ĐỀ THI THẠC SĨ MÔN TOÁN CÁC NĂM

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 1 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho (G, ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G bởi: x y (g G, g 1 xg = y ). Với mỗi x G, đặt H x = {g G | g 1 xg = x} và O x = {g 1 xg | g G}. a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G. b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng tỏ rằng O 1 G = {1 G }, H x là một nhóm con của G và |G| = |H x |. |O x |, với mọi x G. c) Chứng tỏ nếu |G| = p n , với p là một số nguyên tố và n là số tự nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg, x G. Câu 2. Giả sử M n (R) là vành các ma trận vuông thực cấp n. a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M n (R) khi và chỉ khi det(A) = 0. b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M n (R) mà mọi phần tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành con của M n (R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của không trong N. c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái. Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc tr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là r A , đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. a) Chứng minh rằng, r A bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến tính của A. b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính A x 1 . . . x n = b 1 . . . b n , b i K (). 1 Send from ROBINHOOD - Typeset By PCT E Xv.5 1 Cho B là ma trận m hàng n + 1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm cột b 1 . . . b n vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi và chỉ khi r A = r B . Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V n+1 là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xét ánh xạ: : V V g fg gf trong đó f , g là các đạo hàm của f, g t-ơng ứng. a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker và chứng tỏ rằng (V r +1 ) = (V r ). b) Tìm dim((V r +1 )). 2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm n=1 1 n 2 2 n (x n + x n ) trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là 1 2 | x | 2 . b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm n=1 ( n n + 1 ) n 2 x n . Câu 2. Cho C [a,b] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. a) Đặt d(x, y) = max atb |x(t) y(t)|, x, y C [a,b] . Chứng minh rằng, d là một metric trên C [a,b] và với metric d, C [a,b] là một không gian đầy đủ. b) Đặt (x, y) = b a |x(t) y(t)|dt, x, y C [a,b] . Chứng minh rằng, là một metric trên C [a,b] và với metric đó C [a,b] là một không gian không đầy đủ. Câu 3. a) Đặt C 0 [0, 1] = {x C [0,1] : x(0) = 0}, trong đó C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với chuẩn "max". Chứng minh rằng, C 0 [0, 1] là không gian con đóng của C [0,1] và A : C 0 [0, 1] C 0 [0, 1] x Ax 3 cho bởi (Ax)(t) = 1 2 [x(t 2 ) + tx(1)], t [0, 1] là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A. b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toán tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y Y , ta có y A X . Chứng minh rằng, A L(X, Y ). Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert. a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng, A 2 = A 2 , với A = A A. b) Cho (A n ) nN L(H) thỏa mãn điều kiện sup nN |A n x, y| < + với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup nN A < +. 4 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng với n = p r 1 1 p r h h trong đó p i là các số nguyên tố và r i > 1. Cho G là một nhóm giao hoán (với phần tử đơn vị e) có n phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợc thỏa mãn: "Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | x d = e} có nhiều nhất d phần tử." Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại a i G thỏa mãn a p r i i i = e và a p r i 1 i i = e. Suy ra a i có bậc là p r i i . Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt R = {I | I là idean cực đại của A}, N = IR I. Chứng tỏ: a) Với mỗi idean I của A, I R khi và chỉ khi A/I là một tr-ờng. b) N = {x A | y A, z A, (1 xy)z = 1}. c) Giả sử A có tính chất: x A, n > 1 thuộc N sao cho x n = x. Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại. Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào tr-ờng K. Chứng tỏ: rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}. Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với mỗi không gian con U của E, đặt U = {x E | f(x, y) = 0, y U}; U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x) = 0, x U. Không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác. 5 a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi và chỉ khi U U . b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằng với mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng. c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy ra các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều. 6 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Ký hiệu GL(n, R n ) là nhóm nhân các ma trận thực không suy biến cấp n. Chứng tỏ: a) Tập hợp SL(n, R n ) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R n ). b) ánh xạ f : GL(n, R n ) R A det(A) từ nhóm GL(n, R n ) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu. Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R n )/SL(n, R n ) đẳng cấu với nhóm R . Câu 2. Cho R = Z p [x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số trong tr-ờng Z p các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét f R với: f = 1 + [x p1 + (x + 1) p1 + ããã+ (x + p 1) p1 ]. a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Z p là nghiệm của ph-ơng trình f(x) = 0. Do đó f = 0. b) Suy ra công thức sau: 1 k + ããã+ (p 2) k + (p 1) k 0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1), 1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1). Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng K. Chứng tỏ: |rank(A) rank(B)| rank(A + B) rank(A) + rank(B). Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là một đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x 0 , với W là một không gian vector con của V và x 0 V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của D. Chứng tỏ rằng a) Với x 0 , x 1 , . . . , x n là một hệ vector cho tr-ớc trong V thì tập hợp D = {x = a 0 x 0 + a 1 x 1 + ããã+ a n x n | a 0 + a 1 + ããã+ a n = 1} 7 là một đa tạp tuyến tính của V chứa các vector x 0 , x 1 , . . . , x n . b) Tập hợp các nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính t-ơng thích n ẩn hạng r với hệ tử thuộc tr-ờng số thực R lập thành một đa tạp tuyến tính có số chiều là n r trong không gian vector R n . 8 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. Cho (X, d) là một không gian metric. Ta đặt (x, y) = d(x, y) 1 + d(x.y) , x, y X. Hãy chứng minh: a) (X, ) là một không gian metric. b) Không gian (X, ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ. c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũng là một tập compact trong (X, ). Câu 2. Cho f 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A. Với mỗi n N ta đặt f n (x) = f(x) nếu f(x) < n n nếu f(x) n. Chứng minh lim n A f n dà = A fdà. Câu 3. Ký hiệu X = C [0,1] là không gian định chuẩn với chuẩn max . a) Giả sử x X, với mỗi n N ta đặt x n (t) = x(t 1+ 1 n ), t [0, 1]. Chứng minh rằng, dãy (x n ) n hội tụ về hàm x trong X. b) Đặt A : X X cho bởi công thức x Ax, (Ax)(t) = x(0)tx(t), với mọi t [0, 1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính A. Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f X , f = 0. Ký hiệu = inf{x : x X, f(x) = 1}. Chứng minh rằng, f = 1 . Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {e n , n N} là một cơ sở trực chuẩn của H. Đặt A : H H xác định bởi x H, Ax = n=1 x, e n+1 e n . Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm A và xác định toán tử liên hợp A . 9 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây: n=1 ln(1+n) n , > 1. 2) Cho f : R R là hàm số xác định bởi: f = 0, nếu x / (0, 1], n, nếu x ( 1 n + 1 , 1 n ], với n N. Tính R fdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue trên R. Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X X là một ánh xạ liên tục. Giả sử (K n ) là một dãy giảm các tập đóng không rỗng của X. Chứng minh rằng, f( n=1 K n ) = n=1 f(K n ). Câu 3. Ký hiệu C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 1] với chuẩn max . Đặt M = {x C [0,1] : x(0) = 0, 0 x(t) 1, t [0, 1]}. 1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C [0,1] . 2) Xét hàm số f : C [0,1] R xác định bởi công thức f(x) = 1 0 x 2 (t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt đ-ợc giá trị bé nhất trên M. Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X R là một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f X khi và chỉ khi tập M = {x X : f(x) 1} là một tập đóng trong X. Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {e n , : n N} và X là một không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho n=1 Ae n 2 < +. Với mỗi n N, ta đặt A n : H X xác định bởi A n x = n k=1 x, e k Ae k , x H. Chứng tỏ rằng a) Với mọi n N, A n là một toán tử tuyến tính liên tục. b) A n A trong không gian L(H, X) và từ đây suy ra A là một toán tử compact. 