Nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm

MỞ ĐẦU Nhà toán học Ơclít, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên. Trong tác phẩm nổi tiếng của mình, ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên nhau”. Đến thế kỉ XVIII, khái niệm các phép biến hình xuất hiện như một công cụ để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia và được sử dụng để giải một số bài toán. Nó chưa được xem là đối tượng để nghiên cứu cho đến cuối thế kỉ XVIII. Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) đã nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến hình trong lý thuyết về các hình của ông. Với sự ra đời của phương pháp tọa độ Đề-các thì hình được coi là một tập hợp các điểm. Quan niệm này đã đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển của lý thuyết về các phép biến hình. Đến cuối thế kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình. Ông đã phân loại tính chất hình học theo các phép biến hình bảo toàn những tính chất đó. Từ đó, ông phân loại các thứ hình học khác nhau dựa trên việc nghiên cứu bất biến của các nhóm biến hình khác nhau. Ví dụ tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm với phép toán tích các phép dời hình và hình học của nhóm dời hình chính là hình học Ơclít. Như vậy mỗi nhóm biến hình có hình học riêng của nhóm đó. Ngoài hình học Ơclit, chương trình hình học ở bậc đại học hiện nay còn có các thứ hình học khác như hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh. Các bài toán không đề cập đến độ lớn của hình, độ dài của các đoạn thẳng và chỉ quan tâm tới sự thẳng hàng của ba điểm, sự cắt nhau và vuông góc với nhau của hai đường thẳng... thì đó chính là các bài toán của hình học đồng dạng vì ta chỉ nghiên cứu các bất biến của phép đồng dạng mà thôi. Ngoài hình học đồng dạng, thì hình học afin, hình học xạ ảnh cũng là những bộ phận của hình học Ơclít. Để hiểu rõ mối quan hệ giữa hình học Ơclít với các thứ hình học khác, chúng ta cần hiểu rõ mối quan hệ giữa hình họccủa một nhóm với hình học của nhóm con của nhóm đó. Dựa trên các bất biến của mỗi nhóm, Felix Klein đã sắp xếp lại các loại hìnhhọc khác nhau theo quan điểm hiện đại. Các nhóm biến hình được sắp xếp cụ thể như sau: Nhóm xạ ảnh  Nhóm afin  Nhóm đồng dạng  Nhóm dời hình. Hìnhhọc của mỗi nhóm biến hình là môn học nghiên cứu các bất biến của nhóm đó vàvấn đề vận dụng bất biến của từng nhóm trong giải các bài toán hình học. Như vậy,ứng với mỗi nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa được các thứ hình học khác nhau theo quan hệ bao hàm như sau: Hình học xạ ảnh  Hình học afin  Hình học đồngdạng  Hình học Ơclít. Phép biến hình cùng với khái niệm hàm số là các ánh xạ được đưa vào chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông. Ngoàimục tiêu phát triển tư duy hàm cho học sinh phổ thông, phép biến hình còn đượcdùng để định nghĩa thế nào là hai hình bằng nhau hoặc đồng dạng với nhau và làmột công cụ hiệu quả để giải các bài toán hình học ở trường phổ thông.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO QUANG DUY

NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

THEO QUAN ĐIỂM NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO QUANG DUY

NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

THEO QUAN ĐIỂM NHÓM

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN, 2016

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

Ngày tháng năm 2016

Có thể tìm hiểu tại:

Thư viện Trường Đại học Khoa học và Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 3

1.1 Khái niệm phép biến hình 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tích các phép biến hình 4

1.2 Nhóm afin 6

1.2.1 Phép biến hình afin 6

1.2.2 Nhóm afin 7

1.2.3 Bất biến của nhóm afin 7

1.3 Nhóm xạ ảnh 9

1.3.1 Phép biến hình xạ ảnh 9

1.3.2 Nhóm xạ ảnh 10

1.3.3 Bất biến xạ ảnh 12

1.4 Nhóm dời hình 13

1.4.1 Phép dời hình 13

1.4.2 Nhóm dời hình 14

1.4.3 Bất biến của nhóm dời hình 15

1.5 Nhóm đồng dạng 17

1.5.1 Phép đồng dạng 17

1.5.2 Nhóm đồng dạng 18

1.5.3 Bất biến của nhóm đồng dạng 18

1.6 Nhóm tròn trong mặt phẳng 20

1.6.1 Định nghĩa phép nghịch đảo 20

1.6.2 Các tính chất của phép nghịch đảo 20

1.6.3 Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo 21

1.6.4 Hình học bảo toàn đường tròn 22

1.6.5 Bất biến của nhóm tròn trong mặt phẳng 23

Chương 2: VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHÓM BIẾN HÌNH TRONG

GIẢI TOÁN SƠ CẤP 24

2.1 Mối quan hệ giữa các loại hình học 24

2.1.1 Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh 24

2.1.2 Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học Ơclít 29

2.1.3 Sáng tạo các bài toán mới 35

2.2 Chứng minh thẳng hàng 43

2.3 Chứng minh đồng quy 56

2.4 Chứng minh song song 61

2.5 Chứng minh tính tiếp xúc, tính trực giao 64

2.5.1 Bài toán về bảo toàn tính tiếp xúc 64

2.5.2 Bài toán về bảo toàn tính trực giao 70

2.6 Bài toán qũy tích và dựng hình 72

2.6.1 Bài toán quỹ tích 72

2.6.2 Bài toán dựng hình 75

KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

MỞ ĐẦU

Nhà toán học Ơclít, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên Trong tác phẩm nổi tiếng của mình, ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên nhau”

Đến thế kỉ XVIII, khái niệm các phép biến hình xuất hiện như một công cụ

để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia và được sử dụng để giải một số bài toán Nó chưa được xem là đối tượng để nghiên cứu cho đến cuối thế kỉ XVIII Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) đã nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến hình trong lý thuyết về các hình của ông Với sự ra đời của phương pháp tọa độ Đề-các thì hình được coi là một tập hợp các điểm Quan niệm này đã đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển của lý thuyết về các phép biến hình

Đến cuối thế kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình Ông đã phân loại tính chất hình học theo các phép biến hình bảo toàn những tính chất đó Từ đó, ông phân loại các thứ hình học khác nhau dựa trên việc nghiên cứu bất biến của các nhóm biến hình khác nhau Ví dụ tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm với phép toán tích các phép dời hình và hình học của nhóm dời hình chính là hình học Ơclít Như vậy mỗi nhóm biến hình có hình học riêng của nhóm đó Ngoài hình học Ơclit, chương trình hình học ở bậc đại học hiện nay còn có các thứ hình học khác như hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh Các bài toán không

đề cập đến độ lớn của hình, độ dài của các đoạn thẳng và chỉ quan tâm tới sự thẳng hàng của ba điểm, sự cắt nhau và vuông góc với nhau của hai đường thẳng thì đó chính là các bài toán của hình học đồng dạng vì ta chỉ nghiên cứu các bất biến của phép đồng dạng mà thôi Ngoài hình học đồng dạng, thì hình học afin, hình học xạ ảnh cũng là những bộ phận của hình học Ơclít Để hiểu rõ mối quan hệ giữa hình

học Ơclít với các thứ hình học khác, chúng ta cần hiểu rõ mối quan hệ giữa hình học của một nhóm với hình học của nhóm con của nhóm đó

Dựa trên các bất biến của mỗi nhóm, Felix Klein đã sắp xếp lại các loại hình học khác nhau theo quan điểm hiện đại Các nhóm biến hình được sắp xếp cụ thể

như sau: Nhóm xạ ảnh  Nhóm afin  Nhóm đồng dạng  Nhóm dời hình Hình

học của mỗi nhóm biến hình là môn học nghiên cứu các bất biến của nhóm đó và vấn đề vận dụng bất biến của từng nhóm trong giải các bài toán hình học Như vậy, ứng với mỗi nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa được các thứ hình học khác nhau

theo quan hệ bao hàm như sau: Hình học xạ ảnh  Hình học afin  Hình học đồng dạng  Hình học Ơclít Phép biến hình cùng với khái niệm hàm số là các ánh xạ

được đưa vào chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông Ngoài mục tiêu phát triển tư duy hàm cho học sinh phổ thông, phép biến hình còn được dùng để định nghĩa thế nào là hai hình bằng nhau hoặc đồng dạng với nhau và là một công cụ hiệu quả để giải các bài toán hình học ở trường phổ thông

Chương 1 NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH

1.1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng hoặc không gian cho một quy tắc f Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng hoặc không gian ta xác định được duy nhất một điểm M’ thuộc mặt phẳng hoặc không gian theo quy tắc đã cho hay nói cách khác f là một ánh xạ trong mặt phẳng hoặc không gian Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến hình f, M được gọi là tạo ảnh của M’ và được kí hiệu f: M  M’

Nếu quy tắc f được xác định cho mọi điểm của mặt phẳng hoặc không gian thì f được gọi là một phép biến hình trong trong mặt phẳng hoặc không gian Như vậy ta thấy mỗi ảnh của một điểm M trong phép biến hình có thể có nhiều tạo ảnh

