HOC VIEN TAI CHINH
KHOA CO BAN
HOAN THIEN VA BO SUNG
PHAN THONG KE TOAN CHO PHU HOP
VỚI HÌNH THỨC GIẢNG DẠY
THEO TÍN CHỈ Ở HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
Chủ nhiệm đề tài: Gvc.ThS Nguyễn Văn Tiện
Trang 2LOINOI DAU
Mơn Xác suất và Thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực
nghiên cứu cũng như trong thực tế Vì vậy, nĩ được đưa vào giảng dạy ở nhiều
trường đại học, nhiều cơ sở đào tạo với những trình độ khác nhau Trong những
năm gần đây, với sự đổi mới giáo dục, đồi hỏi người học phải chủ động tự học, tự
nghiên cứu Để giúp người học cĩ cơ sở lý luận, kết nối với những mơn học khác áp dụng được vào thực tế, chúng tơi đưa ra nghiên cứu đề tài “Hồn thiện và bổ sung phần Thống kê Tốn cho phù hợp với hình thức giảng dạy theo tín chỉ ở Học
viện Tài chính” Với những nghiên cứu này, chúng tơi hy vọng giúp cho việc giảng
dạy, học tập và nghiên cứu phần Thống kê Tốn của mơn học này ở Học viện Tài chính thuận lợi hơn, đồng thời tạo điều kiện cho người học tiếp cận được với một số bài tốn trong thực tế Đề tài đề cập tới 2 chương, “Thống kê Tốn của mơn học
- Chương 1: Lý thuyết mẫu
Trong chương này, chúng tơi nhắc lại và bd sung quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu Trên cơ sở đĩ, mở rộng phương pháp suy diễn thống kê và phương pháp ước lượng
- Chương 2: Kiểm định giả thuyết thơng kê
Trong chương này, chúng tơi bỗ sung thêm một số bài tốn kiểm định tham số và kiểm định phi tham số
Đề tài được thực hiện bởi các thành viên sau đây:
- Gve.ThS Nguyễn Văn Tiện: Chủ nhiệm đề tài;
- ThS Phan Thị Phương Thanh, ThS Đỗ Thị Lan Hương,
ThS Nguyễn Thu Thuỷ: Chương 1;
- ThS Đàm Thanh Tú, ThS Khuất Quang Thành: Chương 2
Chúng tơi xin cảm ơn Ban Giám đốc, Ban Khoa học - Học viện Tài chính đã tạo
điều kiện thuận lợi cho chúng tơi thực hiện đề tài này Trong quá trình nghiên cứu,
chúng tơi rất cố gắng để hồn thành đề tài Nhưng do tính ứng dụng đa dạng và phong phú của phần Thống kê Tốn, nên khơng tránh khỏi những bạn chế Vì vậy chúng tơi mong-muốn các đồng nghiệp, những ai quan tâm hãy đĩng gĩp ý kiến để đề tài nghiên cứu của chúng tơi cĩ chất lượng tốt hơn
Trang 3
Chương 1
LÝ THUYET MAU
Phần 1: Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu
Trong thực tế cuộc sống ta cần phải nghiên cứu nhiều xu hướng, đặc tính, đặc trưng của đám đơng, chẳng hạn: chiều cao của dân cư ở một vùng, tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử, tỷ lệ phế phẩm trong một lơ hàng,
Tuy nhiên, việc nghiên cứu chỉ được thực hiện trong tồn bộ với những đám
đơng cĩ kích thước nhỏ và dễ nắm bắt được tắt cả các phần tử trong đám đơng đĩ Với những đám đơng cĩ kích thước lớn thì việc nghiên cứu mắt rất nhiều thời gian, chỉ phí tốn kém, đơi khi khơng nắm được tồn bộ các phần tử trong đám đơng, cĩ thể dẫn tới kết quả thu được bị sai lệch Do đĩ người ta dựa vào việc chọn mẫu và sử dụng các phương pháp xác suất để nghiên cứu các đặc trưng của mẫu, trên cơ
sở đĩ đưa ra kết luận cho đám đơng
Để nghiên cứu mẫu, sau đây chúng tơi đề cập tới quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu
1 Trường hợp một biến ngẫu nhiên gốc cĩ phân phối chuẩn
Giả sử dấu hiệu nghiên cứu của đám đơng là biến ngẫu nhiên X ~ N(a;ơ”)
Trang 4Il Trường hợp hai biến ngẫu nhiên gốc cĩ phân phối chuẩn
Ta xét hai đám đơng với hai dấu hiệu cần nghiên cứu lần lượt là hai đại lượng
ngẫu nhiên X, và X; Giả sử X, ~ ~N(a,;ơ‡); X; ~ N(a;;Ø))-
“Từ hai đám đơng lầy hai mẫu lặp, độc lập cĩ kích thước tương ứng, là nị và nạ: GXzs2Xo,)¡ On XiiesXưm) Ta cĩ: ge eRe) _ p00); 1) nén -2); ®%) T(m,+n;~2); 1 nạ : (n.=1J(n;~]) Si/n, trong 46 k = @-)+m-00-â' Đ/n+/h,` C= _ S/n, = 5, Do 72 =(— ĐỂ! — 42(n, -1) va a= =D _ 3(p, 1) nên 1 ơi -1/m=)) _ -Š5! _ ra fy TU D0 Soe ee Chú ý:
Trang 5II Trường hợp một biến ngẫu nhiên gốc cĩ phân phối khơng - một
Giả sử dấu hiệu nghiên cứu của đám đơng là biến ngẫu nhiên X ~ A(p) Từ đám
đơng lấy ngẫu nhiên mẫu lặp kích thước n: (X,,X,, X,„) ta được tần xuất mẫu f
Với nf(1—f)>20 thì:
f=p_(-pWa ~N(0;1)
øŒ) vjp-p)
IV Trường hợp hai biến ngẫu nhiên gốc cĩ phân phối khơng - một
Ta xét hai đám đơng với hai dấu hiệu cần nghiên cứu lần lượt là hai đại lượng
ngẫu nhiên X, và X;, giả sử X, ~ A(p,); X; ~ A(p;) Từ hai đám đơng lấy hai
Q=
mẫu lặp, déc lap c6 kich thuéc tuong ting li n, va n,:
ŒXi,Xu; 2X); G2» Xzu, )-
Tir hai mẫu này ta cĩ tần xuất mẫu tương ứng là ft, f› Với nị > 30 và nạ > 30 thì:
~NG;1)
Phần 2: Suy diễn thống kê
1 Suy đốn về hai biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn 1 Suy đốn vỀ hiệu của hai trung bình mẫu
Giả sử cĩ hai đám đơng, trong đĩ các dấu hiệu nghiên cứu là các biến ngẫu nhiên X,,X, cùng phân phối chuẩn với các vọng tốn tương ứng là a,,a, và các phương,
sai tương ứng là ơ?, ơ? đã biết Nếu từ hai đám đơng trên rút ra hai mẫu lặp, độc lập kích thước tương ứng là n,„n, thì cĩ thể tiến hành các suy đốn sau đây về hiệu hai trung bình mẫu của hai biến ngẫu nhiên đĩ
Chúng ta chỉ xét trường hợp các mẫu lấy ra cĩ kích thước đủ lớn (nị¡ > 30 và
nạ > 30) Khi đĩ đại lượng thống kê:
% =%)-(a,-
` N(0,1), trong đĩ §,
Sử dụng cơng thức P(œ,<U<œ;)= ®(œ,)-®(œ,), ta thu được các cơng thức
ny ny
Trang 6hoặc P((a,~a;)+œ <Xi—X: <(a-s)+s;)=9|#:|-9| 5}
a Khoảng hai phía đối xứng:
P((&,~a;)~9S, <Xi-X: <(a,-a,)+a8,)= 20(a)
hoa P((a, -a,)-a<Xi—% <(a -1}+0)=20(2)
b Khoảng một phía bên phải:
P((a,-a,) +08, <X ~X;)=0,5~®(ø) hoặc P((a,~a,)+œ<Xi ~%)=05-0(2} c Khoang mét phia bén trái:
P(Xi-X: <(a,-a2) +a8,)= (a) +0,5
hoặc P(X:~X: <(4, -,)+a)=9| #]+05
Vi du: Hai cong ty A và B cùng sản xuất một loại bĩng đền cĩ tuổi thọ là các
biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình tương ứng là 12000 giờ
và 11000 giờ và độ lệch tiêu chuẩn tương ứng là 200 giờ và 150 giờ Nếu kiểm tra
ngẫu nhiên 50 bĩng đèn của cơng ty A và 75 bĩng đèn của cơng ty B thì xác suất
để tuổi thọ trung bình của các bĩng đèn được kiểm tra của A lớn hơn tuổi thọ trung, bình của các bĩng đèn được kiểm tra của B ít nhất 950 giờ là bao nhiêu?
