Cực trị hàm số và các bài toán kinh tế

Tài liệu này là đề cương ôn tập môn Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2, trường Đại học Kinh tế Quốc dân. Nó bao gồm các dạng bài tập phổ biến trong các đề thi, được chia theo từng mục. Chúc mọi người một ngày vui vẻ

CHUYÊN ĐỀ 3 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Cực trị hàm 1 biến

1.1 Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

a)

4x

0

y e t4.dte b)

x

2

ye e t 1.dt 1.2 Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

(2 1) 3 4

3

y 2x 6x 1 2 5x 1.3 Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

x 3 1

(3t 2) 4 t

9 2t







1.4 Cho hàm số f: [0, 1]  [0, 1] là hàm liên tục thoả mãn: f (x)f ''(x)với mọi x thuộc [0, 1] và

f '(0)0 Chứng minh rằng hàm số

2 x

2

0

F(x) f (x)  f (t) dt

  là hàm đơn điệu tăng trên [0, 1]

1.5 Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

8 2x 4

4 2

f (x) t 2t 7.dt



1.6 Cho hàm cầu thị trường đối với sản phẩm của một nhà sản xuất độc quyền là Q = 80 – 0,2p Hàm chi phí cận biên của nhà sản xuất tại mỗi mức sản lượng Q là MC = 3Q2-20Q+200 Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p0 mà doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả đó 1.7 Cho hàm ung và hàm ầu thị trường ủa 1 hàng h là:

Q  p  Q   p  M

r ng đó là thu nhập ành h tiêu ng, h 100 h định gi n ằng p và lượng n ằng

Q ủa thị trường nh hệ ố n ủa gi n ằng th thu nhập tại 100 và h iết ý nghĩa kinh tế ủa nó

1.8 X định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

x 2

2 3

t 4t 5

1 ln t

 







1.9 Cho hàm cung và hàm cầu như au: Q 2p + 50; Q 135 – 3p2 Gọi po là mức giá khi thị trường ở trạng thái cân bằng Hãy tính hệ số co giãn của hàm cung và hàm cầu tại p và nêu ý nghĩa ủa nó

1.10 Ướ lượng hàm sản xuất của một công ty có dạng

2 3

Q90L , L > 0, biết giá sản phẩm bằng 3, giá thuê 1 đơn vị la động = 2 và chi phí cố định là 100.000 X định mức sử dụng la động L để ông t đạt lợi nhuận tối đa

1.11 Cho hàm số

2

2 2044 0

( )

t

dt

y f t



a) X định các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y = f(t)

b) Tính giới hạn L lim ( )



 1.12 Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

x

f x  x  x x  

b) ( ) 1 2 1 arcsin 3 2 1 1 9 2

f x  x   x x  x  x

2 Cực trị hàm nhiều biến không điều kiện

2.1 Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng hi ph (Qi, pi là lượng

và giá sản phẩm i): TCQ122Q Q1 2Q2240 Cầu của thị trường đối với các sản phẩm như au:

Q 35 0,5p ;Q 40 p Hãy chọn mức sản lượng kết hợp (Q1, Q2) và gi n để doanh nghiệp tối

đa h lợi nhuận Tại điểm tối đa h lợi nhuận, nếu giá sản phẩm 1 tăng 3% thì ầu của sản phẩm đó tha đổi thế nào?

2.2 Tìm cực trị của hàm số: w5x220y2z22xy 3x 6z

2.3 Tìm cực trị của hàm số: u 6x24yz2y25z26x2y 4z 32 

2.4 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q12 K L3 Hãy tính sản phẩm hiện vật cận biên của tư ản

và của la động tại mức K = 16, L = 27 và giải th h ý nghĩa

2.5 Tìm cực trị của hàm số: u 5x26y23z22xz 5x 4y z

2.6 Cho hàm doanh thu cận biên của một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại hàng hoá là:

2

MR(Q)60 0,3Q X định các hàm tổng doanh thu và hàm cầu hàng hoá của doanh nghiệp Tình hệ

số co dãn của cầu theo giá tại mứ gi p 30 và nêu ý nghĩa kinh tế của nó

2.7 Tìm cực trị của hàm số: u3x25y24z22yz2x3y 6z 25

3 Cực trị hàm nhiều biến có điều kiện ràng buộc

3.1 Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q = 120K0,7.L0,4 Sử dụng phương ph p nh n tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q0 4000 đơn vị sản phẩm, cho biết gi thuê tư ản và la động lần lượt là wK = 16, wL = 14

3.2 Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như au:

3 2

5 5

Q 10K L Giả sử giá thuê 1 đơn vị tư ản là $30, gi thuê 1 đơn vị la động là $20 Hãy cho biết phương n ử dụng các yếu tố K, L để công ty tối thiểu hoá chi phí nhất mà sản xuất đượ lượng sản phẩm Qo

3.3 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng ux y0,5 0,4 Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là p1 = $5; p2 = $2

và thu nhập ành h người tiêu ng là $180 H định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa h lợi ích của mình

3.4 Sử dụng phương ph p nh n tử Lagrange, tìm cực trị của hàm số: zx23xy 4y 230 thoả mãn điều kiện: 2x + 4y = 12

3.5 Cho hàm lợi ích: u25.x y0,4 0,6 và thu nhập ràng buộc 5x + 6y = 2000

a) Tìm kết hợp hàng hoá x, y cho lợi ích cự đại

) X định mức lợi ích tăng thêm khi lượng tiền ành h tiêu ng tăng thêm 1$

) Khi lượng tiền ành h tiêu ng tăng thêm 1% thì mức lợi ích sẽ tăng thêm a nhiêu ?

3.6 Sử dụng phương ph p Lagrang để tìm cực trị của hàm số w6x28y với điều kiện:

3x 2y 19

3.7 Cho hàm lợi ích của 2 loại hàng hoá: U = (x + 5)y Hãy xác ddunhj túi hàng hoá chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi h U 224 tr ng điều kiện gi 1 đơn vị hàng hoá thứ nhất, thứ hai lần lượt là 8 và 7

3.8 Cho hàm lợi ích tiêu dùng: U40x0,7y0,2 tr ng đó: là lượng hàng h A, là lượng hàng hoá B Biết giá hàng hoá A là $2, giá hàng hoá B là $4, thu nhập dành cho tiêu dùng là $180

a) H định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa h lợi ích?

b) Nếu thu nhập ành h người tiêu ng tăng lên 1% thì lợi ích tiêu dùng tối đa tha đổi như thế nào? Tại sao?