Đề thi thạc sĩ môn đại số DHQGHN

www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I M tập hợp ma trận cấp n (n 1), thực, khả nghịch Chứng minh M nhóm phép nhân ma trận C M cố định Chứng minh ánh xạ f : M M , f (A) = C AC đồng cấu nhóm Tìm Im f , Ker f (hay chứng minh f đẳng cấu) Chứng minh ràng ánh xạ f1 : M R , f1 (A) = |A| đồng cấu nhóm Tìm Im f1 , Ker f1 Câu II Chứng minh C nhóm phép nhân thông th-ờng Xét ánh xạ f : C C , f () = , g : C C , g() = đồng cấu nhóm, đơn cấu, toàn cấu hay không? Tìm Im f , Ker f Câu III Chứng minh phép biến đổi trực giao không gian Euclid E làm thành nhóm phép nhân (phép hợp thành), ký hiệu G Giả sử g G Đặt ánh xạ : G G, (f ) = g f g Chứng minh đẳng cấu nhóm Câu IV C[x] vành Đặt ánh xạ : C [x] C [x] , f (x) f (x) (đ-ợc hiểu a + a1 x + + anxn) Chứng minh đồng cấu nhóm Chứng minh R[x] vành mà không idean Câu V Chứng minh ma trận đối xứng cấp n lập thành nhóm aben phép cộng, ký hiệu nhóm M Chứng minh ánh xạ f : M M , f (A) = A (chuyển vị A) đồng cấu nhóm Tìm Im f , Ker f Chứng minh tập M ma trận đối xứng thực cấp n lập thành R-không gian véc tơ (hay R-không gian véc tơ không gian ma trận vuông cấp n) T ma trận khả nghịch (không thiết đối xứng) Chứng minh ánh xạ f : M M , f (A) = T AT đồng cấu (tức ánh xạ tuyến tính) www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Tìm hạng hệ véc tơ a1 , a2 , a3 R3 theo tham số a a1 = (1, a, 1) , a2 = (1, 1, a) , a3 = (a, 1, 1) Tìm phần bù trực tiếp L = {a1, a2 , a3 } a = a = Câu II Biết R5 [x] không gian đa thức có bậc nhỏ Cho f (x) = + x + x3 + x4 Chứng minh (1) (2) sở 1, x, x2 , x3 , x4 f (4) (x), f (3) (x), f (x), f (x), f (x) Tìm ma trận chuyển sở (1) sang (2) Tìm toạ độ f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4 sở (2) Câu III Phép biến đổi tuyến tính f không A= gian phức có ma trận có chéo hoá đ-ợc không? Có tồn phép biến đổi tuyến tính nghịch đảo f ? Tìm véc tơ riêng giá trị riêng f Câu IV Chứng minh tập hợp ma trận thực có dạng A= a b 2b a với a, b R lập thành vành vành Mat(2, R), hỏi có idean không? www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2001 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh Tập S1 số phức có mô đun nhóm nhóm nhân số phức khác ánh xạ f : R S1 cho f (x) = cos(x) + i sin(x) đồng cấu từ nhóm cộng số thực R vào S Câu II Chứng minh không gian L không gian véc tơ hữu hạn chiều V có bù tuyến tính Phần bù tuyến tính L có không? Tìm số chiều, sở phần bù tuyến tính không gian không gian R4 sinh hệ véc tơ {u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (1, 3, 0, 2), u3 = (2, 5, 1, 1), u4 = (2, 4, 2, 2)} Câu III Xét ma trận thực a d A = d b d d c Nếu phép biến đổi tuyến tính không gian R có ma trận sở tắc A có chéo hoá đ-ợc không? Vì sao? Với a = 3, b = 4, c = d = tìm ma trận trực giao Q cho B = QT AQ ma trận đ-ờng chéo Câu IV Phép biến đổi tuyến tính gọi luỹ linh bậc p p số nguyên d-ơng cho p1 = p = Giả sử phép biến đổi tuyến tính luỹ linh bậc p không gian véc tơ n-chiều V Chứng minh Nếu x véc tơ cho p1 (x) = hệ véc tơ x, (x) , (x) , , p1 (x) độc lập tuyến tính p n có giá trị riêng = Nếu E A ma trận phép biến đổi sở ma trận A khả nghịch (E ma trận đơn vị) www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2001 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh tập O(n) ma trận trực giao