cơ sở toán học của mã

Lý thuyết Thông tin BÀI 12 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ 12.1 Một số khái niệm 12.2 Trường GF(2) đa thức trường GF(2) 12.3 Trường GF(2m) Ở trình bày sở toán học mã khối tuyến tính Các kiến thức toán học quan trọng để hiểu cách xây dựng loại mã khối tuyến tính khác trình bày Các khái niệm trình bày bao gồm cấu trúc đại số nhóm, trường đặc biệt trường GF(2) GF(2m) trường có ứng dụng đặc biệt vào việc xây dựng mã khối tuyến tính chống nhiễu 12.1 Một số khái niệm Phép toán đóng Cho G tập hợp, phép toán hai f gọi đóng G f có dạng f:G×G→G Tức a, b ∈ G f(a, b) ∈ G Chú ý f(a, b) có cách viết tương đương afb ngược lại f(b, a) viết bfa Chẳng hạn f phép cộng thay viết +(a, b) thường viết a + b Kể từ trở sau nói đến phép toán không nói thêm có nghĩa phép toán có tính đóng Tính kết hợp Một phép toán hai f G gọi có tính kết hợp ∀ a, b, c ∈ G (afb)fc = af(bfc) Tính giao hoán Một phép toán hai f G gọi có tính giao hoán ∀ a, b ∈ G afb = bfa Ví dụ 12.1 Trên tập số thực khác 0, phép cộng phép nhân có tính kết hợp giao hoán phép trừ phép chia tính kết hợp giao hoán Tính phân phối Phép toán f1 gọi có tính phân phối phép toán f2 ∀ a, b, c ∈ G af1(bf2c) = (af1b)f2(af1c) Chẳng hạn tập số thực, phép nhân có tính phân phối phép cộng ∀ a, b, c ∈ R a×(b+c) = (a×b)+(a×c) Nhóm Một tập G ≠ ∅, với phép toán hai f gọi nhóm thoã điều kiện sau: f có tính kết hợp G chứa phần tử e, cho ∀ a ∈ G afe = efa = a e gọi phần tử trung hoà (đối với số phép toán e gọi phần tử đơn vị) Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 70 Lý thuyết Thông tin Mọi phần tử có phần tử đối xứng, tức ∀ a ∈ G, tồn phần tử b ∈ G cho afb = bfa = e Chẳng hạn, tập R f phép cộng phần tử trung hoà số 0, tập số thực khác f phép nhân phần tử trung hoà gọi phần tử đơn vị Nhóm giao hoán Một nhóm mà phép toán f có tính giao hoán gọi nhóm giao hoán Nhóm hữu hạn, nhóm vô hạn Một nhóm có số phần tử hữu hạn gọi nhóm hữu hạn, nhóm có số phần tử vô hạn gọi nhóm vô hạn Nhóm Cho G nhóm Một tập H G gọi nhóm H đóng với phép toán hai G thoã điều kiện nhóm Ví dụ tập số chẵn ≥ nhóm tập số tự nhiên với phép cộng thông thường Phép cộng modulo phép nhân modulo Cho số nguyên dương m xác định Xây dựng tập số nguyên sau G = {0, 1, …, m –1} Với + phép cộng thông thường Định nghĩa phép toán ⊕ sau gọi phép cộng modulo ∀ a, b ∈ G a ⊕ b = (a + b) mod m Tương tự với × phép nhân thông thường Định nghĩa phép toán ⊗ sau gọi phép nhân modulo ∀ a, b ∈ G a ⊗ b = (a × b) mod m Ví dụ 12.2 Tập R nhóm giao hoán phép cộng nhóm vô hạn Tập R – {0} nhóm giao hoán phép nhân nhóm vô hạn Với m số nguyên dương xác định, tập G = {0, 1, …, m –1} với phép cộng modulo nhóm giao hoán nhóm hữu hạn Hai bảng sau trình bày trường hợp m = m = m=5 m=6 ⊕ ⊕ 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 4 Tương tự tập G = {1, …, m –1} với phép nhân phép nhân modulo nhóm giao hoán hữu hạn Điều khẳng định thông qua bổ đề sau, phần chứng minh để dành lại cho bạn sinh viên Bổ đề 12.1 Nếu m số nguyên tố G = {0, 1, …, m – 1} nhóm giao hoán với phép nhân modulo ⊗ Ngược lại m không nguyên tố G không nhóm Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 