08 bai toan lap pt mat phang p2 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ GÓC – KHOẢNG CÁCH Phương pháp giải: Giả sử mặt phẳng cần lập có véc tơ véc tơ pháp tuyến nP = (a; b; c), a + b2 + c ≠ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d vuông góc với véc tơ phương d ( P ) : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = Khi ta có  nQ ud = ⇔ a = f (b; c) Từ kiện góc, khoảng cách ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo ẩn a, b, c Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải b = m.c b = n.c Chọn cho c = 1, từ tim giá trị tương ứng a b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình có dạng x x x Ax + Bxy + Cy = ⇔ A   + B   + C = ⇒ = t ⇔ x = t y y b  y 2 Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hai mặt phẳng ( α ) : x + y − z + = 0; (β ) : x − y + = 30 Ví dụ 2: [ĐVH] Lập phương trình (P) qua A(1; −1;0), B (2; −1; −1) cho khoảng cách từ M(–2; 1; 3) đến (P) Đ/s: ( P) : x + y + z − = 0;( P ) : x − y + z − = x +1 y z + Ví dụ 3: [ĐVH] Lập phương trình (P) chứa d : = = cho khoảng cách từ A(–3; 1; 1) đến (P) 1 −2 Đ/s: ( P ) : x + y + z + = x − y +1 z Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ∆ : = = ;( P ) : x + y − z + = −1 Lập (Q) // ∆; (Q) ⊥ (P) đồng thời khoảng cách từ A(1; 2; 0) đến (P) 30 Đ/s: (Q ) : x + y + z + = Ví dụ 5: [ĐVH] Lập phương trình (P) qua A(−1;2;1), vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ điểm B (1;1; −3) đến (P) Đ/s: ( P) : x + y = Lập (P) vuông góc với hai mặt phẳng cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3; 1; 1) đến (P) x = + t  Ví dụ 6: [ĐVH] Cho d :  y = − 2t điểm A(1;1;2), B (3;1; −1)  z = −t  Lập (P) chứa d cho khoảng cách từ A tới (P) hai lần khoảng cách từ B tới (P) Đ/s: ( P ) : y − z = 0;( P ) : x + y + z − 17 = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x −1 y +1 z điểm A(1;2; 2), B (4;3;0) = = −1 −2 Lập (P) chứa d cho khoảng cách từ A tới (P) khoảng cách từ B tới (P) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho d : Đ/s: ( P) : x − y + z − 10 = 0;( P ) :12 x − 10 y + 17 z − 22 = Ví dụ 8: [ĐVH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) (P): x + 2y + z −3= Viết phương trình (Q) chứa AB tạo với (P) góc α thỏa mãn cos α = Hướng dẫn giải: Giả sử (Q) có véc tơ pháp tuyến nQ = (a; b; c), a + b + c ≠ (Q ) : a ( x + 1) + b( y − 2) + c( z + 3) = Mặt phẳng (Q) chứa A; B nên  nQ AB = ⇒ a − b − c = ⇔ a = b + c Theo bài, ( ( P);(Q ) ) = α ⇒ cos α = nP n Q nP n Q a + 2b + c = a +b +c 2 1+ +1 ⇔ ( a + 2b + c ) = a + b + c = b  c = −1 ⇔ ( 3b + 2c ) = 2b + 2c + 2bc ⇔ 8b + 11bc + 3c = ⇔  b = −  c +) Với b = −c, chọn c = 1; b = −1; a = ⇒ (Q ) : −( y − 2) + ( z + 3) = ⇔ y − z − = b +) Với = − , chọn c = 8; b = −3; a = ⇒ (Q ) : 5( x + 1) − 3( y − 2) + 8( z + 3) = ⇔ x − y + z + 35 = c Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 9: [ĐVH] Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) đường thẳng x y − z +1 d: = = Viết phương trình đường thẳng (∆) qua giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), −1 nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc α cho cos α = Hướng dẫn giải: Ta có OA = ( 2; −1;1) , OB = ( 0;1; −2 ) ⇒ OA, OB  = (1;4;2 ) = nOAB Do (OAB): x + 4y + 2z = (1)  x + y + 2z x = t  Gọi M = d ∩ (OAB) tọa độ M nghiệm hệ   → t = −10 ⇒ M = ( −10;13; −21) y = 3−t  z = −1 + 2t Vì ∆ ∈ ( OAB ) ⇒ nOAB u∆ = ⇔ a + 4b + 2c = ⇒ a = −4b − 2c, với u∆ = ( a; b; c ) Do : α = (d ; ∆ ) ⇒ cos α = ud u∆ ud u∆ = a − b + 2c a +b +c 2 1+1+ = a − b + 2c a +b +c 2 =  b=− c 2 2 2   ⇔ ( −5b ) = 25 ( 4b + 2c ) + b + c ⇔ 11b + 16bc + 5c = ⇔ 11    b = −c  x = −10 − 31t  +) Với b = − c , chọn c = 11; b = −5; a = −31 ⇒ ∆ :  y = 13 − 5t 11  z = −21 + 11t   x = −10 + 2t  +) Với b = −c , chọn c = 1; b = −1; a = ⇒ ∆ :  y = 13 − t  z = −21 + t  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 10: [ĐVH] Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(0;1;−2), vuông góc x+3 y−2 z với đường thẳng d : = = tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = góc 300 −1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có véc tơ phương u = (1; −1;1) , đường thẳng ∆ có véc tơ phương u∆ = ( a; b; c ) Mặt phẳng (P) có n = ( 2;1; −1) Gọi α = ( d ; P ) ⇒ sin α = ⇔ 2a + b − c = u∆ nP 2a + b − c = cos u∆ , nP = = u ∆ nP a + b2 + c + + ( ) ⇔ ( 2a + b − c ) = ( a + b + c ) , (*) a + b2 + c Mặt khác, d ⊥ ∆ ⇒ ud u∆ = ⇔ a − b + c = ⇔ b = a + c a = c Khi đó, ⇔ 2.9a = ( 2a + 2ac + 2c ) ⇔ 2a − ac − c = ⇔  a = − c  x = t  +) Với a = c ⇒ b = 2a, chọn a = c = 1; b = ⇒ ∆ :  y = + 2t  z = −2 + t  x = t  +) Với c = −2a ⇒ b = −a, chọn a = 1; b = −1; c = −2 ⇒ ∆ :  y = − t  z = −2 − 2t  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán 2 2 Ví dụ 11: [ĐVH] Trong không gian cho hai đường thẳng ∆1 : x y z x −1 y +1 z −1 = = ∆ : = = −2 1 −1 a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 Hướng dẫn giải: a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo nhau: Đường thẳng ∆1 có véc tơ phương u1 = (1; −2;1) qua O(0;0;0), Đường thẳng ∆2 qua B(1; −1; 1) có véc tơ phương u2 = (1; −1;3) Ta thấy hai véc tơ phương hai đường khác phương nên d1 d2 chéo nhau, cắt Mặt khác, u1 ; u2  = ( −5; −2; −1) ⇒ u1 , u2  OB = ≠ Vậy hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo b) Viết phương trình (P) Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (a; b; c), a + b2 + c ≠  B ∈ (Q ) ⇒ a( x − 1) + b( y + 1) + c( z − 1) = Mặt phẳng (Q) chứa ∆2 nên  nQ u∆ = ⇒ a − b + 3c = ⇔ a = b − 3c Theo bài, α = ( ∆1 ; P ) ⇒ sin α = ⇔ u∆1.nP a − 2b + c 1 = cos u∆1 , nP = ⇔ = 2 u∆1 nP a + b2 + c + + ( ) b − 3c − 2b + c = ⇔ 2b − 6bc + 10c = −b − 2c ⇔ 3(b − 3bc + 5c ) = b + 4bc + 4c 2 2 (b − 3c) + b + c b c =1⇔ b = c 2 2 2 ⇔ 3(b − 3bc + 5c ) = b + 4bc + 4c ⇔ 2b − 13bc + 11c = ⇔   b = 11 ⇔ b = 11 c  c 2 +) Với b = c, chọn c = 1; b = 1; a = −2 ⇒ ( P ) : −2( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = ⇔ x − y − z − = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b 11 = , chọn c = 2; b = 11; a = ⇒ ( P ) : 5( x − 1) + 11( y + 1) + 2( z − 1) = ⇔ x + 