số phức và OXy có lời giải chi tiết giúp ôn tập kĩ phần kiến thức số phức nắm gọn điểm số phức trong kì thi quốc gia trung học phổ thông ngoài ra còn có phần OXy giúp định hướng cùng lời giải chi tiết dễ hiểu giúp nắm chắc câu này
Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG DỰ ĐOÁN CÂU SỐ PHỨC – TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn ( z − 1) = 3z + ( i − 1)( i + ) Tìm phần thực số phức w = 2z2 −1 Lời giải Đặt z = a + bi ⇒ z = a − bi a = 1 Ta có ( a + bi − 1) = ( a − bi ) + i − ⇔ (1 − a ) + i ( 5b − 1) = ⇔ ⇒ z = 1+ i b = 23 23 w = 1 + i − = + i nên phần thực w 25 25 Câu [ĐVH]: Cho số phức z = −1 + 3i Tính mô-đun số phức w = z + 3z − z Lời giải Ta có w = −1 + 3i + ( −1 − 3i ) − ( −1 + 3i ) = −1 + 3i − − 9i − (1 − 6i − ) = ⇒ w = ( ) Câu [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + (1 + i )( + i ) = − i Tìm phần ảo số phức w = z − Lời giải Giả thiết ⇔ ( + i ) z + 3i + = − i ⇔ ( + i ) z = − 4i ⇔ z = − 4i ⇔z= − i 3+i 5 63 16 4 ⇒ w = + i − 1 = − − i 25 25 5 16 Nên phần ảo w − 25 Câu [ĐVH]: Cho số phức z = − 2i Xác định phần thực phần ảo số phức w = iz − z + (1 + i ) z ( ) w = i ( − 2i ) − ( + 2i ) + + 3i + 3i + i ( − 2i ) Lời giải = 3i − 2i − − 2i + ( −2 + 2i )( − 12i ) = 13 + 35i Nên w có phần thực 13 phần ảo 35 Câu [ĐVH]: Gọi z1 ; z2 nghiệm phương trình z − z + = Tính giá trị biểu thức A = ( z1 − z2 ) + z1 + z2 2 Lời giải z1 + z2 = 23 2 Theo định lí Vi-et ta có ⇒ ( z1 − z2 ) = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = − = − 9 z z = Do z − z + = ⇒ z1 = 23 23 − i, z2 = + i 6 6 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 23 + = 36 36 23 11 Suy A = − + = − 9 Câu [ĐVH]: Cho số phức z1 = + i; z2 = − 3i Suy z1 = z2 = 2 Tìm phần thực phần ảo số phức w = z1 + z2 − z1.z2 w = ( + i ) + (1 − 3i ) − ( + i )(1 + 3i ) = − 8i Nên w có phần thực phần ảo –8 Lời giải Câu [ĐVH]: Cho số phức z1 = − 2i; z2 = + 4i Tìm số phức liên hợp số phức w = z1 + z2 + 3z1.z2 Lời giải Ta có z1 = + 2i , z2 = − 4i Khi đó, w = z1 + z2 + z1 z2 = + 2i + + 4i + ( − 2i ) (1 − 4i ) = −11 − 36i ⇒ w = −11 + 36i Câu [ĐVH]: Tìm số phức z thỏa mãn z +1 z + =1 z z Lời giải Giả thiết ⇔ z + z + z = zz 2 Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ta có ( a + bi ) + a + bi + ( a − bi ) = a + b a − 3b + a = a = 0, b = ⇔ 2a − 2b + a + bi = a + b ⇔ a − 3b + a + bi = ⇔ ⇔ a = −1, b = b = Vậy z1 = z2 = −1 số phức thỏa mãn đề Câu [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn iz + z = − i Tìm phần ảo số phức w = i z Lời giải: Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi Khi ta có: iz + z = − i ⇔ i ( a + bi ) + ( a − bi ) = − i a − 2b + = a = ⇔ ( a − 2b + 1) i + 2a − b − = ⇔ ⇔ 2a − b − = b = Do z = + i ⇒ w = i (1 − i ) = i − i = i + Vậy phần ảo w Câu 10 [ĐVH]: Cho z = + 2i Tìm số phức nghịch đảo w = z + z.z Ta có: w = (1 + 2i ) Lời giải: + (1 + 2i )(1 − 2i ) = 4i + 4i + + − 4i = 4i + 1 − 4i − 4i − 4i 1 = = = = = − i w 4i + ( + 4i )( − 4i ) − 16i 20 10 1 Vậy số phức nghịch đảo w số phức ω = − i 10 ⇒ω= Câu 11 [ĐVH]: Tìm modun số phức z thỏa mãn điều kiện ( + 4i ) z 1+ i = z + + 19i Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Lời giải Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi , ( a, b ∈ ℝ ) ( + 4i ) z = z + + 19i ⇔ ( + 4i )( a + bi ) = a − bi + + 19i ⇔ ( + 4i )(1 − i )( a + bi ) 1+ i 1+ i ⇔ ( + i )( a + bi ) = a + + (19 − b ) i ⇔ 3a − b + ( a + 3b ) i = a + + (19 − b ) i = a + + (19 − b ) i 3a − b = a + 2a − b = a = ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ z = + 4i a + 3b = 19 − b a + 4b = 19 b = Do z = 32 + 42 = ( z + 3i = ( z − 1) − i Câu 12 [ĐVH]: Tìm modun số phức z thỏa mãn điều kiện ( a, b ∈ ℝ ) z + 3i = ( z − 1) ( − i ) ⇔ a Lời giải Gọi z = a + bi ( ) ( + b 3i + 3i = ( a + bi − 1) − i ) ( ) ) ⇔ a + b + i = 3a − + b + 3b − a + i a = 3a − + b 3a + b = a = ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ z = + 3i b + = 3b − a + − a + 3b = b = Do z = 12 + ( 3) =2 Câu 13 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( −4; −2; ) đường thẳng x = −3 + 2t d : y = 1− t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt vuông góc với d z = −1 + 4t Lời giải: Đường thẳng d có véctơ phương ud = ( 2; −1; ) Lấy M ( −3 + 2t ;1 − t ; −1 + 4t ) ∈ d ⇒ AM = (1 + 2t ;3 − t ; −5 + 4t ) Ta có AM ⊥ ( d ) ⇔ AM ud = ⇔ + 4t − + t − 20 + 16t = ⇔ 21t = ⇔ t = Đường thẳng ∆ qua A có véctơ phương AM = ( 3; 2; −1) x = 1+ t d1 : y = + 2t z = + 2t x+4 y+2 z−4 Vậy phương trình ∆ là: = = −1 Câu 14 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu tâm I (1; 2; −4 ) , bán kính cm Viết phương trình mặt phẳng (α) qua gốc tọa độ, qua M ( −2; 4;0 ) cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn có bán kính cm Lời giải: (α) qua gốc tọa độ nên phương (α) có dạng ax + by + cz = a + b + c > ( (α) qua M ( −2; 4;0 ) nên −2a + 4b = ⇔ a = 2b Ta có: d ( I ; (α ) ) = 52 − 32 = ⇔ a + 2b − 4c a +b +c 2 =4⇔ ) 4b − 4c 5b + c 2 = ⇔ 2b + bc = ⇔ b = ∨ c = −2b Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG b = ⇔ a = Chọn c = ⇒ Phương trình (α ) z = c = −2b Cho b = ⇒ a = 2, c = −2 ⇒ Phương trình (α ) x + y − z = Vậy z = x + y − z = mặt phẳng cần tìm Câu 15 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + y −1 z − = = mặt −1 phẳng ( Q ) : x − y − z + = Tìm tọa độ điểm B giao điểm d ( Q ) Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc d bán kính R = IB = Lời giải: x = −2 + t Phương trình tham số d d : y = − t ⇒ B ( b − 2;1 − b; 2b + ) z = + 2t Mà B ∈ ( Q ) ⇒ ( b − ) − (1 − b ) − ( 2b + ) + = ⇔ b = ⇒ B ( −1; 0; ) Do I ∈ d ⇒ I ( t − 2;1 − t ; 2t + ) ⇒ BI = ( t − 1;1 − t ; 2t − ) ⇒ BI = Bài BI = ⇒ ( t − 1) ( t − 1) + (1 − t ) + ( 2t − ) 2 = ( t − 1) t = ⇒ I ( −2;1; ) ⇒ ( S ) : ( x + ) + ( y − 1)2 + ( z − )2 = = 6⇔ t = ⇒ I ( 0; −1;6 ) ⇒ ( S ) : x + ( y + 1) + ( z − )2 = ( S ) : x + ( y + 1) + ( z − )2 = Đ/s: B ( −1;0; ) ( S ) : ( x + )2 + ( y − 1) + ( z − ) = Câu 16 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + y −1 z − = = hai mặt −1 phẳng ( P ) : x + y + z + = 0, ( Q ) : x − y − z + = Gọi A, B giao điểm d với (P) (Q) Tính độ dài đoạn thẳng AB Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I trung điểm AB bán kính R = AB Lời giải: x = −2 + t Phương trình tham số d d : y = − t z = + 2t Do A, B ∈ d ⇒ A ( a − 2;1 − a; 2a + ) , B ( b − 2;1 − b; 2b + ) 13 10 Mà A ∈ ( P ) ⇒ ( a − ) + (1 − a ) + ( 2a + ) + = ⇔ a = − ⇒ A − ; ; − 3 3 B ∈ ( Q ) ⇒ ( b − ) − (1 − b ) − ( 2b + ) + = ⇔ b = ⇒ B ( −1; 0; ) 2 Bài I trung điểm AB ⇒ I − ; ; 3 3 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2 188 10 20 10 20 Ta có AB = ; − ; ⇒ R = AB = + − + = 3 3 3 2 8 5 188 Do ( S ) : x + + y − + z − = 3 3 3 Vậy AB = 2 188 8 5 188 ( S ) : x + + y − + z − = 3 3 3 Câu 17 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2;3; −2 ) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực AB Lời giải: Gọi (P) mặt phẳng trung trực cảu AB Ta có trung điểm AB I ( 2;1;0 ) , AB ( 2; −2; ) Do mặt phẳng trung trực AB qua I vuông