Do đó, ánh xạ f không nhất thiết là một song ánh Nếu mỗi ảnh của một điểm M bất

kì trong mặt phẳng ứng với một tạo ảnh duy nhất là M, tức là ánh xạ f là song ánh thì ta nói f là một phép biến hình 1-1 Ví dụ về các phép biến hình 1-1: phép đối

xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép nghịch đảo

Điểm M trong mặt phẳng hoặc không gian được gọi là điểm bất động (hay điểm kép) của một phép biến hình f nếu f(O) = O Nếu mọi điểm của mặt phẳng hoặc không gian đều là điểm bất động của f thì f được gọi là phép đồng nhất, kí hiệu

là e(M) = M, với mọi điểm M

Trong mặt phẳng hoặc không gian cho một phép biến hình f và một hình H Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình H qua phép biến hình đó tạo thành một hình H’ được gọi là ảnh của hình H và được kí hiệu là f: H  H’ hoặc được viết dưới ngôn ngữ tập hợp là H’ = {M’| M’ = f(M), M  H} Nếu f(H) = H thì hình H được gọi là bất động (hay bất biến) qua phép biến hình f Đặc biệt, nếu H là bất biến đối với phép biến hình f mà mọi điểm của H đều bất động thì hình H được gọi là hình

cố định hay hình bất động hoàn toàn Chẳng hạn, trong phép đối xứng tâm ĐO tâm

đối xứng O là điểm bất động duy nhất và mọi đường thẳng đi qua điểm O đều bất

động Trong phép đối xứng trục Đd thì trục đối xứng d là hình bất động hoàn toàn

và mọi đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc với d đều là bất biến

Trong chương trình sách giáo khoa phổ thông, ở bậc THCS, “phép biến hình” chỉ xuất hiện ngầm ẩn Lúc này, các từ “phép”, “biến thành… ”, “ảnh” không được sử dụng, vì học sinh chưa được học khái niệm ánh xạ Cụ thể, sách giáo khoa

đề cập đến đối xứng trục, đối xứng tâm mà không nói đến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm Tuy nhiên, ở bậc THPT, phép biến hình được hiểu là một ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm và “đặc trưng hàm” xuất hiện

1.1.2 Tích các phép biến hình

Trong mặt phẳng hoặc không gian cho hai phép biến hình f và g Với mỗi điểm M, f: M  M’ và g: M’  M” Phép biến hình biến M  M” được gọi là tích của hai phép biến hình đã cho và được kí hiệu g.f: M  M” Nếu g.f là một phép đồng nhất thì ta nói g là phép biến hình đảo ngược của f Nếu ff = f 2 = e thì ta nói

phép biến hình có tính chất đối hợp Các phép biến hình có tính chất đối hợp như phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng và phép nghịch đảo

Cho n phép biến hình f 1 , f 2 ,…, f n-1 , f n Tích của n phép biến hình đã cho là

một phép biến hình được thực hiện một cách liên tiếp theo một thứ tự xác định và

được kí hiệu là f = f nf n-1f 2f 1

Tích các phép biến hình có những tính chất sau đây:

1) Tính chất kết hợp, nghĩa là f(gh) = (fg)h = fgh Điều này có được do

tích các ánh xạ có tính chất kết hợp Như vậy, bao giờ cũng có thể thay hai hoặc nhiều phép biến hình liên tiếp bởi tích của chúng, hoặc ngược lại, có thể thay một phép biến hình nào đó bởi một tích tương đương

2) Nói chung, tích các phép biến hình không có tính chất giao hoán Tích hai phép biến hình f và g được gọi là giao hoán nếu fg = gf

3) Trong tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng hoặc không gian, phép

đồng nhất e là phần tử đơn vị của phép toán tích: ef = fe = f, f

4) Nếu phép biến hình f là song ánh, tồn tại phép biến hình đảo ngược của f Khi đó, tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất e:

f -1f = ff -1 = e, f

Định lý 1.1 Tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không

gian với phép toán tích các phép biến hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các

phép biến hình 1-1 hay nhóm biến hình 1-1

Chứng minh Dễ thấy tích của hai phép biến hình 1-1 là một phép biến hình

1-1 (vì tích của hai song ánh là một song ánh) Do vậy, phép toán tích hai phép biến hình đóng kín

1) Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép toán tích các song ánh)

đó Hình học nghiên cứu các bất biến của một nhóm được gọi là hình học của nhóm

đó Ví dụ, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm xạ ảnh gọi là hình học xạ ảnh, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm afin gọi là hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm dời hình gọi là hình học Ơclít,…

Nếu ta xét một nhóm con G’ của nhóm G thì giữa hình học của các nhóm con G’ và hình học của nhóm G có mối quan hệ sau đây:

(i) Mọi bất biến của nhóm G cũng là bất biến của nhóm G’ (vì G’  G) Do

đó những kết quả tìm thấy trong hình học của nhóm G đều áp dụng được vào cho hình học của nhóm G’

(ii) Có những bất biến của nhóm G’ mà không phải bất biến của nhóm G, nghĩa là hình học của nhóm G’ phong phú hơn hình học của nhóm G

Như vậy, nhóm càng rộng thì tính chất hình học của nhóm càng ít, nhưng phạm vi áp dụng của nó càng rộng; nhóm càng hẹp thì các tính chất hình học của nhóm càng phong phú, nhưng phạm vi áp dụng của nó càng hẹp Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi nghiên cứu những nhóm con của nhóm biến hình 1-1 trong không gian 2 chiều và không gian 3 chiều

1.2 NHÓM AFIN

1.2.1 Phép biến hình afin

Trong mặt phẳng hoặc không gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng hoặc không gian thành chính nó, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

được gọi là phép afin hay phép biến hình afin

Một phép biến hình afin trên mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu ta biết

ba điểm không thẳng hàng, hơn nữa nếu A, B, C và A’, B’, C’ là hai tam giác trên mặt phẳng thì tồn tại duy nhất phép biến hình afin biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Tương tự như vậy, một phép biến hình afin trong không gian hoàn toàn được xác định nếu ta biết bốn điểm không đồng phẳng, hơn nữa nếu A, B, C, D

và A’, B’, C’, D’ là hai tứ diện trong không gian thì tồn tại duy nhất phép biến hình afin biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’

Từ đó ta có kết quả, trong mặt phẳng, phép biến hình afin là phép đồng nhất

khi và chỉ khi nó có ba điểm bất động không thẳng hàng Nếu phép biến hình afin f

có hai điểm bất động phân biệt A, B thì mọi điểm nằm trên đường thẳng AB đều là

điểm bất động Tương tự, trong không gian, phép biến hình afin là phép đồng nhất khi và chỉ khi nó có bốn điểm bất động không đồng phẳng Nếu phép biến hình afin

f có ba điểm bất động phân biệt A, B, C thì mọi điểm nằm trên mặt phẳng (ABC) đều

là điểm bất động

1.2.2 Nhóm afin

) gồm các phép biến hình afin của không gian afin A n Khi đó, Af(A n ) lập thành một nhóm đối với phép toán tích của hai phép biến hình afin, được gọi là nhóm afin Với n = 2 và n = 3, ta có nhóm afin trong mặt

phẳng và nhóm afin trong không gian Nhóm afin là nhóm con của nhóm các phép biến hình 1-1 Thật vậy, tích của hai phép biến hình afin là một phép biến hình afin nên phép toán đóng kín

1) Phép toán có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép toán tích các phép biến hình 1-1)

2) Phép toán có phần tử đơn vị e (phép đồng nhất e là một phép biến hình

afin)

3) Với mỗi phép biến hình afin f, luôn tồn tại phép biến hình afin f -1 sao cho:

ff -1 = f -1f = e

Nói chung, tích fg  gf nên nhóm afin không phải là nhóm giao hoán

1.2.3 Bất biến của nhóm afin

Bất biến afin Các tính chất bất biến đối với nhóm các phép biến hình afin

trong không gian afin A n được gọi là các tính chất afin hay các bất biến afin Nói

cách khác, tính chất afin của một hình được bảo toàn qua một phép biến hình afin bất kì Ta có một số tính chất afin như tính thẳng hàng của ba điểm, tính đồng phẳng của bốn điểm, tính song song hoặc đồng quy của các đường thẳng, mặt phẳng, tính chất “đường bậc hai có tâm”, tính tiếp xúc của các đường bậc hai,… Phép biến hình afin có những bất biến sau đây:

- Bảo toàn tính chất độc lập hay không độc lập của một hệ điểm Do vậy, phép biến hình afin bảo toàn sự thẳng hàng (hay không thẳng hàng), sự đồng phẳng

(hay không đồng phẳng) của các điểm trong không gian afin A n

Nói cách khác, phép biến hình afin biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng, đa giác thành đa giác có cùng số cạnh, góc thành góc, điểm nằm trong đa giác thành điểm nằm trong đa giác

- Bảo toàn tỉ số đơn, biến trung điểm thành trung điểm, biến điểm chia một

đoạn thẳng theo tỉ số k thành điểm chia một đoạn thẳng theo cùng tỉ số k

- Bảo toàn tính song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai cái phẳng Giả sử mặt phẳng  song song với mặt phẳng , qua phép biến hình afin f ta suy ra phẳng f() cũng song song với f( )

Khái niệm afin Một khái niệm được coi là khái niệm afin nếu nó không bị

thay đổi qua bất kì phép biến hình afin nào Các khái niệm afin như: điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, tứ diện, tam giác, miền tam giác, trung điểm, đường trung bình của tam giác, đường trung tuyến, trọng tâm của tam giác, tứ giác, hình bình hành, hình thang, tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng, elíp, hypebôn, parabôn, đường bậc hai,…

Mặt phẳng Ơclít cũng là mặt phẳng afin nếu ta cũng xét các phép biến hình afin trên mặt phẳng Ơclít Khi đó, có những tính chất của hình không phải là tính

chất afin và có những khái niệm không phải khái niệm afin Các tính chất không

phải là tính chất afin: tính vuông góc của hai đường thẳng, các tính chất cân hoặc đều của tam giác, tính chất là đường cao của tam giác, tính chất là đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất là phân giác của một góc,… Các khái niệm không phải khái niệm afin như: độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình tứ diện đều, hình tứ diện vuông, đường cao, đường phân giác của một góc, mặt phẳng phân giác, đường trung trực, mặt phẳng trung trực, trực tâm của tam giác, tâm đường tròn nội (ngoại) tiếp của tam giác, hình vuông, hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, diện tích các hình, thể tích các hình, đường tròn, mặt cầu,…

