bài tập xs thống kê

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bắn vào bia phát Gọi Ai biến cố bắn trúng i phát Bj biến cố bắn trúng j phát a) Diễn tả biến cố A1 , B1 , A2 , B2 ? b) Hai biến cố A1 , B1 có xung khắc không? c) Diễn tả biến cố A1  B2 ; B1  A2 ; A1 B2 ; A2 B1 ? Giải a) A1 không trúng phát nào; A2 : trúng phát không trúng phát B1 trúng phát; B2 : trúng hai phát b) Hai biến cố A1; B1 không xung khắc hai biến cố xảy trường hợp phát trật c) A1  B2  ; B1  A2  A2 ; A2 B1  B1 A1 B2  B1  A3 : bắn trúng phát từ phát trở lên Kiểm tra sản phẩm Gọi Ak biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày biến cố sau qua Ak a) A: tất xấu b) B: có sản phẩm xấu c) C: có sản phẩm tốt d) D: tất sản phẩm tốt e) E: có sản phẩm xấu f) F: có sản phẩm tốt Giải A  A1 A2 A3 A4 ; B  A1  A2  A3  A4  A1 A2 A3 A4 ; C  A1  A2  A3  A4 C  B; D  A1 A2 A3 A4  A1 A2 A3 A4  A1 A2 A3 A4  A1 A2 A3 A4 ; E  A D Quan sát sinh viên làm thi Gọi Bj biến cố sinh viên thứ j làm đạt yêu cầu Hãy biểu diễn biến cố sau qua Bj a) Có sinh viên đạt yêu cầu=E b) Có sinh viên đạt yêu cầu=F c) Có sinh viên đạt yêu cầu=G d) Không có sinh viên đạt yêu cầu=H Giải XSTK 11/2013 E  B1 B2 B3 B4  B1 B2 B3 B4  B1.B2 B3 B4  B1 B2 B3 B4 F  B1 B2 B3 B4  B1 B2 B3 B4  B1.B2 B3 B4  B1 B2 B3 B4 G  B1  B2  B3  B4 H  B1 B2 B3 B4 Một xưởng có máy hoạt động Gọi Ai biến cố máy thứ i bị hỏng Viết biểu thức biến cố a) A=”chỉ có máy bị hỏng” b) B=”máy 1, bị hỏng máy không hỏng’ c) Ci=”có i máy hỏng” d) D=”có máy hỏng” e) E=”có không hai máy hỏng” Giải A  A1 A2 A3 ; B  A1 A2 A3 ; C  A1 A2 A3 ; C1  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 C2  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ; C3  A1 A2 A3 D  C2  C3 ; E  C3  C0  C1  C2 Kiểm tra sản phẩm kho thấy sản phẩm hỏng dừng kiểm tra Gọi Ai biến cố sản phẩm lấy lần thứ i sản phẩm hỏng Biểu diễn biến cố sau qua Ai a) Dừng kiểm tra lần thứ 4=K b) Kiểm tra không lần=H Giải K  A1 A2 A3 A4 H  A1  A1 A2  A1 A2 A3 Một hộp có 10 sản phẩm có phế phẩm Lấy sản phẩm từ hộp để kiểm tra Gọi A=”có không hai phế phẩm”; B=”có phế phẩm” a) Mô tả A; B Chứng minh A.B   Mô tả biến cố A+B; A\B   b) Tính P(A); P(B); P A Giải A  B : số phế phẩm B  A : số phế phẩm A.B  A.A  ; A  B  A  A  ; A \ B  A XSTK 11/2013 P  A  C54  C53C51  C52C52 C104 C54  C53C51  C52C52 P B  P A  1 C104         Cho A B hai biến cố cho P A  0, 5; P B  0, 65; P AB  0, 35 b) P AB   P  AB  c) P AB  a) P A  B    P  A  B  d) P AB B   P  AB  P  A B P A B P A B     P AB B   P AB B  Đáp số P  A  B   0,   P  A  B   0, 85 P AB  0, 65   P  AB   0,   P  AB   0,15 P  A B  13 P A  B  0, 65   P AB  P A  B  0, 13 P AB B  P AB B  13 Trong hộp có 15 bóng đèn có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên có thứ tự không hoàn lại bóng để dùng Tìm xác suất để: a) Cả bóng hỏng? b) Cả bóng không hỏng? c) Có bóng không hỏng? d) Chỉ có bóng thứ hỏng? Đáp số    P AB B  a) A33 A153 b)   A123 A153 c) 1 A33 A153 d)  A122 A31 A153 Trong tủ có đôi giày Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho giày lấy a) Không lập thành đôi cả? b) Có đôi giày? Đáp số a) C84 24 C164 b) C81.C72 22 C164 XSTK 11/2013 10 Một lô hàng có 100 sản phẩm có sản phẩm phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm không hoàn lại Nếu có phế phẩm không mua lô hàng Tìm xác suất lô hàng mua A94 Đáp số A100 11 Một nhân viên quảng cáo nghiên cứu sở thích xem tennis người có gia đình Từ số liệu thu kết luận: 60% ông chồng thích xem tennis; chồng thích xem tennis có 40% bà vợ thích xem tennis; chồng không thích xem tennis có 30% bà vợ thích xem tennis Chọn ngẫu nhiên cặp vợ chồng a) Tính xác suất vợ thích xem tennis b) Biết vợ thích xem tennis, xác suất chồng thích xem tennis Đáp số a) 0,36 b) 2/3 12 Ba công nhân làm loại sản phẩm, xác suất để người thứ 1, 2, làm phẩm tương ứng 0,9; 0,7; 0,8 Một người làm sản phẩm thấy có phế phẩm Tìm xác suất để người làm sản phẩm có phẩm Giải Gọi Hi biến cố người sản xuất người thứ i A biến cố sản xuất sản phẩm có phế phẩm Ta có: 3 2 P  A   P  Hi  P A Hi  C32  0.9   0.1  C32  0.7   0.3  C32  0.8   0.2   0.356   i 1 P  H1  P  H 2  P  H 3          P H1 A  0.2275 P H A  0.4129 P H A  0.3596 Gọi K biến cố sản xuất sản phẩm có phẩm      P K A   P Hi A P K HiA i 1  2  0.2275.C32  0.9  0.1  0.4129.C32  0.7  0.3   0.3596.C32  0.8  0.2   0.1187 13 Một người mua vé số cào, người mua liên tiếp vé trúng ngừng Tính xác suất người mua đến vé thứ dừng biết xác suất trúng thưởng lần mua 0,01 XSTK 11/2013       Đáp số P F  0, 99 0, 01 14 Trong kho chứa cam có 42% cam Trung Quốc, 24% cam Thái Lan, 26% cam Campuchia 8% cam Việt Nam Trong số có số cam hư gồm: 20% số cam Trung Quốc, 10% số cam Thái Lan, 12% số cam Campuchia 2% số cam Việt Nam a Tính xác suất để người mua phải trái cam TQ hư? b Tính xác suất để người mua phải trái cam hư? c Biết người mua phải trái cam hư Tính xác suất để trái cam CPC? d Biết người mua phải trái cam hư Tính xác suất để trái cam không Việt Nam? Đáp số: Gọi Ai biến cố cam TQ, TL, CPC, VN H bc cam bị hư   a) P A1 H  0, 42 * 0,  0, 084   b) P H  0, 42 * 0,  0, 24 * 0,1  0, 26 * 0,12  0, 08 * 0, 02  0,1408     c) P A3 H  0, 26.0,12  0, 2216 0,1408   d) P A4 H   P A4 H   0, 08.0, 02  0, 9886 0,1408 15 Trong quan điều tra người ta dùng máy dò tìm tội phạm, kinh nghiệm cho biết 10 người bị tình nghi có người tội phạm Máy báo người có tội với xác suất 0,85 Máy báo sai người vô tội với xác suất 0,1 Một người máy phân tích Hãy tìm xác suất a Máy báo người tội phạm? b Người thực có tội biết máy báo có tội? c Máy báo đúng? Giải Gọi A biến cố người bị tình nghi tội phạm T bc máy báo người tội phạm         P  A P  T A 0, 595 PA T     0, 952 0, 625 P T    a P T  P A P T A  P A P T A  0, 625 b XSTK 11/2013   c P AT  A.T  0, 7.0, 85  0, 3.0,  0, 865 16 Có bình đựng bi có : + bình loại 1: bình đựng bi trắng bi đỏ + bình loại 2: bình đựng bi trắng bi đỏ + bình loại 3: bình đựng bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình từ bình lấy bi a Tính xác suất để lấy bi trắng? b Biết bi lấy bi trắng Tính xác suất để bình lấy loại 3? 33 11  b) P A3 T   72 24 33 11 17 Kiện hàng có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Kiện hàng có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B Từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm đem giao cho khách hàng Sau sản phẩm lại dược dồn chung vào kiện hàng trống a) Nếu ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng xác suất để chọn sản phẩm loại B bao nhiêu? b) Nếu ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện hàng 3, tính xác suất để có sản phẩm loại B sản phẩm chọn? 18 Một nhà máy sản xuất mainboard máy vi tính có tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng 85% Trước xuất xưởng người ta dùng dụng cụ để kiểm tra sản phẩm có đạt chất lượng hay không? Thiết bị có khả phát sản phẩm đạt chất lượng với xác suất 0,9 phát sản phẩm chất lượng 0,95 Chọn ngẫu nhiên sản phẩm cho thiết bị kiểm tra Tính xác suất: a) Sản phẩm không đạt chất lượng biết thiết bị kết luận đạt chất lượng b) Sản phẩm thiết bị kết luận với thực chất c) Sản phẩm thiết bị kết luận đạt tiêu chuẩn 19 Biết tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B, AB cộng đồng tương ứng là: 34%; 37%; 21% 8% Người có nhóm máu O, A, B nhận nhóm máu loại với người có nhóm máu O; người có nhóm máu AB nhận máu từ người có nhóm máu Chọn ngẫu nhiên người cho máu người nhận máu a) Tính xác suất việc truyền máu thực b) Giả sử việc truyền máu thực Tính xác suất người cho có nhóm máu A? c) Giả sử việc truyền máu thực Tính xác suất người nhận có nhóm máu B?    Đáp số a) P T         Đáp số.a) P T  0, 5738 b) P A1 T  0, 2902 c) P B2 T  0, 2013 XSTK 11/2013 20 Một xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm xí nghiệp 5% Mỗi sản phẩm sản xuất qua lần kiểm tra độc lập + Lần 1: xác suất nhận biết phẩm 90%, nhận biết sai phế phẩm 3% + Lần 2: xác suất nhận biết phẩm 95%, nhận biết phế phẩm 98% Một sản phẩm đưa thị trường lần kiểm tra coi phẩm Tính xác suất để: a) Một phế phẩm đưa thị trường b) Một phẩm bị loại trình kiểm tra c) Một sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ xí nghiệp đưa thị trường d) Một sản phẩm đưa thị trường phế phẩm Giải Gọi F bc sản phẩm phẩm T1; T2 bc lần kiểm tra 1,2 kết luận sản phẩm phẩm      a) P T1.T F  P T F P T F  0, 0006       P  T1.T   P  F  P  T1.T F   P  F  P  T1.T F   0, 81228 b)  P T 1.T F   P T1 F P T F  0,145 c)       P F P T1 F P T F  d) P F T1.T  P  T1.T    0, 00003 0, 81228 21 Một hộp có viên bi gồm màu đỏ xanh Các giả thiết số bi xanh đỏ hộp xem đồng khả Giả sử lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp thấy có bi đỏ bi xanh Hoàn lại bi lấy vào hộp Tính xác suất lấy tiếp viên bi từ hộp có đỏ xanh Giải Gọi Ai bc có i bi đỏ hộp Ta có i=1,2,…7 Gọi F biến cố lần lấy viên bi có đỏ xanh Lúc đầu ta có: P(Ai)=1/7 Xác suất để F xảy ra:  P  F    P  Ai  P F Ai i 1  1 126    C33C51  C43C14  C53C31  C63C12  C73C11   C8 490 35   Xác suất biến cố Ai sau F xảy ra: XSTK 11/2013     P A1 F  P A2 F    P A3 F  126   P A4 F  16 126 30 40 35 P A6 F  P A7 F  126 126 126 Gọi H biến cố lấy bi từ hộp có đỏ xanh Ta có:    P A5 F     2 2 C3C5 16 C4C4 30 C5C3 40 C6C2 P H F   P Ai F P H Ai F     0 126 C83 126 C83 126 C83 126 C83 i 3       22 Tỉ lệ mắc bệnh tim vùng 6% Việc chẩn đoán người có bị bệnh tim hay không thực qua xét nghiệm Nếu xét nghiệm kết luận có bệnh tiến hành tiếp tục xét nghiệm Khả chẩn đoán xét nghiệm 85% người mắc bệnh chẩn đoán sai với người bệnh 2% Ở xét nghiệm 2, khả kết luận với người có bệnh 99% có 1% người bệnh bị kết luận có bệnh Một người bị kết luận có bệnh xét nghiệm kết luận có bệnh a) Gọi biến cố xác định xác suất đề cho b) Chọn ngẫu nhiên người vùng kiểm tra Biết người bị kết luận có bệnh Tính xác suất người thực bệnh Đáp số Gọi T biến cố người vùng bị bệnh tim Gọi N1; N2 biến cố xét nghiệm lần 1; lần kết luận có bệnh    a) Ta có: P T  0, 06    P N1 T  0, 85    P N T N1  0, 99  P N1 T  0, 02 P N T N1  0, 01   b) Ta cần tính xác suất: P T N1.N  ??? Ta có:     P  N N    P  T  P N1.N T  P T P N1.N T   0, 06.0, 85.0, 99  0, 94.0, 02.0, 01  0, 050678 0, 94.0, 02.0, 01  0, 003709 0, 050678 23 Một mô hình đơn giản biến đổi giá chứng khoán sau: phiên giao dịch xác suất giá tăng lên đơn vị p xác suất giảm đơn vị (1-p) Sự thay đổi giá phiên giao dịch độc lập   P T N N  XSTK 11/2013 a) Tính xác suất sau phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu đơn vị b) Giả sử sau phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu đơn vị Tính xác suất giá tăng phiên giao dịch thứ Giải Gọi Ai biến cố phiên thứ i tăng giá   Gọi X số phiên tăng giá phiên Ta có: X  B 3; p      a) P F  P X   p  p   b) P A2 F  P  A2 F  PF    P A1 A2 A3  A1 A2 A3 P F  2 24 Bắn phát đạn vào máy bay với xác suất trúng tương ứng 0,4; 0,5; 0,7 Nếu trúng phát xác suất máy bay rơi 0,2 Nếu trúng hai phát xác suất máy bay rơi 0,6 Nếu trúng phát xác suất rơi Tính xác suất máy bay rơi Hướng dẫn Gọi Ai biến cố viên đạn thứ i bắn trúng Si biến cố có i viên trúng máy bay F bc máy bay rơi    Ta có: P F S1  0,  P  F    P  Si  P F Si i 1   P F S2  0,  P F S3   BÀI TẬP CHƯƠNG Một xí nghiệp có ô tô vận tải hoạt động Xác suất ngày làm việc ô tô bị hỏng tương ứng 0,1 0,2 Gọi X số ô tô bị hỏng ngày Tìm qui luật phân phối xác suất X? Giải Gọi Ai biến cố ô tô thứ i bị hỏng X số ô tô bị hỏng ngày X={0,1,2} X P 0,72 0,26 0,02  1,0 Hai máy sản xuất loại sản phẩm Biết tỉ lệ sản phẩm loại máy 10%; 20% Cho máy sản xuất sản phẩm a) Tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm loại sản phẩm sản xuất XSTK 11/2013 b) Tìm số sản phẩm loại tin nhất, số sản phẩm loại trung bình sản phẩm sản xuất Giải Gọi X1; X2 số sản phẩm loại máy 1; máy sản xuất Gọi Y số sản phẩm loại sản phẩm hai máy sản xuất Ta có: Y=X1+X2 Y X1 P 0,81 0,18 0,01 X2 P 0,64 0,32 0,04 P  1,0  1,0  0,5184 0,3744 0,0964 0,0104 0,0004 1,0 Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập Xác suất thời gian t phận bị hỏng tương ứng 0,4; 0,3 0,2 a) Tìm qui luật phân phối xác suất số phận bị hỏng X? b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy X? c) Tìm xác suất thời gian t phận bị hỏng? d) Tìm Mod(X) Med(X)? Giải X  P 0,336 0,188 0,452 0,024 1,0 Xác suất người bắn trúng bia 0,8 Người phát viên đạn bắn trúng bia Tìm qui luật phân phối xác suất số viên đạn bắn trượt? Giải Gọi X số viên đạn bắn trượt Ta có: X=0,1,2,… k P  X  k    0,2   0,8 , k  0,1,2, Cho hai máy sản xuất, máy sản phẩm Biết tỉ lệ sản phẩm loại A máy tương ứng 20%; 30% a) Lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A sản phẩm sản xuất b) Tìm số sản phẩm loại A tin nhất; số sản phẩm loại A trung bình có sản phẩm; phương sai số sản phẩm loại A sản phẩm Giải Làm giống 10 XSTK 11/2013 Một hộp có 10 sản phẩm Gọi X số phế phẩm hộp, X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,7 0,2 0,1 Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp sản phẩm Tìm luật phân phối xác suất số phế phẩm sản phẩm lấy Có lô sản phẩm Lô có phẩm phế phẩm Lô có phẩm phế phẩm Từ lô lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ sang lô sau từ lô thứ lấy sản phẩm Gọi X số phẩm lấy a) Tìm qui luật phân phối X? b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy X? Hai cầu thủ bóng rổ ném bóng vào rổ có người ném trúng Xác suất ném trúng người tương ứng 0,3 0,4 Người thứ ném trước a) Tìm qui luật phân phối xác suất số lần ném rổ người? b) Tìm qui luật phân phối xác suất tổng số lần ném rổ hai người? Giải Gọi X số lần ném rổ người Ta có: X=1,2,3… Y số lần ném rổ người Ta có: Y=0,1,2,… Gọi Ai ; Bi biến cố người 1, người ném trúng rổ lần thứ i   P  X    P  A B A  A B A B    0,42   0,58 P  X  1  P A1  A1B1  0,3  0,7.0,4  0,58 1 P  X  k     0,42  k 1 2  0,58 P  Y    P  A1   0,3   P  Y    P  A B A B  A B A B A    0,42   0,406  P  Y  1  P A1B1  A1 B1 A2  0,406   0,42   0,406  1 2 P  Y  k     0,42  k 1 1 2  0,406  Gọi Z tổng số lần ném hai người Z=1,2,3   P  Z  3  P  A B A    0,42   0,3  P  Z    P  A B A B    0,42  0,28 P  Z  5  P  A B A B A    0,42   0,3 P  Z  1  P  A1   0,3 1 1 P  Z    P A1B1  0,7.0,4  0,28 1 2 P  Y  2k    0,42  k 1 k  0,28 P Y  2k  1   0,42   0,3 12 XSTK 11/2013 10 Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm có 90 sản phẩm tốt 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm (chọn lần) Gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy Tìm phân phối xác suất X Viết hàm phân phối tính E(X); Var(X) P(X≥1)?  Giải Ta có: X  H 100,90,3  11 Tung đồng xu lần Nếu sấp đồng, ngửa thua đồng Gọi X số tiền thu sau lần tung Tính E(X); Var(X)? Giải Gọi Xi số tiền thu lần tung thứ i Bảng phân phối xác suất Xi là: Xi -1 P 0,5 0,5 Ta có: Xi biến ngẫu nhiên độc lập X  X1  X  X3  X Do đó: E  X   E  X1   E  X   E  X3   E  X   Var  X   Var  X1   Var  X2   Var  X3   Var  X   12 Một hộp có bóng đèn có bóng tốt, bóng hỏng Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại bóng đem thử thu bóng tốt Gọi X số lần thử cần thiết Tìm luật phân phối xác suất X Trung bình cần lần thử? Giải Bảng phân phối xác suất X X P 0,1 0,2 0,3 0,4 E(X)=4 13 Có hai hộp sản phẩm: H1 có tốt xấu, H2 có tốt xấu a) Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để sai lệch số sản phẩm tốt lấy kỳ vọng nhỏ b) Lấy ngẫu nhiên hộp sản phẩm Gọi Y số sản phẩm tốt sản phẩm lấy Lập bảng phân phối xác suất Y Tính Mod(Y), E(Y), Var(Y) Giải a) Gọi X số sản phẩm tốt lấy Ta có: X=0,1,2,3 Bảng phân phối xác suất X: X P Giá trị kỳ vọng X: E(X)= Xác suất cần tìm: b) Gọi Z1; Z2 số sản phẩm tốt hai sản phẩm lấy từ hộp 1; Bảng phân phối xác suất: 13 XSTK 11/2013 Z1 P Z2 Ta có: Y=Z1+Z2; Z1;Z2 hai bnn độc lập Do đó: 14 Một hộp có sản phẩm hoàn toàn chất lượng sản phẩm hộp Mọi giả thiết số sản phẩm tốt có hộp xem đồng khả Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm thấy có sản phẩm tốt Theo bạn khả nhiều có sản phẩm tốt có sản phẩm lại hộp? 15 XA, XB lãi suất thu năm (đơn vị %) đầu tư vào công ty A, B cách độc lập Cho biết quy luật phân phối biến ngẫu nhiên sau: XA 10 12 P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15 XB -4 10 12 16 P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1 a) Đầu tư vào công ty có lãi suất kỳ vọng cao hơn? b) Đầu tư vào công ty có mức độ rủi ro hơn? c) Nếu muốn đầu tư vào công ty nên đầu tư theo tỉ lệ cho: a Thu lãi suất kỳ vọng lớn nhất? b Mức độ rủi ro lãi suất thấp nhất? Giải a) Ta có: E(XA)=9 E(XB)=7,5 b) Var(XA)= Var(X)=31,25 c) Gọi x tỉ lệ đầu tư vào công ty A Tỉ lệ đầu tư vào công ty B: (1-x) Gọi Z lãi suất thu sau năm Ta có: Z=x.XA+(1-x).XB Ta có: E(Z)= x.E(XA)+(1-x).E(XB)= 16 Phí qua cầu xe nhỏ 10 ngàn đồng; xe lớn 15 ngàn đồng Theo thống kê có khoảng 60% xe nhỏ qua cầu giờ, lại xe lớn Nếu có 250 xe qua cầu số tiền trung bình thu bao nhiêu? Giải Gọi Xi số tiền thu xe qua cầu Ta có: Xi=10; 15 Đơn vị tính: ngàn đồng Dễ thấy: E(Xi)=0,6.10+0,4.15=12 Gọi Y số tiền thu 250 xe Ta có: Y=X1+X2+…+X250 Từ đó: E(Y)=12+12+…+12=3000 (ngàn đồng)= triệu Sinh viên ý: Y tổng 250 biến ngẫu nhiên độc lập tích 250 với X, X số tiền thu xe qua cầu 14 XSTK 11/2013 17 Thống kê hàng năm cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông 0,0055 vụ/năm Một công ty bảo hiểm đề nghị tất chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền 600 ngàn/năm họ chi trả trung bình cho vụ tai nạn xe máy 50 triệu đồng Hỏi công ty kỳ vọng thu tiền hợp đồng bảo hiểm Biết chi phí quản lý chi phí khác chiếm tới 30% số tiền bảo hiểm 18 Cho X1; X2; X3 ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng ppxs sau: X1 X2 X3 P 0,6 0,4 P 0,4 0,6 P 0,8 0,2 Đặt X  X1  X  X Tính E X ;Var X     19 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X sau: X -5 P 0,4 0,3 0,1 0,2 a) Tính E(X), V(X) σX? b) Tìm Mod(X)? 20 Cho X; Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Có: E  X   Var  X   3; E  Y   Var Y   a) Đặt Z  b) Đặt T  X  2Y Tính E  Z  ;Var  Z  ? Z  EZ  Var  Z    Tính E T ? 21 Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau: X 0,6 x3 P 0,5 0,3 p3 Tìm x3 ; p3 biết E(X)=8 22 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có qui luật phân bố xác suất sau: X x1 x2 P p1 0,7 Tìm x1,x2 p1 biết E(X)=2,7 V(X)=0,21 Biết x2  x1 23 Một người từ nhà đến quan phải qua ngã tư Xác suất gặp đèn đỏ ngã tư sau: 0,2; 0,4 0,5 Hỏi thời gian người phải ngừng đường Biết lần gặp đèn đỏ người phải đợi khoảng phút Giải X thời gian ngừng đường X=0,3,6,9 Đơn vị tính: phút Ai biến cố gặp đèn đỏ ngã tư thứ 1,2,3 P(A1)=0,2 P(A2)=0,4 P(A3)=0,5         Ta có: P X   P A1 A2.A3   0,2  0,4  0,5  0,24 Tương tự ta có: 15 XSTK 11/2013 P  X  3  0,2.0,6.0,5  0,8.0,4.0,5  0,8.0,6.0,5  0,46 P  X    0,8.0,4.0,5  0,2.0,6.0,5  0,2.0,4.0,5  0,26 P  X    0,2.0,4.0,5  0,04   Vậy E X  0.0,24  3.0,46  6.0,26  9.0,04  3,3 24 Nhu cầu hàng năm loại hàng A biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau(đơn vị : ngàn sản phẩm) k  30  x  f x   0 x   0,30  x   0,30  a) Tìm k? b) Tìm xác suất để nhu cầu loại hàng không vượt 12 ngàn sản phẩm năm? c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm loại hàng đó? Giải a) Do f  x  hàm mật độ xác suất nên ta có:  f  x   0, x    k   450   f  x  dx   12 b) P  X  12    12 f  x  dx   30  c) E  X      30  x  dx  450 0 xf  x  dx  x  30  x  dx  450 0 25 Thời gian xếp hàng chờ mua hàng khách biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất sau(đơn vị: phút) 0  F  x   ax  x  x 1  ,x  ,0  x  ,x 1 a) Tìm hệ số a? b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình? c) Tìm xác suất để người xếp hàng có không người phải chờ 0,5 phút? Giải a) Do F(x) hàm phân phối xác suất bnn liên tục nên F(x) liên tục R Suy F(x) liên tục x=1 Từ ta có: a=2 16 XSTK 11/2013 Thử lại với a=2 ta thấy F(x) thỏa mãn tính chất hàm phân phối xác suất Vậy a=2 b) Hàm mật độ xác suất tương ứng: , x   0;1  f x   6 x  x  , x   0;1 Thời gian xếp hàng trung bình:  EX      xf  x  dx   x x  x  dx  E(X)=… c) Xác suất người phải chờ 0,5 phút: P  X  0,5  P  0,5  X  1  F 1  F  0,5     Gọi Ai bc người thứ i phải chờ 0,5 phút P Ai  Gọi H bc…     Ta có: P H  P A1 A2 A3   PH   8 26 Cho X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất sau:   f x  b  a 0   a) Tìm P  a  X   , x   a, b  , x   a, b  ab ?  b) Tìm hàm phân phối xác suất X? Giải Xem chương phần phân phối 27 Cho X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất sau: F  x  1  arctan x  a) Tìm P   X  1 ? b) Tìm hàm mật độ xác suất X? c) Tìm giá trị có x1 thoả mãn điều kiện P  X  x1   ? Giải 1  1  a) Ta có: P   X  1  F 1  F      arctan1    arctan   2   2   b) Hàm mật độ: f  x   F  x      x2  17 XSTK 11/2013 4 1  c) Ta có: P  X  x1    P  X  x1    F  x1     arctan x1   x1  28 Cho X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất sau: , x   a; b  k f  x   0 , x   a; b  a) Tìm hệ số k? b) Tìm E(X) V(X)? Giải 29 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau:  e  x f x    ,x  ,x    0 Tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên này? Giải Xem phân phối lũy thừa chương 30 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau:  kx f x    , x  [0,1] , x  [0,1] a) Tìm k, E(X), Var(X), Mod(X) ? b) Tính P  X  E ( X )  0,5 c) Cho Y  X Tìm hàm mật độ Y, P  0,5  Y  1 ; E Y  Giải a) Ta giải được: k=4 b) Sv tự tính c) Gọi FY  y   P Y  y  hàm ppxs bnn Y 0    Ta có: P Y  y   P X  y   P   X  y     1   0  Do đó: FY  y    y 4 1   ,y  ,0  y  ,2  y 0   ,  y   fY  y    FY  y     y  4 ,2  y Tính toán lại sinh viên tự làm 18 XSTK 11/2013 ,y  , y   0;  , y   0;  BÀI TẬP CHƯƠNG Thống kê cho thấy chào hàng lần có lần bán hàng Nếu chào hàng 12 lần gọi X số lần bán hàng X tuân theo qui luật gì? Tại sao? Giải X có qui luật phân phối nhị thức Vì: + Các lần chào hàng độc lập + Xác suất bán hàng lần Tỷ lệ phế phẩm loại sản phẩm nhà máy 5% Lấy ngẫu nhiên lần lượt, có hoàn lại 100 sản phẩm để kiểm tra Gọi X số phế phẩm 100 sản phẩm a) X có luật phân phối gì? b) E(X), Mod(X)? Giải a) X có phân phối Nhị thức Vì: + Lấy 100 sản phẩm lần lượt, có hoàn lại 100 phép thử độc lập + Vì có hoàn lại nên xác suất lấy phế phẩm lần không đổi Trong lô hàng có 800 sản phẩm loại 200 sản phẩm loại Lấy ngẫu nhiên sản phẩm theo phương thức có hoàn lại Gọi X số sản