71 Lý thuyết Thông tin Chúng ta không chứng minh bổ đề mà xem ví dụ minh hoạ với m = m = Việc chứng minh để dành lại cho bạn sinh viên m=5 m=6 4 ⊗ ⊗ 1 1 2 2 4 3 3 3 4 4 5 Rõ ràng với m = ⊗ = ∉ G nên G nhóm Trường Một tập G với hai phép toán đóng hai bất kỳ, chẳng hạn kí hiệu + *, gọi trường thoã điều kiện sau G nhóm giao hoán phép + Phần tử trung hoà phép + thường kí hiệu Tập phần tử khác nhóm phép * Phần tử trung hoà phép*thường gọi phần tử đơn vị kí hiệu Phép*có tính phân phối phép + Chú ý Phép + phép*ở không thiết phép cộng phép nhân thông thường mà chúng phép Chúng ta kí hiệu để dễ trình bày Tuy nhiên đọc chúng phép cộng phép nhân Các phần tử trường không thiết số nguyên hay thực mà gì, chẳng hạn số phức, vectơ, ma trận hay đa thức Từ định nghĩa trường suy trường bao gồm tối thiểu hai phần tử: phần tử trung hoà phép + (kí hiệu 0) phần tử trung hoà phép*(kí hiệu 1) Các phần tử không thiết số số theo nghĩa thông thường mà chẳng hạn ma trận ma trận đơn vị, Trường giao hoán Một trường mà phép*có tính giao hoán gọi trường giao hoán Chẳng hạn Ví dụ 12.2 mục với m = thấy G trường giao hoán Tổng quát lên có bổ đề sau để dành việc chứng minh cho bạn sinh viên Bổ đề 12.2 Cho p số nguyên tố bất kỳ, G = {0, 1, , p – 1} G trường giao hoán phép cộng modulo ⊕ phép nhân modulo ⊗ Sau giới thiệu số tính chất trường mà không chứng minh Tính chất Mọi phần tử a trường thoã a*0 = Tính chất Nếu a, b hai phần tử khác trường a*b ≠ Tính chất Nếu a ≠ a*b = a*c b = c Hay nói cách khác a ≠ b ≠ c a*b ≠ a*c (Gợi ý, nhân a-1 vào hai vế) Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 72 Lý thuyết Thông tin Bậc trường, trường hữu hạn, trường vô hạn Số phần tử trường gọi bậc trường Một trường có số phần tử hữu hạn gọi trường hữu hạn, trường có số phần tử vô hạn gọi trường vô hạn Trường GF(q) Một trường có số phần tử hữu hạn gọi trường Galois Nếu bậc trường Galois q trường kí hiệu GF(q) Đối với trường hữu hạn tức trường Galois có định lý sau mà không chứng minh Các bạn sinh viên tự chứng minh Định lý 12.1 Một trường hữu hạn số phần tử phải có dạng pm p số nguyên tố m số nguyên dương Hay nói cách khác trường Galois có dạng GF(pm) p số nguyên tố m số nguyên dương Đối với trường GF(p) với p nguyên tố thấy tập {0, 1, 2, , p – 1} với hai phép toán cộng modulo ⊕ nhân modulo ⊗ biết Còn trường GF(pm) tính phức tạp chúng, giới thiệu sau Chú ý lúc phần tử trường GF(pm) không đơn số mà có dạng đặc biệt Kí hiệu phần tử đối xứng Phần tử đối xứng a phép + kí hiệu –a, phần tử đối xứng a phép*được kí hiệu a–1 Phép – phép / Đối với trường giao hoán, từ hai phép + phép*chúng ta định nghĩa thêm hai phép – phép / sau (phép – phép / không thiết phép trừ phép chia bình thường, nhiên đọc phép trừ phép chia) : a – b = a + (–b) a / b = a*b–1 –b phần tử đối xứng b qua phép +, b–1 phần tử đối xứng b qua phép * Vì trường giao hoán G có bốn phép toán +, –, *, / Phép + – đóng G, phép*và / đóng G – {0} Trị riêng trường Xét trường GF(q) Xét dãy tổng phần tử đơn vị k ∑ = + + L + (k lần, với k = 1, 2, 3, …) i =1 Vì trường đóng với phép cộng nên kết tổng phần tử trường Vì k nhận vô hạn giá trị mà trường có q phần tử nên tồn hai