Giải: Gọi X,,X, lần lượt là tuổi thọ của bĩng đèn của cơng ty À và B Ta cĩ X, ~ N(12000;2007), X; ~ N(I1000;1507)
Với mẫu lấy ra đủ lớn (n, = 50 > 30;n, = 75 > 30), xem như mẫu lặp thì
Trang 7Nhu vay, trong 93,348% trường hợp kiểm tra tương tự thì tuổi thọ trung bình của
bĩng đèn do cơng ty A sản xuất sẽ lớn hơn tuơi thọ trung bình của bĩng đèn do
cơng ty B sản xuất ít nhất 950 giờ
2 Suy đốn về tỷ số giữa hai phương sai mẫu điều chỉnh:
Giả sử các phương sai mẫu điều chỉnh của X; , X; lần lượt là SỈ và s
Ta cĩ đại lượng thống kê: F
Do đĩ với xác suất 1~œ, tìm được cặp giá trị o,,a,duong sao cho a, +a, =a
và các giá trị tới hạn Fisher-Snedecor tương ứng ff P{[rt
fe) théa man
<P < fer} =l-a
Từ đĩ thay biểu thức của F vào và chuyển về ta thu được cơng thức: {et TS, ch sale foes
%
Tiến hành các suy đốn về tỷ 6 SL:
a Khoảng hai phía: ofS
b Khoảng một phía bên phải:
pl Si gtertn) Š =
o; Ss
e Khoảng một phía bên trái:
Pye ig cSt
Ví dụ: Trở lại ví dụ ở mục 1 Tính xác suất để phương sai mẫu điều chỉnh của
tuổi thọ các bĩng đèn được kiểm tra của cơng ty A lớn hơn phương sai mẫu điều
chỉnh của tuổi thọ các bồng đèn được kiểm tra của cơng ty B ít nhất 2 lần
SẼ #1 F(n, -1.n, -1)
Gidi: Ta 6 F=%
§ or
Theo cơng thức về khoảng một phía bên phải:
2
'§: 2 Sh grin '}- a= om = 2= £2" =1,125 > 1-a~ 0,313
by Ơi
Trang 81L Suy đốn về hai biến ngẫu nhiên cĩ phân phối khơng — một (hiệu của hai
tần xuất)
Giả sử cĩ hai đám đơng, trong đĩ các biến ngẫu nhiên X,,X;, đều cĩ phân phối khơng - một với các tham số lần lượt là p„, p;; < P, < 1,0<p; <1 Từ hai đám đơng, lần lượt rút ra hai mẫu lặp, độc lập kích thước tương ứng là n„n, Từ hai mẫu này ta cĩ tần xuất mẫu tương ứng la fy, f; Chúng ta chỉ xét trường hợp các mẫu lấy ra
cĩ kích thước đủ lớn (n, >30, n; >30)
Khi đĩ đại lượng thống kê:
-(R=8)=(:~P:) _ (01), tong đĩ §, = r
Sử dụng cơng thức P(œ, <U <ø;)=®(ø;) ~®(ø,), ta thu được cơng thức sau về
khoảng giá trị của f, ~f,:
P((p,-P2) +48; <£.~f, <(p, ~p;)+0¿8,)= ®(œ;)~®(%,)
hoặc P(G—n)*e,<~b<(n=n)+e)e9(S]- 9#} : :
1 Khoảng hai phía đẫi xứng:
P((p,—p:)~#8, < =f, <(P,~P›)+95,)= 2®()
hoặc #((n-)~ø.<6~t.<(0~n)+3)=29 :
2 Khoảng một phía bên phải:
P((p,~P;)+§, <f, ~f,)=0,5~®(œ)
hoặc P((p,~p:)+9<đ -t)=8s-9|#] :
3 Khoảng một phía bên trái:
P(f—f< (p,—P;)* aS,)= ®(œ)+0,5
„ hoặc P(f ~f, <(P, ~p)+8)=9| ]x05:
Vi du: Ty lệ khách hàng ưa thích dầu gội mác X ở hai tỉnh A và B tương ứng là
50% và 40% Trong lần đầu phỏng, vấn ngẫu nhiên 100 khách hàng ở mỗi tỉnh thì ở
tỉnh A cĩ 52 người và ở tỉnh B cĩ 38 người ưa thích dùng sản phẩm đĩ Tìm xác
suất để trong lần phỏng vấn thứ hai, tỷ lệ khách hàng ưa thích sản phẩm mác X
Trang 9được điều tra tại tỉnh A cao hơn tỷ lệ khách hàng ưa thích sản phẩm mác X được điều tra tại tỉnh B một lượng lớn hơn mức chênh lệch giữa tỷ lệ khách hàng ưa
thích sản phẩm mác X được điều tra tại tỉnh A và tỷ lệ khách hàng ưa thích sản
phẩm mác X được điều tra tại tỉnh B trong cuộc phỏng vấn thứ nhất
Giải: Gọi p,,p; lần lượt là tỷ lệ ưa thích sản phẩm mác X ở hai tỉnh A và B Gọi
£„f, là tỷ lệ khách hàng ưa thích sản phẩm mác X của hai mẫu khách hàng Ta cĩ pi =0,5; p› = 044
'Với hai mẫu thỏa mãn n,
n, =100 > 30 nên ta cĩ:
u-(&=8)=Œ=P›) ~N(6,1), trong đĩ §, = p.=P,) „ P›(1~P:),
S, n, n,
Ta phải đi tìm xác suất để f, - f, > 0,52—0,38 = 0,14
p.(I=P.), p›(1=p;)„ J05(L „4(1=0,4) m nạ 100 100
Theo cơng thức về khoảng một phía bên phải, ta cĩ:
P[0,14 <f, -f,]=P[0,14-(0,5-0,4) <f,-f, -(0,5-0,4)] ; 5)" 0,5~@(0,57) ~ 0,5~ 0,21566 = 0,28434 =0,07 =P[0,04<f,—f,~0,1]= 0,5~ 2 Vậy xác suất cần tìm là 0,28434 II Bài tập
1 Điều tra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập cĩ cùng kích thước là 100 được rút ra từ hai
đám đơng trong đĩ hai dấu hiệu nghiên cứu là bai đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cĩ phân phối chuẩn cĩ cùng trung bình, cịn phương sai tương ứng là 50 và 40 Tìm
xác suất dé:
a Hai trung bình mẫu của hai đại lượng ngẫu nhiên được điều tra sai lệch nhau ít
nhất là 2
b Phương sai mẫu của đại lượng ngẫu nhiên được điều tra ở mẫu thứ nhất lớn hơn phương sai mẫu của đại lượng ngẫu nhiên được điều tra ở mẫu thứ hai ít nhất 2 lần
Đ/§: a 0,03486 b.0,01
2 Hai mẫu ngẫu nhiên độc lập cĩ kích thước lần lượt là 40 và 50 được rút ra từ hai
nghiên cứu cĩ phân phối chuẩn với trung bình lần
đám đơng trong đĩ các dấu hi
lượt là 70 và 68; các phương sai lần lượt là 120 và 150
Trang 10a Trung bình mẫu của đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu ở mẫu thứ nhất lớn
hơn trung bình mẫu của đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu ở của mẫu thứ hai ít
nhất là 5
b Phương sai mẫu của đại lượng ngẫu nhiên ở mẫu thứ hai lớn hơn phương sai
mẫu của đại lượng ngẫu nhiên ở của mẫu thứ nhất khơng quá 1,5 lần
D/S: a 0,11123 b.0,72
3 Tỷ lệ đàn ơng và phụ nữ ủng hộ quan điểm bình đẳng giới là 0,52 và 0,65 Vậy nếu phỏng vấn ngẫu nhiên một cách độc lập 400 đàn ơng, và 400 phụ nữ về vấn đề trên thì xác suất để tỷ lệ đàn ơng ủng hộ quan điểm bình đẳng giới trong mẫu điều tra lớn hơn tỷ lệ phụ nữ ủng hộ quan điểm bình đẳng giới trong mẫu điều tra một
lượng vượt quá 16% là bao nhiêu? Đ/S: 0,19215
4 Một nhà máy sản xuất hai loại gioăng cao su A và B Giả sử độ dày của hai loại gioăng này là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cĩ phân phối chuẩn với độ dày
trung bình lần lượt là 0,118em và 0,122cm; độ lệch tiêu chuẩn lần lượt là 0,01cm
và 0,015cm Kiểm tra 800 gioăng cao su A và 900 gioăng cao su B một cách độc
lập Tính xác suất dé:
a Chiều dày trung bình của các gioăng cao su B được kiểm tra lớn hơn chiều dày trung bình của các gioăng cao su Á được kiểm tra một lượng nằm giữa 0,001em và
0,002cm
b Phương sai mẫu của độ dày của gioăng cao su B khơng vượt quá 2,5 lần
phương sai mẫu của độ dày của gioăng cao su A
Đ/§: a 0,00048 b 0,063185
5 Hai lơ hàng A và B của nhà máy C cĩ tỷ lệ chính phẩm lần lượt là 90% và 80%
Kiểm tra mỗi lơ bàng 80 sản phẩm Tính xác suất:
a Tỷ lệ chính phẩm trong hai mẫu được điều tra sai lệch nhau khơng quá 10% b Tỷ lệ chính phẩm của các sản phẩm của lơ A được kiểm tra lớn hơn tỷ lệ chính phẩm các sản phẩm của lơ B được kiểm tra ít nhất 20%
DIS: a 0,49984 b 0,06372
6 Điều tra ý kiến của người dân cả nước đối với hai nghị quyết A và B của Chính phủ thì thấy tỷ lệ người dân cả nước ủng hộ hai nghị quyết trên lần lượt là 70% và 80% Nếu bây giờ lấy ý kiến của 1000 người dân huyện Từ Liêm đối với hai nghị quyết A và B, hãy tính khả năng để tỷ lệ người dân huyện Từ Liêm ủng hộ nghị
quyết A thấp hơn tỷ lệ người dân huyện Từ Liêm ủng hộ nghị quyết B tối thiểu 5%
Trang 117 Tỷ lệ bảo hành của hai loại máy A và B lần lượt là 3% và 2% Nếu cửa hàng bán
ra thị trường mỗi loại 500 máy Tính xác suất:
a Sai lệch giữa tỷ lệ động cơ phải bảo hành của hai loại máy đã được bán ra ít
nhất là 1%
b Tỷ lệ động cơ A đã được bán ra phải bảo hành thấp hơn tỷ lệ động cơ B đã được bán ra phải bảo hành
Đ/§: a 0,52118 b 0,15625
8 Việc tiêu dùng điện hàng tháng của các hộ gia đình ở Hà Nội và Hải Phịng là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và cĩ phân phối chuẩn với trung bình lần lượt là 200KWh và 180KWh; độ lệch tiêu chuẩn lần lượt là 40KWh và 3SKWh Tính xác
suất để khi điều tra 100 hộ gia đình ở Hà Nội và 80 hộ gia đình ở Hải Phịng thì:
a Mức tiêu dùng điện trung bình các hộ gia đình được điều tra ở Hà Nội lớn hơn ít nhất 10KWh so với mức tiêu dùng điện trung bình các hộ gia đình được điều tra ở Hải Phịng
b Mức tiêu dùng điện trung bình các hộ gia đình được điều tra ở Hà Nội lớn từ SKWh đến 15KWh mức tiêu dùng điện trung bình các hộ gia đình được điều tra ở Hải Phịng
c Phương sai mẫu của mức tiêu dùng điện hàng tháng của các hộ gia đình được điều tra tại Hà Nội lớn hơn phương sai mẫu của mức tiêu dùng điện hàng tháng của
các hộ gia đình được điều tra tại Hải Phịng từ 1,2 đến 1,5 lần
Đ/§: a 0,96328 b 0,18305 c.0,395
9 Tỷ lệ thất nghiệp của người lao động là nam tại tinh A 1a 5% và của người lao động là nữ tại tỉnh A là 3% Vậy nếu điều tra ngẫu nhiên một cách độc lập 500 đàn
ơng và 400 phụ nữ tại tỉnh A thì xác suất đề tỷ lệ thất nghiệp của đàn ơng được điều
tra lớn hơn tỷ lệ thất nghiệp của phụ nữ được điều tra khơng quá 1% là bao nhiêu? D/S: 0,22065
Phần 3: Phương pháp ước lượng, 1 Ước lượng điểm
1 Khái niệm về tham số lý thuyết và tham số mẫu
- Giả sử nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X của đám đơng cĩ E(X)=
D(X)=œ? Các đại lượng a và ơ” được gọi là các tham số lý thuyết, chúng là các hằng số
Gia sir a va ơ? chưa biết, từ đám đơng lấy ra mẫu kích thước n:(X,,X;, ,X,)
Trang 12Ta cĩ X= Lyx, 33 (=4d(% -X) 2
Các đại lượng X, S”(X) gọi là các tham số mẫu, chúng là các đại lượng ngẫu
nhiên Trong thống kê người ta thường lấy X và S?(X) lần lượt là giá trị gần đúng
cho a va o?