10 [...]... trực chuẩn trong không gian Hilbert H, {n } là một dãy số hội tụ đến 0 Chứng minh rằng, toán tử A xác định bởi công thức Ax = n x, en en , x H n=1 là một toán tử compact từ H vào H 17 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Xét nhóm nhân C của tr-ờng C các số phức Ký hiệu Gk là tập các căn bậc pk của phần tử đơn vị của C (p là số nguyên tố và k là số nguyên d-ơng) và.. .Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Cho G là tập tất cả các bộ số nguyên dạng (k1 , k2 , k3 ) Chứng minh rằng, a) G là một nhóm với phép toán (k1 , k2 , k3 ).(l1 , l2 , l3 ) = (k1 +(1)k3 l1 , k2 +l2 , k3 +l3 ), k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 Z b) Nhóm con cyclic H sinh bởi phần tử (1, 0, 0) là -ớc chuẩn tắc trong G c) Nhóm th-ơng G/H đẳng cấu với nhóm cộng các số... dim 1 (T ) = n + r rank(A) 11 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 a) Tồn tại hay không một thể (K, +, ì) có đặt số khác 2 sao cho các nhóm con (K, +) và (K , ì), với K = K \ {0} , đẳng cấu với nhau? b) Cho A = Z[i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên, và I là tập con của A gồm các số phức c + di, với c, d là bội của 3 Chứng minh rằng, I là... chuỗi n x, en en hội tụ trong n=1 H 2 Đặt Ax = n x, en en với mọi x H Chứng minh rằng, A là toán n=1 tử tuyến tính liên tục trên H Tính A 15 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 Cho A là một tập đo đ-ợc và f, g : A R là các hàm khả tích trên A Với mỗi n N ta đặt An = {x A | n |f (x)| < n + 1} và Bn = {x A | |f (x)| n} Chứng minh rằng a) lim An gdà = 0, b)... hệ ph-ơng trình y1 y 2 A = 0 . yn với A Mkìn (R) là ma trận nhận đ-ợc từ B bằng cách bỏ n k hàng cuối cùng của B 2 f đ-ợc gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một cơ sở nào đó của V, là không suy biến Chứng tỏ nếu f không suy biến thì dim L = n k 13 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 1 Cho (xn )n là một dãy tăng, bị chặn trên và xn > 0... không gian vector thực M(n, R) gồm các ma trận vuông cấp n với hệ tử trên tr-ờng R các số thực Ký hiệu S(n) là tập con các ma trận đối xứng và A(n) là tập con các ma trận phản đối xứng của M(n, R) a) Chứng minh rằng, S(n) và A(n) là những không gian con của M(n, R) và xác định số chiều của chúng b) Chứng tỏ M(n, R) = S(n) A(n) Câu 4 Xét không gian vector Kn gồm các bộ n phần tử của tr-ờng K (n là... nguyên Gauss Z[i] = a + bi | a, b Z, i2 = 1 Câu 2 Cho R là vành hữu hạn phần tử Xác định các đồng cấu vành từ R vào vành các số nguyên Z Câu 3 Cho n N (n 2) và K là một tr-ờng Gọi Mn (K) là không gian vector các ma trận vuông cấp n trên K Ta định nghĩa vết của ma trận vuông A Mn (K) (ký hiệu Tr(A)) là tổng các phần tử nằm trên đ-ờng chéo chính của A Chứng minh rằng, a) Với mọi A Mn (K), ánh xạ... thực sự của G đều là nhóm con cyclic hữu hạn b) Trên G, xét hai phép toán , nh- sau: x, y G, x y = xy, x y = 0 Chứng minh rằng, (G, , ) là một vành giao hoán, không chứa đơn vị và không có idean tối đại Câu 2 Cho D là một miền nguyên với đơn vị e sao cho mỗi nhóm con của nhóm cộng của D là một idean của D Chứng minh rằng, D đẳng cấu với vành Z các số nguyên hoặc D đẳng cấu với vành Zp các số nguyên... của A Giả sử x A Chứng minh A là một tập vô hạn Suy ra mọi tập / con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X Y là một toán ánh liên tục từ X lên Y Cho A X sao cho A = X Chứng minh rằng f (A) = Y Câu 3 Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các giá trị của A a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn Chứng... cấu giữa các không gian vector Câu 4 Cho : V W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n-chiều V vào không gian vector m-chiều W Chứng minh rằng, a) Nếu U là một không gian vector con k -chiều của V sao cho U ker là không gian con p-chiều thì dim (U ) = k p b) Nếu T là một không gian vector con của W sao cho T Im() là không gian con r-chiều thì dim 1 (T ) = n + r rank(A) 11 Đề Thi Tuyển . Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 1 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho (G, ã) là một nhóm hữu. tuyến tính của V. Tìm ker và chứng tỏ rằng (V r +1 ) = (V r ). b) Tìm dim((V r +1 )). 2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ đều. điều kiện sup nN |A n x, y| < + với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup nN A < +. 4 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng