09 + ( −1) × 0,3 + 02 × 0,37 + 12 × 0, + 22 × 0, 04 = 1, 02 2 DX = EX − ( EX ) = 1, 02 − ( −0, ) = 0,98 2 b) P { Y = 0} = 0,37 ; P { Y = 1} = P { X = 1} + P { X = −1} = 0,5 ; P { Y = 2} = P { X = 2} + P { X = −2} = 0,13 EY = × 0,37 + 1× 0,5 + × 0,13 = 0, 76 25 Câu 2: k >  pi > k >    ⇒   k = −1 ⇒ k = 1/10 a) Điều kiện  p = ⇒  ∑ i 10k + 9k =     i    k = 1/10 b) P { X ≥ 5} = k + 10k = c) EX = ∑ X i Pi = 10 + = = ; P { X < 3} = 3k = 10 100 10 10 12 12 1  + + + + + + 7 + ÷ = 3, 66 10 10 10 10 100 100  100 10  2 d) EX = ∑ X i Pi = 18 48 25 72 1  + + + + + + 49  + ÷ = 16,8 10 10 10 10 100 100  100 10  DX = EX − ( EX ) = 16,8 − ( 3, 66 ) = 3, 404 2 Câu 3: a) Gọi X “số phế phẩm gặp phải” X P 0, 0, b) ; 2 2 EX = ∑ X i Pi = 0, + 0, = 0, EX = ∑ X i Pi = 0.0, + 1.0, = 0, = DX = EX - ( EX ) = 0, − 0,16 = 0, 24 = 25 c) Gọi Y “số phẩm gặp phải” ⇒ Y = − X ; d) EY = E ( - X ) = − Y P 0, 0, = ; DY = 5 25 Câu 4: a) 120,30,7 1230,40,50,1 b) Các cột hàng bảng phân bố xác suất đồng thời tương ứng tỉ lệ với nhau, X , Y độc lập c) Z = XY P 0,12 0,43 0,03 0,35 0,07 d) EZ = ∑ Zi Pi = 1.0,12 + 2.0, 43 + 3.0, 03 + 4.0,35 + 6.0, 07 = 2,89 Câu 5: 26 a) EX = ∑ X i Pi = 0.0,15 + 1.0,3 + 2.0, 25 + + 5.0, 02 = 1,82 EX = ∑ X i2 Pi = 02.0,15 + 12.0,3 + 22.0, 25 + + 52.0, 02 = 4,88 DX = EX − ( EX ) = 4,88 − 1,822 = 1,5676 b) EY = ∑ Yi Pi = 0.0,3 + 1.0, + 2.0, + + 5.0, 05 = 1, EY = ∑ Yi Pi = 02.0,3 + 12.0, + 22.0, + + 52.0, 05 = 5, DY = EY − ( EY ) = 5, − 1, = 2,31 c) P { X + Y ≤ 3} = P { X + Y = 0} + P { X + Y = 1} + P { X + Y = 2} + P { X + Y = 3} P { X + Y = 0} = 0,15.0,3 = 0, 045 P { X + Y = 1} = 0,15.0, + 0,3.0,3 = 0,12 P { X + Y = 2} = 0,3.0, + 0,15.0, + 0, 25.0,3 = 0,165 P { X + Y = 3} = 0,3.0, + 0, 2.0, 25 + 0,15.0,15 + 0,3.0, = 0,1925 ⇒ P { X + Y ≤ 3} = 0, 045 + 0,12 + 0,165 + 0,1925 = 0,5225 E [ X − Y ] = EX - EY = 1,82 -1, = 0,12 ; D [ X − Y ] = 3,8776 Câu 6: a) Bảng phân bố xác suất đồng thời X Y: 0123400,040,120,160,060,0210,030,090,120,0450,01520,020,060,080,0 30,0130,010,030,040,0150,005 b) P { X > Y } = 0, 03 + 0, 06 + 0, 02 + 0, 01 + 0, 03 + 0, 04 = 0,19 Câu 7: a) Bảng phân bố xác suất Y Y 0,25 P 0,30 0,20 10 0,25 b) EY = ∑ Yi Pi = 1.0, 25 + 2.0,3 + 7.0, + 10.0, 25 =4, 75 27 EY = EY = ∑ Yi Pi = 12.0, 25 + 22.0,3 + 2.0, + 102.0, 25 =36, 25 DY = EY − ( EY ) = 36, 25 − 4, 752 = 13, 6875 Câu 8: a) Bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên Z = X + Y Z 0,40 0,06 0,10 0,28 P 0,16 b) Bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên T = X.Y T P 0,06 0,10 0,04 0,24 12 0,40 20 0,16 Câu 9: a) Tần suất mẫu f = 53 , điều kiện 400  nf = 53 > 10   n(1 − f ) = 347 > 10 Gọi p xác suất bắt cá có đánh dấu, khoảng tin cậy 95% p : uβ f (1 − f ) n = 1,96 53 × 347 = 0, 0332 400 400 Khoảng ước lượng [ 53 / 400 − 0, 0332 ; 53 / 400 + 0, 0332] ⇔ [ 0, 0993 ; 0,1657 ] Mặt khác p = 2000 , N số cá hồ N Vậy 0, 0993 < 2000 2000 2000 1, 645} Theo mẫu ta có Tqs = 1, 486 < 1, 645 Vậy chưa có sở để bác bỏ H , nghĩa chưa thể coi trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành phố cao nông thôn Câu 10: a) Tần suất mẫu f =  nf = 40 > 10 40 = 0, , điều kiện  200  n(1 − f ) = 160 > 10 Gọi p xác suất bắt chim có đánh dấu, khoảng tin cậy 99% p : uβ f (1 − f ) n = 2,575 0, 2.0,8 = 0, 0729 200 Khoảng ước lượng [ 0, − 0, 0729 ; 0, + 0, 0729] ⇔ [ 0,1271 ; 0, 2729 ] Từ tổng số chim N vùng rừng nằm khoảng sau Vậy 0,1271 < 1000 1000 1000 Tα (k )} Từ mẫu cụ thể ta có Tqs ∉Wα Vậy chưa có sở để bác bỏ H Câu 11: σ2 a) E ( X ) = µ ; D( X ) = n { } ε n   ⇒ P X − µ < ε = 2Φ  σ  −1   b) Gọi p tỉ lệ phế phẩm nhà máy sản xuất H : p = 0, 05 ; đối thiết Ta kiểm định giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định T = Từ mẫu cụ thể ta có f = Tqs = ( f − 0, 05 ) n 0, 05 ( − 0, 05 ) H1 : p > 0, 05 Miền bác bỏ Wα = {T > 1,64}  nf = 24 > 24 = 0, 08 thoả mãn điều kiện  300  n(1 − f ) = 276 > (0,08 − 0,05) 300 0,05(1 − 0,05) = 2,384 ∈ Wα Vậy bác bỏ H chấp nhận H1 , nghĩa tỉ lệ phế phẩm nhà máy có xu hướng tăng lên Câu 12: a) Ta có EX = p ; DX = p (1 − p ) Do E X = p ; D X = p (1 − p ) 10 b) Miền bác bỏ Wα = { T > 1,96} Từ mẫu cụ thể ta Tqs = 1,85 ∉ Wα Vậy chưa có sở để bác bỏ H , nghĩa chưa có sở để kết luận công tác bảo hộ lao động hai xí nghiệp có khác Câu 13: a) Nhóm I: x = s2 = 42.4 + 44.5 + 45.20 + 58.10 + 60.8 + 64.3 = 50,8 50 (42 − 50,8) + (44 − 50,8) + + (64 − 50,8) = 42,39 ; s = 6,51 49 Nhóm II: x = 46.2 + 48.40 + 51.8 = 48, ; 50 29 s2 = (46 − 48, 4)2 + (48 − 48, 4) 40 + (51 − 48, 4) = 1, 47 ; s = 1, 21 49 Như thời gian hoàn thành sản phẩm nhóm I lâu khơng đồng nhóm II b) Tần suất mẫu f = = 0, 04 , điều kiện 200  nf = >   n(1 − f ) = 192 > Gọi p xác suất đồ hộp bị biến chất kho đó, khoảng tin cậy 95% p : uβ f (1 − f ) n = 1,96 0, 04.0,96 = 0, 0275 200 Khoảng tin cậy 0, 0125 < p < 0, 0675 Câu 14: a) Gọi X số máy hỏng ca X có phân bố nhị thức EX = 0,5 , DX = Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép ta có i) P { X − 0, 05 < 2} ≥ − ii) P { X − 0, 05 ≥ 2} ≤ 0, 475 = 0,88 ; 22 0, 475 = 0,12 22 b) Gọi X , Y mức độ tăng trưởng dịch vụ bưu áp dụng theo phương pháp kinh doanh I II, X ~ N (µ1 , σ1 ) ; Y ~ N (µ , σ ) Ta kiểm định giả thiết H0: µ1 = µ ; đối thiết H1: µ1 < µ Tiêu chuẩn kiểm định Từ mẫu cụ thể ta có T= Tqs = X − X1 S12 S2 Miền bác bỏ Wα = { T > 1, 64} + n1 n2 12 − 11 22 32 + 100 150 = 3,1623 ∈ Wα phương pháp I 30 Vậy phương pháp II hiệu