- Giả sử đám đơng gồm N phan tir, trong 46 c6 M phan tir mang de tinh A thi
tỷ lệ phần tử mang đặc tinh A của đám đơng là p= M/N Khi đĩ p được gọi là
tham số lý thuyết và là một hằng số
Giả sử p chưa biết, từ đám đơng lấy ra ngẫu nhiên mẫu cĩ kích thước n Gọi X là số phần tử mang đặc tính A trong mẫu thì f = X/n là tỷ lệ phần tử mang đặc tính A trong mẫu Khi đĩ f gọi là tần xuất mẫu và là đại lượng ngẫu nhiên Trong thống kê người ta thường lấy tần xuất f làm giá trị gần đúng cho p
Các tham số lý thuyết E(X)=a; D(X) = øŸ, p, được ký hiệu là 6 và chúng là
các hằng số
Các tham số mẫu X, S?(X), f, được ký hiệu là 6ˆ và chúng là các đại lượng ngẫu nhiên
2 Một số loại ước lượng
dùng tham số mẫu @” làm giá trị gần đúng cho tham số lý thuyết Ø9 được gọi là ước lượng điểm hay ước lượng, thống kê
a Ước lượng khơng chệch:
6ˆ được gọi là ước lượng khơng chệch của 6 nếu E(9')=Ơ
Vi du 1: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X của đám đơng cĩ E(X)=a; D(X) =ơ”
(a chưa biết) Chọn ngẫu nhiên mẫu lặp kích thước n: (X;,X; ,X,)
Ta cĩ X= LŸˆX,, Ta dùng X để ước lượng cho a
Do mẫu lấy ra là lặp nên X,,X;, ,X,„ là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cĩ
)
cùng phân phối với X Do đĩ E(X,) = E(X)=a; D(X,)=D(X) =ơ? Ít=1,n
Lẻ
ae (x) =1(L3x,)-te[ Fx, }= IF e6)= mana n
Vậy X ước lượng khơng chệch của a
Trang 13Vi du 2: Cho đám đơng gồm N phần tử, trong đĩ cĩ M phan tir mang dic tinh A Khi đĩ p=M/N là xác suất để lấy được 1 phần tử mang đặc tính A từ đám đơng
Giả sử xác suất p chưa biết, từ đám đơng lấy ra ngẫu nhiên mẫu lặp kích thước n
Gọi X là số phần tử mang đặc tính A trong mẫu thi f = X/n 1a tần xuất của phần tử
mang đặc tính A trong mẫu Ta lấy f để ước lượng cho p
lần lấy một phần tử từ đám đơng coi như tiến hành một phép thử Vì mẫu
lặp cĩ kích thước n, nên ta cĩ n phép thử độc lập Xác suất xuất hiện phần tử mang
đặc tính A trong mỗi phép thử đều bằng p = X ~ BÍn;p)
x) = +£(x) n
© Do dé E(X)=np; D(X) =npl—p) > =()=E|
Vậy f là ước lượng khơng chệch của p b Ước lượng chệch:
8' được gọi là ước lượng chệch của ð nếu E(6') z 9
Ví dụ 3:
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X của đám đơng cĩ E(X)=a; D(X)= ơ? (ơ chưa biết) Từ đám đơng lấy ra ngẫu nhiên mẫu lặp kích thước n: (X,X, X)-
Tacĩ S'(X)== 3 (X,— X} “6° Ta dùng S° để ước lượng cho ơ? m
Do mẫu lấy ra là lặp nên X,,X,, X,„ là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cĩ
cùng phân phối với X Do đĩ E(X,)=E(X)=a; D(X,)= D(X) =ơ? (Vi =l,n)
Trang 14
c Ước lượng vững:
6” được gọi là ước lượng vững của Ơ nếu @' —„È_->9, tức là Ve>0 cho trước
ta cĩ tim Plo" -6|<e} =1 Ví dụ 4: Trở lại ví dụ 1
Do X,,X;, X„ độc lập; D(X,)=ø” <+œ
Áp dụng định lý Trê bư sép: Ve >0 cho trước ta cĩ:
lim 1|
Vậy X là ước lượng vững của a
Ví dự 5: Trở lại ví dụ 2
Do X~ B(n;p) Áp dụng định lý Becnuli Ve > 0 cho trước, ta cĩ:
lim off <e}-1 hay lim P{lf-pl<e} =1 —-P n Vậy f là ước lượng vững của p
d Ước lượng hiệu quả:
ES x,- LEO) nS =
<|m hay lim PÍ[X~a|<e}=1:
Định nghĩa: 6` được gọi là ước lượng hiệu quả của tham số 0, nếu nĩ là ước lượng khơng chéch và cĩ phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng khơng chệch
'khác được xây dựng trên cùng mẫu đĩ
Nếu 6" là ước lượng khơng chệch của 9, thi giá trị nhỏ nhất của phương sai
D(@) cĩth ìm được dựa vào bắt đẳng thức Cramer-Rao
Bắt đẳng thức Cramer-Rao:
Cho đại lượng ngẫu nhiên X của đám đơng, cĩ hàm mật độ xác suất (hay biểu
thức xác suất) f(x,9) Từ đám đơng, lấy ra một mẫu ngẫu nhiên cĩ kích thước n:
(Xi,X, X,) Khi đĩ với ơ là một ước lượng khơng chệch bắt kỳ của @ thi: p(Ê)*»—r————-eT:
HE ơInf(x,8) ao
Ví dụ 6: Giả sử X ~ N(a;ø?) Từ đám đơng lấy ra một mẫu lặp cĩ kích thước n:
ale :
(X,.X;„ X,)- Ta cĩ X=—À`X, là ước lượng khơng chệch của nia a (ví dụ 1)
Trang 15
Vay
TE1idelae-nsez
Giả sử Ơ là một ước lượng khơng chệch bất kỳ của a Theo bất đẳng thức
Cramer - Rao thì D(Ơ) > D(X)
Vậy X là ước lượng hiệu quả của a
1 Ước lượng khoảng I Bai todn tong quát
Để ước lượng tham sé @ cia bién ngdu nhién X, ta sir dung théng kê G nào đĩ
được xây dựng từ mẫu và phụ thuộc vào 6 Từ đĩ xác định khoảng (G,;G;) sao
cho với y=1—ơ cho trước (0<y<1) thì khoảng (G,;G,) chứa Ð với xác suất bằng y, tức là
P(G, <0<G,)=y=1-a Xác suất y=1—œ được gọi là độ tin cậy của ước lượng
Khoảng (G,;G,) được gọi là khoảng tin cậy của ước lượng
Để giải quyết bài tốn này, người ta tiến hành như sau:
Từ đám đơng lấy ra một mẫu lặp cĩ kích thước n: (X,,X,, ,X,) và sử dụng thống kê G=f(X,,X;, X„„6) cĩ quy luật phân phối xác suất xác định Khi đĩ với độ tin cậy y=1—œ cho trước, tìm được cặp giá trị œ, và œ, dương sao cho
d, + œ„ = œ Và các cặp giá trị tương ứng g„, và gu, thỏa mãn
P(G<g,,)=04,P(G>g,,)=
Từ đĩ suy ra P(g, <G<g,,)=1-(a, +0,)=1-a=7 (*) Bang phép bién déi tương đương bao giờ ta cũng đưa được (*) về dạng:
P(G, <8<G,)=
Vay (G,;G;) chính là khoảng tin cậy cần tìm
Trang 162 Một số bai tốn ước lượng khoảng
a Ước lượng vọng tốn của biển ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn:
Giả sử X~ N(a¡ø?) nhưng a chưa biết Đề ước lượng cho 8, ta lấy ngẫu nhiên
mẫu lặp kích thước n: (X;,X;, X,) Xét hai trường hợp sau:
#) Trường hợp n> 30 hoặc ở) đã bi
avn ø
Với độ tin cậy y=1—œ cho trước, tìm được các giá trị 0 va oy dương sao cho
Ta chon dai lượng thống kê G thì G~ N(0;1)
