30 đề toán ôn thi vào lớp 10

ễN THI TUYN SINH LP 10 THPT S Cõu 1: Tớnh a) A = 20 18 45 + 72 = 4.5 9.2 9.5 + 36.2 = = + = b) B = + + B = + + = ( + 1) + ( 1) = + + B = B = 14 c) C = x + x + x x vi x > C = ( x + 1) + ( x 1) = x + + x +) Nu x > thỡ C = x + + x = x +) Nu x < 2, thỡ C = x + + x = Cõu 2: a) Hm s y = (2m - 1)x - m + nghch bin trờn R v ch 2m - > m > b) th hm s i qua A (1; 2) khi: = (2m - 1).1 - m + m = Vy hm s y = x + Cõu 3: Gi x, y l thi gian ngi th th nht v ngi th th lm mt mỡnh (x, y > 0, tớnh bng gi) 1 - Mt gi mi ngi lm c x ; y cụng vic c ngi lm 1 c x + y = 16 (vỡ ngi lm 16 gi thỡ xong cụng vic) - Trong gi ngi th nht lm c x (CV), gi ngi lm 6 1 c y (CV) vỡ c hai lm c (CV) nu ta cú x + y = Do ú ta cú h phng trỡnh: 1 3 3 x + y = 16 x + y = 16 y = 16 x = 24 y = 48 + = + = 1 + = x y x y x y 16 Vy ngi th nht hon thnh cụng vic 24 gi ngi th hai hon thnh cụng vic 48 gi Cõu 4: a) Xột ABM v AMC ã ã Cú gúc A chung; AMB = MCB (= s cung MB) => AMB ~ ACM (g.g) M A AM AB = => => AM2 = AB.AC AC AM +N = 1800 b) T giỏc AMON cú M B K O D I C N =N = 900 tớnh cht tip tuyn) (Vỡ M => AMON l t giỏc ni tip c - Vỡ OI BC (nh lý ng kớnh v dõy cung) 0 +$ Xột t giỏc AMOI cú M I = 90 + 90 = 180 => AMOI l t giỏc ni tip c c) Ta cú OA MN ti K (vỡ K trung im MN), MN ct AC ti D +$ Xột t giỏc KOID cú K I = 180 => t giỏc KOID ni tip ng trũn tõm O1 => O1 nm trờn ng trung trc ca DI m AD.AI = AK.AO = AM2 = AB.AC khụng i (Vỡ A, B, C, I c nh) Do AI khụng i => AD khụng i => D c nh Vy O1 tõm ng trũn ngoi tip OIK luụn thuc ng trung trc ca DI c nh Cõu 5: Ta cú: (2x + 1)y = x + y = x +1 2x + 2y = 2y = + (*) 2x + 2x + 2x + Xột pt (*): x, y nguyờn thỡ 2x +1 phi l c ca 1, ú: + Hoc 2x +1 =1 x = 0, thay vo (*) c y = + Hoc 2x +1 = -1 x = -1, thay vo (*) c y = Vy pt ó cho cú nghim nguyờn l: (0; 1) ; (-1; 0) S Cõu 1: 1) P = ( + 2)( + 2) = [ + ( 2)][ ( 2)] = ( )2 ( 2))2 = (3 + 4) = 2) ng thng d v d song song vi v ch khi: m = m = m = m = m m m Cõu 2: x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Khi m = ta cú phng trỡnh: x2 + 3x + = Vỡ a = 1; b = 3; c = => a - b + c = Vy phng trỡnh cú x1 = - 1; x2 = - b) Phng trỡnh (1) cú nghim õm v ch khi: ( 2m + 1)2 4(m + 1) m 4m m S < (2m + 1) < 2m + > P > m + > m > Cõu 3: Ta cú: a2 + b2 > 2ab = (vỡ ab = 1) A = (a + b + 1)(a2 + b2) + = + (a + b + (a + b + 4 > 2(a + b + 1) + a+b a+b ) + (a + b) > + + = a+b > a+b v a + b > ab vỡ ỏp dng BT Cụsi cho s dng) Du = v ch a = b = Vy minA = Cõu 4: +K = 900 + 900 = 1800 a) Xột t giỏc BHMK: H => T giỏc BHMK ni tip ng trũn CM tng t cú t giỏc CHMI cng ni tip c + HMK ã + HMI ã b) Ta cú B = 1800 =C K =C HMK ã ã m B (1) = HMI B ã ã ã ã KBM = BCM , KBM = KHM (vỡ gúc ni tip A I M H C cựng chn cung MK v gúc to bi tia tt v gúc ni tip cựng chn cung BM) ã ã (gúc to bi tia tip tuyn v gúc ni HCM = HIM ẳ ) KHM ã ã tip cựng chn HM (2) = HIM T (1), (2) => HMK ~ IMH (g.g) => MH MK = MH = MI MH MI MK (pcm) c) Ta cú PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tip tuyn) Xột chu vi APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB khụng i Vỡ A c nh v ng trũn (O) cho trc