11 y + z + = c Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán +) Với BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: [ĐVH] Cho d : x + y z +1 = = điểm A(1;1;0), B (2; −3; −1) Lập (P) chứa d cho đường thẳng AB −1 cắt (P) điểm I thỏa mãn IA = 2IB x = 1+ t  Bài 2: [ĐVH] Lập phương trình (P) chứa d :  y = −1 + t khoảng cách từ điểm A(1; 2; –2) đến (P)  z = 2t  Bài 3: [ĐVH] Lập phương trình (P) chứa d : x − y +1 z = = khoảng cách từ điểm A(1; 2; –1) đến (P) −2 Bài 4: [ĐVH] Cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình d : x −1 y − z +1 = = ; −2 ( P ) : x − y + z + = Lập phương trình (Q) biết (Q) song song với d; vuông góc với (P) có khoảng cách đến d Bài 5: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; –2; 1), B(2; –3; 1) (P): 2x + 2y + z – = 0, lập phương trình (Q) song song với (P) cách hai điểm A, B Bài 6: [ĐVH] Cho đường thẳng ∆ : x +1 y − z + = = hai điểm M(2; 1; −4), N(−2; 3; 6) Viết phương trình mặt −3 phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ cách hai điểm M, N x = − t  Bài 7: [ĐVH] Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d :  y = t , ( P ) : x + y − z − =  z = −2 − t  Lập phương trình (Q) chứa d và tạo với (P) góc φ, biết cos φ = Đ/s: (Q): x + 2y + z + = Bài 8: [ĐVH] Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d : x y −1 z + = = , ( P ) : x + z + = −1 Lập phương trình (Q) chứa d và tạo với (P) góc 300 Đ/s: (Q): 2x – y + z + = Bài 9: [ĐVH] Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d : x −1 y − z +1 = = , ( P ) : x − z + = −2 a) Xác định số đo góc đường thẳng d mặt phẳng (P) b) Lập phương trình (Q) chứa d và tạo với (P) góc 600 Bài 10: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 0; 2) đường thẳng d : x + y −1 z + = = Lập phương trình mặt −2 −1 phẳng (P) qua hai điểm A, B tạo với d góc 600 Đ/s: (P1): x – z = (P2): x + y – = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 11: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng ∆ góc 600 biết  x = t x−2 y −3 z +5 d : y = − t, ∆: = = −1  z = t Đ/s: x – z = x + y – = Bài 12: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; -2; -2), B(0; -1; -2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (yOz) góc φ với cos φ = Đ/s: ( P ) : x + y + z + = x = t  Bài 13: [ĐVH] Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d :  y = , ( P ) : x + y − z + =  z = − 2t  Lập phương trình (Q) chứa d và tạo với (P) góc φ, biết cos φ = 15 Đ/s: (Q ) : x + z − = 0; (Q ) : x − y + z + = Bài 14: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;0;1), B (−2;3; −2) tạo với đường thẳng ∆: x + y z −1 35 = = góc φ với cos φ = −1 Đ/s: ( P) : x + y − z − = Bài 15: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : x + y z −1 = = tạo với mặt phẳng (yOz) −1 góc nhỏ nhất? Đ/s: ( cos φ )max = ⇒ ( P) : x − y + z = Bài 16: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : x + y +1 z = = tạo với mặt phẳng (xOy) 1 −2 góc nhỏ nhất? Đ/s: ( cos φ )max = 30 c ⇔t= = b Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!