xích markov và ứng dụng luận văn

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG GIÁO VIÊN HƢỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN TS Võ Văn Tài Phạm Quốc Quang MSSV: 1117495 Bộ môn Toán – Khoa KHTN Ngành: Toán ứng dụng – Khóa 37 Cần thơ, 2015 TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM QUỐC QUANG XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG CÁN BỘ HƢỚNG DẪN Ts VÕ VĂN TÀI 2015 LỜI CÁM ƠN  -Em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Võ Văn Tài, người Thầy hết lòng bảo, hướng dẫn tận tình giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt Thầy Cô thuộc Bộ môn Toán truyền đạt trang bị cho em kiến thức quý báu suốt trình học tập sở để em thực tốt luận văn Em cảm ơn cô cố vấn Lê Thị Mỹ Xuân, người giúp đỡ động viên em suốt trình học tập giảng đường đại học để em hoàn thành tốt chương trình học Em xin cảm ơn tập thể lớp Toán ứng dụng K37 người bạn gắn kết, giúp đỡ trao đổi kiến thức để hoàn thành chương trình học Mặc dù, em cố gắng nhiều để hoàn thành tốt luận văn với tận tâm Thầy hướng dẫn, trình độ hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thông cảm góp ý quý Thầy Cô bạn Cần Thơ, tháng năm 2015 Phạm Quốc Quang i MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC BẢNG iv PHẦN GIỚI THIỆU v Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Công thức xác suất 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Công thức cộng công thức nhân 1.1.3 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 1.2 Một số vấn đề liên quan đến ma trận 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Các phép toán ma trận 1.2.3 Ma trận nghịch đảo 1.3 Hệ phương trình tuyến tính 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Giải hệ phương trình phương Gauss 1.3.3 Hệ phương trình quy tắc Cramer Chƣơng 2: XÍCH MARKOV 10 2.1 Tính Markov xích Markov 10 2.1.1 Quá trình Markov 10 2.1.2 Xích Markov 10 2.1.3 Một số ví dụ 11 2.2 Xích Markov rời rạc 12 2.2.1 Ma trận xác suất chuyển 12 2.2.2 Phân phối ban đầu 13 2.3 Xích Markov có hữu hạn trạng thái 14 2.3.1 Xích Markov hai trạng thái 14 2.3.2 Định lý ergodic 17 2.3.3 Phân phối dừng 19 2.3.4 Phân phối giới hạn phân phối ergodic 19 2.4 Trạng thái hồi quy trạng thái không hồi quy 21 2.4.1 Các trạng thái liên thông phân lớp 21 ii 2.4.2 2.4.3 2.4.4 Chu kỳ trạng thái 22 Trạng thai hồi quy trạng thái không hồi quy 24 Tiêu chuẩn hồi quy không hồi quy 25 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG CỦA XÍCH MARKOV 28 3.1 Một số mô hình ứng dụng xích Markov 28 3.1.1 Mô hình kiểm kê (Inventory Model) 28 3.1.2 Mô hình bình Ehrenfest 29 3.1.3 Xích Markov truyền 30 3.1.4 Mô hình trò chơi hai đấu thủ 32 3.1.5 Mô hình phục vụ đám đông (lý thuyết xếp hàng) 36 3.2 Một vài toán cụ thể Xích Markov 37 3.2.1 Bài toán chuyển (Anton-Kolman (1978)) 37 3.2.2 Vấn đề quản lý công ty bảo hiểm 38 3.2.3 Hệ thống sưởi 39 3.2.4 Markov dự báo toán nợ công ty 40 3.2.5 Mô hình phân chia thị trường 41 3.2.6 Dự báo tăng trưởng kinh tế Việt Nam 44 3.2.7 Chính sách thay vật tư thiết bị 45 KẾT LUẬN VÀ ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 iii DANH MỤC BẢNG Bảng số lượng