Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG DẠNG ĐOẠN CHẮN Ví dụ 1: [ĐVH] Cho điểm A(3; 0; 0) điểm M(0; 2; –1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, M cho (α) cắt trục Oy, Oz lần lược điểm B, C cho VOABC = , với O gốc tọa độ x y z Đ/s: ( ABC ) : + + = 1 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho điểm A(–1; 0; 0) mặt phẳng (P): x + 2y + = Viết phương trình mặt phẳng qua A, vuông góc với (P) cắt trục Oy, Oz lần lược điểm B, C cho S ABC = y z + =1 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Viết phương trình (Q) chứa đường 125 ∆ = ( P) ∩ ( xOy ) cắt trục tọa độ A, B, C cho VOABC = 36 Đ/s: ( ABC ) : − x + Đ/s: ( ABC ) : x − y + 3z − = 0; x − y − 3z − = Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hai điểm M (1; 2;1) , N ( −1;0; −1) Viết (P) qua M, N cắt trục Ox, Oy theo thứ tự A, B (khác O) cho AM = 3BN Đ/s: ( P ) : x + y − z − = Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hai điểm M (1;9; ) Viết (P) qua M cắt trục tọa độ theo thứ tự A, B, C (khác O) cho 8OA = 120 B + 16 = 37OC , với xA > 0; zC < Đ/s: ( P ) : x + 20 y − 37 z − 40 = BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: [ĐVH] Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 0;(Q ) : x − y + z − = Gọi ∆ = ( P) ∩ ( Q ) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cắt trục tọa độ A, B, C cho VOABC = Đ/s: ( ABC ) :12 x ± y + z − 12 = Lời giải: Ta có: M ( 0;0;1) , N (1; 0;0 ) ∈ ∆ ⇒ M , N ∈ (α ) Giả sử A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c )( abc ≠ ) ⇒ (α ) : x y z + + =1 a b c M , N ∈ (α ) ⇒ a = c = VOABC = ⇒ y abc = ⇒ b = ⇒ (α ) : x + + z = 6 Câu 2: [ĐVH] Cho điểm A(0; 3; 0) điểm M(4; 0; –3) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, M cho (α) cắt trục Ox, Oz lần lược điểm B, C cho VOABC = , với O gốc tọa độ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: x y z Giả sử B ( b; 0;0 ) , C ( 0;0; c )( bc ≠ ) ⇒ (α ) : + + = b c − =1 x y 2z x y z b = −4; c = − b c + − = 1; + + = ⇒ ( ABC ) : ⇒ −4 3 = ⇒ bc = ⇒ bc = b = 2; c = M ∈ (α ) ⇒ VOABC Câu 3: [ĐVH] Cho điểm M(1; 2; 3), viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cho (α) cắt trục 1 + + nhỏ nhất, với O gốc tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho 2 OA OB OC Đ/s: ( ABC ) : x + y + 3z − 14 = Lời giải: x y z Giả sử: A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c )( abc ≠ ) ⇒ (α ) : + + = a b c M ∈ (α ) ⇒ Ta có: + + =1 a b c 1 1 1 + + = 2+ 2+ 2 2 OA OB OC a b c 1 1 + 2≥ a a 14 1 1 1 Do: + ≥ ⇒ + + ≥ b a 14 b b c 3 + 2≥ c c 14 a = 14 Dấu xảy b = ⇒ ( ABC ) : x + y + z − 14 = 14 c = Câu 4: [ĐVH] Cho điểm A(0; 2; 0) điểm M(1; 2; –2) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, M cho (α) cắt trục Ox, Oz lần lược điểm B, C cho VOABC = , với O gốc tọa độ x y z Đ/s: ( ABC ) : + + = 1 Lời giải: x y z Giả sử B ( b; 0;0 ) , C ( 0;0; c )( bc ≠ ) ⇒ (α ) : + + = b c + − = ⇒ c = 2b x y z b c ; c = ⇒ (α ) : + + =1 ⇒b = 5 5 = ⇒ 2bc = ⇒ 2bc = 6 M ∈ (α ) ⇒ VOABC Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu 5: [ĐVH] Cho điểm A(2; 0; 0) mặt phẳng (P): x – y + z + = Viết