Ứng dụng hình học fractal vào tạo ảnh và trộn ảnh

Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Mục lục LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG GIỚI THIỆU HÌNH HỌC FRACTAL .4 CHƯƠNG CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA HÌNH HỌC FRACTAL 12 CHƯƠNG CÔNG NGHỆ TẠO ẢNH 33 CHƯƠNG CÔNG NGHỆ NÉN ẢNH 46 CHƯƠNG PHỤ LỤC CHƯƠNG TRÌNH 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn LỜI NÓI ĐẦU Năm 1975, lý thuyết hình học Fractal thức biết đến thông qua báo tiếng Benoit Mandelbrot công trình Hutchinson (1981) Lý thuyết hình học Fractal ứng dụng nhiều ngành khoa học khác nhau, mô giải thích nhiều tượng tự nhiên Fractal quy luật cấu trúc hệ thống bao trùm tự nhiên xã hội Cầm soi lên nắng thấy gân hình fractal Nhìn tổng thể ta thấy gân phụ chạy từ gân Nhìn kĩ gân phụ ta lại thấy gân nhỏ chạy từ gân phụ cách tương tự Cứ mà hình thành nên lưới gân Đó hình Fractal gân Nói đơn giản Fractal kiểu cấu trúc hệ thống mà tiểu hệ, mức chi tiết hơn, ta lại tìm thấy quán hệ thống biến đổi Cấu trúc phân tử đồng dạng Fractal với hệ mặt trời Hình dãy núi hình Fractal Các hạt xốp nhỏ bỏ ngẫu nhiên mặt nước tĩnh liên kết theo hình Fractal Nghệ thuật chiến tranh nhân dân theo hình Fractal Tổ chức quân đội hình Fractal Sự dao động, biến động giá thị trường chứng khoán, âm nhạc, núi lửa mặt trăng, bệnh dịch bệnh sởi, mô hình quản lý công ty nhiều thế, đặc biệt khoa học máy tính… Fractal trở thành từ khoá quen thuộc nhiều lĩnh vực Hình học Fractal hấp dẫn nhà nghiên cứu khả mô tả giới thực, mức độ trừu tượng số chiều khả tạo hình ảnh đẹp lạ mắt Trong đồ án tìm hiểu lý thuyết hình học Fractal, vấn đề tạo ảnh số phương pháp nén ảnh Fractal Cụ thể lý thuyết độ đo Fractal, tập Mandelbrot, tập Julia, lý thuyết hệ hàm lặp, ứng dụng hệ hàm lặp việc nén ảnh Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Cấu trúc đồ án chia thành phần sau: Phần gồm chương 2: Nhằm giới thiệu lịch sử phát triển, ứng dụng Fractal, kiến thức toán để bắt đầu tìm hiểu hình học Fractal Trình bầy kiến thức sở lý thuyết hình học Fractal Phần gồm chương 3: Trình bầy ứng dụng Fractal tạo ảnh Trình bầy số thuật toán tìm hiểu tập Mandelbrot, tập Julia, hệ hàm lặp IFS, ứng dụng Fractal để mô liệu thị trường mở… Phần gồm chương 4: Ứng dụng lý thuyết Fractal vào công nghệ nén ảnh Trình bầy số phương pháp nén ảnh, đồ án trình bầy phương pháp nén ảnh Fractal dựa theo lược đồ tứ phân phương pháp phân hình HV Đồ án có kèm theo chương trình cài đặt thuật toán thể tập Mandelbrot, tập Julia, thuật toán sinh ảnh dựa hệ hàm lặp IFS chương trình nén ảnh thử nghiệm viết ngôn ngữ Visual Basic 6.0 Vì kiến thức thời gian có hạn nên đồ án có thiếu sót, em mong dẫn thầy, cô để em sâu nghiên cứu hình học Fractal Tôi xin cảm bạn lớp giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành đồ án Và đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy GS TSKH Lê Hùng Sơn, thầy cô khoa Toán tin ứng dụng bảo hướng dẫn em suốt trình xây dựng đồ án Ngày 10 tháng năm 2005 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn CHƯƠNG GIỚI THIỆU HÌNH HỌC FRACTAL 1.1 Lịch sử phát triển hình học Fractal Vào năm 1890 & 1891, tìm