PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CẦU DẦM GIẢN ĐƠN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI CHUYỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NEWMARK Phan Huy Thiện1 TÓM TẮT Trong tiêu chuẩn thiết kế cầu Việt Nam số nước Thế giới [5],[6], thiết kế loại cầu người ta đưa hệ số động tải trọng di động gây nên tính tăng thêm theo tỉ lệ tải trọng tĩnh Hệ số động đó, quy định cho tất cầu nói chung cầu dầm nhịp giản đơn nói riêng, dẫn đến việc xác định tải trọng động cho cầu cần phải nghiên cứu rõ để đánh giá mức độ ảnh hưởng hệ số động cầu Trong báo này, tác giả nghiên cứu hệ số động phương pháp phần tử hữu hạn cho cầu dầm giản đơn phương pháp Newmark, lập trình ngôn ngữ Matlab với mô hình hai khối lượng Từ khóa: Phân tích dao động, cầu dầm, hệ số động, phần tử hữu hạn, mô hình hai khối lượng, tải trọng di động ABSTRACT Today in the Bridge Design Standard of Viet Nam and others countries in the world [5], [6]… designing bridges, the dynamic factor of moving load is taken into account by multiplying static load with a dynamic factor It is imperative for all types of bridges including simple span bridges, so moving load calculation needs to be studied in order to evaluate dynamic factor influences on bridges In this paper, the author studies the dynamic factors by using finite element methods with simple span bridges The software Matlab, with its two-weight model, is used to calculate the factors Key words: Ffluctuation analysis, simple span bridge, dynamic factor, finite element method, two weight model, moving load Đặt vấn đề Đã có hai hướng nghiên cứu ảnh hưởng tác động hoạt tải công trình cầu: + Theo hướng thứ nhất: Ảnh hưởng tác động động lực hoạt tải xét đến cách gia tăng trị số tính toán tĩnh tương ứng, thông qua hệ số động lực (1+μ) Nội lực hay chuyển vị hoạt tải gây phận kết cấu tính toán theo công thức: Sd = (1+μ) St; Trong đó: St - nội lực hay chuyển vị tác dụng tĩnh hoạt tải; Sd - nội lực hay chuyển vị tác dụng động hoạt tải ThS, Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh Email: thaianh37@gmail.com 72 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH + Theo hướng thứ hai: Tùy theo mức độ khảo sát hiệu ứng quán tính kết cấu tải trọng di động công trình, phân loại mô hình nghiên cứu sau: Mô hình 1: Không xét đến khối lượng tải trọng dầm: Theo mô hình hiệu ứng quán tính coi nhỏ bỏ qua Đây sở để xây dựng lý thuyết “đường ảnh hưởng” E.Winkler O.Morth đề xuất năm 1868 Tiếp sau S.P.Timoshenko (1922) nghiên cứu mở rộng cho toán dầm chịu tải trọng di động thay đổi điều hòa Mô hình 2: Tải trọng có khối lượng di chuyển hệ kết cấu khối lượng Năm 1849 F.Willis (Anh) F.Willis đưa phương trình vi phân Sau Stokes giải phương trình đưa tỷ số độ võng động lực cực đại với độ võng tĩnh Năm 1883 Busins tiếp tục biến đổi hệ phương trình đó, đưa phương trình vi phân có hệ số số Tuy nhiên ý nghĩa thực tiễn toán dao động dựa sở mô hình không lớn khối lượng kết cấu thường bỏ qua Mô hình 