ơ, +; =0 và các giá trị tới hạn chuẩn tương ứng là u, „, và uạ, thỏa mãn
P(G <u,„ )= ø,, P(G > 02, a Do đĩ P{u,„,<G <u¿,)=I~(& +0¿)=T~Y:
Suy ra P(-u,, <G <ug,)=7 (Vi U2, = “Yo,
= P| -u, oa =y©P|X- 1 o a vn ®“ ‹u, <a<X+ vn tạ |=Y- “
Vay với độ tin cậy y=1~œ thì khoảng tin cậy của a là
(x ¬ K+ Forty}
- Nếu lấy œ =0; =Š thì khoảng tin cậy đối xứng của a là:
Fog +r}
ao
- Nếu lấy œ =0; œ„ =œ thÌ g„, = 8, , ta cĩ khoảng tin cậy bên phải của a là:
Fs}
- Nếu lấy ơạ =œ; œ =0 thì gạ, = gạ = to, ta CĨ khoảng tin cậy bên trái của a là:
Chú ý:
Nếu bài tốn khơng cho biết ơ, ta lấy ø~§ hoặc ơ x8
Trang 17
8) Trường hợp n<30 và ơ? khơng lẾt:
F X-a)Vn-1 (X-a)Vn
Tadben dự hạng táng kế TC TT „(Š=} " mm r_ my),
Với độ tin cậy y=1~ œ cho trước, tìm được các giá trị œ, và œ; dương sao cho ot)
a, +a, =o va céc giá trị tới han Student tương ứng 1P“) và tP”Ủ thỏa mãn:
P(T<1())=a,,P(T>)=a, Do đĩ P02) < P<) =1-(a,+0,)=1-a=7 Suy ra P(-?<T< tt) =y (vi th) =- ore EE Tel =:[x (oS oy eS) ey
ho&e P] K-19 <a<X +t Jey
( vn “” Nites :
'Vậy với độ tin cậy y =1~ œ, khoảng tin cậy của a là:
69.X, 5, se hay [=- S_ 0.x 48 +»)
Ầ mm" j con am
$ thi khoảng tin cậy đối xứng của a là: Eo) hay (x
2
- Nếu lấy œ,=0; œ; = œ thì khoảng tin cậy bên phải của a là:
( đe) hay (x- Ti -Ệ e2}, In
- Néu ldy œ =œ; œ, =0 thì khoảng tin cậy bên trái của a là:
(== : ©) hay (=x-
16
Trang 18b Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuân:
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X của đám đơng tuơn theo quy luật phân phối chuẩn
Na;ø”) với ơ° chưa biết Để ước lượng phương sai o®, ta lấy mẫu lặp kích thước
n: (X,,X;, X,) và sử dụng phân phối khi bình phương ø) Trường hợp vọng tốn a đã biết:
Sx)
Người ta đã chứng minh được đại lượng ngẫu nhiên 4° =H —5—~ ?(n)
Với độ tn cậy y=1—œ cho trước, tìm được ede gid tri a, và œ;, đương sao cho
ơ,+d; = œ và các giá trị tới hạn Khi bình phương tương ứng là 93) va x ) thỏa
min P(x? <i) = 04 P(x? > xf) =o,
Do đĩ P(e <x? S29)e1-,se)= l-a=y
Šœ.-sŸ Suy ra pl 230) < ø <x FT =a Bean) oP + <o <4 ni =Y ie xe
Như vậy với độ tìn cậy y =1—0‹ thì khoảng tin cậy của ơŸ là
Trang 19- Nếu œ, =0; œ, = œ, ta cĩ khoảng tin cậy bên phải của o” 1a:
de -2)
;+m|
fou
~ Nếu œ, =œ; œ; =0, ta cĩ khoảng tin cậy bên trái cla o? Ia:
Š(%,-a}
XS:
tu
8) Trường hợp vọng tốn a chưa biết:
Người ta đã chứng minh được đại lượng ngẫu nhiên
nS? -18? ee #(n-1) x
tin cay y=1—a cho trước, tìm được các giá trị œ, và œ; dương sao cho
ct, +c, =o va các giá trị tới hạn Khi bình phương tương ứng là 7:
thỏa mãn P1) <xim, )= œ, P(ể > xã 9) Tc và yến
Do đĩ "ẩm" << 209) =1-(a, +0) =1-a=7 2
Suy ra of ts” _ o “Xa, 3n) Ì— roo ns? ao =yY- nS |e
Như vậy với độ tin cậy y=1~ œ thì khoảng tin cậy của ơ? là
nS? nS? (n-1)§° ,(n~1)§°
(+ hay xả „ ey
3 ta cĩ khoảng tin cậy của ø? là:
n§”, n§” (n~1§? (n-1)§?
xe” sa hay eT ea
2 tr ? na
Trang 20= Néu ơ, =0; œ, = œ, ta cĩ khoảng tin cậy bên phải ca o 1a:
nS? (n~DĐ
(#z=}ơ[=}
- Nếu œ =œ; œ, =0, ta cĩ khoảng tỉn cậy bên trái của ơ” là: ns? (n=1)8?
0;- may | hay ba -
( ses) fe
c Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên X ~ A(p):
“Ta chỉ xét trường hop nf(1-f)220 thì đại lượng thống kê Q=
phân phối xắp xi phân phối chuẩn tắc N(0;1) Trong trường hợp này thì đại lượng
(f~p)ýn f(1-f)
Với độ tin cậy y=1—a cho trude, tim duge céc gid tri ct, a dương sao cho
théng ké Q= cũng cĩ phân phối xắp xỉ phân phối chuẩn tắc N(0;1)
ơ, +ơ; = và các giá trị tới hạn chuẩn tương ứng u, „„ và u„, thỏa mẫn P(Q <u,„)=6,;P(Q > 0a,)=
Do dé P(u, , <Qéu,,)=1-(a, +o,)=1-0=7-
py, \evespfin, cB en, |e
Suy ra '(-.-0gĐ8 =5)=' Ua, ea sịn
a(t fũ=£) Der
ủy <p<f+
a 2
Vậy với độ tin cậy y =1~ œ thì khoảng tin cậy của p là:
;—Ú-Ÿ dàn” ee, l mm
~ Nếu lấy œ, =0¿ “5 thì khoảng tin cậy đối xứng của p là:
[es ee) | } Ma š Mì
Trang 21
- Nếu lấy œ =0; œ, =ơ thì q„, = qạ = +eo, ta cĩ khoảng tin cậy bên phải của p là:
fo F0-f) tl
- Nếu lấy œ =œ; œ; =0 thì q„, =q, = +00, ta cĩ khoảng tin cậy bên trái của p là:
I0)
0;f ++~—— u, |
vn
d Ước lượng hiệu hai vọng tốn của hai biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn:
Giả sử cĩ hai đám đơng với hai dấu hiệu cần nghiên cứu lần lượt là hai đại lượng,
ngẫu nhiên X, và X,, X,~N(a¡;ơ¡); X; ~N(a;;ơ;), trong đĩ a, và a; chưa
biết Để ước lượng hiệu a, —a;, từ hai đám đơng đĩ lấy bai mẫu lặp, độc lập cĩ
kích thước tương ứng là n, và n;:
(XX Xq,)3 (Kr XrsXn,)+
‘Voi mau ldy ra ta tim duge Xi, X2 va S?,S3 Xét cdc trudng hợp: @) Truong hợp đã biết ơ? và 0}:
(Xi -X2)-(@,-a,)
A
Khi đĩ G= ~N(0;1), trong đĩ A =
Với độ tin cay y=1—«, cho trước, tìm được các giá trị œ,,œ; dương sao cho
o,, +a, =o va cde giá trị tới hạn chuẩn tương ứng u, „,u„„ thỏa mãn
P(G <u,„.)= 0¡;P(G > tạ, )= 0; Do dd P(u,,, <G<u,,)=1- (0, +0))=1-a=7
Suy ra P((X:—X2)~Au,, <a,—a, <(X -%&)+ Au, )=7-
- Khoảng tin cậy đối xứng (cho ơ, = œ; = œ/2):
(& ~X:)~Au,;(Xì = X:) +Au,.)- - Khoảng tin cậy bên phải (cho ơ, =0;œ; = œ):
(& ~%&)-Au,;400)
- Khoảng tin cậy bên trái (cho 0, = 01; ct, =0):
(=(
Xi -X2) + Au,)
Trang 228) Trường hợp chưa biết of và ơ) nhưng giả thiết rằng c† =ơi: (Xi: -X2)-@-a)
Khi đĩ T= ~T(m,+n; =2),
Bì
ong đĩ B—, |ỨA E28) +hŠi),
nịn;(n, +n; =2)
Với độ tin cậy y=1—œ cho trước, tìm được các giá trị œ¡;œ; đương 980 cho
Oy, +O, =O
Tiến hành tương tự như trên ta được:
P(Œ~-:)~BG t9 ca, ca <[G Ä:)+ BI?