kiếm đặc trưng bất biến đối tượng hình học Peano & Hilbert phát minh đường cong có tính chất đặc biệt Đó đường cong không tự cắt theo quy luật Peano & Hilbert, chúng lấp đầy miền hữu hạn mặt phẳng Hình học Euclide quan niệm đường cong đối tượng chiều đường thẳng Tuy nhiên trực quan cho thấy cách nhìn lớp mới, đường có số chiều đại diện đường thẳng, đối tượng hai chiều đại diện mặt phẳng đường cong lấp đầy mặt phẳng đại diện cho đối tượng có số chiều Ý tưởng cách mạng dẫn đến việc hình thành giải toán số chiều hữu tỉ gây nhiều tranh luận toán học thập kỷ gần Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà toán học Thụy Điển Helge Koch đưa loại đường cong khác với đường cong Peano & Hilbert, đường cong Von Koch … xuất loạt tập “lạ” • Tập Cantor tập đoạn [0,1], không chứa đoạn thẳng mà tương ứng 1-1 với tập điểm đoạn thẳng • Đường cong Piano đường cong liên tục qua điểm hình vuông Đệm thảm Sierpinsky điểm (chỉ có xương thịt) ánh xạ liên tục lên toàn tam giác, hay toàn tập lập phương Rn • Hình đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng có diện tích nhỏ có chu vi dài vô hạn Mặc dù chúng chứa miền hữu hạn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn • Hình đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng có diện tích nhỏ có chu vi dài vô hạn Mặc dù chúng chứa miền hữu hạn • Hàm số Weierstrass hàm số liên tục mà đạo hàm điểm Đồ thị đường cong liên tục tiếp tuyến điểm • Tập Mandelbrot phát năm 1979, Mandelbrot nghiên cứu thành công dãy: Zn+1 =Zn2 + c, kết nhận cấu trúc Fractal phức tạp đẹp Tập Mandelbrot Tam giác Sierpinsky Von Koch Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn • Tập Julia gồm phận Sau gây hoang mang không làng nghiên cứu, tập khác thường chấp nhận Tuy nhiên, thời nhiều người xem chúng vật lạ, chủ yếu có tác dụng gợi tính tò mò làm dịu bớt tính trang nghiêm toán học Một vài nhà vật lý Boltzmann, Perrin sớm dự đoán khả ứng dụng tập khác thường thưc tế song họ không làm tuyên bố đường cong bất thường, gai góc đường cong Weierstrass thường hay gặp, đường trơn tru đặn đường tròn ngoại lệ Ngay công trình đặc sắc F.Hausdorff A.S.Besicovitch với tập có thứ nguyên (số chiều) phân số có tiếng vang yếu ớt giới toán học Đến năm 1975, thông qua báo tiếng “Lý thuyết tập Fractal” (A.Theory of Fractal Sets), sau chuyên khảo “Hình hoc Fractal tự nhiên” (The Fractal Geometry of nature) nhà toán học người Pháp gốc Ba Lan Benoit Mandenbrot làm việc trung tâm nghiên cứu Thomas B.Waston công ty IBM Bài báo gây tiếng vang lớn nhà khoa học lúc ý nghiên cứu, phát triển Chỉ vài thập kỷ gần Fractal trở thành đề tài nóng hổi khoa học, khoa học máy tính ngành khoa học khác Cuốn sách Mandelbrot sau trở thành công trình kinh điển hình học Fractal có tập tiếng mang tên ông - tập Mandelbrot Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Từ tập khác thường quan tâm giới khoa học, ngành toán học mà hầu hết ngành, tự nhiên xã hội, khoa học công nghệ Mandelbrot đặt tên cho đối tượng khác thường fractal, mượn chữ la tinh ”fractus” có nghĩa “gãy, vỡ” Từ hướng toán học đời mang tên toán học fractal Mô hình toán học xây dựng khung toán học tổng quát để