PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂNVOLTERRA

10 3 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra 15 3.1 Phương trình tích phân Abel.. Nếu Kx, y có dạng Kx-y thìphương trình tích phân được gọi là phương trình tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

VOLTERRA

BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

HÀ NỘI, 2015

Mục lục

1 Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương

1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 3

1.2 Các ví dụ 4

2 Phương trình tích phân Volterra dạng chập và biến đổi Laplace 7 2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta 7

2.2 Biến đổi Laplace 7

2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục 10

3 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra 15 3.1 Phương trình tích phân Abel 15

3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một 15

3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai 16

3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel 17

3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát 17

3.2 Phương trình Volterra với các nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ 18 3.2.1 Đạo hàm theo tham số trong tích phân xác định 18

3.2.2 Nhân đa thức bậc nhất 18

3.2.3 Nhân đa thức bậc hai 19

3.2.4 Nhân đa thức bậc ba 19

3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao 19

3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ 20

3.3 Phương trình Volterra với nhân căn thức hay lũy thừa phân 21

3.3.1 Nhân căn thức 21

3.3.2 Nhân lũy thừa phân 21

Mở đầu

Nhiều vấn đề trong toán học(phương trình vi phân với điều kiện biên hay điềukiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuậtkhác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tíchphân Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân Phươngtrình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quantâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp

xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,

Lý thuyết tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính được xâydựng ở buổi giao thời của các thế kỉ XIX, XX, chủ yếu là ở trong các công trìnhcủa Volterra, Fredholm và Hilbert, v.v Phương trình tích phân tuyến tính códạng

αu(x) +

Z b a

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1)

trong đó u(x) là hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) và K(x, y) là những hàm cho trước

và tương ứng được gọi là vế phải và nhân (hạch) của phương trình đã cho, α làhằng số đã cho Phương trình (1) được gọi là phương trình loại 1 hay loại 2, tùythuộc vào α = 0, hay α 6= 0 tương ứng

Thông thường, trong trường hợp (a, b) là khoảng hữu hạn và K(x, y) là hàmliên tục hay khả tích trong hình chữ nhât (a, b) × (a, b)thì phương trình (1) đượcgọi là phương trình Predholm

Nếu trong phương trình (1), cận trên a, hay cận dưới b được thay bởi x, biếnthiên trong một khoảng nào đó, thì phương trình được gọi là phương trình tíchphân voltetrra Như vậy, phương trình tích phân Volterra có dạng

λu(x) +

Z x a

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2)

λu(x) +

Z b x

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b. (3)

Ở đây, có thể xảy ra trường hợp là b = +∞. Nếu K(x, y) có dạng K(x-y) thìphương trình tích phân được gọi là phương trình tích chập.

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học các phương pháp giải hìnhthức các phương trình tích phân Volterra

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trìnhVolterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục

Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biếnđổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực.Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phândạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterrakhác

Chương 1

Phương trình tích phân Volterra

loại hai tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Chương này trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trìnhVolterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục Nội dung của chươngnày được hình thành chủ yếu từ tài liệu [??]

1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Định lý 1.1 (Định lý xấp xỉ liên tiếp) Cho λ là một tham số phức và cho

f (x) là một hàm liên tục có giá trị phức xác định trên [a, b] Cho K(x, t) là mộthạch liên tục có giá trị phức xác định trên tam giác T (a, b), với K(x, t) ≡ 0 nếu

x < t Khi đó với mỗi giá trị của λ nghiệm liên tục duy nhất của phương trìnhtích phân Volterra là

Một kết quả đáng lưu ý trong định lý này là Φ(x) ≡ 0 nếu f (x) ≡ 0.

Một kết quả khác cũng đáng lưu ý là các hạch Volterra không có giá trị riêng,

từ chuỗi giải thức là một hàm hoàn toàn theo λ

Độ lớn của sai lệch do xấp xỉ Φn(x) trong ước tính nghiệm Φ(x) có thể đượcước lượng đều giống như ước lượng thiết lập trong chứng minh Với mỗix ∈ [a, b]

Do đó độ lớn của sai lệch sẽ nhỏ như mong muốn với n đủ lớn

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp thiết lập chắc chắn sự tương đương giữa việcgiải một phương trình tích phân Volterra của loại thứ hai với việc tính toán hạchgiải thức R(x, t, λ) từ hạch K(x, t) đã cho Những ví dụ sau đây sẽ chứng minh

sự tương đương này



Một kết quả của định lý là nghiệm của phương trình tích phân là

Kết quả này đúng chính xác so với kết quả đã tính ở ví dụ trên.