- Khoảng tin cậy đối xứng (cho œ, = a, = 0/2):
(& -X:)~Btz" "i0 ~%;)+ Bi")
- Khoảng tin cậy bên phải (cho ơ,
((X-%:)-B 99a)
»
(¬=(&-%›)+bgt°”)
0;ơ, =0):
- Khoảng tin cậy bên trái (cho ơ, = 020;
+) Trường hợp chưa biết ơ}, ơ; và chưa cĩ cơ sở để cho rằng chúng bằng nhau:
-
di ke uD =D s c= Sin (@,~é? +(~0=â) Đ 8;
ny nạ
Với độ tin cậy y=1—œ cho trước, tìm được các giá trị œ¡,ơ, đương sao cho
= oS
+ St, Seo =rT
n, mM :
0, +0; =0
Tiến hành tương tự như trên ta được:
Trang 23~ Khoảng tin cậy đối xứng (cho œ,
== 2 ae
(Ki-¥)~ f+ 10, (% K+ [Za |
nm nf, m1
e Ước lượng tỷ số hai phương sai của hai biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn: Giả sử cĩ hai đám đơng với hai dấu hiệu cần nghiên cứu lần lượt là X, và X;, X,~N(a,;ơ?); X; ~N(a,;ơ), trong đĩ ơ? và ơ; chưa biết Từ hai đám đơng đĩ
lấy hai mẫu lặp, độc lập cĩ kích thước tương ứng là n, và n; Từ đĩ cĩ các phương
sai mẫu điều chỉnh của Xị , X; lần lượt là Sĩ và 5
Sơ? = 8:0?
Khi đĩ F=Š; 2~ F(n, =l;n; =1)
Với độ tin cậy y=l—œ cho trước, tìm được các giá trị œ;,œ, đương sao cho
-(m=limg=l), fase
a, +0, =0 va cdc gid tri t6i hạn Fisher-Snedecor tương ứng gloria
thỏa mãn P(F< f= a,; P(F> fr?) =o
Do đĩ P(Œ( < F< fr?) =1—(a, +a,)=1-a=7 Do đĩ 2 7 = = peed rƒm>h<8-Ÿemierlmen-d-leeel Si ø Si Se: % 8; 2 1 e(mlm=l ae
- Khoảng tin cậy (cho œ, = œ; = œ/2);
2
=
- Khoảng tin cậy bên phải (cho ơ, =0;0, = œ): [Ease] S2
z
~ Khoảng tin cậy bên trái (cho ơ, = œ;œ; = 0): [See =}
Trang 24£ Ước lượng hiệu hai tham số của hai biến ngẫu nhiên cĩ phân phối khơng - một: Ta xét hai đám đơng với hai dấu hiệu cần nghiên cứu lần lượt là X, và X;, X;~A(p); X; ~A(p,) Từ hai đám đơng đĩ lấy hai mẫu lặp, độc lập cĩ kích thước tương ứng là n, và n;(n, >30;n, >30) Từ hai mẫu ta tìm được tần xuất
mẫu tương ứng fj,f,
Khi đĩ g= GBP -P) _ we), trong đĩ D=
Với độ tin cậy y=l—œ cho trước, tìm được các giá trị œ,œ, dương sao cho
ơ, +œ, = œ Tiến hành tương tự như trên ta được:
P((~ f,)~ Du, <p, —Pạ <Œ, ~f,) + Du, )=
Do p¡;p; chưa biết nên ta lấy D~
~ Khoảng tin cậy đối xứng (cho œ, = ơ„ = œ/2):
(Œ,~f,)~ Du,„;;( ~ Ê,)+ Dug;)-
- Khoảng tin cậy bên phải (cho ở, = 0;ơ; = œ): ((f, -£,)- Du,;1)
- Khoảng tin cậy bên trái (cho ơ, = o;œ„ =0): (—l;(Œ, ~ £,) + Du,) Ví dụ l:
Khối lượng của một loại sản phẩm trong kho hàng là biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 0,4 Lấy 36 sản phẩm từ kho hàng đĩ để cân
thử người ta thu được bảng số liệu sau:
Khối lượng (kg) | 1,33 [ 1,55 | 1/71 | 1,88 | 1,95 Số sản phẩm 4 HS 6 6 Với độ tin cậy 0,95 hãy:
a Tìm khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình của loại sản phẩm trên
b Ước lượng khối lượng trung bình tối thiểu, khối lượng trung bình tối đa của
sản phẩm trong kho hàng đĩ
Giải: Gọi X-là khối lượng của sản phẩm trong kho hàng đĩ thì X ~ N(a;0,16) Tacĩ X=(4.1,33+7.1,55+13.1,71+6.1,88+6.1,95)/36 = 1,705
Đây là bài tốn ước lượng a trong trường hợp n=36 >30; o=0,4 da biết
Khi đĩ Ä cĩ phân phối xắp xỉ phân phối chuẩn và coi là mẫu lặp Với y = 0,95
>a=1-7=0,05
Trang 25a Tra bảng giá trị tới hạn chuẩn ta được uạạ; = 1,96
Do đĩ khoảng tin cậy đối xứng của a là:
0,4
1,705~—E—-1,96/1,705 + 4.196) ` ( x36 i
=(,5743;1,8357)
b Tra bảng giá trị tới hạn chuẩn ta được uạạ; = 1,645 Do đĩ:
Khoảng tin cậy bên phải của a là:
X~-T=u,ø,;+© |=| 1,705=-=-1,645;+œ |= (I,5953;+œ) TT de
Khoảng tin cậy bên trái của a là:
ta |= (- 0051, 705+ 1645) = (-00;1,81467)
Vậy với mẫu lấy ra và độ tin cậy 0,95 thi khoảng tỉn cậy đối xứng của khối lượng trung bình của sản phẩm trong kho là: (1,5743; 1,8357); khối lượng trung bình tối thiểu là 1,5953 kp; khối lượng trung bình tối đa là 1,81467 kg
Ví dụ 2: Một máy tự động đĩng gĩi mì chính, khối lượng gĩi mì chính được giả thiết là biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Lấy 100 gĩi mì chính đã được đĩng gĩi để cân thấy khối lượng trung bình là 460 gam, độ lệch tiêu chuẩn mẫu là 25 gam Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng khối lượng trung bình của các gĩi mì chính của máy đĩ
Giải:
Gọi X là khối lượng của gĩi mì chính do máy đĩng gĩi thì X~ N(a;?)
Đây là bài tốn ước lượng a bằng khoảng tin cậy đối xứng trong trường hợp
n=100>30; ø chưa biết
Khi đĩ Ä cĩ phân phối xắp xỉ phân phối chuẩn và coi là mẫu lặp Với y=0,95
=œ=1~y=0,05 Tra bảng giá trị tới hạn chuẩn ta được wạ;; = 1,96 -
Lấy øS ta được khoảng tin cậy đối xứng của a là: :
>, 6 z_S x, 8
ago + tạ ][X— Ẩ hung + va)
[seo =
Vậy với mẫu lấy ra và độ tin cậy 0,95 thì khoảng tin cậy đối xứng của khối
Trang 261 Bài tập
1 Chọn ngẫu nhiên 25 chỉ tiết máy do một máy sản xuất để đo chiều dài được chiều dài trung bình là 13,4 cm; độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh là 4 cm Hãy
xác định khoảng tin cậy đối xứng của chiều dài trung bình của các chỉ tiết máy với
độ tin cậy 0,95 Giả thiết chiều dài chỉ tiết máy được sản xuất cĩ phân phối chuẩn
2 Thu nhập/tháng năm 2012 của cơng nhân cơng ty A là biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn Lấy số liệu về thu nhập/“háng (đơn vị: triệu đồng) năm 2012 của 10 cơng nhân được kết quả: 2,5; 2,8; 2,9; 3,1; 3,2; 3,4; 3,6; 3,7; 4,0; 4,1 Với độ tin cậy 0,98 hãy ước lượng mức thu nhập/tháng trung bình tối thiểu năm 2012 của cơng
nhân cơng ty A
3 Thời gian sản xuất một sản phẩm của cơng nhân nhà máy Z là biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn với kỳ vọng là 35 phút Chọn ngẫu nhiên 26 cơng nhân, cho
mỗi người sản xuất một sản phẩm người ta thu được kết quả: Thời gian (phú) | 32 | 33 | 34 | 35 | 37
Số cơng nhân | 3 anime tel 6
Với độ tin cậy 0,9 hãy ước lượng phương sai của thời gian sản xuất một sản
phẩm của cơng nhân nhà máy Z
4, Lãi suất khi đầu tư vào cỗ phiếu A trong năm 2013 được coi là biến ngẫu nhiên
cĩ phân phối chuẩn Biết rằng khi lấy số liệu của 100 nhà đầu tư vào cổ phiếu đĩ
thì thấy lãi suất trung bình là 22%; độ lệch tiêu chuẩn mẫu là 8% Với độ tin cay
0,95 hãy:
a) Ước lượng mức độ phân tán của lãi suất khi đầu tư vào cỗ phiếu A trong năm 2013 bằng khoảng tin cậy
b) Ước lượng mức độ phân tán tối đa của lãi suất khi đầu tư vào cổ phiếu A trong
năm 20 1: 3
5 Để nắm được tỷ lệ trẻ dưới 5 tuổi bị suy dinh dưỡng trong cả nước, người ta
khảo sát ngẫu nhiên 10 tỉnh, thành phố vị ĩ trẻ được điều tra là 500 thấy 40 trẻ
suy dinh dưỡng Dựa vào mẫu này hãy xác định khoảng tin cậy đối xứng của tỷ lệ
trẻ dưới 5 tuổi bị suy dinh dưỡng trong cả nước Cho độ tin cậy 95%
6 Một cơng ty xà phịng muốn nghiên cứu mức độ ưa thích loại sản phẩm của họ của người dân ở một vùng nên đã phỏng vấn 200 người dân vùng đĩ thấy cĩ 68
người sử dụng xà phịng của cơng ty Hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu người dân vùng
đĩ sử dụng xà phịng của cơng ty với độ tin cậy 0,96
7 Một doanh nghiệp xây dựng hệ thống bán hàng ở 2 thành phố A và B Biết