cấp n nhóm phép nhân ma trận Cho Q O(n), xét ánh xạ f : O(n) O(n) cho f (A) = QT AQ QT chuyển vị Q Chứng minh f đẳng cấu nhóm Câu II Xét phép biến đổi tuyến tính : R3 R3 cho (x1 , x2 , x3 ) = (x1 3x2 + 4x3 , 4x1 7x2 + 8x3 , 6x1 7x2 + 7x3 ) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng Trong không gian véc tơ R3 có tồn hay không sở cho sở ma trận có dạng đ-ờng chéo Câu III Trong không gian Euclid R4 xét không gian L sinh hệ véc tơ {(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, 1) , (1, 0, 0, 3)} Tìm sở trực chuẩn không gian L sở trực chuẩn phần bù trực giao L Giả sử x = (4, 1, 3, 4) Tìm véc tơ y L véc tơ z L cho x = y+z Câu IV Chứng minh họ 1, x a, (x a)2 , , (x a)n1 với a R sở không gian Rn [x] đa thức hệ số thực có bậc nhỏ n Tìm toạ độ f (x) Rn [x] sở Câu V Giả sử f1 , f2 dạng tuyến tính K-không gian véc tơ V Chứng minh ánh xạ : V ì V K cho (x, y) = f1 (x) + f2 (y) dạng song tuyến tính V Tìm điều kiện cần đủ để dạng song tuyến tính đối xứng Giả sử V K-không gian véc tơ hữu hạn chiều Chứng minh dạng song tuyến tính có hạng = có hai dạng tuyến tính f , f2 cho (x, y) = f1 (x) + f2 (y) với x, y V www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2002 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử h đồng cấu vành từ vành K vào vành K , A vành vành G Chứng minh h(A) vành vành K Trên tập số nguyên Z xét hai phép toán xác định ab =a+b1 a b = a + b ab Chứng minh (Z, , ) vành giao hoán có đơn vị Câu II Trong không gian véc tơ R3 xét phép biến đổi tuyến tính g xác định g(u) = (8x y 5z, 2x + 3y + z, 4x y z) với u = (x, y, z) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng g Tìm sở không gian R cho sở ma trận B phép biến đổi g có phần tử phía đ-ờng chéo Viết ma trận B Câu III Trong không gian véc tơ Euclide E xét hệ véc tơ {u1 , , un}, ma trận G = ((ui, uj ))nìn Chứng minh hệ véc tơ {u1 , , un} độc lập tuyến tính det G = Câu IV Giả sử f dạng song tuyến tính hạng r K-không gian véc tơ V n-chiều Xét tập Vr = y thuộc V : f (x, y) = x thuộc V , Vl = y thuộc V : f (y, x) = x thuộc V Chứng minh V r , Vl không gian dim V r = dim Vl = n r www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2002 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử h đồng cấu từ nhóm G vào nhóm G , H nhóm nhóm G Chứng minh h(H) nhóm nhóm G Xét ánh xạ f từ nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) vào nhóm nhân R số thực khác xác định f (A) = det A Chứng minh f toàn cấu Xác định nhóm f (O(n)), với O(n) nhóm ma trận trực giao Câu II Giả sử L không gian p-chiều không gian véc tơ Euclide E n-chiều Chứng minh tập L = {x E : (x, y) = 0, y L}, không gian (n p)-chiều E = L L Xét không gian L không gian véc tơ Euclide R sinh hệ véc tơ u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, 2, 1) Xác định sở trực chuẩn không gian L Câu III Vết ma trận A cấp n tr-ờng K tổng phần tử đ-ờng chéo chính, đ-ợc ký hiệu Tr(A) Chứng minh Tr(AB) = Tr(BA) Vết ma trận phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn sở không gian Câu IV Hạng ma trận A = (aij )mìn đ-ợc ký hiệu r(A) Chứng minh r(A + B) r(A) + r(B) Tính r(A) với A = (min{i, j})mìn www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh tích đồng cấu vành đồng cấu vành Xét đồng cấu nhóm f : G G Chứng tỏ G nhóm giao hoán Im(f ) nhóm giao hoán Cho ví dụ chứng tỏ điều ng-ợc lại nói chung không Câu II Giả sử L không gian không gian véc tơ R sinh hệ véc tơ {u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, 6, 1)} Với giá trị tham số a véc tơ u = (7, 1, a) thuộc không gian L Chứng minh không gian hàm số thực liên tục C (a, b) hệ véc tơ {1, cos x, cos2 x, , cosn x} độc lập tuyến tính Câu III Xét ma trận thực đối xứng A = Tìm ma trận trực giao Q cho Q T AQ ma trận đ-ờng chéo Viết ma trận đ-ờng chéo Câu IV Giả sử u véc tơ không gian Euclid E Chứng minh với véc tơ x thuộc E biểu diễn d-ới dạng x = au + v véc tơ v trực giao với véc tơ u Cho E = R4 , u = (2, 1, 0, 2), x = (1, 1, 1, 1) Tính a v www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Trong nhóm G xét ánh xạ h : G G xác định h(a) = a 1, a G Chứng minh ánh xạ h tự đẳng cấu G nhóm Aben Câu II Trong không gian véc tơ Euclide R4 xét không gian L cho hệ ph-ơng trình 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = x1 + 2x2 + 2x3 9x4 = Tìm số chiều sở phần bù trực giao L không gian L Cho véc tơ x = (7, 4, 1, 2) Tìm véc tơ y L, z L cho x = y + z Câu III Xét ánh xạ tuyến tính g : R4 R3 đ-ợc cho g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 2x2 + x4 , x1 + x3 x4 , 2x2 + x3 2x4 ) Tìm dim Ker g, dim Im g Với giá trị tham số a véc tơ y = (1, 2, a) thuộc không gian Im g Câu IV Giả sử f phép biến đổi tuyến tính luỹ linh bậc n (tức f n1 = 0, f n = 0) K-không gian véc tơ V Chứng minh Nếu x V : f k(x) = hệ véc tơ {x, f (x), , f k(x)} độc lập tuyến tính n dim V Nếu n = dim V đa thức đặc tr-ng phép biển đổi f có dạng p() = (1)nn www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử (G, ) nhóm có hữu hạn phần tử, đơn vị e Chứng minh Đối với phần tử a G tồn số nguyên k cho a k = e (số nguyên d-ơng nhỏ có tính chất gọi cấp phần tử a) Nếu a phần tử cấp n A = {a, a2 , , an} nhóm nhóm (G, ) Câu II Xét ma trận thực a b+c A = b a + c c a+b Chứng tỏ ma trận A không khả nghịch Tính hạng ma trận A theo giá trị tham số a, b, c Câu III Phép biến đổi tuyến tính f không gian véc tơ R3 đ-ợc cho f (x, y, z) = (4x 5y + 2z, 5x 7y + 3z, 6x 9y + 4z) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng f Phép biến đổi f có chéo hoá đ-ợc không? Vì sao? Tìm sở không gian R3 cho ma trận f sở ma trận tam giác Câu IV Chứng minh tập khác rỗng L không gian véc tơ R n khôn gian L tập nghiệm hệ ph-ơng trình tuyến tính R www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Giả sử X vành Chứng minh Đối với số nguyên n 0, tập nX = a = nx = x + x + + x : x X n lần idean vành X (với quy -ớc 0x = 0) Các tập dạng nZ với n = 0, 1, 2, tất idean vành số nguyên Z Câu II Trong không gian R4 xét không gian L sinh hệ véc tơ {u1 = (1, a, 1, 2) , u2 = (2, 1, a, 5) , u3 = (1, 10, 6, 1)} Tính dim L theo tham số a Giả sử hệ véc tơ {u1 , u2 , , un} sở K-không gian véc tơ V Đặt vk = uk + + un với k = 1, 2, , n Chứng minh hệ {v1 , v2 , , vn} sở không gian V Câu III Phép biến đổi tuyến tính g không gian Euclid R đ-ợc cho g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 3x2 x3 , 3x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + 5x3 ) Chứng tỏ g phép biến đổi đối xứng Tìm sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclid R véc tơ riêng g Câu IV Giả sử f dạng song tuyến tính hạng k K-không gian véc tơ K n Xét tập Vr = y Kn : f (x, y) = x K n , Vl = y Kn : f (y, x) = x K n Chứng minh V r , Vl không gian dim V r = dim Vl = n k www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Trong nhóm G xét ánh xạ f : G G cho f (x) = x với x G Chứng minh f tự đồng cấu nhóm G G nhóm aben Cho ví dụ cho f tự đẳng cấu ví dụ cho f từ đồng cấu tự đẳng cấu Câu II Xét ánh xạ tuyến tính h : R4 R3 xác định bởi: với u = (x , x2 , x3 , x4 ) h (u) = (x1 + ax2 x3 + 2x4 , 2x1 x2 + ax3 + 5x4 , x1 + 10x2 6x3 + x4 ) Xác định dim Im h, dim Ker h theo tham số a Với a = 3, với giá trị b véc tơ u = (1, 2, b) thuộc Im h Câu III Xét ma trận thực 2 A = 2 2 1 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng A Tìm ma trận trực giao Q cho B = Q T AQ ma trận đ-ờng chéo Viết ma trận B Câu IV Giả sử F không gian K-không gian véc tơ n-chiều V Chứng minh dim F < n không gian V có sở {u1 , u2 , , un} cho ui F , i = 1, 2, , n Chứng minh dạng tuyến tính không gian véc tơ Euclid hữu hạn chiều E tồn véc tơ u E cho (x) = (u x) với x E www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Xét đồng cấu vành f : K K Chứng minh Nếu A vành vành K f (A) vành K Nếu B idean vành K f (B) idean vành K Câu II Xác định số chiều không gian nghiệm N hệ ph-ơng trình tuyến tính sau theo tham số a x1 + ax2 x3 + 2x4 = 0, 2x1 x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 6x3 + x4 = Với a = 3, tìm sở trực giao phần bù trực giao N N không gain véc tơ Euclid R4 Câu III Xét ma trận thực A = 1 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng A Tìm một ma trận tam giác đồng dạng với ma trận A Câu IV Xét dạng toàn ph-ơng không gian véc tơ Euclid Rn cho n (x) = aij xixj , x = (x1 , x2 , , xn) i,j=1 Chứng minh Nếu dạng xác định d-ơng aii > với i = 1, 2, , n Dạng xác định d-ơng tồn ma trận khả nghịch S cho (aij )nìn = S T S www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Chứng minh giao idean vành idean Giả sử S tập khác rỗng vành K giao hoán có đơn vị Chứng minh tập n (S) = x= aisi : si S, K, i = 1, 2, , n i=1 idean nhỏ chứa tập S Câu II Xét phép biến đổi tuyến tính f : R3 R3 cho f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + ax2 + x3 , 2x1 + ax2 + bx3 , x1 + (b 1) x3 ) Với giá trị tham số a, b f tự đẳng cấu Tìm dim Im f , dim Ker f với a = b = Câu III Xét ma trận đối xứng thực 2 A = 2 2 1 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng A Dạng toàn ph-ơng không gian véc tơ Euclid R cho (x) = x1 x2 x3 A x1 x2 x3 T , x= x1 x2 x3 Tìm sở trực chuẩn không gian R sở tắc Viết dạng tắc t-ơng ứng với sở Câu IV Giả sử E không gian véc tơ Euclid n-chiều Chứng minh {u1 , u2 , , un} sở trực chuẩn E véc tơ x thuộc E biểu diễn d-ới dạng n x= (x.ui) ui i=1 Giả sử L, M không gian E dim L < dim M Ch-ng minh tồn véc tơ u M , u = cho (u.y) = với y L www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Xét vành đa thức R[x] ẩn x hệ số thực Chứng minh Đối với đa thức f (x) thuộc R[x] tập f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) R [x]} idean vành R[x] Đối với idean I = {0} vành R [x] tồn đa thức dạng chuẩn p (x) cho I = p (x) R [x] Câu II Trong không gian Euclid R xét hệ véc tơ u1 = (1, a, 2, 1) , u2 = (1, 1, b, 0) , u3 = (1, b, 2, 1) Với giá trị tham số a, b hệ {u , u2 , u3 } độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Tìm sở phần bù trực giao L không gian L sinh hệ {u1 , u2 , u3 } với a = b = Câu III