nghiên cứu tập khác thường Chỉ vài thập kỉ fractal trở thành đề tài nóng hổi toán học đại Mandelbrot nhà toán học khác A.Douady, J.Hubbard đặt móng phát triển cho lý thuyết hình học Fractal Các kết đạt chủ yếu tập chung cấu trúc Fractal sở tập Mandelbrot tập Julia Dựa công trình Mandelbrot (1976, 1979, 1982) Hutchímon (1981), vào năm 1986, 1988 Micheal F.Barnley M.Bgger phát triển lý thuyết hàm lặp IFS (Interated Function System) ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Ngoài công trình mang tính lý thuyết Hình học Fractal bổ xung nghiên cứu ứng dụng vào khoa học máy tính ngành khoa học khác Chẳng hạn dựa lý thuyết IFS phép biến đổi phân hình áp dụng cho công nghệ nén ảnh Hiện lý thuyết phép phát triển phân hình nghiên cứu phát triển Một vấn đề lớn quan tâm toán với độ đo phân hình có liên quan đến mở rông khái niệm số chiều Fractal đối tượng Fractal tự nhiên Đồng thời liên quan tới việc áp dụng độ đo Fractal ngành khoa học tự nhiên Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Mandelbrot định nghĩa:”Fractal tập hợp có số chiều Hausdorff lớn số chiều topo nó” Định nghĩa thâu tóm hầu hết tính chất đa số Fractal Mandelbrot thừa nhận chưa thoả đáng loại bỏ đối tượng cần gọi Fractal Theo Kenneth Flaoner tập F gọi Fractal có tính chất sau đây: − F có chi tiết điểm − F tự tương tự − F có số chiều Fractal lớn số chiều topo số chiều Fractal F số không nguyên − F thường tạo sinh thủ tục đệ qui đơn giản Tuy nhiên định nghĩa chưa đầy đủ chưa có đưa định nghĩa xác đầy đủ Fractal 1.2 Ứng dụng hình học Fractal Có hướng ứng dụng lớn lý thuyết hình học Fractal là: 1) Ứng dụng vấn đề tạo ảnh máy tính 2) Ứng dụng công nghệ nén 3) Ứng dụng nghiên cứu khoa học Ứng dụng lý thuyết Fractal bao trùm lên nhiều lĩnh vực xã hội tự nhiên Và nghiên cứu nhiều, đề tài “mở” khả ứng dụng lớn Cụ thể lĩnh vực sau:  Ứng dụng y học sinh học Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Gần nhà khoa học tìm mối liên hệ Fractal với hình thù tế bào, trình trao đổi chất thể người, AND, nhịp tim, … Trước đây, nhà khoa học quan niệm lượng chất trao đổi phụ thuộc vào khối kượng thể người có nghĩa tỷ lệ bậc xem xét người đối tượng chiều Nhưng ngày ánh sáng hình học Fractal, người ta cho xác xem người mặt Fractal với số chiều xấp xỉ 2.5, tỷ lệ không nguyên mà số thập phân  Ứng dụng hoá học Hình học Fractal ứng dụng việc khảo sát hợp chất cao phân tử Tính đa dạng cấc trúc polyme thể phong phú đặc tính hợp chất cao phân tử Fractal Hình dáng vô định hình, đường bẻ gẫy, chuỗi, tiếp xúc phân tử polyme với không khí, chuyển tiếp sol-gel, vv…đều có liên quan tới Fractal  Ứng dụng vật lý Khi nghiên cứu hệ có lượng tiêu hao người ta nhận thấy trạng thái hệ khó đoán định trước hình ảnh hình học chúng đối tượng Fractal  Dự báo thời tiết Hệ thống dự báo thời tiết coi hệ thống hỗn độn Nó ý nghĩa dự đoán thời gian dài (một tháng, năm) quy luật biến đổi tuân theo Fractal  Thiên văn học Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Các nhà khoa học xem xét quỹ đạo hành tinh hệ mặt trời hệ thiên hà khác Kết cho thấy hành tinh quay theo quỹ đạo ellipse hình học Eulide mà chuyển động theo đường Fractal Quỹ đạo