doanh thu hàng tháng (triệu đồng) của các điểm kinh doanh ở 2 thành phố đều là
Trang 27các biến ngẫu nhiên cĩ phân bố chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn tương ứng là 20 và 28 Điều tra doanh thu hàng tháng của 100 điểm kinh doanh ở thành phố A được
kết quả:
Doanh thu (triệu đồng) | 350 | 375 | 403 ] 440 | 468 | 488 Số điểm kinh doanh | 15 | 17 | 23 | 18 | 16 [ 11
Chọn 64 điểm kinh đoanh ở thành phố B thấy doanh thu trung bình là 420 triệu
đồng một tháng Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng sự khác biệt về doanh thu trung
bình hàng tháng của các điểm kinh doanh ở 2 thành phố đĩ
8 Trong một trang trại nuơi gà trong 2 chuồng khác nhau người ta chọn ra 10 con gà để cân thử (mỗi chuồng chọn 5 con) thu được số liệu:
Khối lượng gà chuồng 1 (kg)| 2,5 | 1.9 228/24 Khỗi lượng gà chuồng 2 (kg) | 2,1 | 2,5 2⁄2 | 2,0
Ước lượng độ chênh lệch lớn nhất của khối lượng trung bình của gà trong 2 chuồng đĩ với độ tin cậy 0,95 Giả thiết khối lượng của gà trong 2 chuồng là các biển ngẫu nhiên cĩ phân bố chuẩn với cùng phương sai
9 Một nhà máy cĩ 2 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm, từ mỗi phân
xưởng lấy số liệu về năng suất (số sản phẩm/ngày) trong 10 ngày tìm được phương
sai mẫu tương ứng là 120 và 85 Với độ tin cậy 0,96 hãy ước lượng tỷ số giữa độ
phân tán của năng suất của 2 phân xưởng đĩ Cho biết năng suất của 2 phân xưởng đĩ đều là biến ngẫu nhiên cĩ phân bố chuẩn
10 Chiều dài của một loại sản phẩm do máy Y và Z chế tạo đều là biến ngẫu nhiên cĩ phân bố chuẩn Cho máy Y chế tạo 15 sản phẩm, máy Z chế tạo 12 sản phẩm rồi
đo chiều dài của chúng thấy độ lệch tiêu chuẩn mẫu tương ứng là 4 cm và 3 cm
Hãy ước lượng tỷ số 2 phương sai của chiều dài sản phẩm do 2 đĩ chế tạo với độ tin cậy 0,95
11 Lấy số liệu về số sinh viên Khá - Giỏi năm 2012 - 2013 ở một trường Đại học thì trong 200 sinh viên năm thứ 2 được hỏi cĩ 40 sinh viên Khá - Giỏi, cịn trong 250 sinh viên năm thứ 3 được hỏi cĩ 45 sinh viên Khá - Giỏi Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng xem tỷ lệ sinh viên Khá - Giỏi của năm thứ 2 cao hơn năm thứ 3 là bao nhiêu?
12 Vào năm 2008 điều tra 300 trẻ thấy cĩ 45 trẻ suy đỉnh dưỡng Năm 2013, sau 5
năm thực hiện chương trình “Giảm tỷ lệ trẻ bị suy dinh dưỡng” người ta điều tra
200 trẻ thì thấy cĩ 20 trẻ suy dinh dưỡng Hãy ước lượng tỷ lệ trẻ suy dinh dưỡng,
đã giảm xuống sau 5 năm với độ tin cậy 0,96
Trang 28Chương 2
KIEM DINH GIA THUYET THONG KE
Phần 1: Kiểm định tham số
1 Kiểm định giá thuyết về sự bằng nhau của hai phương sai của hai biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn
Giả sử ta nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X, Y của hai đám đơng khác nhau,
trong đĩ X ~ N(a,;ơi); Y ~ N(a;;ơ2)
Nếu ơ? và ơ) chưa biết, song cĩ cơ sở để giả thiế rằng giá trị của chúng bằng nhau thì ta đưa ra giả thuyết Hụ: ơ? = ơ2
Để kiểm định giả thuyết Hạ đúng hay sai thì từ hai đám đơng ta rút ra hai mẫu
lặp, độc lập nhau kích thước lần lượt là mị và nạ: ŒK,„X; ,X,,); f›Ÿ; Ÿ,,)›
'Từ đĩ cĩ các phương sai mẫu điều chỉnh của X, Y lần lượt là SỈ và Si
1 Bài tốn 1
Kiểm định giả thuyết Hạ: ơ; = ơ) với đối thuyết Hị: 6; > 9}
Mức ý nghĩa ơ cho trước
2 2 Sic | Sử dụng thống kê F = S;ơ? : : s
Nếu giả thuyết Hạ đúng thì F ==; ~ F(n, —l;n; = Ù) s
Miền bác bỏ giả thuyết Họ là
=
wetr=5h: F2f,(n,-hn,-D}- S
Trong đĩ f,(n, —l;n; =1) được tra từ bảng giá trị tới han Fisher-Snedecor
Với các mẫu đã cho ta tính được giá trị quan sát của F là Fq; So sánh Fạ với
f„(n, =l;n; —1) và dựa vào miền bác bỏ giả thuyết Họ để kết luận
- Nếu F„ > f„(n, =l;n, =1) thì bác bỏ giả thuyết Họ, chấp nhận đối thuyết Hị - Nếu Fq < f„(m,~ :n, ~1) thì tạm thời chấp nhận giả thuyết Hạ
Trang 29
2 Bài tốn 2
Kiểm định giả thuyết Họ: ơj = ơj với đối thuyết Hạ: 6? < 0}
Mức ý nghĩa œ cho trước ao
Sir dung thing ké F= 2°
Ssơ?
z
Néu gi thuyét Hy ding thi F= =~ F(n,-1yn, -1) S g
Miền bác bỏ giả thuyết Họ là W = fr =3
cesta
S2
Trong đĩ f, „(n, ~l;n; =1) được tra từ bảng giá trị tới hạn Fisher-Snedecor
Với các mẫu đã cho ta tính được giá trị quan sát của F là Fạ, So sánh Fy: voi f „ín, —1;n, —1) và dựa vào miền bác bỏ giả thuyết Họ đề kết luận
- Nếu Fq < f_„(m, =l;n; =1) thì bác bỏ giả thuyết Hạ, chấp nhận đối thuyết Hì - Nếu Fq,> f „(n, —1;n; —1) thi tạm thời chấp nhận giả thuyết Họ
3 Bài tốn 3
Kiểm định giả thuyết Họ: ơ; = 0}
với đối thuyết Hị: ø; # 0)
Mức ý nghĩa œ cho trước
Ân Sic
Sử dụng thống kê F = Sơi
Nếu giả thuyết Hạ đúng thì F=
Miền bác bỏ giả thuyết Họ là
=
W=‡F Siipst „(m¡ —l;n; =1) hay F >f„(m ~ nạ = ĐỊ-
Sa tr a
Trong đĩ f „(m,~l;n,—l) và f,(m,=l;n;—1) được tra từ bảng giá trị tới hạn io
? ?
Fisher-Snedecor
Trang 30Với các mẫu đã cho ta tính được giá trị quan sát của F là Fạ So sánh Fq; với £ „ím —ln; =1); f„(n, — l;n; —1) và dựa vào miền bác bỏ giả thuyết Hạ 2 để kết luận - Nếu E„<f „(n,~l;n;—1)hay E„ >f,(m — knạ—1) thì bác bỏ giả thuyết Họ,
7
chấp nhận đối thuyết Hị
- Nếu ƒ „ím =bnạ~1)<F <fg(m =0 ~Dthì tạm thời chấp nhận giả thuyết Họ 3 Ví dụ 1: Để so sánh mức độ phân tán về năng suất của một loại nho được trồng ở hai vùng khác nhau, người ta tiến hành lầy mẫu tại hai vùng trồng nho đĩ thu được
kết quả như sau:
Vũng lấy mẫu | Kích thước mẫu | Phương sai mẫu điều chỉnh
A 41 11,41 B 30 8,27
Với mức ý nghĩa 0,05 thì cĩ thể cho rằng mức độ phân tán về năng suất nho
được trồng ở hai vùng trên là khác nhau hay khơng? Bii Ang nang suất nho ở hai
vùng trên tuân theo quy luật phân phối chuẩn
Giải: Gọi X, Y tương ứng là năng suất nho được trồng lần lượt ở vùng A và B “Theo đề ra ta cĩ X~ N(a,;ơj); Y ~ N(a;;ơ2)
Kiểm định giả thuyết Ho: 6; = 0}
voi déi thuyét Hi: of # 03 Mức ý nghĩa œ = 0,05 Sử dụng thống kê F
=
Nếu giả thuyết Họ đúng thì F = ~ F(40;29) S Miền bác bỏ giả thuyết Họ là
:Ffyg,,(40:29) hay F>f,„;(40; ”| :
Tra bảng giá trị tới hạn Fisher-Snedecor ta được:
foas(40;29)= 2,035 fogns(40;29)= 0,52
Với mẫu đã cho ta c6: Fg, = 11,41 :8,27= 1,38 >F,, ¢W
Trang 31Vậy với mức ý nghĩa œ = 0,05 và các mẫu đã cho ta chưa cĩ cơ sở để bác bỏ giả
thuyết Họ nên tạm thời chấp nhận giả thuyết Họ, tức là độ phân tán của năng suất
nho ở hai vùng trên là như nhau Ví dụ 2:
Người ta tiến hành lấy mẫu điều tra về thu nhập hàng tháng của cơng nhân tại hai khu cơng nghiệp thu được kết quả như sau:
Khu cơng nghiệp | Kích thước mẫu | Phương sai mẫu điều chỉnh
A 61 3518,93 B 91 2257,44
'Với mức ý nghĩa 0,05 thì cĩ thể cho rằng phương sai về thu nhập hàng tháng của cơng nhân khu cơng nghiệp A cao hơn ở khu cơng nghiệp B hay khơng? Biết rằng | thu nhập hàng tháng của cơng nhân ở hai khu cơng, nghiệp trên tuân theo quy luật
phân phối chuẩn
Giải: Gọi X, Y tương ứng là thu nhập hàng tháng của cơng nhân ở hai khu cơng nghiệp A và B Theo đề ra ta cĩ X ~ N(a,;ơï); Ý ~ N(a;;ơ?)