khách hàng nhóm sau năm năm 39 Bảng Bảng chuyển đổi loại nợ từ đến tháng 40 Bảng 3: Sự chuyển đổi khách hàng cửa hàng từ gia đoạn sang gia đoạn 42 iv PHẦN GIỚI THIỆU Lý chọn đề tài Từ số liệu thực tế trình độc lập với khứ, ta đưa dự doán tương lai từ rút nhận xét, đánh giá kết luận, nhằm đưa điều chỉnh, định công tác đạo phương pháp khoa học hiệu vận dụng phổ biến nhiều lĩnh vực thực tế Thực tế nhiều trình có chuyển đổi qua lại trạng thái khác Quá trình Markov giúp ta biết thời gian tương lai xác suất chuyển trình sang trạng thái Quá trình Markov nghiên cứu từ lâu, nhiên nhà xác suất quan tâm Sự quan tâm lý thuyết mà ứng dụng Tiếp cận trình Markov em cảm thấy mảng rộng lớn, thú vị có nhiều ứng dụng thực tế, em chọn đề tài “Xích Markov Ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tổng kết cách logic, hệ thống lý trình Markov số ứng dụng thực tế Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Xích markov Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất ứng dụng xích Markov Phƣơng pháp nghiên cứu Tổng hợp tài liệu, xếp vấn đề nghiên cứu cách hệ thống logic Ứng dụng lý thuyết vào mô hình cụ thể Nội dung nghiên cứu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức liên quan để tiếp cận xích Markov Đó số công thức xác suất bản, kiến thức ma trận hệ phương trình tuyến tính v Chương 2: Xích Markov Trình bày cách có hệ thống xích Markov Đó khái niệm, tính chất liên quan đến xích Markov Chương 3: Ứng dụng Markov Giới thiệu mô hình ứng dụng ứng dụng cụ thể xích Markov vi Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Công thức xác suất 1.1.1 Khái niệm Biến cố A gọi tổng n biến cố A1 , A2 , , An A xảy có n biến cố Ai , i  1,2, , n xảy Kí hiệu : A  A1  A2   An Biến cố A gọi tích n biến cố A1 , A2 , , An A xảy tất n biến cố Ai , i  1,2, , n xảy Kí hiệu : A  A1 A2 An Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng không xảy đồng thời phép thử Nhóm n biến cố A1 , A2 , , An gọi xung khắc đôi, hai biến cố n biến cố xung khắc với Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy hay không biến cố A không làm ảnh hưởng đến việc xảy hay không biến cố B, ngược lại Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập toàn phần biến cố chúng độc lập với tích tổ hợp biến cố lại Nhóm biến cố A1 , A2 , , An gọi đầy đủ tổng chúng biến cố chắn chúng xung khắc đôi   A1  A2   An      Ai  Aj   i  j Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện biến cố A Kí hiệu là: P( A | B) 1.1.2 Công thức cộng công thức nhân a) Công thức cộng Cho Ai , i  1,2, , n biến cố bất kỳ, ta có  n  n n 1 P   Ai    P  Ai    P  Ai Aj    P  Ai Aj Al     1 P  A1 A2 An  i j i  j l  i 1  i 1 Cho A1 , A2 , , An nhóm biến cố xung khắc đôi, ta có  n  n P   Ai    P  Ai   i 1  i 1 b) Công thức nhân Giả sử Ai  A, i  1, , n biến cố Khi đó: P n i 1 A  P  A1  P  A2 | A1  P  An | A1 An1  Nếu Ai , i  1,2, , n độc lập toàn phần P n i 1 A  P  A1  P  A2  P  An  1.1.3 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Cho A1 , A2 , , An nhóm biến cố đầy đủ, A biến cố xảy với biến cố Ai , i  1,2, , n Khi ta có a) Công thức xác suất đầy đủ n Ρ  Α =  Ρ  Ai  Ρ  Α| Ai  i=1 b) Công thức Bayes Ρ  