mô quỹ đạo tập hút “lạ”  Kinh tế Khái niệm Fractal có mặt nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, người ta biết khái niệm sinh từ lĩnh vực kinh tế Mandelbrot khám phá thay đổi giá thị trường mở vào năm 1963 Theo kinh nghiệm, ông nhận thấy rằng, biểu đồ thay đổi giá Cotton giống loại biểu đồ khác với phân tích thời gian khác Một khái niệm loé lên đầu ông tỉ lệ không đổi đầu mối để mô tả nhiều tượng phức tạp quanh Sau 20 năm, ông định nghĩa khái niệm Fractal Nó trở thành từ khoá phạm vi nghiên cứu rộng rãi Sau 40 năm kể từ ông sáng tạo khái niệm Fractal, kinh tế trở thành chủ đề nóng hổi nghiên cứu Fractal Một lĩnh vực khoa học, kinh tế, lập năm 1997 Đây nghiên cứu tượng kinh tế dựa phương pháp cách tiếp cận Vật lý Trong số chủ đề kinh tế đó, có chủ đề liên quan mật thiết đến việc nghiên cứu Fractal: o Đó thay đổi giá thị trường mở o Sự phân chia thu nhập công ty o Quan hệ tỉ lệ dao động quy mô công ty Mô tả biến động giá thị trường chứng khoán đồ hình Fractal Trên sở dự báo giá thị trường theo luật hình học Fractal 10 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Ta thu hình Súplơ Một số hình khác: 91 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh 92 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Nén ảnh theo giải thuật IFS Ảnh ban đầu • Với size = 32 Chia khối Rj >Các khối Dj tương ứng > Giải nén • Với size =8 Chia khối R >Các khối Dj tương ứng > Giải nén Nhận xét: Với size nhỏ tốc độ chậm sai lệch giải nén Giải thuật nén ảnh theo lược đồ tứ phân • Với epsilon = 10 93 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Các khối Rj Các khối Dj Với epsilon = GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Giải nén Với epsilon = 0.01 94 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh 95 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Hình Ảnh ban đầu 96 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Với epsilon = 0.01 97 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Các khối Rj Các khối Dj 98 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Giải nén Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Với epsilon = 0.001 99 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh Các khối Rj Các khối Dj 100 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Giải nén Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn MÃ NGUỒN MỘT SỐ MODULE CHÍNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH Public Sub MotBuoc() Dim X As Long, Y As Long, i As Long, XX As Long, YY As Long Static Tu As Long, Vao As Long Tu = 1: Vao = CopyAX 2, For i = To sohamlap For Y = To Max For X = To Max If A(Tu, X, Y) RGB(255, 255, 255) Then XX = HeHam(i).A * (X - X0) + HeHam(i).C * (Max - Y - Y0) + HeHam(i).e * Max YY = HeHam(i).B * (X - X0) + HeHam(i).d * (Max - Y - Y0) + HeHam(i).f * Max XX = XX + X0: YY = Max - (YY + Y0) If XX < Or XX > Max Or YY < Or YY > Max Then Else A(Vao, XX, YY) = A(Tu, X, Y) If frIFS.CM Then A(Vao, XX, YY) = RGB((i - (i \ * 4)) * 50, i \ * 60, 100) End If 101 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn End If End If Next Next Next End Sub ‘ -‘ Public Sub MoIFS(SoTT As Integer) Dim s As String, i