3: Ngược lại với mô hình 2, mô hình bỏ qua khối lượng tải trọng di động, xét đến khối lượng dầm Bài toán dao động tương ứng với mô hình giải theo hai hướng: Phương pháp giải gần đúng: thay khối lượng phân bố dầm khối lượng tập trung Bài toán S.A.lliaxevic giải tìm hệ số động lực cực đại Phương pháp xác: dựa mô hình dầm có khối lượng phân bố Năm 1905 A.N.Krưlov đưa kết cho thấy hệ số động lực xác định theo phương pháp lý thuyết phụ thuộc vào: Vị trí tải trọng; Vị trí tiết diện khảo sát; Đại lượng nghiên cứu; Tính chất tác động tốc độ di động hoạt tải Mô hình 4: Tải trọng có khối lượng, liên kết đàn hồi cản nhớt với dầm, chuyển động dầm có khối lượng thay khối lượng phân bố dầm khối lượng tập trung dầm Mô hình 5: Tải trọng khối lượng, liên kết đàn hồi cản nhớt với dầm, chuyển động dầm có khối lượng Đây mô hình gần với thực tế mức độ phức tạp nhiều so với bốn mô hình Mô hình 6: Khác với mô hình chỗ, tải trọng có khối lượng di động mặt cầu không phẳng Mô hình áp dụng chủ yếu cho đường sắt Gần số tác giả [1], [3] ,[7] nghiên cứu với mô hình đoàn tải trọng di động, hai khối lượng áp dụng cho cầu dây văng Các tác giả giải phương trình vi phân dao động phương pháp Runger-Kutta-Mersion ngôn ngữ Pascal [1], giải phương pháp Runger-Kutta-Mersion ngôn ngữ Delphi [3] Trong báo tác giả nghiên cứu dao động dầm giản đơn dựa mô hình hai khối lượng, chịu tải trọng di động, giải phương trình vi phân dao động phương pháp Newmark ngôn ngữ Matlab TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 73 Nội dung nghiên cứu Lập phương trình vi phân dao động toàn hệ dầm giản đơn với tải trọng di động, giải hệ phương trình vi phân phương pháp Newmark ngôn ngữ lập trình Matlab Từ đánh giá kết tìm 2.1 Hệ phương trình dao động cho toàn hệ dầm giản đơn viết dạng phần tử hữu hạn: + C Q + K {Q} = {F } M Q Trong : M, C, K , F - ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng, ma trận lực hỗn hợp, {Q} véc tơ chuyển vị kết cấu; {Q } véc tơ G.sinψ m1 k1 m2 k2 {} {} } véc tơ gia tốc dịch chuyển vận tốc kết cấu, {Q kết cấu z1 d1 z2 d2 V E, J ϕ1 x η =v t w1 L ϕ2 w2 Hình 1: Mô hình phần tử dầm 2.2 Phương trình dao động phần tử dầm [3] M e {q} + C e {q} + K e {q} = { f e } Trong : Me, Ce, Ke fe - ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng, ma trận lực hỗn hợp: 0 ⎤ ⎡Mww Mwz1 Mwz2 ⎤ ⎡Cww ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − d1 ⎥ ; Me = ⎢0 m1 ⎥ ; Ce = ⎢0 d1 ⎢⎣0 m2 ⎥⎦ ⎢⎣Cz2w − d1 (d1 + d2)⎥⎦ ⎧W ⎫ ⎧W ⎫ ⎤ ⎡Kww ⎧W ⎫ ⎧ Fw ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ q = ; q = ⎪ ; q = ⎪ Z ⎪ f = ⎪ F ⎪ Ke = ⎢0 k1 − k1 ⎥; { } ⎨ Z1 ⎬ { } ⎨ Z1 ⎬ { } ⎨ ⎬ ; { e } ⎨ z1 ⎬ ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Z ⎪ ⎪F ⎪ ⎢⎣Kz2w − k1 (k1 + k2) ⎥⎦ ⎩ 2⎭ ⎩ z2 ⎭ ⎩Z2 ⎭ ⎩Z ⎭ ⎡ 156 22L ⎧W1 ⎫ −13L ⎤ 54 ⎪ϕ ⎪ ⎢ ⎥ 4L2 13L −3L2 ⎥ mL ⎢ 22L ⎪ 1⎪ ; W = [N N N N ].