phẩm loại lấy a) X tuân theo qui luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát qui luật? b) Tìm E(X), V(X)? c) Tìm số sản phẩm loại trung bình lấy tính khả để xảy điều đó? Giải  k P  X  k   C5k  0,8  0,2  b) E  X   5.0,8  Var  X   5.0,8.0,2  0,8 c)  5 k a) X ~ B 5;0,8 ; ; k  0,1,2,3,4,5   1 0,8   ModX    1 0,8  ModX  4 P  X    C54  0,8   0,   Xác suất để khách chậm tàu 0,02 Tìm số khách chậm tàu có khả xảy nhiều 855 hành khách Giải Gọi Y số khách chậm tàu 855 hành khách Ta có: Y ~ B(855;0,02) 19 XSTK 11/2013 Số khách chậm tàu có khả nhất: ModY=??? Một nghiên cứu cho thấy 70% công chức cho việc nghỉ làm ngày tuần lễ nâng cao hiệu công tác Nếu chọn ngẫu nhiên 15 công chức để vấn xác suất có 10 người đồng ý với ý kiến bao nhiêu? Giải Gọi Y số công chức 15 người đồng ý với ý kiến… Ta có: Y có phân phối siêu bội xấp xỉ với phân phối Nhị thức Y~B(15;0,7) Ta cần tìm: P Y  10   Một sách có 500 trang, trang có 300 chữ Biết sách có 300 chữ in sai Mở ngẫu nhiên trang Tìm xác suất để trang có chữ in sai Giải Z số chữ in sai trang Z có phân phối xấp xỉ nhị thức Ta có: Z~B(300;0,002)~P(0,6) Trong đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, có 10.000 vé trúng giải Nếu người mua 10 vé xác suất trúng vé bao nhiêu? Giải Gọi số vé trúng 10 vé Y Ta có: Y~H(100.000;10.000;10)~B(10;0,1) P  Y  1   P Y    Một nhà máy có phân xưởng, phân xưởng có 100 máy Xác suất ca sản xuất máy bị hỏng 2,5% a) Tìm luật phân phối cho số máy bị hỏng ca sản xuất xưởng b) Trung bình ca sản xuất toàn nhà máy có máy bị hỏng c) Nếu nhân viên bảo trì sửa tối đa máy ca sản xuất nhà máy cần bố trí nhân viên bảo trì cho hợp lý Giải a) Xi~B(100;0,025) b) Y=X1+X2+X3 ; Y~B(300;0,025) E(Y)=7,5 c) Mod(Y)=7 Vậy nhà máy nên bố trí nhân viên bảo trì Một trạm cho thuê xe du lịch có xe Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả góp 500.000đ cho xe (bất kể xe có thuê hay không) Mỗi cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày Giả sử số xe yêu cầu cho thuê trạm ngày đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(3 ; 0,8) 20 XSTK 11/2013 a) Tính số tiền trung bình trạm thu ngày b) Giả sử xác suất xe thuê 0,8 xe có xác suất thuê độc lập Theo bạn, trạm nên có hay xe? Giải a) Y: số tiền thu ngày trường hợp có xe Ta có: Y=1,5X-1,5 đơn vị: triệu đồng E(Y)=1,5E(X)-1,5=1,5.3.0,8-1,5=2,1 triệu b) Z: số tiền thu ngày trường hợp có xe K số xe thuê xe K~B(4;0,8) Ta có: Z=1,5K-2,0 đơn vị: triệu đồng E(Z)=1,5E(K)-1,5=1,5.4.0,8-1,5=2,8 triệu Vậy nên có xe 10 Xác suất để gặp laptop bị lỗi 0,005 Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 1000 laptop ta gặp: a) Đúng máy bị lỗi b) Ít máy bị lỗi c) Có máy bị lỗi 11 Trong đợt thi nâng bậc thợ ngành dệt, công nhân dự thi chọn ngẫu nhiên 10 máy với máy chọn dệt 100 sản phẩm Nếu 100 sản phẩm sản xuất có từ 75 sản phẩm loại trở lên nâng bậc Giả sử công nhân A, xác suất để sản xuất sản phẩm loại máy 0,7 0,8 Tính xác suất để công nhân nâng bậc thợ biết 10 máy có máy loại máy loại Hướng dẫn: Gọi H bc công nhân nâng bậc thợ A1; A2 bc anh chọn máy 1; máy Gọi Y số sản phẩm loại tron 100 sản phẩm anh sản xuẩ Ta có: 21 XSTK 11/2013        P  H   P  A1  P H A1  P  A2  P H A2  P  A1  P Y  75 A1  P  A2  P Y  75 A2     Ta có: P A1  0,2 P A2  0,8   P Y  75 A1  P  Z  75 với Z ~ B 100;0,7  Do đó, theo công thức tính xấp xỉ xác suất (nếu sinh viên bấm máy tính không cần tính xấp xỉ)  101  70   75  70  P  Z  75  P  75  Z  101         21  21      P Y  75 A2  P  Z  75 với Z ~ B 100;0,8  101  80   75  80  P  Z  75  P  75  Z  101       16    16  Sinh viên tính tiếp 12 Bia bắn chia làm vòng, ta gọi vòng vòng Bắn trúng vòng 10 điểm vòng điểm Một người bắn bia Biết xác suất bắn trúng vòng 30%; vòng 60% Anh bắn phát độc lập vào bia Tính xác suất 29 điểm? Giải Gọi F biến cố anh 29 điểm Biến cố đối F: anh đạt từ 30 điểm trở lên hay anh bắn viên trúng vòng         Vậy P F  0,3  P F   0,3  0,973 13 Một xe vận tải chuyển 1000 chai rượu vào kho Xác suất để vận chuyển chai bị vỡ 0,004 Tìm xác suất để sau vận chuyển có chai bị vỡ? 14 Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại Xác suất để phút máy gọi đến tổng đài 0,02 Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình phút? 15 Trung bình 40s có ô tô qua trạm thu phí Tính xác suất a) Có từ đến ô tô qua trạm khoảng thời gian phút b) Tính xác suất để phút có ô tô qua 22 XSTK 11/2013  16 Số khách hàng vào cửa hàng bách hoá biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật Poisson với mật độ khách Tìm xác suất để có khách vào? 17 Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm 4% Người ta kiểm tra 150 sản phẩm lô hàng có không phế phẩm lô hàng chấp nhận Tìm xác suất để lô hàng chấp nhận? 18 Cứ 5000 cá biển đánh bắt có nhiễm khuẩn có hại cho người Tìm xác suất để lô cá gồm 1800 đánh bắt có không bị nhiễm khuẩn? 