Chẳng hạn định lý: “Ba đường trung tuyến trong mọi tam giác đồng quy” là một định lý của hình học afin, còn định lý “Ba đường cao trong tam giác đồng quy” không phải định lý của hình học afin vì khái niệm đường cao không phải là một khái niệm afin

Tương đương afin Hình H gọi là tương đương afin với hình H’ nếu có một

phép biến hình afin biến hình H thành hình H’ Khi đó, ta kí hiệu H ~ H’ Từ định

nghĩa, ta suy ra các tính chất của quan hệ tương đương afin như sau:

1) Mỗi hình H đều tương đương afin với chính nó: H ~ H

2) Nếu H ~ H’ thì H’ ~ H Do đó, nếu H' = f(H) thì ta có thể nói hai hình H

và H’ tương đương afin với nhau

3) Nếu H ~ H’ và H’ ~ H” thì H ~ H”

Như vậy, hai tam giác bất kì đều tương đương afin với nhau, hai hình bình hành bất kì đều tương đương afin với nhau, hai elíp bất kì đều tương đương afin, hai hypebôn bất kì đều tương đương afin, hai parabôn bất kì đều tương đương afin Ta cũng có thể nói rằng, hình vuông tương đương với một hình bình hành nào đó, hình

tứ diện đều tương đương afin với một hình tứ diện bất kì, hình lập phương tương đương afin với một hình hộp xiên bất kì,

Trong thực hành giải toán, khi xét trong mặt phẳng Ơclít thì bài toán trên vẫn còn đúng vì mặt phẳng Ơclít cũng là mặt phẳng afin Do đó, một tam giác đều (hay một tam giác vuông) là tương đương afin với một tam giác thường bất kì nên chúng

có các tính chất afin như nhau (còn các tính chất không phải là tính chất afin thì khác nhau) Vì vậy, ta có thể xem xét một bài toán về tam giác đều có các tính chất afin nào đó và suy ra tam giác bất kì cũng có các tính chất afin như thế, điều cần thiết là phải biết rõ đó có đúng là tính chất afin hay không

Tập hợp các bất biến của nhóm afin tạo nên môn hình học afin của không gian afin Nói cách khác, môn học nghiên cứu các bất biến của nhóm afin được gọi

là hình học afin Từ việc nhận ra các tính chất afin của một hình giúp ta có thể nhận

ra bài toán nào là của hình học afin và do đó có thể sử dụng công cụ thích hợp của hình học afin để giải bài toán đó

1.3 NHÓM XẠ ẢNH

1.3.1 Phép biến hình xạ ảnh

Không gian xạ ảnh Một tập hợp các phần tử nào đó sẽ gọi là một mô hình

của một không gian xạ ảnh n chiều trên trường số thực nếu tập hợp đó có các tính

chất sau đây:

1) Có một song ánh giữa tập hợp đó và tập hợp tất cả các không gian con một

chiều của một không gian véctơ (n + 1) chiều trên trường số thực V n+1

2) Trong tập hợp đó có xác định một quan hệ có thể xảy ra giữa ba phần tử gọi là quan hệ “thẳng hàng” sao cho trong song ánh nói trên, ba phần tử “thẳng hàng”, ứng với ba không gian con một chiều phụ thuộc tuyến tính và ngược lại ba không gian con một chiều phụ thuộc tuyến tính thì ứng với ba phần tử “thẳng hàng”

lượt liên kết với hai không gian véctơ V 1 n+1

và V 2 n+1 Một ánh xạ f: P 1 n  P 2 n được

gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phép đẳng cấu tuyến tính : V 1 n+1  V 2 n+1 sao cho

nếu 𝑎 là véctơ đại diện của điểm A của P 1 n thì 𝜑(𝑎 ) là véctơ đại diện của điểm f(A)

thuộc P 2 n

gian xạ ảnh P n lên chính nó được gọi là phép biến hình xạ ảnh của không gian P n

Phép chiếu xuyên tâm trong không gian hai chiều, ba chiều là một ví dụ về

phép biến hình xạ ảnh Phép chiếu xuyên tâm là một phép cộng tuyến từ P 1 n lên P 2 n

Giả sử C là một phép cộng tuyến trong P n

thì C cũng được phân tích ra thành một số

phép chiếu xuyên tâm Do đó, tính chất nào được bảo toàn qua mọi phép chiếu

xuyên tâm thì cũng bảo toàn qua mọi phép cộng tuyến trong P n Đó là một tính chất

xạ ảnh Ngược lại, một tính chất xạ ảnh thì được bảo toàn qua mọi phép cộng tuyến

trong P n, tức là qua vô số những tích của các phép chiếu xuyên tâm, nên nó bảo toàn qua mọi phép chiếu xuyên tâm Vậy các tính chất xạ ảnh là các tính chất không bị

mất đi qua mọi phép chiếu xuyên tâm từ P 1 n (coi như một siêu phẳng của P n+1) lên

một siêu phẳng khác P 2 n

1.3.2 Nhóm xạ ảnh

lập thành một nhóm với phép toán lấy tích hai phép biến hình xạ ảnh Kí hiệu là nhóm

các phép biến hình xạ ảnh hay nhóm xạ ảnh Af(P n

) Hình học xạ ảnh là môn hình học nghiên cứu các bất biến của nhóm Af(P n )

Chứng minh Dễ thấy tích của hai phép biến hình xạ ảnh là một phép biến

hình xạ ảnh nên phép toán đóng kín

1) Tích các phép biến hình xạ ảnh có tính chất kết hợp

2) Phần tử đơn vị của phép toán tích là phép đồng nhất e

3) Với mỗi phép biến hình xạ ảnh f, tồn tại phép biến hình xạ ảnh đảo ngược

f -1 sao cho: ff -1 = f -1f = e

Trong công trình “Về cái gọi là hình học phi Ơclít”, nhà toán học Felix Klein

đã thiết lập mối quan hệ hữu cơ giữa hình học Ơclít, hình học Lô-ba-sép-xki và hình học Riman theo nghĩa hẹp Theo quan điểm nhóm các phép biến hình thì cả ba hình

học này đều là hình học của các nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(P n )

Nếu H là một hình không rỗng của không gian xạ ảnh P n

một đường cong không (đường bậc hai thực, không suy biến nhưng không chứa một

điểm thực nào),… hình học của nhóm X(P H ) tương ứng sẽ là hình học afin, hình học

Ơclít, hình học giả Ơclít, hình học Lô-ba-sép-xki, hình học Riman theo nghĩa hẹp

được xây dựng trên P n

/(H) Ngoài các hình học này, người ta cũng đã xây dựng

được cả các hình học khác nữa theo cách này, gọi là hình học nửa Ơclít, hình học nửa phi Ơclít,… Và thế là nhiều hình học khác nhau có các tên gọi hình học Ơclít (giả, nửa Ơclít) còn gọi là hình học parabôlíc, hình học phi Ơclít (giả, nửa)

hypebôlíc và hình học phi Ơclít elíptíc đã được xây dựng vào trong cùng một hệ thống lý thuyết, đó là lược đồ xạ ảnh Cayley Klein (vì các hình học này đều được xây dựng và nghiên cứu thông qua mô hình xạ ảnh)

Rõ ràng là theo cách xây dựng này, ta thấy hình học của nhóm X(P H ) phong phú hơn hình học xạ ảnh (là hình học của nhóm Af(P n

)), bao gồm hình học xạ ảnh

và còn có thêm các bất biến riêng là các bất biến liên quan đến hình tuyệt đối H Đó

là mối quan hệ giữa nội hàm và ngoại diên Hình học của nhóm càng hẹp thì nội dung càng phong phú, hình học của nhóm càng rộng thì nội dung càng nghèo nàn, tuy nhiên phạm vi ứng dụng càng rộng rãi Vì vậy, tuy hình học xạ ảnh nghèo hơn hình học afin, hình học afin nghèo hơn hình học Ơclít nhưng phạm vi ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hai hình học afin và hình học Ơclít lại càng lớn hơn Cụ thể, một định lý của hình học xạ ảnh khi thể hiện vào mô hình xạ ảnh của hình học afin

và hình học Ơclít hoặc vào mô hình afin hay mô hình Ơclít có bổ sung các phần tử

xa vô tận của hình học xạ ảnh sẽ cho ta những định lý mang nội dung khác nhau của hai hình học này Bởi vậy, ta cần khai thác những mô hình nào của hình học Ơclít, những mô hình nào của hình học xạ ảnh có lợi thế cho việc ứng dụng của hình học

xạ ảnh vào hình học Ơclít, đặc biệt vào hình học sơ cấp được giảng dạy ở trường phổ thông

1.3.3 Bất biến xạ ảnh

Bất biến xạ ảnh Những tính chất được nghiên cứu trong hình học xạ ảnh

gọi là những tính chất xạ ảnh hay bất biến xạ ảnh như: tính chất thẳng hàng (hoặc không thẳng hàng) của ba điểm, tính chất đồng quy (hoặc không đồng quy) của ba đường thẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm đường thẳng, tính chất “là một hàng điểm điều hoà”, tính chất “là một chùm siêu phẳng điều hoà” Ngoài ra, tính chất song song của hai đường thẳng (hoặc mặt phẳng), tỉ số đơn, tính chất vuông góc của hai đường thẳng, tính chất vuông góc của đường thẳng

và mặt phẳng, tính đồng dạng của hai tam giác (hoặc hai tứ diện), không phải là các tính chất xạ ảnh