Một ví dụ khác về tính khả dụng của phương pháp này, xét với hạch đơngiản K(x, t) = ex−t Từ K(s, s) = 1, L(s) = s Vì thế hạch giải thức được xác chobởi

R(x, t, λ) = ex−teλ(x−t) = e(λ+1)(x−t)

Chương 2

Phương trình tích phân Volterra

dạng chập và biến đổi Laplace

Chương này trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phépbiến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực.Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [??], [??]

up−1(1 − u)q−1du,

trong đó p và q dương để tích phân tồn tại

2.2 Biến đổi Laplace

• Định nghĩa

Cho f (t) xác đinh trên [0, ∞) Biến đổi Laplace của f (t) được cho bởi tíchphân suy rộng

Tích phân sẽ tồn tại nếu f (t) liên tục từng mảnh trên [0, A] với mọi A và

có cấp tăng không quá dạng mũ

• Các tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất 2.1 Cho các hàm gốc fk có các chỉ số tăng là λk , biến đổiLaplace là Fk, k = 1, 2, , n. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyếntính f của các hàm fk

Tính chất 2.5 Cho L (f ) = F Giả sử f(k) tồn tại và là hàm gốc,

L

Z t 0



=

Z ∞ p

• Tích chập Laplace Nếu f (t) và g(t) khả tích trên [0; ∞) thì tích chập của

f (t) và g(t) được định nghĩa bởi tích phân

Định lý 2.2 Cho hàm F thỏa mãn các điều kiện sau

(i) F giải tích trong miền Rep > α0.

(ii) Khi |p| → ∞ trong mỗi miền Rep > α 0 , thì hàm F tiến về 0 đều theo

2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục

Ví dụ 2.1 Nếu hạt nhân là tách được, thì phương trình tích phân kỳ dị thườngđược biến đổi thành phương trình đạo hàm riêng hoặc hệ tuyến tính các phươngtrình đạo hàm riêng

Xét phương trình tích phân kỳ dị Volterra

Tuy nhiên, nghiệm này không duy nhất Giả sử tồn tai hai nghiệm phân biệt,

cụ thể φ1(x) và φ2(x) Nếu ta đặt δ(x) = φ1(x) − φ2(x), thì δ(x) phải thỏa mãnphương trình

δ(x) = 2

Z +∞

ex−tδ(t)dt.

Sau khi biến đổi phương trình tích phân này thành phương trình vi phân, tathu được δ0(x) + δ(x) = 0 Do đó, δ(x) = ce−x, trong đó c là hằng số tùy ý Suy

ra nghiệm tổng quát nhất của phương trình tích phân có dạng

φ(x) = φ(0)e−x− 6xe−x.

Nếu phương trình tích phân được biến đổi thành phương trình vi phân theoquán trình tóm tắt như trong ví dụ trước thì nghiệm tổng quát này thu đượcmột cách trực tiếp

L {Φ (x)} = s

s 2 + 1

từ đây ta kết luận được φ(x) = cosx

Nhận xét 2.1 Nếu ta lấy đạo hàm theo x hai vế phương trình tích phân (2.14)

ta được phương trình Volterra loại một sau:

Ví dụ 2.4 ( Phương trình tích phân Abel trên nửa trục) Phương trình Abel làphương trình tích phân dạng Volterra với nhân có kỳ dị yếu lũy thừa Xét phươngtrình tích phân Abel loại một trên nửa trục

f (x) =

Z x 0

1 (x − t) α φ(t)dt, 0 < x < ∞, (2.17)trong đó 0 < α < 1.

Chúng ta sẽ giải phương trình (3.1) bằng phương pháp biến đổi Laplace Nếu

F (s) = L{f (x)} và Φ(x) = L{φ(x)}, thì ta có phương trình biến đổi

sin(απ) π

1 (x − t) 1−α f (t)dt

Z x 0

1 (x − t)1−αf (t)dt

không có nghiệm liên tục trên một đoạn có dạng [0, b] với b bất kì, từ cos x 6= 0.Tuy nhiên ta vẫn có thể sử dụng biến đổi Laplace cho phương trình này, ta được

3.1 Phương trình tích phân Abel

3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một

Phương trình tích phân Abel loại một là phương trình có dạng

f (x) =

Z x 0

1 (x − t) α φ(t)dt, (3.1)

trong đó 0 < α < 1.