Ai | Α = Chú ý: (i) Ρ  Ai  Ρ  Α| Ai  P  A P  A | A  (ii) P  B  C | A  P  B | A  P C | A      n 1 (iii) P   Bn | A    P  Bn | A  n1  k  x   p k 1  x  1  q k 1  x  1   l  A   1,  l  B   0,   k  x   p k 1  x  1  q k 1  x  1    l  A   0,  l  B   1, víi X   A; B  , k  n víi mäi  l  n víi X   A; B  , k  n víi mäi  l  n Rõ ràng 0  x   0  x   voi x   A; B  dựa vào hệ thức truy hồi để tính   x  , , n  x  0  x  , , n  x  Chú ý  k  x     k  x   dãy không gian bị chặn (bởi 1), nên n   tồn   x   lim  n  x  ,   x   lim  n  x  n n Khi ta có hệ   x   p  x  1  q  x  1    A   1,   B      x   p  x  1  q  x  1     A  0,   B   Từ phương trình ta tính được:  Trường hợp p  q, p   0;1 ta có q / p  q / p   x  B A q / p  q / p x A q / p  q / p    x  B A q / p  q / p B  Trường hợp p  q  B ta có Bx B A x A   x  BA   x  q / p 1   0  B A q / p  q / p A 1 q / p   0  B A q / p  q / p x B B A A   0  BA   0  34 Kết luận: Khi cho phép số ván chới lớn tuỳ ý với công thức ta có    x  xác suất thua (hết vốn) đấu thủ thứ (có vốn ban đầu x  A )   x  xác suất thua (hết vốn) đấu thủ thứ hai (có vốn ban đầu B  x )    x     x   1, x   A, B , p   0;1 Nhận xét 1) Nếu x  (tức vốn ban đầu đấu thủ thứ –A đấu thủ thứ hai B) xác suất thua đấu thủ thứ q / p 1     0  B A q / p  q / p B Khi p  q (tức khả chơi đấu thủ thứ đấu thủ thứ hai), ta hay đổi tiền thắng ván chơi , tức 1 1   P  i    p, P  i     q xác suất thua người thứ 2 2    q / p 1  q / p 1  q / p  1 1  2B 2A B A B A q / p  q / p q / p  q / p q / p   q / p  2B B q / p 1    B A q / p  q / p B B Chú ý ( p  q, A  0) Do đó, đấu thủ thứ chơi đấu thủ thứ hai việc tăng tiền thắng ván lên hai lần giảm xác suất thua 2) Nếu đấu thủ thứ có vốn –A, đấu thủ thứ hai có vốn B   xác suất thua đấu thủ thứ  1 A   q / p    0   35 pq pq Và xác suất để đấu thủ thứ không bao giời hết tiền (nghĩa trò chơi tiếp tục mãi)   0      Chú ý kết sau chứng minh 1) Tốc độ hội tụ  n   n   đến    n   n   n   đến   n   nhanh Cụ thể tồn    0; 1 cho     n   n    n   n , với n đủ lớn 2) Đại lượng mk  x   E kx độ dài trung bình chơi Bằng lập luận ta tính Với p  q m  x   Với p  q   B  x   A  x   x  pq  m  x    B  x  x  A Đặc biệt hai đấu thủ có vốn ban đầu (tức B   A ) m    B Như vậy, chẳng hạn ván chơi có tiền thắng 1$, trò chơi trung bình kết thúc ván thứ m    1002  10000 Bài toán trò chơi nhiều toán lý thuyết khác lý thuyết xác suất liên quan đến quỹ đạo trình ngẫu nhiên 3.1.5 Mô hình phục vụ đám đông (lý thuyết xếp hàng) Giả sử có cửa hàng phục vụ Khách đến xếp hàng chờ phục vụ cửa hàng phục vụ khách Khi có khách cửa hàng phục vụ ngay, khách cửa hàng chờ khách đến để phục vụ Khi cửa hàng phục vụ khách đó, khách tới ngồi chờ Giả sử chu kỳ thời gian, cửa hàng phục vụ khách giả sử số khách đến cửa hàng chu kỳ thứ n biến ngẫu nhiên  n có phân phối xác suất sau: xác suất để có k khách hàng tới chu kỳ cho công thức P n  k  ak ; k  0,1, 2, ; ak  0,  ak  k (Phân phối độc lập n) Ta giả thiết 1 , 2 , biến ngẫu nhiên độc lập Như vậy,  n  dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Trạng thái hệ (cửa 36 hàng) thời điểm đầu chu kỳ số khách xếp hàng chờ phục vụ Nếu hệ trạng thái i sau chu kỳ hệ rơi vào trạng thái i    j  i 1 i0 khi (  biến ngẫu nhiên có phân phối  ak  trên) Ta ký hiệu X n số khách thời điểm xuất phát chu kỳ n Khi X n1   X n  1  n  với X   max  0, X  Rõ ràng X n xích Markov (thuần nhất) với không gian trạng thái E  0;1;2;  ma trận chuyển  a0 a  P0  0  a1 a1 a0 0 a2 a2 a1 a0 a3 a3 a2 a1 a0 a4 a3 a3 a2 a0 .      Ta ý E   kak số trung bình khách đến kỳ phục vụ Bằng trực giác ta cảm nhận E  số người xếp hàng (chờ phục vụ) ngày tăng Nếu E  số người xếp hàng đạt trạng thái cân theo nghĩa sau lim P( X n  k | X  j )   k  0; k  0,1,2, , n  k 1 Trong mô hình có hai đại lượng quan trọng cần tính đến Đó là:   xác suất khách, tức tỉ lệ thời gian cửa hàng khách so với thời gian cửa hàng mở cửa  Thời gian trung bình khách cửa hàng  1  k  k 3.2 Một vài toán cụ thể Xích Markov 3.2.1 Bài toán chuyển (Anton-Kolman (1978)) Ta xét công ty taxi thành phố V, ta chia thành phố thành ba khu vực V1 , V2 V3 Một xe taxi đón đưa khách đến đâu 37 ba khu vực Ta xem xe taxi hệ vật lý S ba trạng thái: khu vực V1 , V2 V3 Giả sử công ty khảo sát xe taxi hướng đến cấu trúc xich Markov với ba trạng thái Xích Markov có ma trận P ví dụ sau:  0,5 0, 0,1  P   0,3 0,6 0,1  0, 0,1 0,7  Ma trận quy, tối giản không tuần hoàn, với tất phần tử cửa điều dương Từ ma trận xác suất chuyển ta phân bổ số lượng xe taxi cho ba khu vực cho phù hợp để đáp ứng nhu cầu khách khu vực 3.2.2 Vấn đề quản lý công ty bảo hiểm Một công ty bảo hiểm phân loại khách hàng thành ba nhóm: G0 : Khách hàng không xảy tai nạn năm G1 : Khách hàng xảy lần tai nạn năm G2 : Khách hàng bị tai nạn nhiều lần năm Ban thống kê công ty quan sát thấy sử chuyển đổi hàng năm ba nhóm khách hàng mô tả xích Markov với không gian trạng thái có ba trạng thái G0 , G1 , G2 có ma trận xác suất chuyển sau: 0,85 0,1 0,05 P   0,8 0,   0  Ta giả sử năm công ty đưa 50000 hợp đồng muốn biết phân phối hợp đồng bốn năm Sau năm, nhóm có kết trung bình sau:  Nhóm G0 : 50000  0,85  42500  Nhóm G1 : 50000  0,1  5000  Nhóm G2 : 50000  0,05  2500 38 Các kết phân tử dòng ma trận P nhân với 50000 Sau hai năm, nhân phân tử đầu dòng ma trận P với 50000 ta được:  Nhóm G0 : 36125  Nhóm G1 : 8250  Nhóm G2 : 5625 Tính toán tương tự ta đưa ra: Bảng số lượng khách hàng nhóm sau năm năm Sau năm Sau năm G0 30706 26100 G1 10213 11241 G2 9081 12659 Dạng xích Markov với ma trận xác suất chuyển P, có lớp {1;2} thời lớp{3} hấp thụ Như ta có ma trận giới hạn 0 1 P  0 1 0 1 Ma trận giới hạn giải thích là: bất chấp thành phần ban đầu nhóm, khách hàng kết thúc hợp đồng xảy hai tai nạn 3.2.3 Hệ thống sƣởi Một điều tra hệ thống sưởi cho hộ (sử dụng nhiên liệu dầu hoả, gas điện) chuyển từ hệ sang hệ khác mô tả xích Markov với ba trạng thái: 1- Nhiên liệu dầu hoả 2- Gas 3- Điện Giả sử theo tổng kết công ty, ta có ma trận xác suất chuyển sau:   0,825 0,175 P   0,6 0,919 0,021 0,049 0,951 Nếu phân phối thời hệ thống sưởi 26% dầu, 60% gas 14% điện, phân phối cuối thị trường nào? Để giải vấn đề ta cần tính toán giá trị tiệm cận P 39 Sơ đồ chuyển liên quan đến P cho ta ma trận tối giản không tuần hoàn Ta thiết lập phương trình sau:  j    k pkj  kE    i   kE Giải hệ phương trình ta 1  0,244;   0,529,   0,277 Như lâu dài ta có 24% dụng nhiên liệu dầu, 53% dụng gas 28% dụng điện 3.2.4 Markov dự báo toán nợ công ty Phòng tài vụ công ty có trách nhiệm theo dõi toán nợ khách hàng cho Công ty Các khách hàng Công ty phân biệt thành bốn loại: Loại 1: trả tất nợ Loại 2: nợ khó đòi toán sau tháng Loại 3: nợ toán vòng tháng Loại 4: nợ toán vòng tháng đến tháng Bảng Bảng chuyển đổi loại nợ từ đến tháng Tháng Tháng Trả liền Nợ khó đòi Trả tháng Trả từ 1-3 tháng Trả liền 0 Nợ khó đòi 0 Trả tháng 0,6 0,2 0,2 Trả từ 1-3 tháng 0,4 0,1 0,3 0,2 Ma trận chuyển 0    0   P  0,6 0, 0,    0, 0,1 0,3 0,  Từ P ta có 1  I   0  0 0 O  0 0 0,6  A  0, 0,1 40 0, 0, 2 B   0,3 0, 2 Ma trận xác suất hấp thụ F 1,38 0,34 1 F   I  B    0,52 1,38  Ma trận dự báo nợ khó đòi 1,38 0,34 0,6  0,97 0,03 FA      0,52 1,38  0, 0,1  0,86 0,14  Hàng ma trận FA cho biết xác suất khách hàng loại trở thành khách hàng loại 97% thành khách hàng loại 3% Hàng thứ hai biểu diễn cho trạng thái không thu hút thứ Với loại khách hàng thứ có 86% trở thành khách hàng loại 14% trở thành khách hàng loại Ngoài ma trận F cho biết thông tin sau:  Tổng phân tử hàng thứ 1,72 thời gian trung bình nợ dạng loại trả qua qua trước rơi vào trạng thái hấp thụ, tức trở thành trả liền nở khó đòi  Tổng phân tử hàng thứ hai F có ý nghĩa tương nợ trả từ 1-3 tháng  Trong ma trận F, Phân tử nằm hàng cột cho biết thời gian trung bình mà nợ loại trạng thái nợ loại trước rơi vào trạng thái hấp thụ 1,38 tháng Phân tử hàng cột hai cho biết thời gian trung bình mà nợ loại trạng thái nợ loại trước rơi vào trạng thái hấp thụ 0,34 tháng  Các phân tử nằm hàng hai ma trận F có ý nghĩa tương tự nợ loại 3.2.5 Mô hình phân chia thị trƣờng Giả sử có N cửa hàng bán sản phẩm Khách hàng mua hàng N hàng này, việc lựa chọn hàng tuỳ theo sở thích khách hàng họ bỏ cửa hàng đến cửa hàng (vì lý đó) Các cửa hàng cạnh tranh (quảng cáo, khuyến mại,…) để lôi kéo khách hàng Giả sử khu phố có 1000 khách hàng mua sắm hàng A, B C Giả sử giai đoạn đầu số khách hàng vào cửa hàng A, B C mua sắm 200, 500 300 Sau giai đoạn (chẳng hạn tháng), tình hình thay đổi, hàng giữ khách, thêm khách 41 khách Sự chuyển đổi khách hàng cửa hàng cho bảng 3.3 Bảng 3: Sự chuyển đổi khách hàng cửa hàng từ giai đoạn sang giai đoạn Thu từ cửa hàng Mất cho cửa hàng Khách Khách CH 3 giai đoạn giai đoạn 1 200 35 25 20 20 220 500 20 20 35 15 490 300 20 15 25 20 290 Gọi X phân chia khách hàng giai đoạn đầu cửa hàng (E=1; 2; 3) với 1000 khách hàng Ta có xác suất chuyển sau 160  0,8; 200 35 p21   0,07; 500 25 p31   0,08; 300 p11  20  0,1; 200 450 p22   0,9; 500 20 p32   0,07; 300 p12  20  0,1 200 15 p23   0,03 500 255 p33   0,85 300 p13  Với số liệu trên, ta lập mô hình xích Markov với: Không gian trạng thái cửa hàng E  1;2;3 , phân phối ban đầu    0,2; 0,5; 0,3 ma trận chuyển 0,1 0,1   0,8  P  0,07 0,9 0,03  0,08 0,07 0,85 Nhờ mô hình ta tính    0,1 0,1   0,8    P  0, 0,5 0,3 0,07 0,9 0,03  0, 22 0, 49 0, 29  0,08 0,07 0,85 (ta trở lại số liệu khách hàng giai đoạn 2)   2  0,8 0,1 0,1    P  0,22 0,49 0,29 0,07 0,9 0,03  0,234 0,483 0,283  0,08 0,07 0,85 1 42 Vậy, ta dự báo giai đoạn 3: cửa