19 Nhà máy có nhiều sản phẩm Tỷ lệ phế phẩm nhà máy 25% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm Tính xác suất để có 90 phế phẩm Giải Gọi Y số phế phẩm có 400 sản phẩm Ta có: Y~B(400;0,25)    90 Ta có: P Y  90  C400 0,25 90 310   0,75 Do tính trực tiếp không kết nên ta tính gần sau: Y ~ B  400;0,25   N 100;75 P  Y  90    90  100  1     0,13  0,3956  0,045679  75  75  75 75 20 Trọng lượng sản phẩm X máy tự động sản xuất biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật chuẩn với µ=100 gam σ=1 gam Sản phẩm coi đạt tiêu chuẩn trọng lượng đạt từ 98 đến 102 gam a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn nhà máy? b) Tìm tỉ lệ phế phẩm nhà máy? Giải a) Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn:  102  100   98  100  P  98  X  102          2    0,9544 1       b) Tỷ lệ phế phẩm:  P 98  X  102   0,9544  0,456 21 Chiều cao nam giới trưởng thành vùng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=160 cm σ=6 cm Một niên bị coi thấp chiều cao bé 157 cm a) Tìm tỉ lệ niên thấp vùng đó? 23 XSTK 11/2013 b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 10 người có anh thấp? Có không anh cao 157cm Giải  Gọi X chiều cao nam giới vùng Ta có: X ~ N 160 cm ;36 cm  a) Tỷ lệ niên thấp:  157  160  P  X  157   0,5      0,5    0,5  0,3085   b) Gọi Z số niên thấp 10 người Ta có: Z~B(10; 0,3085)     Xác suất anh thấp: P Z    P Z   Xác suất không anh cao 157cm: P  Z  8  P  Z  8  P  Z    P  Z  10   22 Năng suất lúa vùng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=50 tạ/ha σ=3,6 tạ/ha Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên ruộng vùng có ruộng có suất sai lệch so với suất trung bình không 0,5 tạ/ha? Giải X suất lúa Xác suất có sai lệch so với trung bình không 0,5 tạ/ha  0,5  P X  50  0,5  2    0,1114 (Qui tắc k_sigma Sv tính bình thường) 3,6     Gọi Y số có suất…trong Ta có: Y~B(3;0,1114)    Theo ta cần tính: P Y   C32 0,1114  1  0,1114  23 Tiến hành kiểm tra chất lượng 900 chi tiết Xác suất chi tiết đạt tiêu chuẩn 0,9 Hãy tìm với xác suất 0,9544 xem số sản phẩm đạt tiêu chuẩn nằm khoảng xung quanh số chi tiết đạt trung bình? 24 Một loại sản phẩm gia công chiều dài chiều rộng độc lập Chiều dài X chiều rộng Y sản phẩm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với E(X)=8cm, E(Y)=4cm , V(X)=0,3 cm2; V(Y)=0,2 cm2 Chi tiết coi đạt tiêu chuẩn chiều dài sai lệch với kích thước trung bình không 0,9cm chiều rộng sai lệch so với kích thước trung bình không 0,4cm 24 XSTK 11/2013 a) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm đạt tiêu chuẩn b) Gia công sản phẩm, gọi Z số sản phẩm đạt tiêu chuẩn Tìm E(Z), V(Z)? Tính xác suất có sản phẩm đạt tiêu chuẩn sản phẩm trên? c) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy không đạt tiêu chuẩn Tính xác suất sản phẩm không đạt tiêu chuẩn gia công sai chiều dài Giải a) Gọi D bc chiều dài sai lệch so với trung bình không 0,9 cm R bc chiều rộng sai lệch so với trung bình không 0,4 cm H bc sản phẩm đạt tiêu chuẩn Ta có: H=D.R  0,9  P  D   P X   0,9  2   0,3     0,4  P  R   P Y   0,4  2    0,2  P  H   P  D.R   P  D  P  R       b) Gọi Z số sản phẩm đạt tiêu chuẩn sản phẩm Ta có: Z~B(3;??)     Vậy P Z    P Z     P  H  c) Ta cần tính: P D H  P D 25 Tuổi thọ loại sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=11 năm σ=2 năm a) Nếu qui định thời gian bảo hành 10 năm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành bao nhiêu? b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành 10% phải qui định thời gian hành bao nhiêu? Giải X tuổi thọ sản phẩm a) Tỉ lệ sản phẩm bảo hành:  10  11  P  X  10   0,5      0,5    0,5  0,3085   25 XSTK 11/2013 b) Gọi t thời gian bảo hành cần qui định Ta có:  t  11   t  11  P  X  t   0,1  0,5     0,1       0,4 2      11  t  11  t   0,4   t0,4  1,28  t  8,44    26 Tuổi thọ loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn với trung bình 1000 độ lệch chuẩn 10 Thời gian qui định bảo hành 980 Khi bán sản phẩm tiền lãi thu 50.000 đồng, thời gian bảo hành ( 980 