Muốn phân biệt các tính chất xạ ảnh với các tính chất khác ta cần hình dung mặt phẳng chứa các hình như nằm trong không gian và chiếu hình đó xuống một mặt phẳng khác chọn tùy ý với một tâm chiếu cũng chọn tùy ý

Khái niệm xạ ảnh Những khái niệm xạ ảnh như: m - phẳng, hình tam giác,

hình bốn cạnh toàn phần (tứ giác toàn phần), hình bốn đỉnh toàn phần Các khái niệm như hình bình hành, hình vuông, hình tròn, hình elíp, độ dài của một đoạn thẳng không phải là các khái niệm xạ ảnh

Việc nghiên cứu hình học xạ ảnh bằng phương pháp nhóm giúp ta phân biệt được các khái niệm afin, khái niệm Ơclít và khái niệm xạ ảnh trong hình học, đồng thời cũng giúp chúng ta tìm ra mối quan hệ mật thiết giữa ba thứ hình học đó

1.4 NHÓM DỜI HÌNH

1.4.1 Phép dời hình

Trong mặt phẳng hoặc không gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng hoặc

không gian thành chính nó, biến hai điểm A, B bất kì thành hai điểm tương ứng A’, B’ thoả mãn A’B’ = AB gọi là phép dời hình

Nói cách khác, phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa

hai điểm bất kì Do đó, phép dời hình là phép biến hình đẳng cự hay gọi tắt là phép đẳng cự Phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm của không gian Ơclít hai chiều (hoặc ba chiều) là các phép đẳng cự Trong mặt phẳng và không gian có

một số phép dời hình cơ bản như: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trượt, phép quay quanh trục, phép đối xứng qua mặt phẳng Đặc biệt, phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng qua mặt phẳng

là các phép đối xứng qua siêu phẳng tương ứng trong không gian hai chiều và không gian ba chiều

Trong mặt phẳng, cho hai bộ ba điểm (A, B, C) và (A’, B’, C’) không thẳng hàng sao cho AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A thành A’, B thành B’ và C thành C’ Như vậy, cho hai tam giác bằng

nhau ABC và A’B’C’ trong mặt phẳng, bao giờ ta cũng có một và chỉ một phép

dời hình biến tam giác này thành tam giác kia Tương tự, trong không gian, cho hai

bộ bốn điểm (A, B, C, D) và (A’, B’, C’, D’) không đồng phẳng sao cho AB = A’B’,

AC = A’C’, AD = A’D’, BC = B’C’, BD = B’D’, CD = C’D’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A thành A’, B thành B’, C thành C’ và D thành D’

Trong tác phẩm “Cơ bản” của mình, Ơclít đã định nghĩa “hai hình bằng nhau

là hai hình chồng khít lên nhau” Như vậy, Ơclít cũng đã dựa trên một khái niệm của

sự dời hình để định nghĩa sự bằng nhau của hai hình Trong một số sách giáo khoa hình học, chúng ta biết định nghĩa của hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau Sau khi nghiên cứu về

phép dời hình, ta có thể đưa ra định nghĩa khác: “Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu

có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia” Một cách tổng quát, hình H được gọi là bằng hình H’ nếu có phép dời hình biến H thành H’ Ta sử dụng

kí hiệu H = H’ Vì “=” là quan hệ tương đương nên ta có:

1) Tính chất phản xạ: Mọi hình H đều bằng chính nó: H = H

2) Tính chất đối xứng: Nếu H = H’ thì H’ = H Bởi vậy, ta có thể nói hai hình H và H’ bằng nhau

3) Tính chất bắc cầu: Nếu H = H’ và H’ = H” thì H = H”

Hai định nghĩa về hai tam giác bằng nhau trong sách giáo khoa ở bậc THCS

và THPT là tương đương nhau Ta có thể chứng minh điều này dựa trên sự xác định của phép dời hình Tuy nhiên, định nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác dựa vào phép dời hình có thể dễ dàng mở rộng cho một hình bất kì và như vậy nó có tính

chất tổng quát hơn như sau: “Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia” Khái niệm bằng nhau của hai tam giác có thể được

định nghĩa dựa vào khái niệm bằng nhau của các cạnh và góc tương ứng của chúng

Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta có thể xây dựng định nghĩa về sự bằng nhau của hai đa giác Từ sự bằng nhau của hai đa giác có số cạnh bằng nhau, muốn xây dựng được khái niệm bằng nhau của hai hình tuỳ ý là một việc làm không đơn giản

Vì vậy, ngày nay trong các sách giáo khoa phổ thông người ta thường xây dựng khái niệm bằng nhau của hai hình bằng cách dựa vào khái niệm dời hình là một

việc làm dễ thực hiện và mặt khác nó cũng phù hợp với việc dùng công cụ biến hình

là một công cụ của toán học hiện đại để xây dựng các khái niệm hình học

1.4.2 Nhóm dời hình

Định lý 1.4 Tập hợp các phép dời hình trong mặt phẳng hoặc không gian với

phép toán tích hai phép dời hình lập thành một nhóm, gọi là nhóm dời hình Nhóm

này là nhóm con của nhóm các phép afin trong mặt phẳng hoặc không gian

𝐵 ↦ 𝐵1 và 𝑔 = 𝐴1 ↦ 𝐴′

𝐵1 ↦ 𝐵′

Ta có g[f(AB)] = A'B' Vì f và g là các phép dời hình nên ta có AB = A 1 B 1 và

A 1 B 1 = A'B' hay AB = A'B' Suy ra gf là phép dời hình Vậy phép toán tích hai phép dời hình đóng kín hay tích của n phép dời hình là một phép dời hình

1) Phép toán tích hai phép dời hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của tích hai phép biến hình 1-1)

2) Phần tử đơn vị của phép toán tích là phép đồng nhất e Phép đồng nhất e cũng là một phép dời hình Thật vậy, với hai điểm M, N bất kì, ta có e(M) = M và e(N) = N Dễ thấy MN = MN (do quan hệ bằng nhau của hai đoạn thẳng có tính chất phản xạ) nên ta có e là một phép dời hình

3) Vì phép dời hình f là một song ánh nên luôn tồn tại ánh xạ f -1 thỏa mãn

đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (phép đồng nhất) Hơn nữa, f -1 cũng là một phép dời

hình Thật vậy, lấy hai điểm M', N' bất kì và f -1 : M' ⟼ M và N' ⟼ N Từ đó suy ra f: M ⟼ M' và N ⟼ N'  MN = M'N' hay f -1 là phép dời hình

Dễ thấy fg  gf nên nhóm dời hình không phải là nhóm giao hoán Do đó,

khi thực hiện phép toán tích các phép dời hình, cần chú ý đến thứ tự thực hiện phép

toán Hình học nghiên cứu các bất biến của nhóm dời hình được gọi là hình học Ơclít Vì nhóm dời hình là nhóm con của nhóm afin nên hình học Ơclít nói chung

phong phú hơn hình học afin Hơn nữa, chính khái niệm “tích vô hướng” trong không gian Ơclít giúp hình học Ơclít có thêm các khái niệm mới mà hình học afin không có như khái niệm độ dài đoạn thẳng, số đo góc,…

1.4.3 Bất biến của nhóm dời hình

Trước hết ta thấy, phép dời hình là phép biến hình afin Thật vậy, giả sử f là phép dời hình Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với điểm B nằm giữa hai điểm A và

C Đặt A’ = f(A), B’ = f(B), C’ = f(C) Do f bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất

kì nên ta có các đẳng thức: A’C’ = AC, A’B’ = AB, B’C’ = BC

Từ giả thiết ta có: AC = AB + BC Do đó ta suy ra A’C’ = A’B’ + B’C’ Điều này chứng tỏ A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ ở giữa A’ và C’ Vậy f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng hay f là phép biến hình afin Do đó, phép dời hình

có đầy đủ các bất biến của phép biến hình afin

Các khái niệm và tính chất của không gian Ơclít gọi là bất biến của nhóm dời hình nếu chúng không thay đổi qua bất kì một phép dời hình nào, chẳng hạn:

- Bảo toàn tính thẳng hàng hay không thẳng hàng của các điểm trong mặt phẳng, bảo toàn tính chất đồng phẳng hay không đồng phẳng của các điểm trong không gian Do đó, phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến mặt phẳng thành mặt phẳng, biến tia thành tia

- Bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng

- Bảo toàn tính song song, đồng quy, chéo nhau của các đường thẳng, mặt phẳng

- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong mặt phẳng hoặc không gian Do đó, phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến tứ diện thành tứ diện bằng nó, biến đường tròn (hoặc mặt cầu) thành đường tròn (hoặc mặt cầu) có cùng bán kính

- Bảo toàn độ lớn của góc Do đó, phép dời hình biến góc thành góc bằng nó

Thật vậy, giả sử phép dời hình f biến xOy thành x’O’y’ Trên hai tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B khác với O Gọi A’ = f(A), B’ = f(B) thì A’, B’ lần lượt nằm trên O’x’ và O’y’ Vì O’ = f(O) nên hai tam giác AOB và A’O’B’ bằng nhau,

do đó xOy = x’O’y’

Để vận dụng bất biến của nhóm dời hình trong giải toán, ta cần nắm được các bất biến của nhóm và sự xác định từng phép dời hình cơ bản, có nghĩa là cần

nhận ra bất biến của từng phép dời hình Phép biến hình f nào đó thường được xác

định dựa trên những nhận xét như sau:

- Nếu các đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định thì phép biến hình f có điểm bất động, khi đó f không thể là tịnh tiến hay đối xứng trượt

- Nếu M và N là hai điểm đối xứng nhau qua điểm cố định hay đường thẳng

cố định thì phép biến hình f cần tìm là một phép đối xứng tâm hoặc một phép đối

Trong mặt phẳng hoặc không gian, phép biến hình 1-1 biến hai điểm A, B bất

kì thành hai điểm A’, B’ sao cho A’B’ = kAB (với k là một số thực dương cho trước) gọi là phép đồng dạng tỉ số k Số k được gọi là tỉ số đồng dạng Kí hiệu là Đ k