Xét phép biến đổi tuyến tính f không gian véc tơ R3 xác định f ((x, y, z)) = (8x y 5z, 2x + 3y + z, 4x y z) Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng f , f n, n > Tìm sở không gian R cho ma trận B f sở ma trận tam giác Viết ma trận B Câu IV Xét dạng song tuyến tính g K-không gian véc tơ n-chiều V thoả mãn điều kiện g(x, x) = với x thuộc V Chứng minh g(x, y) = g(y, x) với x, y thuộc V Nếu g không suy biến véc tơ u thuộc V , v = {0}, luôn tồn véc tơ v thuộc V cho g(u, v) = www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Phần tử a thuộc nhóm (G, , e) gọi có cấp hữu hạn p p số nguyên d-ơng nhỏ cho a p = e Giả sử G tập hợp hữu hạn có n phần tử Chứng minh Mỗi phần tử a thuộc nhóm (G, , e) có cấp hữu hạn Với a, b thuộc nhóm (G, , e) phần tử a b b a có cấp Câu II Xác định số chiều không gian nghiệm N hệ ph-ơng trình tuyến tính sau theo tham số thực a x1 + ax2 x3 + 2x4 = 0, 2x1 x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 6x3 + x4 = Cho a = 3, tìm phần bù trực tiếp N0 không gian véc tơ R4 Câu III Trong không gian véc tơ Euclid R3 xét phép biến đổi tuyến tính f cho f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 2x3 , 2x2 + 5x3 ) Chứng minh f phép biến đổi đối xứng Tìm sở trực chuẩn không gian véc tơ Eucild R véc tơ riêng f cho biết ma trận f sở Câu IV Xét dạng song tuyến tính không suy biến g K-không gian véc tơ n-chiều V Giả sử dạng song tuyến tính g1 không gian véc tơ r-chiều F cho g1 (x, y) = g(x, ) với x, y thuộc F dạng không suy biến Xét tập F = {x V : g (x, y) = với y F } Chứng minh F không gian F F = {0} V = F F www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt Môn thi bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Phần tử x thuộc vành đ-ợc gọi lũy linh tồn số n nguyên d-ơng cho x n = Chứng minh tập I tất phần tử lũy linh vành K giao hoán iđêan Giả sử A vành có đơn vị e Chứng minh phần tử a thuộc A phần tử lũy linh e a phần tử khả nghịch Câu II Trong không gian véc tơ R3 xét không gian L sinh hệ véc tơ u1 = (1, 2, 1) ; u2 = (1, 3, a) ; u3 = (0, 1, b) Tính dim L theo giá trị tham số a, b Cho a = 1, b = Hãy xác định giá trị tham số m để véc tơ u = (1, 0, m) thuộc không gian L Câu III Giả sử A = (aij )nìn ma trận thực cấp n Trong R-không gian véc tơ M1ìn [R] ma trận hàng xét ánh xạ f : M1ìn [R] M1ìn [R] cho f ((x1 , x2 , , xn)) = (x1 , x2 , , xn) A Chứng minh ánh xạ f phép biến đổi tuyến tính giá trị riêng f trùng với giá trị riêng ma trận A Tìm giá trị riêng véc tơ riêng A= f tr-ờng hợp Câu IV Chứng minh dạng song tuyến tính g K-không gian véc tơ n-chiều V có hạng g = có hai dạng tuyến tính g g2 V cho g(x, y) = g1 (x)g2 (y) với x, y thuộc V www.VNMATH.com [...]... thì mỗi véc tơ x thuộc E đều có thể biểu diễn d-ới dạng n x= (x.ui) ui i=1 2 Giả sử L, M là các không gian con của E và dim L < dim M Ch-ng minh rằng tồn tại véc tơ u M , u = 0 sao cho (u.y) = 0 với mọi y L www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt 2 Môn thi cơ bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Xét vành đa thức R[x] ẩn x hệ số thực Chứng minh rằng... V sao cho g(u, v) = 1 www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt 1 Môn thi cơ bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Phần tử a thuộc nhóm (G, , e) gọi là có cấp hữu hạn p nếu p là số nguyên d-ơng nhỏ nhất sao cho