giá trị k1 k2 khác (giả sử k1 > k2 ) cho k1 ∑1 = i =1 k2 ∑1 i =1 Từ suy k1 − k ∑1 = i =1 Đến dẫn khái niệm trị riêng trường Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 73 Lý thuyết Thông tin Trị riêng trường kí hiệu số nguyên dương nhỏ λ cho λ ∑1 = i =1 Dễ thấy trường GF(p) = {0, 1, 2, , p – 1} với p số nguyên tố trị riêng λ = p Tổng quát lên có định lý sau Định lý 12.2 Trị riêng λ trường GF(q) số nguyên tố Chứng minh Giả sử λ không nguyên tố, suy λ = k × l (k, l nguyên lớn 1) Từ qui tắc phân phối phép nhân phép cộng suy k l k ×l λ i =1 l i =1 i =1 i =1 ∑1× ∑1 = ∑1 = ∑1 = Từ suy k ∑1 = i =1 ∑1 = Mà k, l < λ, điều mâu thuẫn với định nghĩa i =1 λ Chứng minh hoàn tất Chu kỳ phần tử Xét phần tử a khác trường GF(q) Xét luỹ thừa ak a với k = 1, 2, 3, … Vì trường đóng với phép nhân nên ak phần tử trường Vì k nhận vô hạn giá trị mà trường có q phần tử nên tồn hai giá trị k1 k2 khác (giả sử k1 > k2 ) cho a k1 = a k Từ suy a k1 − k = Đến dẫn khái niệm chu kỳ phần tử trường Chu kỳ phần tử a trường GF(q) số nguyên dương nhỏ n cho an = Ví dụ 12.3 Xét trường GF(7) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} với hai phép ⊕ ⊗ Trị riêng trường Còn chu kỳ phần tử khác trường trình bày bảng sau Phần tử Chu kỳ 1 3 6 Từ định nghĩa thấy dãy luỹ thừa a a1, a2, , ak, , an = 1, an+1 = a, lặp lại sau n phần tử Đến giới thiệu bổ đề sau mà không chứng minh Bổ đề 12.3 Dãy a1, a2, , ak, , an = tạo nên nhóm đóng với phép nhân trường GF(q) Nhóm tuần hoàn Một nhóm với phép nhân*được gọi tuần hoàn tồn phần tử nhóm mà luỹ thừa tạo nên phần tử nhóm Từ định nghĩa suy nhóm hữu hạn gọi tuần hoàn tồn phần tử nhóm có chu kỳ số phần tử nhóm Định lý 12.3 Nếu a phần tử khác trường GF(q) aq–1 = Chứng minh Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 74 Lý thuyết Thông tin Gọi b1, b2, , bq-1 q – phần tử khác khác trường Theo tính chất tính chất trường có a*b1, a*b2, , a*bq-1 q – phần tử khác khác trường Vì có a*b1*a*b2* *a*bq-1 = b1*b2* *bq-1 q–1 Từ suy a = Hoàn tất chứng minh Định lý 12.4 Chu kỳ phần tử khác trường GF(q) ước số q – Chứng minh Gọi n chu kỳ phần tử a khác trường GF(q) Giả sử q – không chia hết cho n Do q – = kn + r, r số dư phép chia q – cho n, < r < n Chúng ta có aq-1 = akn+r = (an)k*ar q-1 n r Do a = a = suy a = Mà < r < n điều mâu thuẫn với định nghĩa chu kỳ a Vậy q – chia hết cho n Hoàn tất chứng minh Phần tử sở Một phần tử a khác trường GF(q) gọi phần tử sở chu kỳ a q – Từ định nghĩa suy a phần tử sở luỹ thừa a bao gồm a0 = 1, a1 = a, a2, …, aq – hình thành nên q – phần tử khác trường Ví dụ 12.4 Xét trường GF(7) Ví dụ 12.3 Chúng ta thấy chu kỳ phần tử khác trường ước số Đặc biệt phần tử có chu kỳ nên chúng phần tử sở trường GF(7) Bảng sau minh hoạ luỹ thừa chúng sinh tất phần tử trường 31 = 32 = 33 = 34 = 35 = 36 = 51 = 52 = 53 = 54 = 55 = 56 = Trong trường Galois trường GF(2) trường GF(2m) trường có nhiều ứng dụng đặc biệt lý thuyết mã, nên trình bày hai trường 12.2 Trường GF(2) đa thức trường GF(2) Trường GF(2) Trường GF(2) bao gồm hai phần tử {0, 1} với hai phép cộng + nhân*như sau + * 0 0 1 1 Phần tử đối xứng qua phép cộng Phần tử đối xứng qua phép nhân Và trường