Abel đã chứng minh rằng có thể tim được nghiệm của phương trình này bằngcách sử dụng chuỗi vô hạn Trong mục này sẽ trình bày hai phương pháp tìmnghiệm hình thức của phương trình Abel, đó là phương pháp chuỗi lũy thừa vàphương pháp sử dụng biến đổi Laplace

3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai

Phương trình tích phân Abel loại hai có dạng

φ(x) = f (x) + λ

Z x 0

Z x 0

1

√

x − sφ(s)ds =

Z x 0

Z s 0

1

√

x − sφ(s)ds = λ

Z x 0

φ(t)dt.

Sau khi lấy phương trình cuối trừ đi phương trình Abel, ta được

φ(x) = g(x) + λ2π

Z x 0

φ(t)dt.

trong đó ta đặt

g(x) = f (x) + λ

Z x 0

e−λ2πtg0(t)dt.

Lấy tích phân từng phần cho vế phải, suy ra

e−λ2πxφ(x) − φ(0) = e−λ2πxg(x) − g(0) + λ2π

Z x 0

e−λ2πxg(t)dt.

Nhưng vì φ(0) = g(0), cuối cùng ta có

φ(x) = g(x) + λ2π

Z x 0

eλ2π(x−t)g(t)dt.

3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel

x

Z

a

y(t)dt (x − t)1−λ

.

3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát

Ban đầu Abel xét phương trình (3.1) với α = 1/2 khi nghiên cứu bài toánđẳng thời mà nghiệm phổ biến trong sách

Mặc dù phương trình (3.1) đôi khi được coi như phương trình Abel tổngquát, thậm chi dạng tổng quát hơn của nó tồn tại Ví dụ, nếuB(x, t) bị chặn vàliên tục trong tam giác T (0, 1) với B(x, x) 6= 0, thì phương trình

f (x) =

Z x 0

B(x, t) (x − t) α φ(t)dt

cũng được khảo sát Nó được giải bằng cách biên đổi thành phương trình tíchphân Volterra loại 1 tương đương như sau Nếu ta thay x bởi s, nhân với 1/(x − s)(1 − α), và lấy tích phân kết quả thu được, sau khi rút gọn ta đạt được phươngtrình

˜α(x) =

Z x 0

˜α(x) =

Z x 0

1 (x − s) 1−α f (s)ds

là khả vi liên tục theo x Nếu cần thiết, phương trình biến đổi có thể khả vi đểthu được phương trình tích phân Volterra loại hai

Còn có một dạng tổng quát nữa Nếu γ : [0, 1] →R có đạo hàm dương và liên

tục, thì phương trình tích phân kỳ dị

f (x) =

Z x 0

1 (γ(x) − γ(t))αφ(t)dt

có nghiệm

φ(x) = sin(απ)

π

d dx

Z x 0

γ0(t) (γ(x) − γ(t))1−αf (t)dt



. (3.2)

3.2 Phương trình Volterra với các nhân đa thức hay

phân thức hữu tỷ

3.2.1 Đạo hàm theo tham số trong tích phân xác định

ChoF (x, t)là một hàm biến phức liên tục trên hình vuôngQ(a, b) NếuF (x, t)

khả vi liên tục theo biến x thì

d dx

Ta có nghiệm của phương trình (3.5)

y(x) = f00(x), f (a) = f0(a) = 0.

3.2.3 Nhân đa thức bậc hai

1.

x

Z

a

(x − t)2y(t)dt = f (x), f (a) = f0(a) = f00(a) = 0

Nghiệm của phương trình được cho bởi công thức:

(x − t)3y(t)dt = f (x) với giả thiết

f (a) = f0(a) = f00(a) = f000(a) = 0.

Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp bốn Bằng cách lấy đạo hàm theo xbốn lần liên tiếp ta được nghiệm của phương trình là:

Giả thiết rằng vế phải của phương trình thỏa mãn điều kiện

f (a) = f0x(a) = = f x(n)(a) = 0.

Nghiệm của phương trình:

y(x) = 1

n!f

(n+1)

x (x)

3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ

trong đó các hằng số Cn và Dn được tìm bằng phương pháp hệ số bất định.

6o Cho arbitry f (x), biến đổi

3.3 Phương trình Volterra với nhân căn thức hay

lũy thừa phân

3.3.2 Nhân lũy thừa phân

sin(πλ)

πλ .