góc với AB nên ta chọn nP = Khi : ( P ) : x − y + z − = Khi d ( C ; ( P ) ) = Vậy d = − − −1 12 + ( −1) + 12 AB (1; −1;1) = Câu 18 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;1; ) , B ( −2;1; ) , C (1;1; −3) Chứng minh điểm C không nằm mặt phẳng trung trực AB Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với mặt phẳng Lời giải: Gọi (P) mặt phẳng trung trực cảu AB Ta có trung điểm AB I ( 0;1;1) , AB ( −4; 0; ) −1 AB ( 2; 0; −1) Khi : ( P ) : x − z + = Thay toạ độ điểm C vào phương trình mặt phẳng ( P ) Do mặt phẳng trung trực AB qua I vuông góc với AB nên ta chọn nP = ta có: 2.1 + + ≠ nên điểm C không thuộc mặt phẳng (P) Gọi ( S ) mặt cầu cần tìm ta có tâm mặt cầu C (1;1; −3) bán kính R = d ( C ; ( P ) ) = Khi ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3) 2 2 = = Vậy ( P ) : x − z + = ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3) = 2 +1 2 x = + 2t Câu 19 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A ( 4;3; ) , đường thẳng d : y = − t z = + t Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính Lời giải: Phương trình mặt cầu tâm A ( 4;3; ) bán kính R = ( S ) : ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 2 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Gọi H (1 + 2t ; − t ;3 + t ) hình chiếu chiếu A d ta có : AH ( −3 + 2t ; −1 − t ; −1 + t ) Khi đó: AH ud = ⇔ ( −3 + 2t ) − 1( −1 − t ) + 1( −1 + t ) = ⇔ 6t = ⇒ t = Do AH ( −1; −2; ) ⇒ AH = d ( A; d ) = = R nên đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính Câu 20 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A (1; −1;3) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi H hình chiếu vuông góc A lên (P) Viết phương trình mặt phẳng trung trực AH Lời giải: x = 1+ t Phương trình đường thẳng AH qua A vuông góc với ( P ) là: y = −1 − 2t z = + t Gọi H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + t ) , H thuộc ( P ) : x − y + z − = nên (1 + t ) − ( −1 − 2t ) + + t − = −1 31 I ; ; 12 12 Phương trình mặt phẳng trung trực AH nhân nP = (1; −2;1) VTPT qua I nên có phương trình là: 13 ⇔ 6t = ⇔ t = − ⇒ H ; ; Gọi I trung điểm AH ta có: 6 = Câu 21 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A (1; −2;1) , B ( 2; 2;1) mặt phẳng x − 2y + z − ( P ) : x − y + z − = Gọi M giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P); H hình chiếu vuông góc trung điểm đoạn AB (P) Tính độ dài đoạn thẳng MH Lời giải: x = 1+ t Ta có: AB (1; 4;0 ) nên phương trình đường thẳng AB là: y = −2 + 4t z = Gọi M (1 + t ; −2 + 4t ;1) giao điểm AB (P) ta cho M ∈ ( P ) ta có: + t − ( −2 + 4t ) + − = 3 ⇔ t = ⇒ M ≡ A (1; −2;1) Gọi trung điểm AB I ; 0;1 ta có MH = MI − IH 2 17 31 Trong IH = d ( I ; ( P ) ) = MI = ⇒ MH = 62 giá trị cần tìm Câu 22 [ĐVH]: Trong không gian toạ độ Oxy cho điểm A ( 4; −2; ) đường thẳng Vậy MH = x − y −1 z − = = Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H A đường thẳng d viết phương trình 2 mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d Lời giài: x = + 2t Phương trình tham số d: y = + t Gọi H ( + 2t ;1 + t ; + 2t ) ta có: AH ( −1 + 2t ;3 + t ; + 2t ) z = + 2t d: Ta có: AH ud = ⇔ −2 + 4t + + t + + 4t = ⇔ t = −1 ⇒ H (1;0; ) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có tâm A ( 4; −2; ) bán kính R = AH = 32 + 22 + 22 = 17 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y + ) + z = 17 2 Thầy Đặng Việt Hùng CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2016 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2016!