GF(2) phép trừ giống với phép cộng, phép chia cho số khác giống với phép nhân Bây xem xét đối tượng quan trọng trình xây dựng mã chống nhiễu đa thức trường GF(2) Đa thức trường GF(2) Một đa thức trường GF(2), chẳng hạn kí hiệu f(x), đa thức có dạng f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn hệ số ∈ GF(2) Bậc đa thức Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 75 Lý thuyết Thông tin Là bậc lớn đa thức Ví dụ, đa thức f(x) = + x + x3 có bậc đa thức g(x) = x + x2 + x5 có bậc Phép cộng đa thức nhân đa thức Với f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, g(x) = b0 + b1x + b2x2 + … + bnxn với hệ số bj thuộc trường GF(2)chúng ta định nghĩa phép cộng đa thức nhân đa thức sau: f(x) + g(x) = f(x)*g(x) = n ∑ (a i =0 n ∑ (a i , j =0 i i + bi ) x i * b j )x i+ j + bi ai*bj thực trường GF(2) Ví dụ 12.5 Cho f(x) = + x + x3, g(x) = x + x2 f(x) + g(x) = (1 + x + x3) + (x + x2) = + x2 + x3 f(x)*g(x) = (1 + x + x3)*(x + x2) = x + x3 + x4 + x5 Nếu g(x) có bậc khác chia f(x) cho g(x) viết sau f(x) = q(x)*g(x) + r(x) q(x) đa thức thương r(x) đa thức dư có bậc nhỏ đa thức chia g(x) Chẳng hạn, lấy f(x) = + x + x4 + x5 + x6 chia cho g(x) = + x + x3 kết sau + x + x4 + x5 + x6 = (x2 + x3)*(1 + x + x3) + (1 + x + x2) Để phân tích đa thức thành thừa số đại số Euclid biết f(a) = f(x) chia hết cho (x - a) Điều trường GF(2) Ví dụ, f(x) = + x + x3 + x5 có f(1) = 0, nên f(x) chia hết cho (x - 1) mà trường GF(2), phép trừ phép cộng tức f(x) chia hết cho (x + 1) Thực vậy, có + x + x3 + x5 = (1 + x)(1 + x3 + x4) Đa thức tối giản Một đa thức trường GF(2) gọi tối giản không phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Bảng sau liệt kê đa thức tối giản từ bậc đến bậc 6 x + x + x2 + x + x3 + x + x4 + x2 + x5 + x + x6 1+x + x2 + x3 + x3 + x4 + x3 + x5 + x3 + x6 + x + x2 + x3 + x4 + x + x2 + x3 + x5 + x + x2 + x4 + x6 + x + x2 + x4 + x5 + x + x3 + x4 + x6 + x + x3 + x4 + x5 + x5 + x6 + x2 + x3 + x4 + x5 + x + x2 + x5 + x6 + x2 + x3 + x5 + x6 + x + x4 + x5 + x6 + x2 + x4 + x5 + x6 Đối với đa thức trường GF(2) có bổ đề sau Bổ đề 12.4 Cho f(x) đa thức trường GF(2), f (x) n n = f (x ) Chứng minh Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 76 Lý thuyết Thông tin Đặt f(x) = a0 + a1x + … + anxn [f(x)]2 = (a0 + a1x + … + anxn)2 = a02 + a0*(a1x + … + anxn) + a0*(a1x + … + anxn) + (a1x + … + anxn)2 = a02 + (a1x + … + anxn)2 Tiếp tục theo cách có [f(x)]2 = a02 + (a1x)2 + … + (anxn)2 Mà trường GF(2) có ai2 = Từ suy [f(x)]2 = f(x2) Điều giúp suy điều phải chứng minh f (x) n n = f (x ) 12.3 Trường GF(2m) Phần trình bày cách xây dựng trường GF(2m) với m nguyên dương > Để xây dựng trường GF(2m) trước hết tìm hiểu tính chất trường kết hợp với tính chất trường GF(q) nói chung trình bày để làm sở cho việc xây dựng Vì giới thiệu khái niệm tính chất trường GF(2m), nhiên trước hết kí hiệu trường GF(2) sau: GF(2m) = {0, 1, a1, a2, , a m } −2 hai phần tử thuộc trường GF(2) Trường GF(2) trường GF(2m) gọi trường sở GF(2m) Trước rằng, a phần tử trường GF(2m), f(x) đa thức trường GF(2), f(a) phần tử GF(2m) Do có vô hạn đa thức f(x) trường GF(2) mà có hữu hạn (2m) phần tử thuộc GF(2m), nên với phần tử a khác trường GF(2m) tồn hai đa thức f1(x) f2(x) khác cho f1(a) = f2(a) Từ đặt f(x) = f1(x) – f2(x) (chú ý trường GF(2) phép – giống với phép cộng +) f(a) = Điều dẫn đến khái niệm sau Đa thức tối thiểu (minimal polinomial) Cho a phần tử khác trường GF(2m) Đa thức tối thiểu a đa thức f(x) trường GF(2) khác có bậc nhỏ cho f(a) = Chú ý Một lần ta phải ý viết f(α) = f(α) = kí hiệu không thiết số 1, mà hiểu tuỳ theo ngữ cảnh Chẳng hạn phần tử α ma trận ma trận ma trận đơn vị Ví dụ 12.6 Chẳng hạn a ma trận × sau 0 0 T4× =  0  1 0 0 0 1  0 phép cộng nhân ma trận thực bình thường với ý phép cộng nhân phần tử ma trận thực trường GF(2) Chúng ta kiểm tra + T + T4 = với ý ma trận đơn vị, ma trận Và đa thức f(x) = + x2 + x4 Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 77 Lý thuyết Thông tin đa thức tối thiểu a Hơn có T15 = kiểm tra 15 chu kỳ a Định lý 12.5 Cho a phần tử khác trường GF(2m) có bậc đa thức tối thiểu a k Gọi Z tập tất phần tử có dạng b0 + b1a + … + bk-1ak-1 bi ∈ GF(2) Thì Z tập GF(2m) hình thành nên trường có 2k phần tử Chứng minh Đầu tiên chứng minh phần tử hình thành từ b0 + b1a + … + bk-1ak-1 khác cách chứng minh phần tử 1, a, a2, …, ak-1 độc lập tuyến tính Thật k −1 k −1 i=0 i=0 ∑ bi a i = p(a) = ∑ ci a i k −1 ∑ (bi − ci )a i = i=0 Vì có đa thức p(x) có bậc nhỏ k thoã p(a) = Mà bậc đa thức tối thiểu a k Vì p(x) = 0, suy bi = ci ∀ i = 0, 1, , k – Thứ hai, rõ ràng Z nhóm giao hoán phép + Thật k −1 ∑ bi a i i=0 k −1 k −1 k −1 i=0 i=0 i=0 ∑ ci a i ∈ Z ∑ (bi + ci )a i = ∑ (ci + bi )a i ∈ Z Để chứng minh tập Z0 = Z – {0} nhóm phép nhân*chúng ta chứng minh k −1 k −1 k −1 k −1 i=0 i=0 i=0 i=0 ∑ bi a i ∑ ci a i ∈ Z0 ∑ bi a i * ∑ ci a i ∈ Z0 Thật gọi f(x) = đa thức tối thiểu a, hệ số cao dk = Từ suy x k = k ∑ di x i i=0 k −1 ∑ d i x i Do i=0 an với n ≥ k biểu diễn thông qua đa thức g(a) có bậc ≤ k – Vì k −1 k −1 k −1 k −1 k −1 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 ∑ bi a i * ∑ ci a i Suy ∑ bi a i * ∑ ci a i ∈ Z Và rõ ràng k −1 k −1 k −1 i=0 i=0 i=0 ∑ ci a i ≠ kế thừa từ trường GF(2m) có ∑ bi a i ∑ bi a i * ∑ ci a i ≠ Cuối tính phân phối phép nhân*đối với phép cộng + kế thừa từ trường GF(2m) Đến hoàn tất chứng minh Từ định lý suy hệ sau Hệ 12.1 Nếu đa thức tối thiểu phần tử a có bậc m trường Z trùng với trường GF(2m) phần tử trường biểu diễn vectơ m thành phần (b0b1…bm-1) Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 78 Lý thuyết Thông tin Bây khảo sát số tính chất đa thức tối thiểu Định lý 12.6 Gọi f(x) đa thức tối thiểu phần tử a khác trường GF(2m) f(x) đa thức tối giản trường GF(2) Chứng minh Giả sử f(x) = g(x)*h(x) g(x) h(x) có bậc lớn nhỏ bậc f(x) Chúng ta có f(a) = g(a)*h(a) = 0, suy g(a) = h(a) = Điều mâu thuẫn với định nghĩa đa thức tối thiểu a Bổ đề 12.5 Cho f(x) đa thức tối thiểu phần tử a khác trường GF(2m) p(x) đa thức trường GF(2) cho p(a) = Thì p(x) chia hết cho f(x) Chứng minh Chia p(x) cho f(x) p(x) = g(x)*f(x) + r(x) bậc r(x) nhỏ bậc f(x) Thay x = α, suy r(α) = Do bậc r(x) nhỏ bậc f(x) nên từ định nghĩa đa thức tối thiểu suy r(x) = Từ suy p(x) chia hết cho f(x) Định lý 12.7 Cho f(x) đa thức tối thiểu phần tử a khác trường GF(2m) p(x) đa thức tối giản trường GF(2) cho p(a) = Thì f(x) = p(x) Chứng minh Theo bổ đề có p(x) chia hết cho f(x) tức viết p(x) = g(x)*f(x) Do p(x) đa thức tối giản nên f(x) = f(x) = p(x) Tuy nhiên f(x) nên suy f(x) = p(x) Từ Định lý 12.3 suy hệ sau Hệ 12.2 2m – phần tử khác trường GF(2m) nghiệm phương trình m x −1 + = Kết hợp hệ Bổ đề 12.5 suy hệ sau Hệ 12.3 m x −1 + chia hết cho đa thức tối thiểu phần tử khác trường GF(2m) Tuy nhiên dẫn hệ mạnh sau Trước hết phân tích x m −1 + thành tích đa thức tối giản trường GF(2), chẳng hạn m x −1 + = p1(x)*p2(x)*…*pl(x) m Vì x −1 + có nghiệm phần tử trường GF(2m) nên phần tử trường GF(2m) nghiệm pi(x) ngược lại pi(x) có nghiệm phần tử trường GF(2m) Hơn pi(x) có bậc t pi(x) có t nghiệm trường GF(2m) Vì kết hợp với Định lý 12.7 suy hệ sau Hệ 12.4 Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 79 Lý thuyết Thông tin m Trong việc triển khai x −1 + thành tích đa thức tối giản, đa thức tối giản đa thức tối thiểu phần tử khác trường GF(2m) Từ Bổ đề 12.4 suy định lý sau Định lý 12.8 Cho a phần tử khác trường GF(2m) f(x) đa thức l trường GF(2) Nếu f(a) = f (a ) = ∀ l = 0, 1, 2, Từ suy hệ sau Hệ 12.5 Nếu f(x) đa thức tối thiểu phần tử a khác trường GF(2m) f(x) l đa thức tối thiểu phần tử a với l = 0, 1, 2, trường GF(2m) l Hay nói cách khác phần tử a với l = 0, 1, 2, nghiệm đa thức tối thiểu f(x) phần tử a Hơn chứng minh chúng f(x) không nghiệm l khác thuộc trường GF(2m) Vì có phần tử a khác f(x) có bậc nhiêu Để làm rõ điều gọi k số nguyên dương nhỏ cho a = a Số k chắn tồn có a kỳ dãy a 2l m −1 = tức a m k = a Và số k biểu diễn chu với l = 0, 1, 2, Hơn có bổ đề sau Bổ đề 12.6 Cho a phần tử khác trường GF(2m) k số nguyên dương nhỏ cho a k = a k ước số m Chứng minh Chia m cho k được, r số dư phép chia r < k m=n×k+r Trước hết có a 2k  k  = a, từ suy  a    theo kiểu có a a=a 2m =a n× k 2k = a2 k = a hay a 2k = a Tiếp tục = a Mặt khác có n× k + r =a n× k × r  n× k  =  a2    2r = (a ) r Do định nghĩa k, nên suy r = Từ suy điều phải chứng minh Phần tử liên hợp Cho a phần tử khác trường GF(2m) k số nguyên dương nhỏ k l cho a = a phần tử a với l = 0, 1, 2, , k - gọi phần tử liên hợp a k gọi số phần tử liên hợp a Từ định nghĩa thấy tập phần tử liên hợp a tập phần tử khác l sinh a với l = 0, 1, 2, Tuy nhiên từ suy điều tổng quát sau Bổ đề 12.7 Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 80 Lý thuyết Thông tin Nếu a1 a2 phần tử liên hợp a a1 phần tử liên hợp a2 ngược lại a2 phần tử liên hợp a1 Thật giả sử a1 = a Thì có l1 a12 Tương tự a2 k + l1 − l a2 = a l − l1 với ≤ l1 < l2 < k với k số phần tử liên hợp a l1 = (a ) l 2 k + l1 − l = (a l2 ) l − l1 l1 l − l1 l2 = a2 ×2 = a = a2 k + l1 l1 l k + l1 − l k l1 = a ×2 = a2 = (a ) = a = a1 Điều hoàn tất chứng minh Chú ý bổ đề nói lên phần tử liên hợp a liên hợp với l Vì phần tử a với l = 0, 1, 2, , k - nghiệm đa thức tối thiểu f(x) phần tử a, nên chứng minh f(x) có dạng f(x) = (x + a)*(x + a2)* * (x + a k −1 )= k −1 ∏ (x + a i ) i=0 Để chứng minh điều chứng minh p(x) = k −1 ∏ (x + a i ) đa thức tối giản i=0 p(a) = nên theo Định lý 12.7 suy f(x) = p(x) Bổ đề 12.8 Cho a phần tử khác trường GF(2m) k số nguyên