Bất đẳng thức 3 biến đối xứng nhỏ hơn hoặc bằng 8

Bất đẳng thức 3 biến đối xứng nhỏ hơn hoặc bằng 8 Bất đẳng thức 3 biến đối xứng có hình thức đẹp và nhiều ý tưởng giải hay. Có lẽ vì thế mà chúng xuất hiện nhiều trong các kỳ thi trong và ngoài nước. Đã có khá nhiều phương pháp mạnh giải quyết loại bài toán này như: SCHUR, SOS, SS, MV, EV , GLA,PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN…..Trong bài viết này tôi sẽ trình bày một phương pháp mới gần gũi hơn với học sinh THPT “PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC 1, BẬC 2”.

Bất đẳng thức 3 biến đối xứng nhỏ hơn hoặc bằng 8

1 Bất đẳng thức đối xứng 3 biến trên

1.1 Cơ sở lý thuyết

Chúng ta đã biết hàm số bậc nhất đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại biên Hàm

số bậc 2 hệ số a dương đạt giá trị lớn nhất tại biên và hệ số a âm thì đạt giá trị nhỏ nhất tạ biên Dựa vào đặc điểm này ta sẽ quan tâm việc đi tìm đặc điểm biên của biến trong bài toán nhiều biến số Cụ thể là hàm

số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khi có 1 biến bằng 0 hoặc 2 biến bàng nhau.

Trước hết ta xét 2 bài toán cơ bản sau

Bài toán 1 Cho các số thực không âm thõa mãn

Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Xét phương trình

Ta cần tìm r để phương trình (1) có 3 nghiệm không âm Đặt

có 3 nghiệm khi và chỉ khi

và

(1) có 3 nghiệm không âm

Từ đó ta có giá trị lớn nhất của là Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

và các hoán vị

và Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

và các hoán vị

Nhận xét Lời giải bài toán 1 không có gì mới lạ nếu như ta nhìn xoáng qua Xong

nếu để ý dấu đẳng thức xảy ra và khai thác ta sẽ có cách nhìn tổng quát về cả một dạng toán như tiêu đề bài viết.

Bài toán 2.(tổng quát của bài toán 1) Cho các số thực không âm thõa mãn

Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức theo

Gợi ý: Tương tự lời giải bài toán 1 ta có kết quả

Bây giờ ta đi vào trọng tâm của bài viết Tìm đặc điểm, mối quan hệ của các biến khi hàm số đạt giá trị lớn nhất , nhỏ nhất

Định lý Mỗi bộ số thực không âm luôn tồn tại 1 trong 2 bộ

và thỏa mãn đông thời 3 điều kiện

i)

ii)

iii)

Chứng minh Ta chứng minh trong trường hợp tồn tại giá trị lớn

nhất (trường hợp còn lại chứng minh tương tự)

Xét phương trình

Đặt

Để ý:

Nên có 2 nghiệm kép Từ đó ta chọn bộ là

(Sự tồn tại một trong 2 bộ là sự tồn tại , và các biến phải thuộc bạn đọc

tự chứng minh, điều đó cũng được thể hiện rõ trong yêu cầu bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất)

Nhận xét : Định lý vẫn đúng trong trường hợp

Hệ quả Đa thức đối xứng 3 biến là hàm bậc 1 hoặc bậc 2 theo thì đạt giá trị nhỏ nhất (hệ số a âm)hoặc lớn nhất (hệ số a

dương )khi và chỉ khi 1 trong 3 biến bằng 0 hoặc 2 biến bằng nhau

Chú : trong trường hợp bậc lớn hơn 2 thì ta thay bởi điều kiện là hàm lồi hay lõm điều này được sử dụng trong thi HSG QG

Chứng minh: Hàm bậc 1 thì giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất đạt được tại biên Hàm

bậc hệ số a dương đạt giá trị lớn nhất tại biên, hệ số a âm đạt giá trị nhỏ nhất tại biên Từ định lý ta suy ra khi tại biên khi và chỉ khi 2 biến bằng nhau hoặc một biến bằng 0 (Trong trường hợp a,b,c là ác số thực thì chỉ xảy ra khi 2 biến bằng nhau)

1.2 Một số đẳng thức thường sử dụng

sau

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

1.3 Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho các số thực dương Chứng minh rằng

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Với là hàm số bậc nhất có hệ số a dương nên đạt giá trị lớn nhất khi

Áp dụng bổ đề 1ta có khi và chỉ khi có 2 trong 3 số bằng nhau Giả

sử Bất đẳng thức ban đầu cần chứng minh trở thành

Việc biến đổi sau khi xét 2 biến bằng nhau một cách khéo léo ta cần để ý đến nhân

tử khi đẳng thức xảy ra tại 3 biến bằng nhau

Bài 2 Cho các số thực dương Chứng minh rằng

Lời giải:

Biểu diễn bất đẳng thức đã theo các biến mới ta được

Với là hàm số bậc nhất có hệ số a dương nên đạt giá trị lớn nhất khi

Áp dụng hệ quả ta có khi và chỉ khi có 2 trong 3 số bằng nhau Giả

sử Bất đẳng thức ban đầu cần chứng minh trở thành

Bài 3.[ Rusia MO-2005] Cho các số thực không âm thõa mãn

Chứng minh rằng

Nhận xét.

i) Đây là bất đẳng thức 3 biến đối xứng Nếu ta qui đồng mãu thì sẽ đưa về đa thức

đối xứng bậc 9 đối với và bậc 3 đối với

ii) Điều kiện bài toán không cho ta

Tuy nhiên ta có thể xử lý bài toán bằng cách đổi biến để được như ý muốn dùng hệ

quả như sau :

Đặt Bài toán đã cho trở thành Cho

Chứng minh rằng Đến đây ta đã được đủ điều kiện sử dụng

bổ đề 2 và chỉ cần xét 2 trường hợp khi có 2 biến bằng nhau hoặc 1 biến bằng 0

Cụ thể là việc làm quá đơn giản

Bài 4 [Iran 96] Cho các số thực dương Chứng minh rằng

Hướng dẫn: Sử dụng các đẳng thức ở trên ta được bậc 2 có hệ số a âm Nên áp dụng được hệ quả

Bài 6 Cho các số thực dương Chứng minh rằng

Bài 7 [Vietnam TST] Cho các số thực Chứng minh rằng

Bài 8 Cho các số thực không âm thõa mãn

Chứng minh rằng

Câu hỏi mở thú vị.

Nếu như các biến a,b,c bị ràng buộc bởi các điều kiện khác nhau: Chẳng hạn abc=1, ab+bc+ca+abc=4,….thì bạn sẽ xử lý thế nào?