hàng có 234 khách hàng, cửa hàng có 483 khách hàng cửa hàng có 283 khách hàng Tìm cân thị trƣờng Để dự báo phân chia thị trường tương lai ta cần tính   n1    n P Nếu tương lai thị trường cân (nghĩa cửa hàng có lượng khách hàng ổn định)       n lớn Đó lý ta phải tìm phân phối dừng, tức nghiệm không âm hệ phương trình sau n1 n 0,8 x1  0,07 x2  0,08 x3  x1 0,1x  0,9 x  0,07 x  x   0,1x1  0,03x2  0,85 x3  x3  x1  x2  x3 1 tức tương lai cửa hàng có lượng khách ổn định 272, cửa hàng có lượng khách ổn định 445 cửa hàng có lượng khách ổn định 273 Trên thực tế có cửa hàng phục vụ tốt đến mức khách hàng đến mua hàng cửa hàng không chuyển sang cửa hàng khác Cửa hàng (trạng thái) gọi chỗ trũng (hay trạng thái hút, trạng thái hấp thụ) Chẳng hạn, ma trận xác suất chuyển  0,9 0,05 0,05 P  0,15 0,75 0,1   0  cửa hàng dần chiếm lĩnh toàn thị trường  p31  p32  0; p33  1 Vậy chỗ trũng (hay trạng thái hút) Nếu ma trận xác suất chuyển 0,9 0,05 0,05 P   0,5 0,5   0,5 0,5  tức p21  p31  cửa hàng hết khách hàng, lại cửa hàng chiếm lĩnh thị trường Đây chỗ trũng gồm hai trạng thái 43 3.2.6 Dự báo tăng trƣởng kinh tế Việt Nam Thực kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội nước năm 2013 nhiều điều kiện khó khăn tác động khủng hoảng tài giới suy thoái kinh tế toàn cầu, khí hậu có nhiều khó khăn không thuận lợi cho việc phát triển nông nghiệp thu hút đầu tư gặp nhiều khó khăn… Tuy nhiên lãnh đạo Đảng, đạo Chính phủ giám sát quan cấp triển khai nhiều giải pháp vượt qua khó khăn nhằm thực mục tiêu nhiệm vụ đề năm 2013 đạt kết số lĩnh vực Cụ thể cấu kinh tế GDP nước sau: khu vục I (khu vực nông lâm thuỷ sản) chiếm 18,38%, khu vực II (khu vực công nghiêp) chiếm 38,31%, khu vực III (khu vực dịch vụ) chiếm 43,31% Trong năm 2014 thực kế hoạch đầu tư phát triển kinh tế - xã hội nước có thay đổi cấu kinh tế GDP nước Cụ thể sau: khu vục I chiếm 18,12%, khu vực II chiếm 38,5% khu vực III chiếm 43,38% Ta ký hiệu : tỷ trọng nông lâm thuỷ sản, tỷ trọng công nghiệp xây dựng, tỷ trọng dịch vụ thay đổi cấu kinh tế thể 18,12 0,19 0,07    38,31    0 43,31 Như ta có xác suất chuyển sau: 18,12 0,19 0,07  0,986 p12   0,01 p13   0,004 18,38 18,38 18,38 38,31 p21  0 p22  1 p23  0 38,31 38,31 38,31 0 43,38 p31  0 p32  0 p33  1 43,38 43,38 43,38 p11  Ta mô hình xích Markov sau  Không gian trạng thái E  1, 2, 3  Phân phối ban đầu   0,1838 0,3831 0,4331 44 0,986 0,01 0,004   Ma trận xác suất chuyển P      0  Dự đoán cấu kinh tế năm 2015  1 0,986 0,01 0,004  =  P = 0,1838 0,3831 0,4331    0,181 0,385 0,434  0  Dự đoán cấu kinh tế năm 2016 0,986 0,01 0,004  2  2  =  P = 0,1838 0,3831 0,4331    0,178 0,387 0,435  0  Như cấu kinh tế Việt Nam năm 2016, tỷ trọng nông nghiệp 17,8%, tỷ trọng công nghiệp 38,7% tỷ trọng dịch vụ 43,5% 3.2.7 Chính sách thay vật tƣ thiết bị Trong hệ thống điện kỹ thuật, thiết bị loại tình trạng sau đây: vừa thay, tốt, dùng được, bị hỏng Theo số liệu thống kê được, ta có ma trận xác suất chuyển sau: 0 0,8 0,  0 0,6 0,   P 0 0,5 0,5   0  1 đó, sau tuần (xem hàng đầu ma trận P) có 0%, 80%, 20% 0% số thiêt bị thay chuyển sang tình trạng thay, tốt, dùng bị hỏng Các hàng khác ma trận P giải thích cách tương tự Ta tìm phân phối dừng  phương pháp biết Xuất phát từ         P , cho qua giới hạn hai n   ta có:     P , hay   ( I  P)  n1 n Do P ma trận đặc biệt (ma trận chuyển xác suất) nên ma trận suy biến Khi viết dạng hệ phương trình (4 ẩn phương trình) ta phải loại bớt phương trình đi, thêm vào hệ thức 1        ràng buộc  k  (k  1, 2, 3, 4) Kí hiệu x1  1 , x2   , x3   , x4   ta có hệ 45  x1  x4    0,8 x1  0, x2   x1  x4  0, x1  0, x2  0,5 x3    0,5 x  x  x  x  3    x1  x2  x3  x4  1 Vậy phân phối dừng    6 3 1  Giả sử chi phí thay thiết bị 25 nghìn (đồng) thất thu thiết bị hỏng 18,5 nghìn, tuần hệ thống trung bình 1 thiết bị số tiền là:  25   18,5  7, 25 nghìn /thiết bị /tuần 6 Ta xét phương án thứ hai cho việc thay vật tư thiết bị với ma trận xác suất chuyển trạng thái sau 0 0,8 0,  P  0 0,6 0,  1 0  Ma trận tương ứng với sách thay vật tư thiết bị là: thay thiết bị kiểm tra phát thiết bị tình trạng dùng Điều dẫn đến việc giảm thất thu thiết bị hỏng gây nên Thật vậy, ứng với ma trận P phân phối dừng   1/ 1/ 1/ 4 Lúc tuần hệ thống trung bình thiết bị là: 1/   25  18,5  6,25 nghìn /thiết bị /tuần Như hệ thống tiết kiệm nghìn /thiết bị /tuần Nếu hệ thống có 2000 thiết bị, nhờ sách thay vật tư mới, tuần hệ thống tiết kiệm triệu (đồng) 46 KẾT LUẬN VÀ ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU Trong luận văn em làm số công việc sau: (i) Tổng kết cách có hệ thống, logic vấn đề liên quan đến xích markov (ii) Tìm hiểu mô hình toán cụ thể ứng dụng xích markov cho nhiều lĩnh vực khác thực tế Xích Markov lĩnh vực liên quan đến vấn đề xác suất, đại số giải tích Những vấn đề trình bày luận văn mang tính tổng kết ban đầu Vì thời gian tới em tiếp tục nghiên cứu sâu vấn đề này, đặc biệt mô hình ứng dụng cụ thể lĩnh vực khác địa phương 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Hữu Lộc (2013), Đại Số Tuyến Tính, NXB Đại học Cần Thơ [2] Võ Văn Tài, Dương Thị Tuyền (2013), Xác suất thống kê, NXB Đại học Cần Thơ [3] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Hải Thanh, Phân tích Markov ứng dụng, Tham khảo tại, http://voer.edu.vn/c/phan-tich-markov-va-ung-dung/197e4e6e/cedb861c [5] Kiều Ngọc Thuận (2013), Ứng dụng trình Markov trình thi đại học, luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán thống kê Trường Đại học Cần Thơ 48 [...]...  0  0 1 / 2  1 0  21 0 P2  Xích này có 5 trạng thái: E  1, 2,3, 4,5 Theo cách phân lớp trên thì E  E1  E2 , E1  1,2 , E2  3,4,5 và ta có thể xem E1 và E2 là không gian trạng thái của xích markov với ma trận chuyển tương ứng là P1 và P2 Như vậy việc nghiêm cứu xích Markov có thể quy về việc nghiên cứu xích Markov tối giản Ví dụ 2.8: Cho xích Markov với ma trận xác suất chuyển 0...  và i0 , , in1 , i, j  E Ta xem tn là hiện tại, tn 1 là tương lai,  t0 , t1 , , tn1  là quá khứ E là không gian trạng thái của X  t  E gồm N phần tử Nếu X  t  có tính Markov và E đánh số được (đếm được) thì X  t  được gọi là xích Markov 10 Nếu t = 0, 1, 2,… thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc hay xích Markov rời rạc, còn nếu t  0,   thì ta có khái niệm xích Markov. .. 