a p = e Giả sử G là một tập hợp hữu hạn có n phần tử Chứng minh rằng 1 Mỗi phần tử a thuộc nhóm (G, , e) đều có cấp hữu hạn 2 Với mọi a, b thuộc... (x) = (u x) với mọi x E www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi cơ bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Xét đồng cấu vành f : K K Chứng minh rằng 1 Nếu A là một vành con của vành K thì f (A) là một vành con của K 2 Nếu B là một idean của vành K thì f 1 (B) là một idean của vành K Câu II 1 Xác định số chiều của không gian nghiệm N của hệ ph-ơng... (x, y) = 0 với mọi y F } Chứng minh rằng 1 F là một không gian con và F F = {0} 2 V = F F www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt 2 Môn thi cơ bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Phần tử x thuộc một vành đ-ợc gọi là lũy linh nếu tồn tại số n nguyên d-ơng sao cho x n = 0 1 Chứng minh rằng tập I tất cả các phần tử lũy linh của một vành K giao hoán... xác định d-ơng thì aii > 0 với mọi i = 1, 2, , n 2 Dạng xác định d-ơng khi và chỉ khi tồn tại ma trận khả nghịch S sao cho (aij )nìn = S T S www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt 1 Môn thi cơ bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I 1 Chứng minh rằng giao các idean của một vành là một idean 2 Giả sử S là tập con khác rỗng của vành K giao hoán có đơn...www.VNMATH.com Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi cơ bản: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Trong nhóm G xét ánh xạ f : G G cho bởi f (x) = x 2 với mọi x G 1 Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của nhóm G khi và... rằng 1 Mỗi phần tử a thuộc nhóm (G, , e) đều có cấp hữu hạn 2 Với mọi a, b thuộc nhóm (G, , e) các phần tử a b và b a có cấp bằng nhau Câu II 1 Xác định số chiều của không gian nghiệm N 0 của hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất sau đây theo tham số thực a x1 + ax2 x3 + 2x4 = 0, 2x1 x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 6x3 + x4 = 0 2 Cho a = 3, tìm phần bù trực tiếp của N0 trong không gian véc tơ R4 ... tử khả nghịch Câu II Trong không gian véc tơ R3 xét không gian con L sinh bởi hệ véc tơ u1 = (1, 2, 1) ; u2 = (1, 3, a) ; u3 = (0, 1, b) 1 Tính dim L theo các giá trị tham số a, b 2 Cho a = 1, b = 2 Hãy xác định giá trị của tham số m để véc tơ u = (1, 0, m) thuộc không gian con L Câu III Giả sử A = (aij )nìn là một ma trận thực cấp n Trong R-không gian véc tơ M1ìn [R] các ma trận hàng xét ánh xạ f... Câu II Xét ánh xạ tuyến tính h : R4 R3 xác định bởi: với u = (x 1 , x2 , x3 , x4 ) thì h (u) = (x1 + ax2 x3 + 2x4 , 2x1 x2 + ax3 + 5x4 , x1 + 10x2 6x3 + x4 ) 1 Xác định dim Im h, dim Ker h theo tham số a 2 Với a = 3, với giá trị nào của b thì véc tơ u = (1, 2, b) thuộc Im h Câu III Xét ma trận thực 1 2 2 A = 2 1 2 2 2 1 1 Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng của A 2 Tìm ma trận trực giao Q sao... 2, , n i=1 là idean nhỏ nhất chứa tập S Câu II Xét phép biến đổi tuyến tính f : R3 R3 cho bởi f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + ax2 + x3 , 2x1 + ax2 + bx3 , x1 + (b 1) x3 ) 1 Với giá trị nào của các tham số a, b thì f là một tự đẳng cấu 2 Tìm dim Im f , dim Ker f với a = b = 1 Câu III Xét ma trận đối xứng thực 1 2 2 A = 2 1 2 2 2 1 1 Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng của A 2 Dạng toàn ph-ơng trên