Với k = 1, phép đồng dạng là phép dời hình Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép

đồng dạng với tỉ số 𝑘

Trong mặt phẳng, cho hai bộ ba điểm (A, B, C) và (A', B', C') không thẳng hàng sao cho A'B' = kAB, B'C' = kBC, A'C' = kAC (k là số thực dương cho trước) thì tồn tại duy nhất phép đồng dạng Đ k biến điểm A thành điểm A’, điểm B thành điểm B’ và điểm C thành điểm C’ Như vậy, cho hai tam giác đồng dạng với nhau, tồn tại

duy nhất một phép đồng dạng biến tam giác này thành tam giác kia Tương tự, trong

không gian, cho hai bộ bốn điểm (A, B, C, D) và (A', B', C', D') không đồng phẳng sao cho A'B' = kAB, A'C' = kAC, A'D' = kAD, B'C'= kBC, B'D' = kBD, C'D' = kCD (k là số thực dương cho trước) thì tồn tại duy nhất phép đồng dạng Đ k biến điểm A thành điểm A’, điểm B thành điểm B’, điểm C thành điểm C’ và điểm D thành điểm D’ Như vậy, cho hai tứ diện đồng dạng với nhau, tồn tại duy nhất một phép đồng

dạng biến tứ diện này thành tứ diện kia

Như vậy, ta có thể sử dụng phép đồng dạng để định nghĩa hai hình đồng

dạng với nhau trong mặt phẳng hoặc không gian: Hình H được gọi là đồng dạng với hình H’ nếu tồn tại một phép đồng dạng Đ k biến H thành H’

1.5.2 Nhóm đồng dạng

Định lý 1.5 Tập hợp các phép đồng dạng trong mặt phẳng (hoặc không gian)

lập thành một nhóm giao hoán với phép toán sau: Đk Đk’ = Đk.k’

Chứng minh Vì tích của hai phép đồng dạng tỉ số k và k’ là phép đồng dạng

với tỉ số k.k’ nên phép toán đóng kín

1) Phép toán có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép nhân hai số

các khái niệm đồng dạng được gọi chung là các bất biến của nhóm đồng dạng Nhóm đồng dạng có một số bất biến dưới đây:

- Phép đồng dạng là phép afin nên nó có đầy đủ các bất biến của nhóm afin Thật vậy, giả sử cho phép Đk và ba điểm A, B, C thẳng hàng Gọi A’ = Đ k (A), B’ =

Đk (B), C’ = Đ k (C)  A’C’ = kAC, A’B’ = kAB, B’C’ = kBC Mặt khác, theo giả thiết ta có AC = AB + BC Từ đó suy ra kAC = kAB + kBC  A’C’ = A’B’ + B’C’ hay A’, B’, C’ thẳng hàng Vậy Đ k là phép afin

- Phép đồng dạng bảo toàn góc (nói đúng ra là bảo toàn độ lớn thông thường của góc, bao gồm góc giữa hai tia, giữa hai véctơ, giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng) Vì thế người ta còn nói phép đồng dạng là một phép biến hình bảo giác Phép đồng dạng thuận còn bảo toàn cả hướng của góc, vì thế ta nói phép đồng dạng thuận bảo toàn độ lớn đại số của góc định hướng (giữa hai tia, giữa hai đường thẳng) Phép đồng dạng nghịch chỉ bảo toàn độ lớn số học của góc định hướng nhưng làm đảo hướng góc, tức biến góc dương thành góc âm và ngược lại

- Phép đồng dạng bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng bất kì, có nghĩa là

nếu A’ = Đ k (A), B’ = Đ k (B), C’ = Đ k (C), D’ = Đ k (D) thì ta có 𝐴′ 𝐵′

là phép đồng dạng bảo toàn hình dạng của hình (tuy làm cho kích thước của nó có thể thay đổi), còn các phép afin thì không bảo toàn hình dạng của hình, mà ảnh của một hình chỉ gần giống hình đó (afin theo ý nghĩa của từ gốc là giống nhau về bên ngoài)

Nhóm dời hình là nhóm con của nhóm đồng dạng nên bất biến của nhóm đồng dạng cũng là bất biến của nhóm dời hình, ngoài ra nhóm đồng dạng còn có thêm các bất biến riêng Do đó, hình học đồng dạng trở thành một bộ phận của hình

học Ơclít và đại bộ phận các kiến thức trong chương trình phổ thông là thuộc phạm

vi của hình học đồng dạng Ta thường gặp các bài toán như “Cho một tam giác đều

ABC…” hoặc “Cho một hình vuông ABCD…” mà không cho kích thước cụ thể là

bao nhiêu, ta có thể xem đó là những bài toán của hình học đồng dạng Tất nhiên nếu một bài toán nào đó thuộc hình học đồng dạng thì bài toán đó cũng là bài toán hình học Ơclít Ngoài ra có những định lý trong chương trình hình học ở cấp THCS như định lý Pitago nói về mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông, nếu

nhìn qua ta thấy nói về mối quan hệ về độ dài của ba cạnh là: a 2 = b 2 + c 2, trong đó

a là độ dài cạnh huyền, còn b, c là độ dài của hai cạnh góc vuông và ta có thể cho

đây là một định lý của hình học Ơclít Bây giờ nếu ta biến đổi hệ thức trên bằng

cách chia hai vế cho a 2 ta có: 𝑏

1.6 NHÓM TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

1.6.1 Định nghĩa phép nghịch đảo

Trong mặt phẳng hoặc không gian, cho một điểm O cố định và một số k  0

Phép biến hình biến mỗi điểm M bất kì khác điểm O thành điểm M’ nằm trên đường thẳng OM sao cho gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k Điểm O được gọi là cực nghịch đảo và k được gọi là phương tích nghịch đảo Ta kí hiệu là: f(O, k)

b) Với k > 0, tập hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo f(O, k) là đường tròn (O; ) Đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo f(O, k) Hơn nữa, mọi đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo

đều là đường tròn bất động qua phép nghịch đảo

c) Với k < 0, phép nghịch đảo f(O, k) không có điểm bất động, do đó không

có đường tròn nghịch đảo

d) Phép nghịch đảo bảo tồn hàng điểm điều hoà với cực nghịch đảo nằm trên

đường thẳng mang hàng điểm đó

e) Phép nghịch đảo bảo tồn độ lớn của góc

f) Với mỗi phép nghịch đảo, hai điểm bất kì không thẳng hàng với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó cùng nằm trên một đường tròn

g) Mọi đường tròn đi qua hai điểm tương ứng M và M’ = f(M) của phép nghịch đảo f(O, k) với k > 0 đều trực giao với đường tròn nghịch đảo

1.6.3 Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo

Định lý 1.6 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực là một phép vị tự, có tâm

vị tự trùng với cực nghịch đảo và tỉ số vị tự là tỉ số giữa hai phương tích nghịch đảo của hai phép nghịch đảo đã cho

Chứng minh Cho hai phép nghịch đảo f(O, k), f’(O, k’) và điểm M bất kì

Gọi M’ = f(O, k)(M) và M” = f’(O, k’)(M’) Ta có:

và

Mặt khác, ta có f’(O, k’).f(O, k): M  M”

Vậy ta có: f’(O, k’).f(O, k) = hay tích của hai phép nghịch đảo cùng cực

nghịch đảo là một phép vị tự Từ đó suy ra rằng hình dạng ảnh của một hình qua phép nghịch đảo không phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc

'

k k O V

vào vị trí của cực nghịch đảo Dưới đây chúng tôi đưa ra kết quả về ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo:

1) Từ định nghĩa phép nghịch đảo ta dễ dàng suy ra rằng phép nghịch đảo biến đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó

2) Phép nghịch đảo biến một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo, trừ cực nghịch đảo Ngược lại, qua phép nghịch đảo, đường tròn đi qua cực nghịch đảo, trừ cực nghịch đảo biến thành đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo Ngoài ra, ta còn có:

- Nếu phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường thẳng thì tâm của đường tròn biến thành điểm đối xứng của cực nghịch đảo qua đường thẳng

- Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau qua hai phép nghịch đảo nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn

3) Phép nghịch đảo biến một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

Như vậy, phép nghịch đảo là một phép biến hình mà không phải là phép afin

vì nó không bảo toàn tính chất thẳng hàng của các điểm Phép nghịch đảo có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường thẳng thành đường tròn, biến đường tròn thành đường thẳng hoặc biến đường tròn thành đường tròn

1.6.4 Hình học bảo toàn đường tròn

Theo định lý 1.6 ta thấy tích của hai phép nghịch đảo cùng cực là một phép

vị tự Do đó, với phép toán tích các phép nghịch đảo, tập hợp các phép nghịch đảo không thể làm thành một nhóm Tuy nhiên, nếu ta lấy tập hợp tất cả các phép nghịch đảo và phép đồng dạng thì ta có một nhóm Nhóm này chứa nhóm đồng dạng và nhóm dời hình Trong nhóm này người ta xem đường thẳng là một loại

đường tròn đặc biệt có bán kính lớn vô hạn Người ta gọi nhóm này là nhóm tròn và hình học nghiên cứu các bất biến của nhóm này được gọi là hình học tròn Nghiên

cứu về nhóm này ta thấy rằng:

- Mỗi phép biến hình của nhóm biến đường tròn thành đường tròn (xem đường thẳng như một đường tròn đặc biệt)

- Mỗi phép biến hình có tính chất bảo tồn đường tròn (xem đường thẳng như một đường tròn đặc biệt) là một phép biến hình thuộc nhóm đó

