3. Học bạn hỏi thầy Sai lầm chết người của các em đó là cho rằng mình đã hiểu đã biết cách làm, đến khi vào phòng thi gặp bài toán tương tự thì không làm được. Khi làm xong một bài toán, chúng ta nên đặt ngược lại những câu hỏi: vì sao phải thế này mà không phải thế khác? Còn cách nào khác không? Bài toán này có những biến thể nào nữa không? Tại sao là dấu suy ra mà không phải dấu tương đương?...
Mục lục Lời nói đầu Các thành viên tham gia biên soạn Bất đẳng thức thường dùng Bài đến 20 Bài 21 đến 40 20 Bài 41 đến 60 32 Bài 61 đến 80 46 Bài 81 đến 100 56 Bài 101 đến 120 63 Bài 121 đến 140 71 Bài 141 đến 160 81 Bài 161 đến 180 92 10 Bài 181 đến 200 102 11 Bài 201 đến 220 114 12 Bài 221 đến 240 123 13 Bài 241 đến 260 132 14 Bài 261 đến 280 142 15 Bài 281 đến 300 152 16 Bài 301 đến 320 163 17 Bài 321 đến 340 175 18 Bài 341 đến 360 189 19 Bài 361 đến 380 198 20 Bài 381 đến 400 208 http://boxmath.vn/ Lời nói đầu Chinh phục khó khăn đem lại cho người ta niềm vui sướng thầm lặng, điều có nghĩa đẩy lùi đường ranh giới tăng thêm tự thân Quyển sách đến với bạn bắt nguồn từ câu triết lí Với mong muốn đem lại niềm yêu thích say mê cho bạn mảng toán khó chương trình toán học trung học phổ thông ẩn chứa biết điều thú vị đam mê Đó toán “Bất đẳng thức” Quyển sách bạn đọc tổng hợp từ toán hay cách giải thật đơn giản sử dụng “chất liệu” thường gặp chương trình trung học phổ thông, lại mang đến hiệu điều thú vị đến bất ngờ mà ban quản trị diễn đàn biên tập lại từ toán bất đẳng thức diễn đàn, nhằm mang lại cho bạn tài liệu học tập tốt Và ban biên tập xin gửi lời cảm ơn chân thành kính trọng tới thầy giáo Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải – Ninh Thuận nhiệt tình hỗ trợ kĩ thuật Latex, đồng thời cảm ơn bạn tham gia gửi bài, giải diễn đàn Chính nhiệt huyết bạn đem đến đời sách Mỗi bước để dẫn đến thành công lĩnh vực sống gắn kết với đam mê, tìm tòi, học hỏi chắt lọc kinh nghiệm Vì qua sách hy vọng bạn tìm cho cần thiết cho hướng giải toán bất đẳng thức Để có điều bạn xem sách người bạn đọc sách bạn đối ngẫu say mê với người bạn tri kỷ vậy! Và sách mong muốn mang đến cho thầy cô có thêm tư liệu để phục vụ việc giảng dạy gieo cho học sinh niềm yêu thích đam mê toán bất đẳng thức Mặc dù có cố gắng tập trung cao độ việc biên tập chắn sai xót, mong bạn đọc thông cảm gửi chia sẻ sách để ban biên tập có thêm ý kiến quý báu để hoàn thiện sách Mọi chia sẻ bạn xin gửi địa liltee_tm@yahoo.com.vn Thay mặt nhóm biên soạn, xin chân thành cảm ơn Thái Bình, ngày 29 tháng 10 năm 2011 Đại diện nhóm biên soạn Chủ biên Tăng Hải Tuân - Lil.Tee http://boxmath.vn/ Các thành viên tham gia biên soạn Nội dung • Tăng Hải Tuân - A12 [2008 - 2011] - THPT Nguyễn Đức Cảnh - TP Thái Bình • Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp • Tạ Hồng Quảng - TP Hồ Chí Minh - Vũng Tàu • Nguyễn Quốc Vương Anh - A1 [2008 - 2011] - THPT Ninh Giang - Hải Dương • Đặng Nguyễn Duy Nhân - A1 [2009 - 2012] - THPT Sào Nam - Quảng Nam • Giang Hoàng Kiệt - A6 [2009 - 2012] - THPT Mạc Đĩnh Chi - TP Hồ Chí Minh • Trần Quốc Huy - THPT Phan Đình Phùng - Phú Yên • Nguyễn Văn Thoan - Nam Định • Nguyễn Khắc Minh - [2009 - 2012] - Trường THPT Kiến Thụy - Hải Phòng • Uchiha Itachi - TP Hồ Chí Minh LATEX Hỗ trợ kĩ thuật Latex • Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận • Tăng Hải Tuân - A12 [2008 - 2011] - THPT Nguyễn Đức Cảnh - TP Thái Bình • Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp • Tạ Hồng Quảng - TP Hồ Chí Minh - Vũng Tàu • Đặng Nguyễn Duy Nhân - A1 [2009 - 2012] - THPT Sào Nam - Quảng Nam Trình bày bìa • Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp http://boxmath.vn/ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT I Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức AM-GM cho số Cho a, b số thực không âm Khi bất đẳng thức sau đúng: √ a + b ≥ ab Đẳng thức xảy a = b Bất đẳng thức AM-GM cho số Cho a, b, c số thực không âm Khi bất đẳng thức sau đúng: √ a + b + c ≥ 3 abc Đẳng thức xảy a = b = c II Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Nếu a, b, c, x, y, z số thực tùy ý (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) a b c Đẳng thức xảy = = (qui ước: mẫu tử 0) x y z Hệ quả: Nếu a, b, c số thực x, y, z số dương thì: a2 b c (a + b + c)2 + + ≥ x y z x+y+z 1 • + ≥ x y x+y 1 • + + ≥ x y z x+y+z • III Bất đẳng thức Véc tơ − − − Xét vec tơ → u = (a; b), → v = (x; y), → w = (m; n) → − → − → − → − Ta có | u | + | v | ≥ | u + v |, √ a2 + b2 + x2 + y ≥ (a + x)2 + (b + y)2 − − Đẳng thức xảy → u → v hướng → − → − → − → − − − Ta có | u | + | v | + | w | ≥ | u + → v +→ w |, √ √ a2 + b2 + x2 + y + m2 + n2 ≥ (a + x + m)2 + (b + y + n)2 − − − Đẳng thức xảy → u, → v → w hướng http://boxmath.vn/ III Bất đẳng thức Holder Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p số thực dương Khi ta có (a3 + b3 + c3 ) (x3 + y + z ) (m3 + n3 + p3 ) ≥ (axm + byn + czp)3 Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a3 x3 m3 + + ≥ a3 + b3 + c3 x3 + y + z m3 + n3 + p3 3axm (a3 + b3 + c3 ) (x3 + y + z ) (m3 + n3 + p3 ) Thiết lập biểu thức tương tự với (b, y, n) (c, z, p) cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy biến Chú ý: Bất đẳng thức Holder không học chương trình toán phổ thông, nên thi phải chứng minh IV Một số bất đẳng thức hay sử dụng Với a, b, c, x, y, z số không âm Khi ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (a + b + c)2 a + b + c ≥ 3 (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca) 2 x2 y + y z + z x2 ≥ xyz(x + y + z) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a2 + b2 + c2 ) (a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(b + c)(c + a) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Lời giải: Bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ (ab + bc + ca) ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ Đẳng thức xảy a = b = c (a + b + c)2 a +b +c ≥ 2 Lời giải: Bất đẳng thức theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 12 + 12 + 12 a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 Đẳng thức xảy a = b = c http://boxmath.vn/ (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Đẳng thức xảy a = b = c x2 y + y z + z x2 ≥ xyz(x + y + z) Lời giải: Bất đẳng thức ta đặt a = xy, b = yz, c = zx bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Đẳng thức xảy x = y = z y = z = x = y = z = x = (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) Lời giải: Bất đẳng thức ta đặt a = xy, b = yz, c = zx bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Đẳng thức xảy x = y = z y = z = x = y = z = x = 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a2 + b2 + c2 ) Lời giải: Bất đẳng thức theo bất đẳng thức Holder ta có: 13 + 13 + 13 a3 + b + c a3 + b + c ≥ √ 13 a3 a3 + √ 13 b3 b3 + √ 3 13 c3 c3 = a2 + b + c Đẳng thức xảy a = b = c (a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(b + c)(c + a) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có √ √ √ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ ab.2 bc.2 ca = 8abc Do (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc + (a + b)(b + c)(c + a) ≤ + (a + b)(b + c)(c + a) Đẳng thức xảy a = b = c V Một số đẳng thức đáng nhớ • (x + y)(y + z) + (y + z)(z + x) + (z + x)(x + y) = (x + y + z)2 + xy + yz + zx • (x + y) (y + z) (z + x) + xyz = (x + y + z) (xy + yz + zx) • x2 + y + z = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) • x3 + y + z = (x + y + z)3 − 3(x + y)(y + z)(z + x) http://boxmath.vn/ Bài đến 20 Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 b + b c + c a2 ≥ a2 b c Tìm giá trị nhỏ của: b2 c c a2 a2 b + + A= c (a + b2 ) a3 (b2 + c2 ) b3 (c2 + a2 ) Lời giải: 1 Đặt x = , y = , z = a b c Khi giả thiết viết lại là: x2 + y + z ≥ x3 y3 z3 + + y + z z + x2 x2 + y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x(y + z ) = √ 2x2 (y + z )(y + z ) A= 2x2 + y + z + y + z ≤√ √ = x + y + z x2 + y + z Tương tự, ta có: √ 2 x2 + y + z x + y + z y(z + x ) ≤ √ z(x2 + y ) ≤ x2 + y + z x + y + z Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp đánh giá trên, ta thấy rằng: y3 z3 x3 + + A= y + z z + x2 x2 + y 2 (x2 + y + z ) ≥ x(y + z ) + y(z + x2 ) + z(x2 + y ) ≥ √ (x2 √ (x2 + y + z ) + y + z ) x2 + y + z x2 + y + z 2 √ ≥ √2 Mà x = y = z = √ A = √ Vậy giá trị nhỏ A x = y = z = √ Bài Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn của: 3y 1 3x M= + − 2− y(x + 1) x(y + 1) x y = Lời giải: Cách http://boxmath.vn/ Từ giả thiết √ √ √ √ 3xy − = x + y ≥ xy ⇔ ( xy − 1) (3 xy + 1) ≥ ⇔ xy ≥ ⇔ xy ≥ Và xy + x + y + = 4xy ⇔ (x + 1)(y + 1) = 4xy Ta có 3x y 3xy − x − − = = = y(x + 1) y y (x + 1) y (x + 1) y(x + 1) Suy M= 1 2xy + x + y 5xy − + = = y(x + 1) x(y + 1) 4x2 y 4x2 y 5t − với t = xy ≥ Ta có 4t2 20t2 − 8t(5t − 1) 8t − 20t2 f (t) = = ≤ với t ≥ 16t4 16t4 Vì hàm số nghịch biến với t ≥ ⇒ f (t)M AX = f (1) = t = ⇔ MM AX = x = y = Cách 1 Đặt = a, = b ⇒ a + b + ab = x y √ √ Ta có: = a + b + ab ≥ ab + ab ≥ a2 b2 ⇔ ab ≤ Suy Xét hàm số f (t) = M= ab ab a+1+b+1 − ab + = ab.( ) = ab a+1 b+1 ab + a + b + − (ab)2 − 2ab + + 3a + −(ab − 1)2 + 3ab + = ≤1 4 Dấu xảy a = b = Bài toán hoàn tất Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a+b+c (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≤ abc = Lời giải: Do bất đẳng thức nhấn nên ta chuẩn hóa a + b + c = Ta có bất đẳng thức tương đương 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 ≥ 64abc Dễ thấy (a + b)(b + c)(c + a) ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca) (biến đổi tương đương sử dụng AM-GM) nên ta (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc ⇔ (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Điều cuối đúng, phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c http://boxmath.vn/ Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a4 + b b4 + c c + a4 + + ≥3 + ab + bc + ca Lời giải: Ta có a4 + b = + ab sym sym 2(a4 + b4 ) ≥ + 2ab cyc a2 √ + + 2ab √ cyc b2 + 2ab Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz AM-GM ta có: cyc 2(a + b + c)2 2(a + b + c)2 a2 √ √ ≥ ≥ ≥ ab + bc + ca + 2 + 2ab 2 + 2ab Tương tự √ cyc b2 ≥ 2 + 2ab Cộng bất đẳng thức ta a4 + b + + ab b4 + c + + bc c + a4 ≥3 + ca Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a2 − bc ≥0 2a2 + b2 + c2 cyc Lời giải: Cách Ta có cyc 2a2 − 2bc = 2a2 + b2 + c2 cyc (a − c)(a + b) + (a − b)(a + c) 2a2 + b2 + c2 (a − c)( = cyc = cyc 2a2 a+b b+c − ) 2 +b +c 2a + b2 + c2 (a − c)2 (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥0 (2a2 + b2 + c2 )(2c2 + b2 + a2 ) Bất đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương − 2a2 − 2bc 2b2 − 2ac 2c2 − 2ab + − + − +1≥3 2a2 + b2 + c2 2b2 + a2 + c2 2c2 + a2 + b2 ⇔ cyc http://boxmath.vn/ (a + b)2 ≤3 2c2 + b2 + a2 Mặt khác (b + c)2 (b + c)2 b2 c2 = ≤ + 2a2 + b2 + c2 a + b + a2 + c a + b a2 + c Tương tự ta (a + c)2 a2 c2 ≤ + 2b2 + a2 + c2 b + a2 b + c Và (b + c)2 b2 c2 ≤ + 2a2 + b2 + c2 a2 + b a2 + c Cộng vế theo vế ta cyc (a + b)2 ≤3 2c2 + b2 + a2 Đó điều cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: √ a(b + c) ≥ 2abc cyc Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương b+c + 2bc c+a + 2ac Ta có a+b+c 1= a+b ≥3 2ab ≥ abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Suy (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8(abc)2 ⇔36 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) ≥3 8(abc)2 b+c + 2bc c+a + 2ac a+b ≥3 2ab Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: y z 2(x + y + z) + xy + 1+ ≥2+ √ xyz z x Lời giải: Ta có: 1+ ⇔ http://boxmath.vn/ x y 1+ y z 1+ z 2(x + y + z) ≥2+ √ xyz x x y z y z x 2(x + y + z) + + + + + ≥ √ xyz y z x x y z 10 Nên công việc trở chứng minh xyz(x + y + z) ≥ Thật dựa vào điều kiện ta có xyz ≥ nên bất đẳng thức theo AM-GM 27 Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy minP = Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp giả thiết, ta có 81 x4 y4 z4 + + (x + y + z)2 (xy + 1) (xz + 1) (yz + 1) (yx + 1) (zx + 1) (zy + 1) x4 y4 z4 = 2 + + x y z (xy + 1) (xz + 1) (yz + 1) (yx + 1) (zx + 1) (zy + 1) y2 z2 x2 + + =9 2 y z (xy + 1) (xz + 1) z x2 (yz + 1) (yx + 1) x2 y (zx + 1) (zy + 1) xy.xz yz.yx zx.zy =9 3 + 3 + 3 y z (xy + 1) (xz + 1) z x (yz + 1) (yx + 1) x y (zx + 1) (zy + 1) P ≥ 1 ,b = ,c = yz zx xy Từ điều kiện ta có a + b + c = Khi P viết lại Đặt a = P =9 b3 c3 a3 + + (1 + b) (1 + c) (1 + c) (1 + a) (1 + a) (1 + b) Áp dụng AM-GM : 1+b 1+c a3 + + ≥ a (1 + b) (1 + c) 8 1+c 1+a b + + ≥ b (1 + c) (1 + a) 8 c 1+a 1+b + + ≥ c (1 + a) (1 + b) 8 Từ ta có a3 b3 c3 3 + + + + (a + b + c) ≥ (a + b + c) (1 + b) (1 + c) (1 + c) (1 + a) (1 + a) (1 + b) 4 3 a b c ⇒ + + ≥ (1 + b) (1 + c) (1 + c) (1 + a) (1 + a) (1 + b) 27 27 Giá trị nhỏ P = đạt a = b = c = Bài 373 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh 1 1 + + ≤ 2 + a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) abc Vậy P ≥ Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: √ ab + bc + ca = ≥ a2 b2 c2 ⇔ abc ≤ Từ ta suy + a2 (b + c) ≥ a(ab + bc + ca) = 3a http://boxmath.vn/ 204 Tương tự biểu thức lại, ta có : cyc 1+ a2 (b + c) ≤ cyc 1 = 3a ab + bc + ca abc = abc Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 374 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh √ √ √ a + b − c + b + c − a + c + a − b ≤ Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1.1(1 + b − c) ≤ 3+b−c Từ ta có: √ √ √ 3 a 1+b−c+b31+c−a+c 1+a−b≤ a+ cyc ab − ac =1 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 375 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn x2 + y + z = Chứng minh rằng: y2 z2 x2 + + ≥ 23 + yz + zx + xy Lời giải: Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: y2 z2 (x2 + y + z ) x2 + + ≥ ≥ + yz + zx + xy + xyz(x + y + z) ≥ (xy + yz + zx) 3+ Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = Cách Ta có x2 y2 z2 x2 yz y zx z xy + + = x2 + y + z − + + + yz + zx + xy + yz + zx + xy ≥3− x (1 + yz) + y (1 + zx) + z (1 + xy) ≥ − (xy + yz + zx)2 12 2 x + y2 + z2 ≥ − 12 = Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = http://boxmath.vn/ 205 Bài 376 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ P = a2 + 2b2 + 5c2 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 P = a2 + b2 + b2 + 2c2 + 3c2 + a2 ≥ 2(ab + bc + ca) = 2 Đẳng thức xảy (a; b; c) = √ ;√ ;√ 11 11 11 Vậy minP = Bài 377 Cho a, b, c số thực dương thỏa a2 + b2 + c2 ≤ abc Tìm giá trị lớn a b c T = + + 6a2 + 6b2 + 6b2 + Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: T2 ≤ Mà a ≤ +9 a √ = 7 9a12 6a2 √ ≤ 49 9a5 + a 1 ab + bc + ca a2 + b + c + + = ≤ ≤1 a b c abc abc √ Đẳng thức xảy a = b = c = Từ ta suy T ≤ Bài 378 Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: 1 √ ≥3 +√ +√ 3 c + 3a a + 3b b + 3c Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a + 3b + + √ ≥ a + 3b Từ ta suy √ 3 ≥ a + 3b + a + 3b Chứng minh tương tự với hạng tử lại, sau cộng vế theo vế, ta có 1 √ +√ +√ ≥3 3 c + 3a a + 3b b + 3c 1 + + a + 3b + b + 3c + c + 3a + Đến đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 1 + + a + 3b + b + 3c + c + 3a + ≥ 27 =3 4(a + b + c) + Như 1 √ +√ +√ ≥3 3 c + 3a a + 3b b + 3c http://boxmath.vn/ 206 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 379 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: xy yz zx + + ≤ xy + z yz + x zx + y Lời giải: Sử dụng giả thiết x + y + z = bất đẳng thức AM-GM ta có: LHS = = = = ≤ xy yz zx + + xy + z (x + y + z) yz + x (x + y + z) zx + y (x + y + z) xy yz zx + + (z + x) (y + z) (x + y) (z + x) (y + z) (x + y) x y y z z x + + + + + z+x y+z x+y z+x y+z x+y x z y z y x + + + + + z+x z+x y+z y+z x+y x+y Bài toán chứng minh xong Bài 380 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = √ ab bc ca + + ≤ 2 2 2 2a + 3b + 2b + 3c + 2c + 3a + Đẳng thức xảy x = y = z = Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2a2 ab ab ab ab = ≤ ≤ 2 + 3b + 2(a + 1) + 3(b + 1) + 4a + 6b + 1 + 6b 4a + Đến đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ab ab ≤ 4a + 6b + 1 + 6b 4a + = a ab a ab + ≤ + 24 a + a + 24 1 + +1 a a = a b ab + + 24 36 72 Từ ta có ab a b ab ≤ + + + 3b + 24 36 72 Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp đánh giá trên, ta có 2a2 ab bc ca + + 2 + 3b + 2b + 3c + 2c + 3a2 + a b ab b c bc c a ca ≤3 + + + + + + + + 24 36 72 24 36 72 24 36 72 a + b + c a + b + c ab + bc + ca =3 + + ≤ 24 36 72 LHS ≤ 2a2 Như ab + 2a + 3b2 + bc + 2b + 3c2 + √ ca ≤ 2 2c + 3a + Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = http://boxmath.vn/ 207 20 Bài 381 đến 400 Bài 381 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: √ a2 b2 c2 + + ≤ a2 + b + c b2 + c + a c2 + a + b Lời giải: Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có a2 + b + c (1 + b + c) ≥ (a + b + c)2 ⇒ ⇒ a a+b+c a2 ≤ a2 + b + c a a+b+c a2 ≤ a2 + b + c ⇒ a2 ≤ a2 + b + c (1 + b + c) a (1 + b + c) a+b+c a a+b+c a (1 + b + c) (1) a+b+c Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: a a+b+c a (1 + b + c) a+b+c 2 (ab + bc + ca) ≤1+ a+b+c = + (a + b + c) ≤ + = 1 + Từ ta có a a+b+c a a+b+c ≤ a (1 + b + c) a+b+c 2(a + b + c)2 (a + b + c) (a2 + b2 + c2 ) = 3 a (1 + b + c) √ ≤ (2) a+b+c Kết hợp (1) (2) ta a2 + a2 + b + c b2 + b2 + c + a √ c2 ≤ c +a+b Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có •a+b+c≤ 3(a2 + b2 + c2 ) = = a2 + b2 + c2 • (1 + b + c)(a2 + b + c) ≥ (a + b + c)2 Từ ta có a2 a b c a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b) + + ≤ +b+c b +c+a c +a+b (a + b + c)2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≤ =1 (a + b + c)2 http://boxmath.vn/ 208 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz √ a √ a + b a2 + b + c ≤ (a + b + c) a2 √ b + c b2 + c + a c c2 + a + b a b c + + +b+c b +c+a c +a+b Căn bậc hai vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 382 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 √ +√ +√ 2 2 3a + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a2 + ≤ ≤ abc Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương abc + 3a + 4b2 + abc + 3b + 4c2 + √ abc ≤ 2 3c + 4a + Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 3a2 abc abc abc = ≤ 2 2 + 4b + a + b + 2a + + 3b + 2ab + 4a + 6b Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có abc abc ≤ 2ab + 4a + 6b 1 + ab + 3b ≤ abc 8.9 ac c abc ac +1+1 + = + + ab 24 72 36 24 Từ ta suy 3a2 c abc ac abc ≤ + + + 4b + 72 36 24 Thiết lập biểu thức tương tự, sau cộng vế theo vế, ta abc abc abc + + 3a2 + 4b2 + 3b2 + 4c2 + 3c2 + 4a2 + c abc ac a abc ba b abc bc ≤ + + + + + + + + 72 36 24 72 36 24 72 36 24 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có abc abc abc + + 2 + 4b + 3b + 4c + 3c + 4a2 + c