phương trình mặt phẳng qua A, vuông góc với (P) cắt trục Oy, Oz lần lược điểm B, C cho S ABC = Đ/s: ( ABC ) : x + y + z − = Lời giải: x y z Giả sử B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c )( bc ≠ ) ⇒ ( ABC ) : + + = b c 1 1 1 c −b Do ( P ) ⊥ ( ABC ) ⇒ + ( −1) + = ⇔ − = ⇒ = (1) b c b c bc Ta lại có: AB = ( −2; b; ) , AC = ( −2;0; c ) ⇒ AB; AC = ( 0; 2c; 2b ) AB; AC = b + c = ⇒ b + c = ⇔ ( c − b )2 + 2bc = ( ) 2 Từ ta có: ( ABC ) : x + y + z − = S ABC = Câu 6: [ĐVH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Lời giải: Gọi B giao điểm mặt phẳng với Ox, B(b; 0; 0) C giao điểm mặt phẳng với Oy, C(0; c; 0) x y z b c Khi đó, phương trình mặt phẳng có dạng + + = trọng tâm tam giác ABC : G ; ;1 b c 3 x y z −3 Ta có AM = (1; 2; −3) , suy phương trình đường thẳng AM : = = −3 b c −2 Vì G ∈ AM nên = = ⇒ b = −2, c = −4 Vậy phương trình mặt phẳng (P) x + y − z + 12 = Câu 7: [ĐVH] Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua I cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: Giả sử A(a; 0; 0), B(b; 0; 0), C(c; 0; 0), với abc ≠ x y z 1 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là: + + = (P) qua I nên + + = (1) a b c a b c Mà IA = IB = IC nên ( a − 1) + + = + ( b − 1) + = + + ( c − 1) ⇔ ( a − 1) = ( b − 1) = ( c − 1) 2 2 2 b = a − c = − a ⇔ a = b = c b = c = − a c = a b = a Với a = b = c thay vào (1) ta a = b = c = Khi pt (P): x + y + z = b = a − c = − a V ới thay vào (1) ta + = ⇔ a − 3a + = (VN) a 2−a c = a b = a Với b = c = − a thay vào (1) ta + = ⇔ a − a + = (VN) a 2−a Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y + z = Câu 8: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng qua M(2; 2; 2) cắt tia Ox, Oy,Oz điểm A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: • Giả sử mặt phẳng cần lập cắt tia Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Do mặt phẳng cắt tia nên ta có a, b, c > x y z Phương trình mặt chắn ( P ) : + + = a b c 2 1 1 • Do M ∈ ( P ) → + + =1⇔ + + = a b c a b c Ta có OA = a; OB = b; OC = c →VOABC = abc 1 3 • Do a, b, c ba số dương nên ta có + + ≥ ⇔ ≥3 ⇔ abc ≥ ⇔ abc ≥ 216 a b c abc abc →VOABC ≥ 216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = , từ ta phương trình (P): x + y + z – = Câu 9: [ĐVH] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK Lời giải: x y z Gọi I(a; 0; 0), J(0; b; 0), K(0; 0; c) với a, b,c khác ⇒ (P ) : + + = a b c Ta có: IA = (4 − a;5; 6), JK = (0; −b; c ), JA = (4;5 − b; 6) IK = (− a; 0; c ) 77 4 a = + + = a b c 77 ⇒ −5b + 6c = ⇒ b = −4a + 6c = 77 c = KL: PT mặt phẳng cần tìm là: 4x + 5y + 6z - 77 = Câu 10: [ĐVH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;0;0) M(6;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A M cho (P) cắt ba trục Oy, Oz B, C thể tích tứ diện OABC Lời giải: Đặt B(0; b; 0) C(0; 0; c) giao điểm mặt phẳng (P) với Oy, Oz x y z Do (P) qua A(4; 0; 0) ⇒ (P) mặt phẳng chắn ba trục tọa độ ⇒ (P): + + = (*) (b, c ≠ 0) b c 3 -1 -bc Mặt phẳng (P) qua (6; 3; 1) ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ 3c + b = (1) b c b c 2 → → → bc = VOABC = OA; OB OC = ⇔ |bc| = ⇔ bc = -6 6 (1) Với bc = ⇒ 3c + b = -3 ⇒ b = - 3c - = -3(c + 1) Do (c + 1)c = -2 ⇔ c2 + c + = (vô nghiệm) (1) Với bc = -6 ⇒ 3c + b = ⇒ b = - 3c = 3(1 - c) c = ⇒ b = -3 Do (1 - c)c = -2 ⇔ c2 - c - = ⇔ c = -1⇒ b = Vậy có hai phương trình (P) thỏa yêu cầu toán (P1): x y z x y z + + = hay (P2): + + = -3 -1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu 11: [ĐVH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz điểm phân biệt M N cho OM = ON Lời giải: Giả sử nQ vecto pháp tuyến (Q) Khi nQ ⊥ nP (1; −1; −1) Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy Oz M ( 0; a;0 ) , N ( 0;0; b ) phân biệt cho OM = ON nên a = b ≠ a = b ⇔ a = −b ≠ Nếu a = b MN = ( 0; − a; a ) // u ( 0; −1;1) nQ ⊥ u nên nQ = u , nP = ( 2;1;1) Khi mặt phẳng (Q): x + y + z − = ( Q ) cắt Oy, Oz M ( 0; 2;0 ) N ( 0;0; ) (thỏa mãn) Nếu a = −b MN = ( 0; − a; − a ) // u ( 0;1;1) nQ ⊥ u nên nQ = u , nP = ( 0;1; −1) Khi mặt phẳng (Q ) : y − z = (Q) cắt Oy, Oz M ( 0;0;0 ) N ( 0;0;0 ) (loại) Vậy ( Q ) : x + y + z − = mặt phẳng cần lập Câu 12: [ĐVH] Trong không gian tọa độ cho A ( 4;0;0 ) M ( 2; 2; ) Mặt phẳng ( P ) qua AM cắt tia Oy, Oz B C Viết phương trình mặt phẳng ( P ) biết diện tích tam giác ABC nhỏ Lời giải: x y z Gọi B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) với ( b, c > ) Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: + + = b c 2 Do M ∈ ( P ) ⇒ ( b + c ) = bc Khi AB ( −4; b; ) , AC ( −4;0; c ) ⇒ S ABC = b c + 16 b + c 2 ⇔ S ABC = ( bc ) + 32bc Mặt khác ta có: bc = ( b + c ) ≥ bc ⇒ bc ≥ 64 ⇒ S ABC ≥ 16 10 ( ) x y z Vậy diện tích tam giác ABC nhỏ b = c = ⇒ ( P ) : + + = 8 Câu 13: [ĐVH] Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −2; 2; −2 ) đường thẳng x y −1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A song song với d cắt trục Ox,Oy,Oz 1 M ,N ,P khác O cho ON = 2OP Lời giải: b = 2c +) Gọi M ( a; 0;0 ) , N ( 0; b; ) , P ( 0;0; c ) ta có: b = c ⇔ b = −2 c x y z +) Phương trình mặt phẳng ( P ) : + + = a b c 1 d / / ( P ) a + b + c = +) ⇒ A ∈ ( P ) −2 + − = a b c d: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 −2 2 a + b = a = −3 x • TH1: b = 2c ⇒ ⇔ ⇒ ( P) : + y + 2z = −2 − = b = ⇒ c = a b 2 a − b = x y 2z ⇒ (P) : + − =1 • TH2: b = −2c ⇒ a = 10 10 5 −2 + = ⇔ −5 a b b = ⇒ c = −3 x x y 2z Vậy ( P ) : + y + 2z = , ( P) : + − = 10 5 Câu 14: [ĐVH] Trong không gian tọa độ , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M (1; 4;1) 1 + + đạt giá trị nhỏ 2 OA OB OC Lời giải: +) Gọi A ( a;0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0;0; c ) với ( a, b, c > ) Phương trình mặt phẳng ( P ) có cắt tia Ox,Oy,Oz A,B,C cho x y z + + =1 a b c 1 1 1 +) M ∈ ( P ) ⇒ + + = Xét F = + + = 2+ 2+ 2 2 a b c OA OB OC a b c dạng: ( ) 1 1 +) Mặt khác ta có: + + 12 + 42 + 12 ≥ + + ⇒ F ≥ 18 b c a a b c 1 a + b + c = +) Dấu xảy ⇔ ⇔ b = , a = c = 18 1 = = a 4b c x 2y z Vậy ( P ) : + + =1 18 18 1 1 Cách 2: Ta có + + = ≥ (với H trực tâm tam giác ABC) 2 2 OA OB OC OH OM Dấu xảy ⇔ OH = OM ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( P ) : x + y + z − 18 = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!