giờ) sản phẩm bị hỏng chi phí bảo hành trung bình 500.000 đồng Hỏi tiền lãi trung bình sản phẩm bán bao nhiêu? Giải Gọi X tuổi thọ sản phẩm X~N(1000; 100) Gọi Y số tiền thu bán sản phẩm Y={50; -450} đơn vị: ngàn đồng Ta có:  980  1000  P  Y  50   P  X  980   0,5      0,5      0,9772 10   P  Y  450   P  X  980    0,9772  0,0228 Bảng ppxs Y: Y P -450 0,0228   50 0,9772  Tổng 1,0  Vậy E Y  0,9772.50  0,0228 450  38,6 27 Tuổi thọ loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn với trung bình 1000 độ lệch chuẩn 10 Thời gian qui định bảo hành t Nếu tiền lãi trung bình sản phẩm bán 45.000 đồng, tiền lời bán sản phẩm 50.000 đồng chi phí cho sản phẩm bảo hành 500.000đồng tỉ lệ sản phẩm bảo hành là? Giải Sinh viên tự làm 26 26 XSTK 11/2013 [...]... FY  y   P Y  y  là hàm ppxs của bnn Y 0  2   Ta có: P Y  y   P 2 X  y   P  0  X  y  4    1   0  8 Do đó: FY  y    y 4 4 1   ,y  0 ,0  y  2 ,2  y 0   , 0  y  2  fY  y    FY  y     2 y 7  3 4 ,2  y Tính toán còn lại sinh viên tự làm 18 XSTK 11/2013 ,y  0 , y   0; 2  , y   0; 2  BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1 Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần... E(Y)=12+12+…+12=3000 (ngàn đồng)= 3 triệu Sinh viên chú ý: Y là tổng của 250 biến ngẫu nhiên độc lập chứ không phải là tích của 250 với X, trong đó X là số tiền thu được của một xe qua cầu 14 XSTK 11/2013 17 Thống kê hàng năm cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông là 0,0055 vụ/năm Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 600 ngàn/năm và họ chi trả trung... vào công ty B: (1-x) Gọi Z là lãi suất thu được sau một năm Ta có: Z=x.XA+(1-x).XB Ta có: E(Z)= x.E(XA)+(1-x).E(XB)= 16 Phí qua cầu đối với một xe nhỏ là 10 ngàn đồng; một xe lớn là 15 ngàn đồng Theo thống kê có khoảng 60% xe nhỏ qua cầu trong một giờ, còn lại là xe lớn Nếu có 250 xe qua cầu trong một giờ thì số tiền trung bình thu được là bao nhiêu? Giải Gọi Xi là số tiền thu được của một xe qua cầu... với mỗi sản phẩm bán ra là 45.000 đồng, tiền lời khi bán một sản phẩm là 50.000 đồng và chi phí cho một sản phẩm bảo hành là 500.000đồng thì tỉ lệ sản phẩm bảo hành là? Giải Sinh viên tự làm như bài 26 26 XSTK 11/2013 ...  A B A B A    0,42   0,3 P  Z  1  P  A1   0,3 1 1 3 1 1 2 P  Z  2   P A1B1  0,7.0,4  0,28 1 1 2 2 2 P  Y  2k    0,42  k 1 2 3 k  0,28 P Y  2k  1   0,42   0,3 12 XSTK 11/2013 10 Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra Tìm phân phối xác... công ty kỳ vọng thu được bao nhiêu tiền trên mỗi hợp đồng bảo hiểm Biết rằng chi phí quản lý và các chi phí khác chiếm tới 30% số tiền bảo hiểm 18 Cho X1; X2; X3 là ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng ppxs như sau: X1 0 1 X2 1 2 X3 0 2 P 0,6 0,4 P 0,4 0,6 P 0,8 0,2 Đặt X  X1  X 2  X 3 Tính E X ;Var X 3     19 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau: X -5 2 3 4 P 0,4 0,3 0,1 0,2... X=0,3,6,9 Đơn vị tính: phút Ai là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 1,2,3 P(A1)=0,2 P(A2)=0,4 P(A3)=0,5         Ta có: P X  0  P A1 A2.A3  1  0,2 1  0,4 1  0,5  0,24 Tương tự ta có: 15 XSTK 11/2013 P  X  3  0,2.0,6.0,5  0,8.0,4.0,5  0,8.0,6.0,5  0,46 P  X  6   0,8.0,4.0,5  0,2.0,6.0,5  0,2.0,4.0,5  0,26 P  X  9   0,2.0,4.0,5  0,04   Vậy E X  0.0,24  3.0,46  6.0,26... trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút? Giải a) Do F(x) là hàm phân phối xác suất của bnn liên tục nên F(x) liên tục trên R Suy ra F(x) liên tục tại x=1 Từ đó ta có: a=2 16 XSTK 11/2013 Thử lại với a=2 ta thấy F(x) thỏa mãn các tính chất của hàm phân phối xác suất Vậy a=2 b) Hàm mật độ xác suất tương ứng: , x   0;1  0 f x   2 6 x  6 x  2 , x   0;1 Thời gian... thoả mãn điều kiện P  X  x1   ? Giải 1 1  1 1  1 a) Ta có: P  0  X  1  F 1  F  0     arctan1    arctan 0   2   2   4 b) Hàm mật độ: f  x   F  x   1   1  x2  17 XSTK 11/2013 1 4 3 4 3 4 1 1 2  3 4 c) Ta có: P  X  x1    P  X  x1    F  x1     arctan x1   x1  1 28 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất như sau: , x   a; b ... có: X=0,1,2,3 Bảng phân phối xác suất của X: X 0 1 2 3 P Giá trị kỳ vọng của X: E(X)= Xác suất cần tìm: b) Gọi Z1; Z2 là số sản phẩm tốt trong hai sản phẩm lấy ra từ hộp 1; 2 Bảng phân phối xác suất: 13 XSTK 11/2013 Z1 P 0 1 2 Z2 0 1 2 Ta có: Y=Z1+Z2; Z1;Z2 là hai bnn độc lập Do đó: 14 Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng các sản phẩm trong hộp này Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có