Phép nghịch đảo là phép biến hình mà ánh xạ f “gần” là song ánh, nó là tương ứng 1-1 trừ tâm của đường tròn (O), với O là cực nghịch đảo Khi điểm M di chuyển về phía O thì ảnh M’ của nó di chuyển xa điểm O Đó là lý do tại sao khi

thêm điểm vô tận, đường thẳng vô tận trong mặt phẳng thì nó tương tự như phép xạ ảnh và xét phép nghịch đảo như một tương ứng 1-1 trên mặt phẳng mở rộng

1.6.5 Bất biến của nhóm tròn trong mặt phẳng

Các phép dời hình và các phép đồng dạng (như phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự, phép đồng dạng) đều có một tính chất chung là biến đường thẳng thành đường thẳng Phép nghịch đảo là phép biến hình không bảo tồn

sự thẳng hàng hay nói cách khác nó không phải là phép afin vì phép nghịch đảo có thể biến đường thẳng thành đường tròn và biến đường tròn thành đường thẳng Hơn nữa, phép nghịch đảo cũng có thể biến đường thẳng thành đường thẳng

Các bất biến của nhóm tròn như: bảo toàn độ lớn của góc, bảo toàn tính trực giao của các đường, bảo toàn sự tiếp xúc của các đường, bảo tồn hàng điểm điều hòa, bảo tồn đường tròn (nếu coi đường thẳng là đường tròn có bán kính lớn vô hạn) Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng nên

người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải là các bất biến của phép nghịch đảo như

độ lớn của góc, tính trực giao của các đường, sự tiếp xúc của các đường Vì vậy, phép nghịch đảo sẽ được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường

tròn, tính tiếp xúc và trực giao giữa các đường

Chương 2 VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHÓM BIẾN HÌNH

TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH HỌC

2.1.1 Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh

Trong không gian xạ ảnh P n lấy một siêu phẳng W và kí hiệu X(P W ) gồm các phép biến đổi xạ ảnh f của P n sao cho f(W) = W Hiển nhiên X(P W ) làm thành một nhóm và là nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(P n

) gồm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh P n Như ta đã biết tập hợp A n = P n \W là một không gian afin

và ta cũng có nhóm afin Af(A n ) Ta lại biết rằng nếu f’ Af(A n ) thì ta có duy nhất một phần tử f  X(P W ) sao cho f’ = f/A n Như vậy nhóm afin Af(A n ) đẳng cấu với nhóm X(P W ) Bởi vậy ta có thể xem nhóm afin Af(A n ) là nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(P n )

Từ đó suy ra mọi bất biến xạ ảnh đều là bất biến afin Thật vậy, vì bất biến

xạ ảnh là tính chất hoặc khái niệm không thay đổi qua bất kì phép xạ ảnh nào của

nhóm Af(P n ) nên nó cũng không thay đổi qua bất kì phép biến đổi nào của nhóm Af(A n ) nên đó cũng là bất biến afin của nhóm Af(A n ) Ngược lại, có những bất biến

afin không phải là bất biến xạ ảnh Chẳng hạn khái niệm về hai đường thẳng song song là bất biến afin mà không phải là bất biến xạ ảnh Thật vậy, hai đường thẳng

afin a, b gọi là song song nếu chúng có điểm chung I nằm trên siêu phẳng vô tận W

Vì phép biến đổi biến siêu phẳng W thành chính nó nên nó biến điểm I thành điểm I’ cũng nằm trên W Vậy hai đường thẳng a, b lần lượt biến thành hai đường thẳng a’, b’ đi qua I’ do đó a’, b’ cũng song song Nếu ta lấy một phép biến đổi xạ ảnh bất

kì thì nó có thể biến điểm I thành điểm I’ không nằm trên W và do đó a, b biến thành a’, b’ cắt nhau tại I’ nên chúng không song song với nhau Như vậy, nhóm xạ

ảnh chứa nhóm afin hay nói cách khác hình học xạ ảnh là một bộ phận của hình học

afin Có duy nhất một cách thêm vào không gian afin A n một siêu phẳng vô tận để

được không gian xạ ảnh P n Tuy nhiên, trong không gian xạ ảnh P n ta bỏ bất kì một

siêu phẳng W nào của P n

thì ta cũng sẽ được không gian afin A n = P n \W

Xây dựng hình học theo quan điểm dựa trên hệ tiên đề của Wâylơ, nếu ta loại bỏ tiên đề về tích vô hướng và giữ nguyên các nhóm tiên đề khác thì ta được không gian afin và xây dựng được môn hình học afin Còn nếu ta thay tiên đề tích

vô hướng bằng các tiên đề khác thì ta sẽ được các không gian giả Ơclít và xây dựng được các môn hình học giả Ơclít, nửa Ơclít,… Sau khi xây dựng được không gian afin và hình học afin, người ta có thể bổ sung vào không gian afin này các phần tử

vô tận và biến không gian afin này trở thành không gian xạ ảnh mà trên đó chúng ta

sẽ có môn hình học xạ ảnh là môn học ra đời dựa trên phép chiếu xuyên tâm

Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh Trong không gian afin A 3, ta bổ sung thêm các phần tử mới như sau:

- Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một "điểm vô tận" sao cho hai đường thẳng song song cắt nhau tại "điểm vô tận" Đường thẳng bổ sung thêm "điểm vô tận" được gọi là đường thẳng mở rộng

- Tập hợp các "điểm vô tận" của mặt phẳng cùng nằm trên một "đường thẳng

vô tận" Mặt phẳng được bổ sung thêm "đường thẳng vô tận" được gọi là mặt phẳng

mở rộng Như vậy, trong mặt phẳng mở rộng ta có:

+ Hai đường thẳng bất kì cùng thuộc một mặt phẳng thì luôn cắt nhau tại một điểm (hoặc là điểm afin thông thường, hoặc là điểm vô tận)

+ Hai mặt phẳng phân biệt luôn có một đường thẳng chung

+ Một đường thẳng bất kì không nằm trong mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng tại một điểm

Xét một mặt phẳng afin A 2 trong không gian afin mở rộng A 3 Kí hiệu [V 2

Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Xét mặt phẳng xạ ảnh P 2 liên kết với

không gian véctơ V 3, chọn đường thẳng  làm đường thẳng vô tận Khi đó, tập hợp

A 2 = P 2\ là mặt phẳng afin và được gọi là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin Trong mô hình này, các điểm thuộc  được gọi là điểm vô tận, các điểm không thuộc  được gọi là các điểm thông thường

Để chuyển một bài toán xạ ảnh về một bài toán afin, ta cần chọn một siêu

phẳng nào đó đóng vai trò siêu phẳng vô tận và khi đó không gian xạ ảnh P n trở

thành không gian afin A n Tuỳ từng bài toán, ta có thể chọn siêu phẳng vô tận sao cho bài toán xạ ảnh trở thành một bài toán afin và sử dụng các công cụ của hình học afin để giải toán

Để tìm những ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp thì sử dụng

mô hình xạ ảnh của hình học afin và hình học Ơclít là điều đương nhiên Tuy nhiên, những ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp còn được thể hiện ở những mô hình khác nhau của hình học xạ ảnh Trong bốn mô hình của hình học xạ ảnh phẳng, ta cần sử dụng mô hình gần gũi với học sinh phổ thông Rõ ràng là các

mô hình véctơ và mô hình số học có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhiều hơn Còn mô hình bó của hình học xạ ảnh phẳng thì chỉ có thể tìm thấy ứng dụng vào hình học sơ cấp trong không gian chứ không thể tìm thấy ứng dụng vào hình học phẳng Vì vậy, theo hướng này chúng tôi tìm thấy những ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp (ngoài mô hình xạ ảnh) ở trong các mô hình afin và mô hình Ơclít đã bổ sung các phần tử xa vô tận

Thế mạnh của hình học xạ ảnh là có thể giải quyết các bài toán về tính đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng) một cách tổng quát Ngoài ra, ta còn

có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối ngẫu hoặc sử dụng phương pháp đưa điểm ra vô tận Do vậy, muốn giải một bài toán afin bằng công cụ xạ ảnh trước hết chúng ta cần bổ sung vào mặt phẳng afin các điểm vô tận Mỗi đường thẳng afin đều được thêm vào một điểm vô tận và trở thành một đường thẳng xạ ảnh Tập hợp các điểm vô tận này của mặt phẳng đều nằm trên một đường thẳng vô tận Thông thường người ta hay bổ sung các đường thẳng vô tận bằng cách xem các đường thẳng song song với nhau thì đều gặp nhau tại một điểm vô tận Các đường elíp, parabôn, hypebôn trở thành các đường côníc theo thứ tự không cắt, tiếp xúc,

hay cắt đường thẳng vô tận tại hai điểm Sau khi chuyển bài toán afin trở thành bài toán xạ ảnh, ta có thể dùng các tính chất, các định lí của hình học xạ ảnh để giải bài toán đó Ngược lại, từ một bài toán xạ ảnh (phẳng), bằng cách cố định một đường thẳng của mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận ta thu được một bài toán afin Nói cách khác, ta có thể sử dụng kiến thức của hình học xạ ảnh để giải các bài toán afin và ngược lại