dương nhỏ cho a k = a p(x) = k −1 ∏ (x + a i ) đa thức tối giản trường GF(2) i=0 Chứng minh k −1  k −1 i  i [p(x)] =  ∏ ( x + a ) = ∏ ( x + a ) i=0   i = i i i i từ việc ( x + a ) = x + (a + a ) x + (a ) = x + a k −1 i +1  k −1 i ) = ∏ (x + a ) =  ∏ (x + a  i =1 i=0 i =1 k −1  k −1 i  i =  ∏ ( x + a ) * ( x + a ) = ∏ ( x + a )  i =1  i=0 [p(x)]2 = ∏ (x + a k i i +1 , nên  k ) * ( x + a )  = p(x2) Mặt khác nhìn p(x) theo khía cạnh đa thức x biểu diễn p(x) = b0 + b1x + … + bkxk bi với i = 0, 1, 2, …, k đa thức trường GF(2) a bi phần tử trường GF(2m) Với cách biểu diễn có k [p(x)] = (b0 + b1x + … + bkx ) = k ∑ bi i=0 Do [p(x)]2 = p(x2) nên suy 2i x k + (1 + 1) ∑ k ∑ bi b j x i+ j = i=0 j=0 i≠ j k ∑ bi x 2i i=0 bi = bi2 ∀ i = 0, 1, 2, …, k Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 81 Lý thuyết Thông tin Điều bi phần tử phần tử tức bi ∈ GF(2) hay p(x) đa thức trường GF(2) Nếu p(x) không tối giản tức p(x) phân tích thành p(x) = q(x)*h(x) bậc q(x) h(x) nhỏ bậc p(x) k Nhưng p(a) = nên suy q(a) = h(a) = Giả sử q(a) = 0, theo Định lý 12.8 suy q(x) có l nghiệm a với l = 0, 1, 2, , k – Nên suy q(x) có bậc tối thiểu k Điều mẫu thuẫn với Từ suy điều phải chứng minh Đến phần lý luận suy định lý sau Định lý 12.9 Cho a phần tử khác trường GF(2m) k số nguyên dương nhỏ cho a k = a đa thức tối thiểu a f(x) = k −1 ∏ (x + a i ) có bậc = k i=0 Kết hợp định lý Bổ đề 12.6 suy hệ sau Hệ 12.6 Bậc đa thức tối thiểu phần tử a khác trường GF(2m) ước số m Định lý 12.10 Cho a phần tử khác trường GF(2m) có chu kỳ n phần tử liên hợp a có chu kỳ n Chứng minh Gọi k số thành phần liên hợp a Chúng ta có ∀ i = 0, 1, , k n i i  2i   a  = a × n = (a n ) =   Bây cần chứng minh không tồn số nguyên dương l < n cho l  2i  a  =1   i Thật giả sử tồn tại, suy a ×l = Chia 2i × l cho n 2i × l = h × n + r i ≤ r < n Từ suy = a × l = a h × n + r = (a n ) h × a r = a r Từ định nghĩa khái niệm chu kỳ, suy r = Từ Định lý 12.4 suy ra, n ước số 2m – 1, nên n số lẽ Kết hợp với 2i × l = h × n suy n ước số l, suy n ≤ l vô lý Vậy có điều phải chứng minh Bây công nhận hai định lý sau Định lý 12.11 Với m ≥ tồn đa thức tối giản bậc m trường GF(2) Định lý 12.12 Với đa thức tối giản p(x) có bậc m, p(x) = b0 + b1x + … + bmxm, bm = 1, xây dựng trường GF(2m) p(x) đa thức tối thiểu phần tử trường Gợi ý Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 82 Lý thuyết Thông tin Để xây dựng trường GF(2m) cho phần tử a ma trân m×m sau     Tm × m =      0 0 M b0 M M 0 b1 b2 0 L L L 0 M L M L b3 L bm −      M    bm −1  0 Trên ma trận định nghĩa phép cộng nhân ma trận bình thường, với ý việc cộng nhân hai phần tử ô hai ma trận thực trường GF(2) Chúng ta công nhận ma trận có đa thức tối thiểu p(x) Từ dẫn phần tử lại trường GF(2m) nhờ Định lý 12.5 Chú ý, phần tử ma trận phần tử ma trận đơn vị Kết hợp định lý với Hệ 12.3 suy định lý sau Định lý 12.13 Với m ≥ 2, đa thức tối giản bậc m trường GF(2) ước số m x −1 + Ví dụ quay trở bảng liệt kê đa thức tối giản kiểm tra đa thức tối giản bậc ước số x7 – 1, đa thức tối giản bậc ước số x15 – 1, … Đa thức Một đa thức đa thức tối giản, đồng thời không tồn số nguyên dương n < 2m – cho xn + chia hết cho