Vì ABCD là hình thoi nên I là trung đi m AC và BD.
Trang 1Câu 1 (1,0 đi m) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s
1
x y x
Câu 2 (1,0 đi m) Tìm đi m M thu c đ th hàm s
1
x y x
sao cho ti p tuy n c a đ th hàm s t i
M cùng v i hai tr c t a đ t o thành m t tam giác cân
Câu 3 (1,0 đi m)
a) Tìm s h ng đ ng chính gi a trong khai tri n 3
2
1
0
n
x
bi t n th a mãn:
2n 1 2n 1 2nn 1 2 1
C C C
log x 1 6log x 1 2 0 x
cos cos x
I e x xdx
Câu 5 (1,0 đi m) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hai đi m A(1;2;2), B(5;4;4) và m t
ph ng (P): 2x + y – z + 6 = 0 Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua trung đi m I c a AB và d (P); tìm đi m M n m trên (P) sao cho MA2
+ MB2 nh nh t
Câu 6 (1,0 đi m)
a) Cho là góc th a mãn cot Tìm giá tr bi u th c: 2
cos sin 3cos
b) i xung kích c a m t tr ng THPT g m 2 h c sinh l p 12, 3 h c sinh l p 11 và 4 h c sinh
l p 10 Ch n ng u nhiên đ ng th i 2 h c sinh t đ i xung kích đi làm nhi m v Tính xác su t
đ 2 h c sinh đ c ch n không cùng thu c cùng m t kh i
giao đi m c a AC và BD; tam giác SAB cân t i A; hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng đáy trùng v i trung đi m H c a AI Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng
th ng SB v i CD
Tìm đi m M Ox sao cho t M k đ c đ n (C) hai đ ng th ng ti p xúc v i (C) t i hai đi m phân
bi t A, B th a mãn đ ng th ng đi qua A, B ti p xúc v i đ ng tròn 2 2
7x 20x86x 31 4 x x 3x ( x ) 2
Câu 10 (1,0 đi m) Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn abc = 1 và a + b ≤ 1 Tìm giá tr
l n nh t c a bi u th c: 1 2 1 2 1
–––––––––H t–––––––––
TR NG THPT CHUYÊN PHAN B I CHÂU N M H C 2015 – 2016; MÔN: TOÁN THI TH THPT QU C GIA
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đ
Trang 2ÁP ÁN Câu 1
1 T p xác đ nh: D = \ {1}
2 S bi n thiên
Chi u bi n thiên:
2
1
1
x
Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng (–∞;1) và (1;+∞)
Gi i h n:
là ti m c n đ ng
là ti m c n ngang
B ng bi n thiên:
y
+∞
–∞
3 th
Giao v i Ox và Oy t i (0;0)
th nh n I(1;–1) làm tâm đ i x ng
Trang 3Câu 2
Ta có
2
1 '
1
y
x
1
m
M m
m
, m ≠ 1 là đi m thu c đ th hàm s đã cho
Ph ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s t i đi m M là :
1
1 1
m
m m
ng th ng (d) c t Oy, Ox l n l t t i A và B và có h s góc
2
1 tan
1 m
Tam giác OAB vuông cân O, nên:
2
1
1 0; 0
0
( )
OA
OA OB
M m
tm
V y các đi m M c n tìm là (0;0) và (2;–2)
Câu 3
a) Ta có:
2 1
2 1 2 1
, 1; 2; ;
2 2
n
20
2 1 21
n
Do đó:
Trang 4
10 10
10
10
0 10
30 5
10
0
i i
i
i
C x
S h ng đ ng chính gi a trong khai tri n trên t ng ng v i i = 5
S h ng đó là 5 5 5
10 252
log x 1 6log x 1 2 0 1
K: x > –1
V i K trên, ta có:
2
2
2
tm
x
x
V y t p nghi m c a ph ng trình đã cho là S= 1;3
Câu 4
1 2
sin
1
sin
2
2
sin
1 2
cos cos
.cos
1
sin 2
2 4
1 sin 2
2 4
x
x
x
x
I I
x
x
x C
x
Trang 5Câu 5
Vect pháp tuy n c a m t ph ng (P) là n2;1; 1
Vì d (P) nên d nh n n2;1; 1 làm vect ch ph ng, mà d qua trung đi m I(3;3;3) c a AB nên:
:
G i E là hình chi u vuông góc c a I trên (P)
E d E(3 + 2t;3 + t; 3 – t)
E (P) 2(3 + 2t) + (3 + t) – (3 – t) + 6 = 0 t = –2 E(–1;1;5)
Ta có:
D u b ng x y ra khi và ch khi M E
V y M(–1;1;5) là đi m th a mãn yêu c u đ bài
Câu 6
a) Ta có:
Trang 62 2 2
4
5
V y
3
2
cos
cos sin 3cos
sin cot
sin 3cos cot
2
5
M
b) G i A là bi n c “2 h c sinh đ c ch n không thu c cùng m t kh i”
S ph n t c a không gian m u là s cách ch n 2 h c sinh t 9 h c sinh, b ng 2
9 36
C Tính s k t qu có l i cho A:
N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 10 và 1 h c sinh l p 11 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là 4.3 = 12
N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 10 và 1 h c sinh l p 12 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là 4.2 = 8
N u trong 2 h c sinh có 1 h c sinh l p 12 và 1 h c sinh l p 11 thì s cách ch n b 2 h c sinh đó là 2.3 = 6
Theo quy t c c ng, s k t qu có l i cho A là 12 + 8 + 6 = 26
Xác su t c n tính là 26 13
36 18 A
Câu 7
Trang 7
Vì ABCD là hình thoi nên I là trung đi m AC và BD Suy ra
BDAC BI AI
Tam giác ABI vuông t i I:
AI a
AI a
AH
∆ SAB cân A nên SA = AB = 2a
∆ SHA vuông H:
2
a
SH SA AH
ABCD
Th tình hình chóp:
.
a
Vì ABCD là hình thoi nên CD // AB, mà AB (SAB) nên CD // (SAB)
Suy ra d SB CD ; d CD SAB ; d C SAB ; 4d H SAB ;
Trang 8(vì A (SAB) và CA = 4HA)
V HJ AB t i J, HK SJ t i K
AB HJ, AB SH AB (SHJ)
AB HK Mà HK HJ nên HK (SAB)
Suy ra d (SB; CD) = 4HK
4
Tam giác SHJ vuông t i H nên
14
a HK
V y d(SB; CD) = 2 35
7 a
Câu 8
G i M(m;0) Ox
ng tròn (C) có tâm I(1;–4) và bán kính R = 2
ng tròn (C1) có tâm I1(3;1) và bán kính R1 = 4
T M k đ c hai ti p tuy n đ n đ ng tròn (C) MI > R
2
m
m
(luôn th a mãn)
Trang 9G i t a đ A, B là A x y A; A ;B x yA; B Ph ng trình ti p tuy n t i A, B c a (C) l n l t là
1
2
Do
Suy ra ph ng trình đ ng th ng AB là
mx m x y m x y m
ng th ng AB ti p xúc v i đ ng tròn (C1)
2
2
2
;
4
1 16
1
19
3
m
m
m
V y có t t c 2 đi m M c n tìm là (1;0) và 19; 0
3
Câu 9
7x 20x86x 31 4 x x 3x2 1
K:
2
2
x x
Xét TH 2
2
2
x
Th l i ta th y x 2 19 không là nghi m c a ph ng trình (1)
Trang 10Do đó 2
7x 20x86 x 2 x 2 19 *
V i K (*), ta có:
2
2
15 4
0
0
4 15 0 2
6
0 3
x
2 x 2 19 (th a mãn đi u ki n) ho c x 2 19 (lo i vì không th a mãn (*))
3 6 31 4 x x 24x 7x 20x862x x
Thay 7x220x86 3x 2 x 31 4 x x 2 (rút ra t (1)), ta đ c ph ng trình h qu :
2
2
4 30 0
2 34
2 34
x x
x
x
Th l i tr c ti p vào ph ng trình (1), ta đ c x 2 34 là nghi m c a (1)
V y t p nghi m c a ph ng trình (1) là 2 19; 2 34
Câu 10
Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho 2 s không âm ta có:
Trang 11 2
1
a b
V i m i a, b th a mãn đi u ki n đ bài, ta có :
*
1 4a 1 4b 1 4ab
Th t v y
2
*
ab a b
(luôn đúng vì 4ab ≤ 1)
Áp d ng (*) và chú ý abc = 1 ta có:
1
c
c c
Xét 2
1 4
c
c
2
2
2
'
2 1
f c
c
c
c c
Hàm s f(c) ngh ch bi n và liên t c trên [4;+∞)
Suy ra M f c f 4 1 5
D u b ng x y ra khi 1; 4
2
a b c
V y GTLN c a M là 1 5