Khai thác mô hình afin và mô hình Ơclít nhằm tìm hiểu những ứng dụng của ánh xạ và biến đổi xạ ảnh vào giải một số bài toán hình học sơ cấp Ta thấy trong hình học xạ ảnh có nguyên tắc đối ngẫu, trong đó tập hợp các điểm thẳng hàng trên một đường thẳng (một hàng điểm thẳng) có hình đối ngẫu là tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm (một chùm đường thẳng) Cũng vậy, tập hợp các điểm của một đường cong bậc hai (không suy biến hay suy biến thành một cặp đường thẳng) có hình đối ngẫu là một tập hợp các tiếp tuyến của một đường cong lớp hai (không suy biến hay suy biến thành một cặp điểm) Hàng điểm thẳng và hình đối ngẫu của nó – chùm đường thẳng có tên gọi chung là những dạng cấp một, bậc nhất còn hàng điểm bậc hai (mà giá là một côníc) và hình đối ngẫu của nó trong mặt phẳng – chùm tiếp tuyến đường lớp hai có tên gọi chung là những dạng cấp một, bậc hai Vì vậy, khi đề cập đến ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một, ta muốn nói chủ yếu đến ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng, cũng tức là giữa hai hàng điểm thẳng hàng

cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và ba điểm P, Q,

R lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA và AB và không trùng với các điểm A, B,

C Một đường thẳng d không đi qua A, B, C và cắt các đường thẳng BC, CA và AB lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng:

a) (B, C, A’, P).(C, A, B’, Q).(A, B, C’, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để P, Q,

R thẳng hàng

b) (B, C, A’, P).(C, A, B’, Q).(A, B, C’, R) = -1 là điều kiện cần và đủ để AP,

BQ, CR đồng quy tại một điểm O

Lời giải Chọn d làm đường thẳng vô tận của mô hình afin Khi đó các tỉ số

kép (B, C, A’, P), (C, A, B’, Q) và (A, B, C’, R) trở thành các tỉ số đơn là (B, C, P), (C, A, Q), (A, B, R)

a) Ta chứng minh (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để

P, Q, R thẳng hàng

Điều kiện cần: Giả sử P, Q, R thẳng hàng

𝑘1𝑄𝐴

Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với

PQ cắt AC tại B’ Theo định lý Ta-lét cho CQP

có PQ // BB’ và BAB’ có RQ // BB’ ta có:

(B, C, P) = (B’, C, Q) = k 2, trong đó 𝑄𝐵′ = 𝑘2𝑄𝐶 (H 2.1)

(A, B, R) = (A, B’, Q) , trong đó 𝑄𝐴 = 𝑘3𝑄𝐵′ Từ đó suy ra

Vậy (B, C, Q).(C, A, Q).(A, B, R) = 1

Điều kiện đủ: Giả sử (B, C, Q).(C, A, Q).(A, B, R) = 1 Ta chứng minh P, Q,

R thẳng hàng Thật vậy, gọi R’ = PQ  AB Từ P, Q, R’ thẳng hàng và theo điều kiện cần ta có (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R’) = 1

Từ đó suy ra (A, B, R) = (A, B, R’)  R 

R’ Vậy P, Q, R thẳng hàng

b) Ta xét hai trường hợp sau đây:

* Trường hợp 1: Nếu O không thuộc d

Điều kiện cần: AP, BQ, CR đồng quy

Từ điểm A kẻ đường thẳng song song với

Khi đó 𝐶𝐵 = 𝑘2𝐴𝐽 , , trong đó 𝑅𝐴 = 𝑘3𝑅𝐵

Khi đó 𝐴𝐼 = 𝑘3 𝐵𝐶  Vậy (B, C, P).(C, A ,Q).(A, B, R) = -1 Điều kiện đủ: Giả sử (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R) = -1 và AP cắt BQ, ta cần chứng minh AP, BQ, CR đồng quy

Thật vậy, giả sử AP  BQ = I, CI  AB = R’ Từ AP, BQ, CR’ đồng quy và theo điều kiện cần ta có: (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R’) = -1

Ta suy ra (A, B, R) = (A, B, R’) Do đó R  R’

Vậy AP, BQ, CR đồng quy (H 2.3)

* Trường hợp 2: Nếu O không thuộc d

Điều kiện cần: Giả sử AP, BQ, CR song song

Ta có: (B, C, P) = (Q, C, A) = k 1 trong đó 𝐴𝑄 = 𝑘1𝐴𝐶 ,

(C, A, Q) = k 2 trong đó 𝑄𝐶 = 𝑘2𝑄𝐴

(A, B, R) = (A, Q, C) = k 3 trong đó 𝐶𝐴 = 𝑘3𝐶𝑄

Điều kiện đủ: Giả sử (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R) = -1 và AP // BQ cần chứng minh AP, BQ, CR song song Thật vậy, giả sử CR’ // AP // BQ (điểm R’ thuộc AB) Từ AP, BQ, CR’ song song và theo điều kiện cần ta có:

(B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R’) = -1

Ta suy ra (A, B, R) = (A, B, R’) Do đó R  R’ Vậy AP, BQ, CR song song

2.1.2 Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học Ơclít

Trong không gian Ơclít E n có nhóm afin Af(E n ), do đó ta cũng có hình học afin trên E n Vì Isom(E n ) là nhóm con của nhóm Af(E n ) nên hình học afin là một bộ

phận của hình học Ơclít Điều đó có nghĩa là các tính chất afin (là những tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi afin) cũng là các tính chất Ơclít và được nghiên cứu trong hình học Ơclít, nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng vì các tính

chất bất biến qua nhóm đẳng cự Isom(E n) chưa hẳn là các tính chất bất biến afin, thí

dụ như tính vuông góc của các phẳng, số đo khoảng cách, số đo góc… Vì vậy hình

học Ơclít trên E n rộng hơn, phong phú hơn hình học afin trên E n. Khi nghiên cứu về

hình học Ơclít, việc phân biệt một tính chất (hoặc khái niệm) xem nó là tính chất

afin hay tính chất Ơclít là một điều quan trọng Giả sử một hình H nào đó của E n

có tính chất  Nếu  là tính chất afin thì những hình tương đương afin với H cũng có

tính chất  Còn nếu  là tính chất Ơclít thì chỉ có thể nói những hình bằng H mới

có tính chất đó mà thôi

Các khái niệm song song, hình thang, hình bình hành, tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng,… là các khái niệm afin Độ dài, số đo góc, hình vuông, hình thoi là các khái niệm Ơclít Các tính chất của các phân giác, đường cao, đường trung trực của tam giác là các tính chất Ơclít của tam giác Định lý Talét và định lý Pitago đều là các định lý của hình học Ơclít Tuy nhiên, định lý Talét cũng là định lý của hình học afin, còn định lý Pitago thì không phải định lý của hình học afin Tính chất “trong tam giác đều đường cao là đường trung tuyến” không thể áp dụng cho mọi tam giác bất kì vì qua một phép afin một tam giác đều có thể biến thành một tam giác có hình dạng tuỳ ý Ngược lại tính chất “ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy” đều có thể áp dụng cho mọi tam giác vì tính chất trung tuyến của tam giác, tính chất đồng quy của các đường thẳng đều là những tính chất afin

Trong mặt phẳng Ơclít, để chứng minh một bài toán afin hay một định lý của hình học afin, ta có thể sử dụng các kiến thức của cả hình học afin và hình học Ơclít

để chứng minh một bài toán afin Ở bậc phổ thông, ta thường dùng các kiến thức của hình học Ơclít trong chứng minh bài toán afin, cụ thể là sử dụng các thể hiện Ơclít của các khái niệm afin, sau đó dùng các định lý của hình học Ơclít để giải

Chẳng hạn, ta có tỉ số đơn 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐶𝐴

𝐶𝐵 là khái niệm afin Nếu ta xét trong hình học afin trên mặt phẳng, kí hiệu 𝐶𝐴 và 𝐶𝐵 ở đây để chỉ các số thực  và  sao cho 𝐶𝐴 = 𝜆𝑒 và 𝐶𝐵 = 𝜇𝑒 , mà không phải là độ dài đại số của đoạn thẳng CA, CB

Trong hình học Ơclít, 𝐶𝐴 và 𝐶𝐵 chính là các độ dài đại số của các đoạn thẳng CA,

CB, tỉ số đơn (A, B, C) có thể hiện Ơclít là tỉ số của các độ dài đại số của hai đoạn thẳng CA, CB trên cùng một trục số với véctơ đơn vị 𝑒 Ta xét một số ví dụ cụ thể

như sau:

Ví dụ 2.2 Trên mặt phẳng Ơclít, chứng tỏ rằng quỹ tích trung điểm các dây

cung song song với nhau của một đường elíp là một dây cung đi qua tâm của elíp

Lời giải

* Dùng kiến thức của hình học afin Trên mặt phẳng Ơclít, cho elíp (E) có

phương trình chính tắc x 2 + y 2 = 1 đối với một mục tiêu afin nào đó Gọi MN là dây cung thay đổi của (E) luôn song song với nhau, nói cách khác đường thẳng MN có véctơ chỉ phương 𝑢 = (𝑎; 𝑏) cố định Gọi trung điểm của MN là (x 0 ; y 0) Khi đó, nếu 𝐼𝑀 = 𝑡𝑢 thì 𝐼𝑁 = −𝑡𝑢 hay M(x 0 + at; y 0 + bt) và N(x 0 – at; y 0 – bt) Vì M và N nằm trên (E) nên: (x 0 + at) 2 + (y 0 + bt) 2 = (x 0 – at) 2 + (y 0 – bt) 2 = 1 Từ đó suy ra 4(ax 0 + by 0 )t = 0 Vì t  0 nên ta có ax 0 + by 0 = 0 Như vậy, điểm I nằm trên đường thẳng có phương trình ax + by = 0 đi qua tâm của elíp Tuy nhiên I phải nằm trong hoặc trên elíp nên quỹ tích I là một đường kính của elíp

* Dùng kiến thức của hình học Ơclít Dùng phép biến hình afin f biến elíp (E) thành đường tròn (C) Ta chỉ cần chứng minh định lý trên đối với đường tròn Gọi O

là tâm của đường tròn và I là trung điểm của dây cung MN thì OI  MN, nên quỹ tích I là đường kính của đường tròn (vuông góc với MN)