As Integer, SoH As Long, j As Long, p As Long, Tem As String On Error GoTo Loi Open App.Path + "\data.txt" For Input As #1 i=0 Do Do Line Input #1, s Loop Until s = "#" Or EOF(1) i=i+1 Loop Until i = SoTT Or EOF(1) Line Input #1, s frIFS.TenIFS = s Line Input #1, s frIFS.SoHam = s SoH = s For i = To SoH Line Input #1, s For j = To LTrim s 102 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn p = InStr(1, s, " ") Tem = Mid(s, 1, p - 1) s = Mid(s, p + 1) frIFS.ArrayMa.TextMatrix(i, j) = Tem Next Next Line Input #1, s frIFS.FileAnh = s frIFS.Anh = LoadPicture(App.Path + "\pictures\" + s) Line Input #1, s frIFS.SoLap = s frIFS.SoLapNgauNhien = s & "0000" Line Input #1, s frIFS.TDX = s Line Input #1, s frIFS.TDY = s DinhToaDo Loi: Close #1 End Sub ‘ -‘ Sub GiaiMa() KhoiTaoAnh Dim N As Long: N = 15: F1.PB1.MAX = N Dim i As Long, J As Long 103 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh For J = To N TaoDomain For i = To SoHam - BienDoiW HeHam(i) Next F1.PB1.Value = J HienBitAnh F1.p2 DoEvents Next End Sub 104 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn TÀI LIỆU THAM KHẢO A E Jacquin, Image Coding Based on a Fractal of Iterated Contravtive Image Tranformations, SPIE Vol, Image Processing, 1990 A E Jacquin, Image Coding Based on a Fractal of Iterated Contravtive Image Tranforms, IEEE on Image Processing, Vol1, No1, 1992 Hoàng Tuỵ, Hình học Fractal, Bài giảng viện toán học, Hà Nội, 2000 Hoàng Kiếm, Dương Anh Đức, Lê Đình Huy, Vũ Hải Quân, Cơ sở đồ hoạ máy tính, NXB Giáo dục, 1999 Jame D, Foley, A Van Dam, S K Feiner, John F Hugesl, Computer Graphics Principles and Practice K J Falconer, Fractal Geometry: Mathematical foundtions and applications, John Wiley & Sons, Inc, 1990 M F, Barnsley, Fratals Everywhere, Academic Press, Inc, 1988 Ngô Quốc Tạo, Cơ sở hình học Fractal chương trình thử nghiệm Fractal, Đề tài cấp Trung Tâm KHTN & CNQG - TT98, Hà Nội, 1998 http://www.fractal.com 10 http://darkwing.uoregon.edu/~koch/java/Fractal.html 11 http://fractal properties in economics 12 http://www.cygnus-software.com 13 http://darkwing.uoregon.edu/~koch/java/Fractal.html 14 http://www.enchantress.net/fractals/index.shtml 15 http://www.dip.ee.uct.ac.za/imageproc/compression/fractal 105 [...]... Và tương tự với hình hộp đơn vị V, ta cũng chia làm N phần V = Nε3 = 1 23 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Để ý thấy số mũ của ε trong mỗi trường hợp chính là số chiều của đối tượng, và nói chung: 24 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh NεDs = 1 ⇒ Ds = 25 GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn log( N ) log(1 / ε ) Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh. .. một vài phép biến đổi ta sẽ thu được một tập rỗng Hệ hàm lặp IFS, FIFS, PIFS đem cho chúng ta nhiều ứng dụng trong thực tế, nhất là tìm ra các ảnh Fractal và nén ảnh Fractal Ngày nay người ta đang phát hiện ra những ứng dụng mới cho hệ hàm lặp và giúp cho hệ lý thuyết Fractal được sử dụng mạnh mẽ vào các ứng dụng khoa học tự nhiên, xã hội và kỹ thuật 32 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh. .. trên thị trường chứng khoán v v… 16 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Việc tính số chiều và độ đo Fractal phải cần đến rất nhiều khái niệm toán học, và quan trọng nhất và nổi bật nhất đó là số chiều và độ đo Haudorff Chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái niệm này trước khi đi sâu vào khảo sát số chiều Fractal 2.2.1.1 Thứ nguyên Hausdorff Trong hình học Euclide, các đối.. .Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn  Khoa học máy tính Hình học Fractal cho phép ta thiết kế các hình ảnh đẹp trên máy tính một cách đơn giản và trực quan hơn Đây là một trong những lĩnh vực được nhiều người quan tâm, nhất là những người yêu thích nghệ thuật Hình học Fractal còn giúp cho việc nén ảnh rất hiệu quả thông qua hệ hàm lặp IFS, và là một trong... 1 hay lớp 2 Bước 3: Tô điểm ảnh ứng với zo theo kỹ thuật tô xoay vòng 35 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Bước 4: Chọn giá trị zo mới và lặp lại bước 1 cho đến khi quét hết các giá trị z cần khảo sát Sau đây là một vùng khảo sát tập Julia tương ứng với điểm c = (p,q) = (0; 0) Hình 6.2 Tập Julia 3.2.3 Bài toán sinh ảnh Fractal dựa vào hệ hàm lặp – IFS 3.2.3.1... tượng bằng cách áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm thuộc đối tượng • Phép biến đổi tỉ lệ 15 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Phép biến đổi tỉ lệ làm thay đổ kích thước đối tượng Để co hay giãn tọa độ của một điểm P(x,y) theo trục hoành và trục tung lần lượt là s x và sy, ta nhân tương ứng sx và sy cho các tọa độ của P  x ' = sx x   y ' = sy y sx và sy gọi là các... chất Trong âm nhạc hình học Fractal cũng được đưa vào ứng dụng, các điểm hút, các điểm đẩy là cơ sở để cấu thành các nốt nhạc Fractal vv… 11 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn CHƯƠNG 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA HÌNH HỌC FRACTAL 2.1 Các kiến thức toán học cơ bản 2.1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1: (không gian mêtric) Cho X là một tập khác rỗng, được gọi là không gian mêtric... tập hợp {f(c): c ∈ C} là hữu hạn các số nguyên dương và do đó tập này chứa một số nguyên dương nhỏ nhất N(A,ε) Ta định nghĩa số chiều Fractal của tập A như sau: 21 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Tập A có số chiều Fractal là D nếu: N(A,ε ) ≈ C.εD , với C > 0 là hằng số Ở đây ký hiệu “≈” được hiểu là với f(ε) và g(ε) là các hàm số của biến dương ε thì f(ε) ≈ g(ε)... Mandelbrot nhận được là một trong những cấu trúc Fractal phức tạp và đẹp nhất Trước tiên ta tìm hiểu dãy : Zn+1 = Zn2 + c, trong đó Zi ∈C, ∀i∈ N và c∈ C (1) Xét trường hợp c=0 và Z0 ∈ R khi đó ta có ba trường hợp: Với Z0 =1 khi đó Zn = 1 , ∀ n≥1 Với Z0 1 khi đó Zn → ∞ , khi n → ∞ 33 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Kí hiệu zn =... c thuộc lớp 1 hay lớp 2 Bước 3: Nếu c thuộc lớp 1 thì tô điểm tương ứng với c trên màn hình bằng mầu đen, ngược lại tô điểm ảnh với mầu tương ứng xác định từ kỹ thuật tô mầu quay vòng Bước 4: Chọn một giá trị c mới và quay lại bước 1 cho đến khi quét hết toàn bộ giá trị c cần khảo sát 34 Ứng dụng hình học Fractal vào tạo ảnh và nén ảnh GVHD:GS-TSKH Lê Hùng Sơn Hình 6.1 Tập Mandelbrot 3.2.2 Thể hiện