Kiểm định giả thuyết Hạ: 07 = 03 với đối thuyết Hạ: 0? > 0}
Mức ý nghĩa o =
Sử dụng thống kê F
Nếu giả thuyết Hạ đúng thì F = Si ~ F(60;90) S%
Miền bác bỏ giả thuyết là
Ww -| cất :F> f,u;(60;90) |
Sz
Tra bảng giá trị tới hạn Fisher-Snedecor ta được: f,;;(60:90) = 1,46 Với mẫu đã cho ta cĩ: Fạ = 1,559 > f,,;(60;90)= I,46 = F, €W
Vậy với mức ý nghĩa œ = 0,05 và các mẫu đã cho ta bác bỏ giả thuyết Họ, chấp nhận đối thuyết Hị, tức là phương sai về thu nhập hàng tháng của cơng nhân khu
Trang 32II Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của k phương sai của k biến ngẫu nhiên cĩ phân phối chuẩn (Kiểm định Bartlett)
Giả sử nghiên cứu k biến ngẫu nhiên Xị, X, , X, của k đám đơng khác nhau,
trong 46 X, ~ N(a,302), i= LK
Từ các đám đơng ta rút ra k mẫu lặp, độc lập nhau cĩ kích thước tương ứng là
nụ (trong đĩ nị > 3; ¡= 1,K và cĩ ít nhất 2 mẫu kích thước khác nhau)
tiến hành giải bài tốn sau:
nị, Bạ, ;
Taci
Kiểm định giả thuyết Hạ: 0; =
với đối thuyết Hạ: Trong các giá trị ơ;, ơ2, ơ; cĩ ít nhất 2 giá trị khác nhau Mức ý nghĩa œ cho trước
Sir dung théng ké Bartlett:
(N~k).In(S))~ XO, =1).1n®)
5 ›
walk in, — <a)
trong đĩ SỈ, Š?, St là phương sai mẫu điều chỉnh tương tng cia X1, Xay s Xai N=Èn;S} lở ŠÈ(a,—D 8Ÿ là trung bình số học của các phương sai mẫu
Nấu giả thuyết Họ đúng thì thống kê B sẽ cĩ quy luật phân phối xấp xỉ quy luật phân phối Khi bình phương với k — 1 bậc tự đo
Miền bác bỏ giả thuyết Họ là
(N~k)In(S})~ Sen) -1).Inđ)
1 & 1 +
tga Ba ơ
Trong đĩ z2(k —1) được tra từ bảng giá trị tới hạn Khi bình phương
Với các mẫu đã cho ta tính được giá trị quan sát của B là Bạ, So sánh Bạ với 12 (k —1) và dựa vào miền bác bỏ giả thuyết H để kết luận
W=)B=
:B>z4Œ-D‡
- Nếu Bạ> Xã 2 (k—1) thi bac bé gid thuyét Ho, chấp nhận đối thuyết Hù - Néu By < 2.(k-1) thi tam thời chấp nhận giả thuyết Họ
Trang 33Ví dụ:
Giả sử điểm tổng kết năm học của học sinh lớp 12 tuân theo phân phối chuẩn
Chọn ngẫu nhiên một số học sinh lớp 12 của 4 trường khác nhau để kiểm tra điểm
tổng kết ta thu được kết quả như sau:
: Số học sinh | Phương sai mẫu điều chỉnh
Trường +2 eee &
được kiêm tra của điểm tổng kết
E 10 0,25
2 13 0,40
3 15 0,36
4 16 0,46
'Với mức ý nghĩa 0,05 thì cĩ thể cho rằng phương sai của điểm tổng kết của học sinh lớp 12 tại 4 trường trên là như nhau hay khơng?
Giải:
Kiểm định giả thuyết Hạ: ơj =ơ;
với đối thuyết Hạ: Trong các giá trị 0, 63, 63, 0406 ít nhất 2 giá trị khác nhau Mức ý nghĩa œ = 0,05
ae 03 =05 ae
Sử dụng thống kê Bartlett: & (N-k)ln($2)- Yn, - Dain)
+ walk
Nếu giả thuyết Họ đúng thì thống kê B sẽ cĩ quy luật phân phối xắp xi Khi binh
phương với k— 1 = 3 bậc tự do
Miền bác bỏ giả thuyết Họ là
B
(N~k).In(S?)~ XO, =1).in®:)
1 1+ eo
3(k (3 nị—
Tra bang giá trị tới hạn Khi bình phương tìm được
Xấu) = 7.815
'Với cic mau da cho ta tinh Bas
1B > X505(3)}-
Trang 34
Tiến hành lập bảng: mm Kích thước Số bậc tự do|_ _; oy i i má |Œ=m-D| Š | eS | mS) | mun) |, i 10 5 025 | 225 |-13863|-12/767 | 0111 2 13 12 04 [ 48 |-09163|-109956 | 0077 3 15 14 036 | 504 |-L0217|-1423038 | 0071 + 16 15 046 | 69 | =0,7765 | - 11,6475 | 0,067 Tổng 54 50 18,99 ~39/4236 | 0,326 Si= woh -)8= aa =0,3798 ~ 50.In(0,3798 49,4236) [ss=s) => B,, = 0,9846 < 75 95(3) = 7,815 = B„, £ W = 0,9846
Vậy với mức ý nghĩa 0,05 va các mẫu đã cho ta chưa cĩ cơ sở để bác bỏ giả
thuyết Họ nên tạm thời chấp nhận giả thuyết Hạ, tức là các phương sai của điểm
tổng kết của học sinh lớp 12 tại 4 trường trên là như nhau : Ii Bai tip
1 Điều tra ngẫu nhiên mức điện năng tiêu thụ hàng tháng của các hộ gia đình ở hai
thành phố A và B được kết quả như sau
Thành phố | Kích thước mẫu [ Phương sai mẫu điều chỉnh A 30 188,57 B 41 210,33
Với mức ý nghĩa 0,05 thi cĩ thể cho rằng độ phân tán về mức điện năng tiêu thụ
hàng tháng của các hộ gia đình ở hai thành phố là khác nhau hay khơng? Giả thiết
rằng mức điện năng tiêu thụ hàng tháng của các hộ gia đình cĩ phân phối chuẩn 2 Một xí nghiệp cĩ 2 máy tự động dùng để đánh bĩng sản phẩm trước khi xuất
xưởng Quan sát 31 sản phẩm được đánh bĩng của mỗi máy thu được phương sai
mẫu của thời gian đánh bĩng mỗi sản phẩm ở máy 1 là 38 (giây”) và ở máy 2 là 45 (giây”) Với mức ý nghĩa 0,025 cĩ thể cho rằng phương sai của thời gian đánh bĩng, mỗi sản phẩm ở máy 2 lớn hơn máy 1 hay khơng? Cho biết thời gian đánh bĩng,
mỗi sản phẩm tuân theo quy luật phân phối chuẩn
Trang 35
3 Cĩ hai bệnh viện 1 và II Thống kê về số giường bệnh qué tai cia bénh vién I (BV )) và bệnh viện II (BV II) trong vài năm gần đây ta được kết quả:
Số giường bệnh quá tải hàng năm ở BVI | 7 | 9 | 10 | 14 | 15
Số năm 23 7.59|ˆ
i
Số giường bệnh quá tải hàng năm ở BV II | 9 | 10 | 11 | 13 | 17
Số năm 2|37|4|5|12 -Ì
Hãy xét xem với mức ý nghĩa 0,05 thì cĩ sự đồng, đều về số giường bệnh quá tải
Hàng năm của hai bệnh viện hay khơng? Giả sử số giường bệnh qúa tải hàng năm của hai bệnh viện trên tuân theo quy luật phân phối chuẩn
4 Giả sử tuổi thọ của người dân cĩ phân phối chuẩn Điều tra ngẫu nhiên tuổi thọ của 5 tỉnh khác nhau trên cả nước thu được kết quả như sau
ae Kích thước mẫu | Phương sai mẫu
điều tra điều chỉnh A 31 15,25 B 28 14,34 Cc 35 10,36 D 36 19,46 E 40 20,31
'Với mức ý nghĩa 0,05 thì cĩ thể cho rằng sự đồng đều về tuổi thọ của 5 tỉnh ở
nước đĩ hay khơng?