⎨ ⎬ ; M ww = 420 ⎢ 54 13L 156 −22L ⎥ ⎪W2 ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎪⎩ϕ ⎪⎭ ⎣ −13L −3L −22L 4L ⎦ ⎡ N1m1 ⎢N m M wz1 = ⎢ ⎢ N3m1 ⎢ ⎣ N m1 ⎤ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ N1m2 ⎢N m 2 =⎢ ⎢ N3 m2 ⎢ ⎣ N m2 M wz ⎤ ⎡ 12 6L −12 6L ⎤ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ; K = EJ ⎢ 6L 4L −6L 2L ⎥ ; ww ⎥ L3 ⎢ −12 −6L 12 −6L ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣ 6L 2L −6L 4L ⎦ T K z 2w ⎡ ⎤ + ( N k N d2 ) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ + ( N k N ⎢ 2 d2 )⎥ =⎢ ⎥ ; Cww = β M ww + θ K ww ; ⎢( N k2 + N d ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ( N k2 + N d ) ⎥⎦ T Cz w ⎡ N1d ⎤ ⎢N d ⎥ 2⎥ ; =⎢ ⎢ N3d2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ N 4d2 ⎦ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 74 ⎡ N1 ⎤ ⎢ ⎥ N Fw = ⎡⎣G sin Ψ + (m1 + m2 ).g] ⎢ ⎥ ; Fz1 = {G sin Ψ + m1.g } ; Fz2 = {m2 g} ⎢ N3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ N4 ⎥⎦ Ma trận hàm dạng đầu nút cứng chịu uốn ngang phẳng: ⎧( L + 2η )( L − η ) ⎫ ⎧ N1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪N ⎪ ⎪ ⎪ ξi (t ) ⎪ L.η ( L − η ) ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ; Theo [1] Hàm tín hiệu điều khiển Logic L ⎪ η (3L − 2η ) ⎪ ⎪ N3 ⎪ ⎪⎩ N ⎪⎭ ⎪⎩ − L.η ( L − η ) ⎪⎭ ⎧1 τ i ≤ t ≤ τ i + Ti ; G.sinΨ=G.sin(Ω.t+α) lực kích thích điều hòa sau: ξi (t ) = ⎨ ⎩0 t 〈τ i t 〉τ i + Ti khối lượng lệch tâm động quay với vận tốc góc Ω, truyển xuống trục xe, với α góc pha ban đầu; m1: Khối lượng thân xe, kể hàng hóa truyền xuống trục xe; m2: Khối lượng trục xe; k1, d1: Độ cứng độ giảm chấn nhíp xe; k2, d2: Độ cứng độ giảm chấn lốp xe; L: Chiều dài phần tử dầm; η: Tọa độ trục xe thời điểm xét với tốc độ di chuyển đều: η= v.(t-t0); với t ≥ t0 v: Vận tốc tải trọng; t0: Thời điểm tải trọng bắt đầu vào phần tử dầm; t: Thời điểm xét; β- hệ số ma sát ngoài; θ - Hệ số nội ma sát Bắt đầu - Số liệu nút, liên kết -Số liệu phần tử dầm -Tải trọng Cài đặt điều kiện ban = 0, Q = đầu t = 0, Q i=1 i= Lập Mww, Cww, Kww, Fww cho phần tử dầm thứ i i= i+1 i= i+1 Lập Mz1z1, Mz2z2, Mwz2, Cz1z1, Cz1z2, Cz2z1, Cz2w, Kz2z2, Kz1z2, Kz2z1, Kz2w, fwt, fz1t, fz2t ầ ầ - Lập ma trận chuyển trục - Chuyển trục, định vị xếp vào ma trận tổng thể: M, C, K, F - Lập ma trận chuyển trục - Chuyển trục, định vị xếp vào ma trận tổng thể: M, C, K, F i≥ SPTD i≥ SPTD i= },{ Q } theo Newmark Tính {Q},{ Q Cài điều kiện biên cho toán t≥ Th Giải phương trình [K].[Q]=[F] },{ Q } theo tọa độ chung -Xuất {Q},{ Q -Tính toán xuất kết biến dạng cho phần tử Kết thúc Hình 2: Chương trình TH-Matlab t= t+h TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 75 2.3 Tính toán kết (khảo sát hệ số động vận tốc tải trọng thay đổi): Cho sơ đồ nhịp cầu: X 42m Hình 3: Sơ đồ kết cấu nhịp cầu giản đơn với chiều dài L =42m Với EJ= 1011 (N.m2) Khối lượng phân bố qy = 11.400 Kg/m Khối lượng m1 = 15*103 Kg; m1 = 209Kg; Độ cứng K1 = 260*104(N/m); K2 = 200*104(N/m); Độ giảm chấn d1=2,4*103(Ns/m); d2=4,3*103(Ns/m); Hệ số ma sát ma sát kết cấu lấy theo kết nghiên cứu E.S.Sorokin N.A.Popov: θ=0,027; β = 0,01.Tiến hành khảo sát hệ số động lực chuyển vị đứng nút 2, 3, chuyển vị xoay nút 2, 3, 4; Theo tiêu chuẩn Việt Nam TCVN-4054-2005 tốc độ tối đa đường cao tốc cho phép v= 120km/h Dưới tác giả khảo sát với vận tốc khoảng từ 1-120km/h Bieu he so dong cua chuyen vi thang Bieu he so dong cua chuyen vi xoay 1.5 1.5 nut nut nut 1.45 1.4 1.4 1.35 1.3 He so dong kd He so dong kd 1.35 1.25 1.2 1.3 1.25 1.2 1.15 1.15 1.1 1.1 1.05 1.05 nut nut nut 1.45 20 40 60 Van toc v (Km/h) 80 100 120 20 40 60 Van toc v (Km/h) 80 100 120 Hình 4: Biểu đồ hệ số động chuyển vị vận tốc thay đổi + Tại vị trí nút 2: Hệ số động chuyển vị thẳng tăng theo vận tốc đến giá trị lớn 1,38 vận tốc 94km/h sau giảm dần xuống đến 1,35 vận tốc 108km/h lại tiếp tục tăng lên đến 1,45 đạt vận tốc 120km/h ; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận tốc đến giá trị lớn 1,39 vận tốc 98km/h sau giảm xuống đến 1,33 đạt vận tốc 120km/h; + Tại vị trí nút 3: Hệ số động chuyển vị thẳng tăng đến giá trị lớn 1,41 đạt vận tốc 101km/h sau giảm xuống 1,36 đạt vận tốc 120km/h; Hệ số động chuyển vị TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 76 xoay tăng theo vận tốc lên đến 1,15 vận tốc 58km/h sau giảm dần xuống đến 1,05 đạt 72km/h lại tiếp tục tăng lên đến 1,47 đạt vận tốc 120km/h; + Tại vị trí nút 4: Hệ số động lực chuyển vị thẳng tăng đến giá trị 1,007 đạt vận tốc 36km/h sau giảm dần xuống 1,001 vận tốc 40km/h lại tiếp tục tăng lên đến 1,43 vận tốc đạt 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận tốc lên đến 1,41 vận tốc 105km/h sau giảm dần xuống 1,38 đạt vận tốc 120km/h; Kết luận + Khi tốc độ tải trọng di động giảm dần đến 0, hệ số động lực giảm dần hội tụ đến 1, kết phân tích động tiệm cận với kết phân tích tĩnh Khi đưa trường hợp đặc biệt (tải trọng có khối lượng, liên kết đàn hồi cản nhớt với dầm) Kết sát với thí nghiệm [2] Điều cho thấy kết phân tích chương trình THMatlab phù hợp với lý thuyết tính toán + Tại vị trí chiều dài cầu hệ số động lực (1+μ)max khác + Biểu đồ hệ số động theo vận tốc thay đổi theo quy luật phi tuyến tính + Với số liệu đầu vào ta tìm hệ số động lực chuyển vị thẳng đạt cực trị (1+μ)max = 1,45 nút hệ số động lực chuyển vị xoay đạt cực trị (1+μ)max = 1,47 nút vận tốc tải trọng di động v = 120Km/h TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Hà (1999), Nghiên cứu dao động uốn kết cấu nhịp cầu dây văng đường ô tô, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Hà Nội [2] Tạ Hữu Vinh (2005) Nghiên cứu dao động kết cấu hệ chịu tải trọng di động phương pháp số Luận án TS Kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Toản (2007) Phân tích dao động cầu dây văng tác dụng tải trọng di động Luận án TS Kỹ thuật, Hà Nội [4] Phan Huy Thiện (2013) Dao động cầu nhịp giản đơn tác dụng phương tiện di chuyển, Luận án ThS Kỹ thuật, Hà Nội [5] Tiêu chuẩn Thiết kế Cầu 22TCN 272-05 [6] Tiêu chuẩn Thiết kế Cầu AASHTO-LRFD-1998 Mỹ [7] Raid Karoumi (1998), Response of Cable-Stayed and Suspension Bridges to Moving Vehicles, Doctoral Thesis, Stockholm Ngày nhận báo: 20/6/2014 Ngày phản biện xong: 15/8/2014