Ví dụ 2.3 (Định lý Mê-nê-la-uýt)

Cho tam giác ABC Các điểm P, Q, R

(không trùng với A, B, C) lần lượt thuộc

các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó, P, Q,

qua  và song song với d cắt đường thẳng AB tại điểm C’ (H 2.4) Theo định lý lét áp dụng cho tam giác RBP (có CC’ // PR) và tam giác CAC’ (có QR // CC’), ta

Ta-có: 𝐶, 𝐵, 𝑃 = 𝐶′, 𝐵, 𝑅 =𝑅𝐶 ′

𝑅𝐵 ; 𝐴, 𝐶, 𝑄 = 𝐴, 𝐶′, 𝑅 = 𝑅𝐴

* Dùng kiến thức hình học Ơclít

- Điều kiện cần: Các điểm P, Q, R thẳng hàng Hạ từ A, B, C các đường vuông góc xuống đường thẳng d đi qua P, Q Gọi a, b, c là khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng d Từ các cặp tam giác vuông tại PBB’ và PCC”, QBB’ và

QAA’, QAA’ và QCC”, ta tính được tỉ số đơn 𝐶, 𝐵, 𝑃 = 𝑐

𝑏, 𝐴, 𝐶, 𝑄 = −𝑎

𝑐,

𝐵, 𝐴, 𝑅 = −𝑏

𝑎 Nhân vế với vế các đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

- Điều kiện đủ: Giả sử (B, A, R).(C, B, P).(A, C, Q) = 1 Ta chứng minh P, Q,

R thẳng hàng Thật vậy, gọi R’ là giao điểm của đường thẳng PQ với đường thẳng

AB Từ P, Q, R’ thẳng hàng và theo điều kiện cần: (B, A, R’).(C, B, P).(A, C, Q) = 1

Từ đó ta suy ra (B, A, R) = (B, A, R’) nên R trùng với R’ Vậy, P, Q, R thẳng hàng

Trong mặt phẳng afin, hai tam giác bất kì tương đương afin với nhau Khi thực hành giải toán, xét trong mặt phẳng Ơclít điều đó vẫn còn đúng vì mặt phẳng Ơclít cũng là mặt phẳng afin Do đó, một tam giác đều hay một tam giác vuông là tương đương afin với một tam giác thường bất kì nên chúng có các tính chất afin như nhau (tính chất không phải là tính chất afin thì khác nhau) Vì vậy, ta có thể xem xét một bài toán về tam giác đều có các tính chất afin nào đó và suy ra tam giác bất kì cũng có các tính chất afin như thế

Ví dụ 2.4 Chứng minh rằng trong một

tam giác bất kì, nếu mỗi cạnh của tam giác

được chia làm ba phần bằng nhau và nối các

điểm chia đó với các đỉnh đối diện của cạnh đó

ta sẽ được sáu đường thẳng tạo nên một hình

lục giác thì các đường chéo của hình lục giác

này sẽ đồng quy tại một điểm

Lời giải Ta có tam giác là 2-đơn hình

trong mặt phẳng afin 2 chiều thông thường nên là

khái niệm afin Cạnh chia làm ba phần bằng nhau quy về tỉ số đơn bằng 1

hoàn toàn các bất biến afin Vì tam giác thường và tam giác đều là hai khái niệm tương đương afin trong mặt phẳng afin 2 chiều thông thường nên ta có thể giải bài toán cho tam giác đều (H 2.5)

Do đó, chọn A'B'C' đều làm hình tương đương với ABC đã cho qua một phép afin f Theo giả thiết, trên các cạnh B'C', C'A', A'B' ta lần lượt có các điểm chia

là A 1 , A 2 ; B 1 , B 2 ; C 1 , C 2 sao cho:

B'A 1 = A 1 A 2 = A 2 C' = C'B 1 = B 1 B 2 = B 2 A' = A'C 1 = C 1 C 2 = C 2 B'

Khi đó, ta có lục giác DEFGHI

Ta cần chứng minh các điểm D, G nằm trên đường trung trực của đoạn B'C'

và dễ thấy đường trung trực này đi qua điểm A' (do A'B'C' đều) Thật vậy, ta có

B'C'C 1 = C'B'B 1 (vì có B'C' chung, A’B’C’ = A’C’B’ = 600 và B'C 1 = C'B 1)

Do đó, B 1 B’C’ = C 1 C’B’ suy ra GB'C' cân tại G nên đỉnh G thuộc đường trung trực của đoạn thẳng B'C'

Mặt khác, ta có B'C'B 2 = C'B'C 2 (vì có B'C' chung, A’B’C’ = A’C’B’ =

600 và B'C 2 = C'B 2) Do đó B 2 B’C’ = C 2 C’B’ suy ra DB'C' cân tại D nên đỉnh

D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng B'C'

Tương tự, ta chứng minh được hai đỉnh E, H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng A'C' và hai đỉnh F, I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng A'B' Trong

A'B'C' đều, các đường trung trực đồng quy Do đó, các đường chéo của hình lục giác DEFGHI đồng quy tại một điểm

Thực hiện phép afin f -1

biến A'B'C' thành ABC ta được kết quả cần chứng

minh trong ABC Như vậy, đối với các bài toán chỉ chứa các bất biến afin thì ta có

thể sử dụng tương đương afin để giải các bài toán trong không gian Ơclít

Ví dụ 2.5 Trong mặt phẳng Ơclít, cho tam giác bất kì ABC và các điểm M,

N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, và AB sao cho các tỉ số đơn sau bằng nhau:

(B, C, M) = (C, A, N) = (A, B, P) Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và MNP trùng nhau

Lời giải Sử dụng tương đương afin, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp

tam giác ABC là tam giác đều vì các khái niệm tỉ số đơn, trọng tâm của tam giác nêu

trong bài toán là các khái niệm afin Ta dùng các kiến thức của hình học Ơclít để

giải bài toán này Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Xét phép quay tâm G, góc

quay 1200 biến A, B, C thành B, C, A Do (B, C, M) = (C, A, N) = (A, B, P) nên phép quay này biến M, N, P thành N, P, M Suy ra tam giác MNP là tam giác đều và nhận tâm quay G là trọng tâm

Như vậy, ta thấy bài toán đúng trong trường hợp riêng (tam giác đều) rồi suy

ra bài toán vẫn đúng trong trường hợp tổng quát (đối với mọi tam giác bất kì) Cách chứng minh này nói chung trái với quy tắc suy luận thông thường nhưng ở đây cách

đó lại là đúng vì ta đã chứng tỏ được mỗi tam giác thường bất kì ABC và A’B’C’ là

hai hình tương đương afin và tính chất cần chứng minh tương ứng trong mỗi hình là tính chất afin Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng phương pháp afin, tức là chỉ dùng kiến thức của hình học afin Chẳng hạn, dùng phương pháp tọa độ afin hoặc dùng phép afin Ta đã biết điểm bất động của phép afin là duy nhất: Hãy coi điểm

bất động là trọng tâm G và f cũng biến các điểm M, N, P lần lượt thành N, M, P suy

ra trọng tâm G’ của tam giác MNP cũng là điểm bất động của f

Ví dụ 2.6 Cho đường tròn (O) và dây cung AB Gọi C là trung điểm của AB,

qua C kẻ hai cát tuyến tuỳ ý là HI và KJ Gọi M, N là giao của AB với IJ, KH Chứng minh rằng C cũng là trung điểm của MN

chứng minh CN = CM, ta chỉ cần chứng minh

hai góc CON và COM bằng nhau

Ta có hai tam giác HCK và ICJ đồng

dạng (có các góc tương ứng bằng nhau, do tính

chất của hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Từ đó suy ra nếu gọi P, Q lần lượt là trung

điểm của HK và IJ thì hai tam giác PCK và

QCI đồng dạng nên CPN = CQM Ngoài ra

giác nội tiếp Suy ra CPN = CON, và CQM = COM (H 2.6) Vậy CON =

COM

Ta thấy đây là bài toán afin Nếu dùng một phép biến đổi afin trong mặt phẳng thì đường tròn biến thành đường elíp, còn khái niệm trung điểm của đoạn thẳng được giữ nguyên Bởi vậy, bài toán nói trên vẫn đúng nếu thay từ “đường tròn” bởi từ “đường elíp”

Ta xét bài toán tổng quát sau: “Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O),

AC  BD = K Một đường thẳng đi qua K cắt các cạnh AB, CD tại M và N, cắt đường tròn (O) tại P và Q Chứng minh rằng K là trung điểm của PQ khi và chỉ khi

K là trung điểm của MN” Thật vây, ta có (AP, AB, AC, AQ) = (DP, DB, DC, DQ)

 (P, M, K, Q) = (P, K, N, Q) Từ đó suy ra điều phải chứng minh (H 2.7)

Hình 2.7

2.1.3 Sáng tạo các bài toán mới

Vận dụng mối quan hệ giữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán afin khác nhau từ một bài toán afin cho trước bằng cách:

- Từ một bài toán xạ ảnh trong không gian xạ ảnh, bằng cách chọn các siêu phẳng khác nhau đóng vai trò siêu phẳng vô tận Vì có nhiều cách chọn siêu phẳng vô tận vì thế ta có thể có nhiều bài toán afin khác nhau mà các kết quả ta có thể suy ra những kết quả đã biết của bài toán trong không gian xạ ảnh

- Từ một bài toán afin ta có thể suy ra một bài toán xạ ảnh bằng cách bổ sung thêm vào không gian afin này những điểm vô tận thuộc siêu phẳng vô tận mỗi đường thẳng chỉ có thể bổ sung một điểm vô tận duy nhất vì vậy siêu phẳng vô tận