Ví dụ không tồn số nguyên dương n < 15 cho xn + chia hết cho + x + x4 nên + x + x4 đa thức Còn đa thức + x + x2 + x3 + x4 tối giản không x5 + chia hết cho Bảng sau liệt kê số đa thức Bậc 1, 6, + x + x3 + x + x4 + x2 + x5 + x + x6 + x2 + x3 + x4 + x8 Đa thức + x + x + x2 + x2 + x3 + x3 + x4 + x3 + x5 + x3 + x7 Định lý 12.14 Cho a phần tử khác trường GF(2m) có đa thức tối thiểu f(x) Nếu f(x) đa thức trường GF(2) có bậc m a có chu kỳ 2m – a phần tử sở GF(2m) Chứng minh Gọi n chu kỳ a Đặt p(x) = xn + 1, p(a) = Theo Bổ đề 12.5 suy p(x) chia hết cho f(x) Kết hợp điều với định nghĩa khái niệm đa thức bản, suy n = 2m – Từ suy điều phải chứng minh Định lý gợi ý cho cách xây dựng trường GF(2m) dựa phần tử sở có đa thức tối thiểu đa thức bậc m Sau tất lý luận nghiên cứu tóm tắt lại số kết cần ý trường GF(2m) trình bày ví dụ trường GF(2m) với m = m a phần tử trường GF(2m) a −1 = Chu kỳ phần tử ước số 2m – Các đa thức tối thiểu trường GF(2m) đa thức tối giản ước số x Hơn bậc chúng ước m Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM m −1 + 83 Lý thuyết Thông tin Số phần tử liên hợp khác a, kể a, ước số m Các phần tử liên hợp có đa thức tối thiểu, chúng nghiệm đa thức tối thiểu bậc đa thức tối thiểu số phần tử liên hợp khác Các phần tử liên hợp có chu kỳ Các đa thức tối giản bậc k ước x k −1 + Ví dụ 12.7 Dựa vào gợi ý Định lý 12.12 Định lý 12.14, xây dựng trường GF(2m) với m = sau Chúng ta kí hiệu ma trận 0, kí hiệu ma trận đơn vị (có kích thước 4×4) Lấy phần tử a ma trận sau 0 0 T4× =  0  1 0 0 0 1  0 Chúng ta có đa thức tối thiểu a f(x) = + x + x4 Đây đa thức bậc Vì theo Định lý 12.14 15 phần tử GF(24) không tính phần tử có dạng ai, i = 0, 1, …, 14 với ý a0 = Còn theo Định lý 12.12 chúng có dạng b0 + b1a + b2a2 + b3a3 bi = Bảng sau biểu diễn phần tử khác khác trường GF(24) theo dạng: lũy thừa a (ai), đa thức a, vectơ, dạng ma trận (Chú ý ví dụ phần tử GF(24) ma trận) a2 a3 a4 a5 a6 a7 a a2 a3 1+a a + a2 a2 + a3 + a + a3 a 0100 0010 0001 1100 0110 0011 1101 0 0  0  1 1 0  1  0 0 0 0 1  0 0 0  1  0 0 1 1 0  1 1 0 1  0  1 a8 + a2 1010 0 0 1 0  1 0 0 1  0  0 0 1 0 1 0  1 1 0  0  1 0 1 0 1  1 0 0  1  1 1 0 1 1  0 0 1  1  0 1 1 0  1 1 1  0  1 1 1 0 1 1  1 1 1 0  1  1 1 0 1 1 1 1  1 0 1  1  1 1 1 1 1 1  0 1 1 1  1  1 1 1 1 0 1  0 0 1 1  1  0 1 0 1 0 0  0 1 1  0  0 a9 a + a3 0101 a10 + a + a2 1110 a11 a12 a13 a + a2 + a3 + a + a2 + a3 + a2 + a3 0111 1111 1011 1 0 1  1 0 a14 + a3 1001 0 1 0 0 0  0 Bảng sau biểu diễn phần tử liên hợp nhau, chu kỳ đa thức tối thiểu chúng a3, a6, a12, a9 a5, a10 a7, a14, a13, a11 Các phần tử liên hợp a, a2, a4, a8 Chu kỳ 15 15 Đa thức tối thiểu x + x + x + x4 + x + x2 + x3 + x4 + x + x2 + x3 + x4 Người soạn Hồ Văn Quân - Khoa CNTT - ĐH Bách Khoa Tp.HCM 84 [...]... 2m – 1 và a là một phần tử cơ sở của GF(2m) Chứng minh Gọi n là chu kỳ của a Đặt p(x) = xn + 1, thì p(a) = 0 Theo Bổ đề 12.5 chúng ta suy ra p(x) chia hết cho f(x) Kết hợp điều này với định nghĩa của khái niệm đa thức căn bản, chúng ta suy ra n = 2m – 1 Từ đây suy ra điều phải chứng minh Định lý này cũng gợi ý cho chúng ta cách xây dựng trường GF(2m) dựa trên một phần tử cơ sở có đa thức tối thiểu