0 Xét xích Markov rời rạc và thuần nhất với ma trận chuyển P   pij  N N Phân phối Π = 1 ,  2 , ,  N  được gọi là dừng nếu Π = 1 ,  2 , ,  N  thoả mãn điều kiện    I  P   0 Ta thấy ngay được, phân phối dừng không phụ thuộc vào Π   mà chỉ phụ thuộc vào ma trận P 0 Như vậy, Mô hình của một xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba  X n , Π , P  Áp dụng mô hình xích Markov. .. tự do B lần lượt vào cột 1, cột 2 và cột 3 ta có: 9 2 1 9 5 5 det( A1 )  2 1 3  48 , det( A2 )  1 2 3  72 , 25 6 1 3 25 1 1 9 2 det( A3 )  1 1 2  24 3 6 25  x1  2  Áp dụng công thức x j  , j  1 n ta có  x2  3 det( A)  x  1  3 det( Aj ) 9 Chƣơng 2 XÍCH MARKOV 2.1 Tính Markov và xích Markov Đâu thế kỷ XX, A.A Markov (14/06/1856-20/07/1922) – nhà Toán học và Vật lý nổi tiếng... n  1,2,3,  là xích Markov Đặc biệt: Nếu trong ví dụ 2.2 cho 0 , 1 , , n , là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lâp và cùng phân phối xác suất, thì n ; n  0,1,2,  là xích Markov thuần nhất và ngược lại Trong ví dụ 2.3 cho 1 ,2 , n , là dãy đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, độc lập và có cùng phân phối xác suất thì  X n ; n  1,2,3,  là xích Markov thuần nhất Thật vậy bằng lập luận trên ta có... từ i trở về i tại thời điểm hữu hạn nào đó 27 Chƣơng 3 ỨNG DỤNG CỦA XÍCH MARKOV 3.1 Một số mô hình ứng dụng xích Markov 3.1.1 Mô hình kiểm kê (Inventory Model) Giả thiết phải dự trữ trong kho một loại hàng nào đó để đáp ứng nhu cầu liên tục của khách hàng Hàng được nhập kho tại cuối các chu kỳ n  0,1,2, Giả sử tổng số lượng hàng cần phải đáp ứng nhu cầu trong chu kỳ n là biến ngẫu nhiên  n có phân... với xác suất bao nhiêu? Nếu xác suất này phụ thuộc vào s, t, i, j thì điều này có nghĩa là: sự tiến triển của hệ trong tƣơng lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ Đó là tính Markov Hệ có tính chất này được gọi là quá trình markov 2.1.2 Xích Markov Về phương diện toán học, tính Markov có thể được định nghĩa sau: Ta nói X  t  có tính Markov nếu: P  X  tn1   j | X  t0   i0 , ,... toán học để mô tả chuyển động của các phân tử chất lỏng trong bình kín Về sau mô hình này được phát triển và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ học, sinh học, y học, kinh tế, v.v… và được mang tên quá trình Markov Xích Markov là một quá trình Markov có hữu hạn trạng thái 2.1.1 Quá trình Markov Ta cần nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ vật lý hoặc sinh thái nào đó (có thể là... của xích Markov mới với ma trận xác suất chuyển là  p   d ij ijCk xích này tối giản và không có chu kỳ Thế là, ta có thể quy việc nghiên cứu xích Markov tối giản, không có chu kỳ Định lý 2.4 (i) Nếu i có chu kỳ d  i  thì tồn tại số nguyên N phụ thuộc vào i sao cho với n  N ta có pii nd  i   (ii)  0 Nếu pji   0 thì pji m m  nd  i    0 với mọi n đủ lớn 2.4.3 Trạng thai hồi quy và. .. 2  1  a 1  b       Từ phương trình thứ nhất và phương trình thứ tư ta được  a  b  1 2     1  a  b  1    1 Khi 1      2 , từ phương trình thứ hai và thứ ba ta có 1  1  a  1    1  0 khi i  j  2.3 Xích Markov có hữu hạn trạng thái 2.3.1 Xích Markov hai trạng thái Ta xét trường hợp đơn giản nhất của xích Markov: không gian trạng thái E của  X n  gồm hai phần