Phần 2: Kiểm định phi tham số
1 Kiểm định giả thuyết về quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Giả sử ta cần nghiên cứu ngẫu nhiên X nhưng chưa biết quy luật phân phối xác suất của X Ta giải quyết bài tốn:
Kiểm định giả thuyết Hạ: X cĩ phân phối A
với đối thuyết H,: X khơng cĩ phân phối A
Mức ý nghĩa œ cho trước
Từ đám đơng, ta lấy ra một mẫu lặp cĩ kích thước n: (X3Xy3 5X,)
Trang 36
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì số liệu cĩ được từ mẫu được mơ tả bằng day thống kê dạng điểm:
le | ee | aralaree mị m, |m, | |m, | nm
Khi đĩ, ta sử dụng thống kê xẺ = ee) trong ial np; đĩ p,=P(X=x,),i=bKk
được xác định khi giả thuyết Hạ đúng
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì số liệu cĩ được từ mẫu được mơ tả bằng
dãy thống kê dạng khoảng:
xX Xin; : | XiiTXy
m m, m; | my
trong đĩ p,= P(x,¡ <X<X, 1,K được xác định khi giả thuyết Hụ đúng đúng thi 92 ~ 72 (k-r-1), trong đĩ r là số tham số của phân
Nếu giả thuyết Hạ
phối A và các tham số này được ước lượng bằng phương pháp hợp lý tối đa
Miền bác bỏ giả thuyết Hụ là
whe -+m—m} eee +9}
a Pi
Trong đĩ 72 (k—r—1) duge tra tir bang giá trị tới hạn Khi bình phương
Với mẫu đã cho ta tính được giá trị quan sát của xˆ là tee So sánh Xe với
14(Œ-r—) và dựa vào miền bác bỏ giả thuyết Họ để kết luận
+Nếu xÄ, >Z2(k—r71) thì ta bác bỏ giả thuyếtH,, chấp nhận đối thuyếtH, + Nếu Z4, <⁄2(k—r—]) thì ta chưa cĩ cơ sở để bác bỏ giả thuyết H, nên tạm thời chấp nhận giả thuyết Hạ
A
Chú ý: m,>5(i=1,k); 0250 va > a
Trang 37Ví dụ 1: Đễ tìm hiểu số thiết bị hỏng trong một tháng của một hệ thống thiết bi,
người ta đã theo dõi 50 tháng liền và được số liệu như sau:
Sdthiétbihong] 0 | 1 | 2) 3 | 4] 6 [ 8 Số tháng 10ïIE2ri|E12rri|fi9I|fifr:|Ei6I8|1613
Với mức ý nghĩa 5%, cĩ thể cho rằng số thiết bị bị hỏng trong 1 tháng tuân theo
quy luật phân phối Poisson hay khơng?
Giải: Gọi X là số thiết bị bị hỏng trong một tháng Kiểm định giả thuyết H, :X ~ P(A)
với đối thuyết H, :X #P(A) Mức ý nghĩa œ =0,05
Do cĩ giá trị tần số nhỏ hơn 5 nên ta sắp xếp lại số liệu của mẫu như sau:
Số thiết bị hỏng | 0-1 | 2 3 [4-5 | >6 Số tháng 14 | 12 | 8 7 9 Ta cĩ ước lượng hợp lý tối đa của tham số 2 là:
=.g(100+4.1+122+83+114+66+3)= Vì vậy P(X=x) ;x=0;;2; Ta cĩ: =P(X=0)+P(X =1)=0,23108; p, = P(X =2) =0,23838; =P(X =3) =0,22248; p¿=P(X=4)+P(X =5) =0,24295; p;=P(X>6)=1—P,~P; —P; — P„ =0,06511 : $(m, ~ 50p,” Sử dụng thống kê xˆ -‡ mm),
Nếu giả thuyết Hạ đúng thì +” ~ +” (3) Miền bác bỏ giả thuyết H, là
w-fe yee ion nl exh
Trang 38'Với mẫu đã cho, ta lap bang dé tinhy3,: Pi 0,23108 | 0,23838 | 0,22248 | 0,24295 | 0,06511 50p, 11,554 | 11,919 | 11,124 | 12,1475 | 3.2555 m, 14 12 8 7 9 ~50p,}` : (m,=50P))` |o s17g2 | 0,00055 | 0,87733 | 2,18125 | 10,13647 Xe 50p, 13,71342 Suy ra xả, =13,71342 > Xà; (3) = 7,815
Vậy với mẫu đã cho và mức ý nghĩa œ=0,05 ta bác bỏ giả thuyết Họ, chấp nhận đối thuyết H,, tức là khơng thé cho rằng X cĩ phân phối Poisson
Ví dụ 2: Điều tra khối lượng 100 sản phẩm thu được số liệu:
Khối lượng () |20—22|22~24 [ 24-26 | 26=28 | 28- 30
Sơ sản phâm 7 14 3 27 19
Với mức ý nghĩa 5% cĩ thể cho rằng khối lượng của loại sản phẩm này tuân theo quy luật phân phối chuẩn bay khơng?
Giải: Gọi X (ø) là khối lượng của loại sản phẩm này
Kiểm định giả thuyết Hạ :X ~ N(a;ơ?)
với đối thuyết H, :X z N(a;ø?) Mức ý nghĩa œ = 0,05
'Ta cĩ ước lượng hợp lý tối đa của các tham số a và ơ? lần lượt là X và S°
'Với mẫu đã cho thì:
X=iŒ: 21+14.23+33.253+27.27+19.29) = 25,74; 1
s =i
Vì vậy ta cĩ P(œ<X <p)=0( Pt) 0 Suy ra:
Trang 39>
Sir dung théng ké 42 = py HN, Pi
Néu gid thuyét H, dting thi? ~7(2)
Miền bác bỏ giả thuyết Hạ là
é (m, — 100p, ly "ma
te To —Z %2ø(2) 2)‡
Tra bang giá trị tới hạn Khi bình phương tìm được Z4; (2) = 5.991 'Với mẫu lấy ra, ta lập bảng để tính4,:
Pi 0,05155 | 0,17207 | 0,32018 | 0,29512 | 0,16108 100p, 3,155 | 17,207 | 32,018 | 29,512 | 16,108 ™, 7 14 33 27 19 -100p,)° - (2,=100P,) | 9.66033 | 0,59771 | 9,03012 | 0,21382 | 0,51922 100p, 2/0212 | Xe Suy ra 72, =2,0212 < X4ø; (2) = 5.991
Với mẫu đã cho và mức ý-nghĩa œ =0,05 ta chưa cĩ cơ sở để bác bỏ giả thuyết Hạ nên tạm thời chấp nhận giả thuyết Hạ, tức là cĩ thể cho rằng X cĩ phân phối xác suất theo quy luật phân phối chuẩn với 2 tham số a >25,74g và ø =2,2918 6 II Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của k tham số của k biến ngẫu nhiên
cĩ phân phối khơng một
“Ta đã xét bài tốn kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tham số của hai
biến ngẫu nhiên cĩ phân phối khơng - một Ở phần này, ta sẽ xét bài tốn mở rộng,
là kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của k tham số của k biến ngẫu nhiên cĩ
phân phối khơng - một
Giả sử ta cĩ k biến ngẫu nhiên X',X”, „X* cĩ phân phối khơng - một với các
tham số lần lượt là p;pa›- Py - Trong đĩ p; là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong, đám đơng ứng với biến ngẫu nhiên X' (Ì= 1K) Ta giải quyết bài tốn:
Kiểm định giả thuyết Ho: p, = P2 == Px
với đối thuyết Hạ: Trong các giá trị Pị› P;- P„ cĩ Ít nhất 2 giá trị khác nhau
Mức ý nghĩa œ cho trước
Ta lấy ra k mẫu lặp, độc lập nhau cĩ kích thước nụ, nạ n, tương ứng với các
Trang 40
với các biến ngẫu nhiên X',X?, X" là:
(XI, Xho Xt, (KP Xd Xã.)
Gọi m, là số phần tử mang đặc tính A trong mẫu ứng với biến ngẫu nhiên X” Xi CA
(i=1,k) Dat h, =n, -m,,i=1,k Ta cé bang số liệu:
Mau [1 2 coke arene M | mm, mes enemy m
H hy heed (aoa he h Tổng| —n, ny a, đ
Ở đĩ: M là số phân tử mang đặc tính A, H là sơ tử khơng mang dac tinh A
Nếu nụ, nạ, nụ khá lớn (n, >50, Ì =], 1K) thi
x pes
Do đĩ, nếu H, đúng, tức là p, = p; = = P, =P thì Pare ,p=P (k)
Do chưa biết p nên ta xắp xỉ p bởi f =m/n (f là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A
(m-n4) ¿
trong k mẫu) Khi đĩ ta cĩ thống kê 2° ea ¢(k-1)-
: : & fy
Miền bác bỏ gid thuyét H, 1a w-le- > fant P2B(k- 9}
Trong đĩ xŠ (k —1) được tra từ bảng giá trị tới hạn Khi bình phương
Với các mẫu đã cho ta tính được giá trị quan sát của xŸ là xạ, So sánh 4, với
Z4(K-1) và dựa vào miền bác bỏ giả thuyết Họ dé kết luận
+ Nếu xổ, >X2(k~1) thì ta bác bỏ giả thuyết Hạ, chấp nhận đối thuyết H,
+ Nếu xẢ < x4 (k—1) thì ta chưa cĩ cơ sở để bác bỏ giả thuyết Hạ nên tạm thời
chấp nhận giả thuyết Hạ
Chú ý; Khi tính tốn, ta cĩ thể sử dụng 2 cơng thức sau để tính giá trị của x? 1a 1h AL -1| hoae x? =— n?
nen, mn