abc ac a abc ba b abc bc + + + + + + + + ≤3 72 36 24 72 36 24 72 36 24 a + b + c 3abc ab + bc + ca =3 + + ≤ 72 36 24 LHS ≤ 3a2 Như abc + 3a + 4b2 + abc + 3b + 4c2 + √ abc ≤ 2 3c + 4a + Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = http://boxmath.vn/ 209 Bài 383 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh b c a + + ≥ abc + bc + ca + ab Lời giải: Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 + + ≥ ab (1 + ab) bc (1 + bc) ca (1 + ca) Để ý ta có phân tích sau: − 3ab (ab − 1)2 (3ab + 4) = + ab(1 + ab) 4ab(1 + ab) Thiết lập dương tự bc ca ta có: − 3bc (bc − 1)2 (3bc + 4) = + bc(1 + bc) 4bc(1 + bc) − 3ca (ca − 1)2 (3ca + 4) = + ca(1 + ca) 4ca(1 + ca) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta cyc 15 − 3(ab + bc + ca) (ab − 1)2 (3ab + 4) (ab − 1)2 (3ab + 4) = + ≥ + ≥ ab(1 + ab) 4ab(1 + ab) cyclic 4ab(1 + ab) cyclic Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có • (a + b + c)2 ≤ a2 + b2 + c2 = • (ab + bc + ca)2 ≤ a2 + b2 + c2 =9 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz a b c (a + b + c)2 (a + b + c)3 + + ≥ = + bc + ca + ab a + b + c + 3abc (a + b + c)2 + 3abc (a + b + c) (a + b + c)3 ≥ (a + b + c)2 + (ab + bc + ca)2 (a + b + c)3 ≥ 9+9 ≥ abc Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 384 Cho a, b, c √ số thực dương √ thỏa mãn a +√b + c = a2 − ab + b2 b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 + + ≥ a2 + b b2 + c c + a2 http://boxmath.vn/ 210 Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có √ (a + b) a2 + b2 − ab = (a + b)(a3 + b3 ) ≥ a2 + b2 Từ ta suy √ a2 − ab + b2 ≥ 2 a +b a+b Thiết lập tương tự, ta có √ √ b2 − bc + c2 ≥ 2 b +c b+c c2 − ca + a2 ≥ c + a2 c+a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có: √ √ √ a2 − ab + b2 b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 1 + + ≥ = + + ≥ 2 2 2 a +b b +c c +a a+b b+c c+a 2(a + b + c) Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 385 Cho số thực dương x, y, z Chứng minh x y z (x + y + z) + + ≥ 3(x2 + y + z ) y z x Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có x y z + + y z x (xy + yz + zx) ≥ (x + y + z)2 Mặt khác, theo AM-GM ta có: 3(xy + yz + zx) 3(x2 + y + z ) = ≤ 27(x2 + y + z )(xy + yz + zx)2 (x2 + y + z + 2xy + 2yz + 2zx)3 = (x + y + z)3 Nhân vế với vế hai bất đẳng ta có (x + y + z) x y z + + y z x ≥3 3(x2 + y + z ) Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z Bài 386 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 13x + 5y + 12z = Tìm giá trị lớn của: xy 3yz 6zx T = + + 2x + y 2y + z 2z + x Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2x + y 1 = + + ≥ xy y y x y+y+x http://boxmath.vn/ 211 Từ suy xy 2y + x ≤ 2x + y Tương tự ta có: 3yz 2y + z ≤ 2y + z 4x + 2z 6zx ≤ 2z + x Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có T ≤ 13x + 5y + 12z = Vậy giá trị lớn T Bài 387 Cho số dương a, b, √ c thoả mãn √ abc = Chứng minh √ a b c √ + √ ≥1 √ + 2+b a 2+c b 2+a c Lời giải: x √ y √ z , b= , c= y z x Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: Vì abc = nên ta đặt √ cyc a √ = 2+b a cyc √ a= x (xz)2 (xy + yz + zx)2 y ≥ = =1 y2 x 2xyz + (xy)2 (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz(x + y + z) cyclic + z y Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 388 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh √ ca ab 3 bc + + ≥ a (1 + bc) b (1 + ca) c (1 + ab) Lời giải: 1 Đặt a = , b = , c = giả thiết viết lại là: xy + yz + zx = x y z √ Dễ thấy x + y + z ≥ 3(xy + yz + zx) = Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có x y z (x + y + z)2 (x + y + z)3 + + ≥ = yz + zx + xy + 3xyz + x + y + z 3xyz(x + y + z) + (x + y + z)2 (x + y + z)3 (x + y + z)3 ≥ = (xy + yz + zx)2 + (x + y + z)2 + (x + y + z)2 √ √ √ x + y + z − 4(x + y + z)2 + 3(x + y + z)2 + 3 = + 4 + (x + y + z)2 √ 3 ≥ Bài toán chứng minh xong √ Đẳng thức xảy a = b = c = http://boxmath.vn/ 212 Bài 389 Cho x, y, z số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh rằng: y2 x2 z2 + + ≥1 xy + 2x2 zx2 + 2z yz + 2y Lời giải: Đặt x = a1 , y = 1b , z = Khi ta có: c giả thiết viết lại a + b + c = y2 x2 z2 a2 b2 c2 + + = + + xy + 2x2 zx2 + 2z yz + 2y a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 2ab2 2bc2 2ca2 =a+b+c− + + a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 √ √ √ 3 ≥a+b+c− a2 b + b c + c a2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có √ Tương tự a2 b = √ ab.ab.1 ≤ ab + ab + √ bc + bc + b2 c ≤ √ ca + ca + c a2 ≤ Từ ta có a+b+c− √ √ √ 3 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ a + b + c − (2ab + 2bc + 2ca + 3) ≥ Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = Bài 390 Cho a, b, c ∈ [−1; 4] thỏa a + 2b + 3c ≤ Chứng minh a2 + 2b2 + 3c2 ≤ 36 Lời giải: Vì a, b, c ∈ [−1; 4] nên ta có (a + 1)(a − 4) ≤ ⇔ a2 ≤ 3a + 2(b + 1)(b − 4) ≤ ⇔ 2b2 ≤ 6b + 3(c + 1)(c − 4) ≤ ⇔ 3c2 ≤ 9c + 12 Từ suy a2 + 2b2 + 3c2 ≤ 3(a + 2b + 3c) + 24 ≤ 36 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = c = −1, b = Bài 391 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z ≥ x+y+z ≥ http://boxmath.vn/ 1 + + Chứng minh rằng: x y z + x + y + z xyz 213 Lời giải: Theo giả thiết sử dụng bất đẳng thức quen thuộc a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ta có (x + y + z)2 ≥ 1 + + x y z Từ ta có ≥3 1 + + xy yz zx =3 x+y+z xyz 2 (x + y + z) ≥ xyz Như vậy, ta có x+y+z = (x + y + z) + (x + y + z) ≥ 3 1 + + x y z + (x + y + z) ≥ + x + y + z xyz Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = Bài 392 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : 1 b c a + + + + 0, x < y x x+z < y y+z Do a 1 + + 3a + b 3a + c 2a + b + c + c a+c a+b 2a b + = + + 3a + c 3a + b 3a + b 3a + c 2a + b + c 2a + 2b 2a + 2c 4a < + + 4a + b + c 4a + b + c 4a + b + c = Bài toán chứng minh xong Bài 393 Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh x2 y (x2 + y ) ≤ x3 y (x3 + y ) ≤ Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 (x + y)2 (2xy + x2 + y ) • 2xy.2xy(x2 + y ) ≤ =2 4 xy + xy + xy + x2 − xy + y • x3 y (x3 + y ) = 2xy.xy.xy(x2 − xy + y ) ≤ 4 =2 Đẳng thức xảy x = y = Bài 394 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh (a + 2) (b + 2) (b + 2) (c + 2) (c + 2) (a + 2) + + ≥ (b + 1) (b + 5) (c + 1) (c + 5) (a + 1) (a + 5) Lời giải: Ta có bất đẳng thức sau: (b + 2) ≥ ⇔ 4b2 + 16b + 16 ≥ 3b2 + 18b + 15 ⇔ (b − 1)2 ≥ (b + 1) (b + 5) 4(b + 2) http://boxmath.vn/ 214 Từ ta suy (a + 2) (b + 2) (a + 2) ≥ (b + 1) (b + 5) 4(b + 2) Tương tự (b + 2) (b + 2) (c + 2) ≥ (c + 1) (c + 5) 4(c + 2) (c + 2) (a + 2) (c + 2) ≥ (a + 1) (a + 5) 4(a + 2) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho số, ta được: (a + 2) (b + 2) (c + 2) (a + 2) (b + 2) (b + 2) (c + 2) (c + 2) (a + 2) + + ≥ + + ≥ (b + 1) (b + 5) (c + 1) (c + 5) (a + 1) (a + 5) (b + 2) (c + 2) (a + 2) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 395 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a (1 + b) b (1 + c) c (1 + a) + abc Lời giải: y z x Đặt a = k , b = k , c = k với k > y z x Khi ta có RHS = + k3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có LHS = cyc = a(1 + b) cyc = x k y (1 + k yz ) ≥ cyc (k yz = kxz + k xy cyc c1 ) a21 ka1 b1 + k a1 c1 (a1 + b1 + ≥ + k)(a1 b1 + b1 c1 + c1 a1 ) k +k với a1 = yz; b1 = zx; c1 = xy Như ta cần chứng minh k + ≥ k + k ↔ (k − 1)2 (k + 1) ≥ Bất đẳng thức cuối đúng, toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c Bài 396 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = (a2 + 8)(b2 + 8)(c2 + 8) ≤ (a + b + c)6 Lời giải: http://boxmath.vn/ 215 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (a2 + 8) (b2 + 8) (c2 + 8) (a2 + 8abc) (b2 + 8abc) (c2 + 8abc) = (a + b + c)6 (a + b + c)6 (a + 8bc) (b + 8ca) (c + 8ab) = (a + b + c)6 [a + b + c + (ab + bc + ca)]3 ≤ 27(a + b + c)6 a + b + c + (a + b + c)2 ≤ 27(a + b + c)6 1 = + 27 a + b + c 1 √ + 27 abc = 3 ≤ Do (a2 + 8)(b2 + 8)(c2 + 8) ≤ (a + b + c)6 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 397 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: √ √ a + ab + abc ≤ Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có • • Từ ta có √ ab = √ abc = √ a+ ab + a a b≤ +b 4 a + b + 4c a b(4c) ≤ 4 √ 4(a + b + c) abc ≤ = 3 Bài toán chứng minh xong 16 ,b = ,c = 21 21 21 Bài 398 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≥ x3 y3 z3 + + ≥6 y+z x+z x+y Đẳng thức xảy a = Lời giải: Cách http://boxmath.vn/ 216 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x3 x3 (y + z)2 + + ≥ x2 y+z y+z 2 3 y y (z + x) + + ≥ y2 z+x z+x 2 3 z (x + y) z + + ≥ z2 x+y x+y Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có x3 y3 z3 + + y+z z+x x+y ⇔2 + x + y + z + xy + yz + zx ≥ x + y2 + z2 y3 z3 x3 + + y+z z+x x+y ≥ x + y + z − (xy + yz + zx) 4 Mặt khác, ta có 5 1 x + y + z − (xy + yz + zx) ≥ (x + y + z)2 − (x + y + z)2 = (x + y + z)2 ≥ 12 4 12 12 Do x3 y3 z3 + + ≥6 y+z x+z x+y Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: x4 y4 z4 (x2 + y + z ) x2 + y + z (x + y + z)2 + + ≥ ≥ ≥ =6 x(y + z) y(z + x) z(x + y) 2(xy + yz + zx) Do x3 y3 z3 + + ≥6 y+z x+z x+y Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = Bài 399 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn của: P = (a2 − ab + b2 )(b2 − bc + c2 )(c2 − ca + a2 ) Lời giải: Giả sử a = min{a, b, c} Ta có b + c = − c ≤ http://boxmath.vn/ 217 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: P = a(a − b) + b2 (b2 − bc + c2 ) a(a − c) + c2 ≤ b2 (b2 − bc + c2 )c2 3 = bc bc(b2 − bc + c2 ) 2 3 3 2 bc + bc + (b − bc + c ) ≤ (b + c)2 = 3 ≤ 12 Đẳng thức xảy a = 0, b = 2, c = hoán vị Vậy giá trị lớn P 12 Bài 400 Chứng minh với a, b, c không âm ta có: ab + bc + ca (a + b) (b + c) (c + a) ≤ Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu abc = √ √ (ab + bc + ca)(a + b + c) a + b + c ab + bc + ca 3 = abc a2 b2 c2 ≤ 3 Mà theo đẳng thức quen biết (ab + bc + ca) (a + b + c) = (a + b) (b + c) (c + a) + abc Do ta có (ab + bc + ca)(a + b + c) ≤ (a + b)(b + c)(c + a) Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 3 (a + b)(b + c)(c + a) ≤ (a + b) + (b + c) + (c + a) = (a + b + c) Từ suy 8 (a + b)(b + c)(c + a) ≥ (ab + bc + ca)(a + b + c) ≥ (ab + bc + ca) 9 (a + b)(b + c)(c + a) hay tương đương ab + bc + ca ≤ 3 (a + b) (b + c) (c + a) Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c http://boxmath.vn/ 218 [...]... minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 9 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: bc √ ≤2 a + bc Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và kết hợp giả thi t, ta có: √ bc = a + bc http://boxmath.vn/ bc a(a + b + c) + bc = bc (a + b)(a + c) ≤ 1 2 bc bc + a+b a+c 11 Tương tự ta được: ac 1 ≤ 2 b + ac ac ac + b+a b+c ab 1 √ ≤ 2 c + ab ab ab + c+a c+b √ Cộng... 50 25 10 1 Bài toán được hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài 47 Cho x, y > 0 thay đổi thỏa mãn x + 2x − xy = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 y2 P = + 4 + 8y 1 + x Lời giải: Từ giả thi t ta có: 1 1 x + 2y = x.2y ≤ (x + 2y)2 ⇔ (x + 2y)(x + 2y − 8) ≥ 0 ⇔ x + 2y ≥ 8 2 8 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: x2 y2 x2 (2y)2 (x + 2y)2 + = + ≥ P = 4 + 8y 1 + x 4 + 8y 4 + 4x 8 + 4(x + 2y) 2