Bài 1: ( 3,0 điểm) a. Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 19911992. Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 1992 không? Tại sao? b. Chứng minh rằng số A = 1+1919+93199+19931994 không phải là số chính phương. Bài 3: ( 3,0 điểm) Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x.y2.z2 + x2.z+y = 3z2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P= z4
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2015 – 2016 MÔN: TOÁN Thời gian: 150’ (không kể thời gian phát đề) PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS T.T PHÙ MỸ ĐỀ ĐỀ XUẤT Bài 1: ( 3,0 điểm) a Cho hai số tự nhiên a, b cho a.b = 19911992 Hỏi tổng a + b chia hết cho 1992 khơng? Tại sao? b Chứng minh số A = + 1919 + 93199 + 19931994 khơng phải số phương Bài 2:( 4,0 điểm) a Cho x= 2 +1 − 1 − +1 + Tính giá trị biểu thức: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2014 b Giải phương trình: 12x + 13 − 4x + 13 = x + Bài 3: ( 3,0 điểm) Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 2z2 + x2z+y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: z4 P= + z4 x + y4 ( ) Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = Chứng minh: a3 b3 c3 + + ≥ ( 1+ b) ( + c) ( + c) ( + a ) ( + a ) ( + b ) Bài 5: ( 3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng DC N Chứng minh: 1 + = 2 AM AN AB Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH phân giác AD · · Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, Chứng minh DEC > ACB Chứng minh CD > CM Chứng minh điểm D nằm điểm H M …… ………….Hết………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TỐN Bài Đáp án Biểu điểm 0,25 điểm a) Ta có: a.b = 19911992 = 111992.1811992 a = 11k.181h ⇒ ( k, h ∈ N ) 1992 − k 1811992−h b = 11 (3,0 điểm) 181h ≡ 1811992−h ≡ 1( mod 3) 0,5 điểm * Nếu k chẵn thì: 0,5 điểm 11 ≡ 1( mod 3) k 1992 − k ≡ 1( mod 3) 1992 - k chẵn ⇒ 11 1992 Suy ra: a + b ≡ ( mod 3) ⇒ a + b M * Nếu k lẻ thì: 0,5 điểm 11 ≡ ( mod 3) k 1992 − k ≡ ( mod 3) 1992 - k lẻ ⇒ 11 1992 Suy ra: a + b ≡ 1( mod 3) ⇒ a + bM 1992 Vậy: a + b M b Ta có: 0,25 điểm 19 ≡ −1( mod ) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 93 ≡ 1( mod ) 1993 ≡ 1( mod ) Suy ra: A = - + + = 2(mod4) Vậy A khơng phải số phương (4,0 điểm) a Ta có 0,25 điểm x= 1 − +1 − +1 + = +1 +1 − +1 +1 0,5 điểm +1−1 = = 2 0,5 điểm Ta lại có: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2014 = ( x − 1) ( x − x + 1) 2014 0,5 điểm Thay x = A= ( 0,5 điểm vào A, ta được: )( ) −1 2 − +1 2014 = 2014 ( )( −1 ) +1 2014 = = b Điều kiện: x ≥ −1 Nhân vế phương trình với biểu thức liên hợp vế trái ta được: ( 12x + 13 − 4x + 13 ⇔ 8x = x + ( )( ) 12x + 13 + 4x + 13 = x + ) ( 12x + 13 + 4x + 13 ) 12x + 13 + 4x + 13 ( *) Từ 12x + 13 − 4x + 13 = x + suy x +1 = ( 12x + 13 − 4x + 13 ) x + ( **) Trừ vế phương trình (*) (**) ta được: 7x − = 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm ( x + 1) ( 4x + 13 ) x≥ x≥ ⇔ ⇔ ( 7x − 1) = ( x + 1) ( 4x + 13) 33x − 82x − 51 = x≥ ⇔ ⇔ x=3 x = 3; x = −17 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Vậy phương trình có nghiệm x = z4 = 4 Ta có: 1+ z x + y + x + y4 z 2 2 2 (3,0 điểm) Từ xy z + x z+y = 3z ⇒ xy + x z + y z = Đặt = t , ta thu tốn sau: z P= ( ) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm " Với x, y, t số dương thỏa mãn xy2 + yt2 + tx2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = " x + y4 + t 4 Áp dụng bất đẳng thức Cơ -si cho bốn số dương, ta có: x + y + y + ≥ 4xy 4 y + t + t + ≥ 4yt t + x + x + ≥ 4tx ( ) 0,75 điểm ( ) ⇒ x + y + t + ≥ xy + yt + tx = 12 ⇒ x + y4 + t ≥ 1 ⇒ ≤ 4 x +y +t Vậy Pmax = đạt x = y = z = 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Áp dụng bất đẳng thức Cơ -si cho ba số dương, ta có: (3,0 điểm) a3 1+ b 1+ c a3 1+ b 1+ c + + ≥ 33 = a ( 1+ b) ( + c) (1+ b) (1+ c) 8 0,5 điểm Tương tự: b3 1+ c 1+ a + + ≥ b ( 1+ c) ( 1+ a ) 0,5 điểm c3 1+ a 1+ b + + ≥ c ( 1+ a ) ( 1+ b) 0,5 điểm Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: a3 b3 c3 3 + + + ( a + b + c) + ≥ ( a + b + c) 4 ( + b) ( + c) ( 1+ c) ( + a ) ( + a ) ( + b ) 0,5 điểm a3 b3 c3 3 3 ⇒ + + ≥ ( a + b + c ) − ≥ abc − = 0,75 điểm 4 ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ c) ( 1+ a ) ( 1+ a ) ( 1+ b) Đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 điểm Vẽ hình (3,0 điểm) 0,5 điểm ∧ Trên cạnh DC lấy điểm E cho góc DAE 150, suy NAE = 900 ⇒ ∆DAE = ∆BAM (g.c.g) 0,75 điểm ⇒ AE =AM Xét tam giác EAN vng A, đường cao AH, ta có: 1 + = 2 AE AN AH 1 + = 2 AM AN AH suy ra: 0,25 điểm (1) 3 Xét tam giác ADC, đường cao AH, ta có: AH = AD = AB 4 0,5 điểm (2) Từ (1), (2) suy 1 + = 2 AM AN AB 0,5 điểm 0,5 điểm Vẽ hình 0,5 điểm (4,0 điểm) 1) Ta có: ∆ABD = ∆AED (c-g-c) µ µ ¶ ¶ ⇒ B = E1 , D1 = D2 DB = DE (1) A µ µ µ ¶ Vì µ + B + C = E1 + E2 = 1800 ¶ µ µ ⇒ E2 = A + C ⇒ 2) Vì (câu 1) ⇒ CD > DE Mà DB = DE (1) Nên: CD > DB Lại có MB = MC (M trung điểm BC) ⇒ CD > CM · 3) Ta có: ADC > · ADE ( E ∈ AC) ¶ =D ¶ Và D1 · · Nên: ADC > ADB ⇒ góc tù ⇒ CH > CD ( đường cao nằm ngồi tam giác) Mà CD > CM (câu 3) Nên D nằm H M 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Chú ý: Mọi cách làm khác lập luận chặt chẽ tính điểm tối đa theo biểu điểm bài, câu