nờn chu vi APQ khụng ph thuc vo v trớ ca im M (pcm) x 2y = a (1) Cõu 5: Gi s h 2 cú nghim l (x; y) x + y = (2) T (2) suy x 1, y T (1) ta cú: x 2y x + y x + y = ( x + y ) ( y y + 1) + = ( y y + 1) = ( y 1) a trỏi gi thit l a > Suy h trờn vụ nghim, pcm S x + 3y = 10 2x + 6y = 20 x + 3y = 10 2x + y = 2x + y = y = Cõu 1: a) x + 3(3) = 10 x = y = y = b) Hm s y = (m + 2) x - ng bin trờn R v chi m + > m > - a +1 a a +1 Cõu 2: a) A = a ữ ữ: a + a (a + 1) + (a + 1) ( a 1) ( a 1) a ( a 1) : : = = a +1 a +1 ( a + 1)(a + 1) a + (a + 1)( a + 1) ( a 1) (a + 1)( a + 1) = a +1 = a +1 ( a 1) b) a = 2011 - 2010 = ( 2010 1) a = 2010 Vy A = 2010 Cõu 3: a) Vi k = - ta cú: 2 (x - 4x + 3) + (x - 1) = x2 - 8x + = Vỡ a + b + c = + (- 8) +7=0 Nờn pt cú nghim x1 = 1; x2 = b) + Nu k = 0, phng trỡnh cú dng 2(x - 1) = x = + Nu k 0, phng trỡnh cú dng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - = ' = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k = k2 - 2k + = (k - 1)2 > vi mi k Vy phng trỡnh cú nghim vi mi k Cõu 4: a) Qua A v tip tuyn chung ct BC ti M Ta cú MB = MA = MC (t/c tip tuyn ct nhau) = 900 A C M B A O O' N D E b) Gi s R > R Ly N trung im ca OO Ta cú MN l ng trung bỡnh ca hỡnh thang vuụng OBCO =C = 900) v tam giỏc AMN vuụng ti A (OB // OC; B Cú MN = R + R' R R ; AN = Khi ú MA2 = MN2 - AN2 = RR 2 => MA = RR' m BC = 2MA = RR' ã c) Ta cú O, B, D thng hng (vỡ BAD = 900 ; OA = OB = OD) ã BDC cú DBC = 900, BA CD, ta cú: BD2 = DA DC (1) ADE ~ EDC (g.g) => DE DA = => DA DC = DE2 DC DE (2) (1), (2) => BD = DE (pcm) Cõu 5: Xột + = a1 4b1 + a 22 4b2 = a12 + a 22 4(b1 + b2 ) a12 + a 22 2a1a (vỡ a1a2 > 2(b1 + b2)) M a12 + a 22 2a1a = (a1 a ) , + > => Tn ti hoc khụng õm => ớt nht mt phng trỡnh ó cho cú nghim S Cõu 1: P = a +1 + a 1 Nu a> => a P = a Nu 1< a < => a < => P = Cõu 2: KX: x > 0; x 1) Q = ( x 1) ( x + 1) ( x 1) ( x 1) x x = = 4x x x.( x 1) x x = (loai) x= 2) Q = - x => 4x + x - = (tha 16 x= món) Cõu 3: t x = t, c t2 + 2(m - 1)t + m + = (1) Phng trỡnh cú ỳng nghim phõn bit (1) cú nghim khỏc du hoc (1) cú nghim kộp t > +) (1) Cú nghim khỏc du m + < m < -1 m = +) ' = m2 - 3m = m = Thay vo (1) xột thỡ m = tha món, m = b loi Vy m < - hoc m = Cõu 4: PT 3( x 1) + 16 + ( x 1) + 25 = - (x - 1)2 VT > 9; VP < (vỡ (x - 1)2 > 0) nờn: VT = x = (TM) VP = PT N Cõu 5: 1) Gi H l hỡnh chiu ca O trờn ng thng MN Xột t giỏc OAMH +H = 1800 (do A =H = 900 ) A H M => OAMH l t giỏc ni tip ng trũn Tng t t giỏc OANH ni tip c A O B ả =M ả , B =N ả (2 gúc ni tip chn cung) => A 1 1 ả +B =M ả +N ả = 900 => ã A AHB = 90 1 1 => MN l tip tuyn 2) Ta cú AM = MH, BN = NH, theo h thc lng tam vuụng, ta cú: AB AM BN = MH NH = OH = (pcm) 1 S MON = OH MN > OH AB (Vỡ AMNB l hỡnh thang 2 vuụng) Du = v ch MN = AB hay H l im chớnh gia ca cung AB M, N song song vi AB AM = BN = AB Vy S MON nh nht v ch AM = BN = AB S 35 Cõu 1: A = x > x +3 (x + 3) = = x < x +3 x +3 Cõu 2: a) Bỡnh phng hai v ta c: x2 - 2x + = x(x - 2) = x = hoc x = b) ng thng (d) cú phng trỡnh y = ax + b i qua im A (1; 2) v B (2; 0) v ch khi: a + b = a = 2a + b = b = Vy y = - 2x + Cõu 3: a) Vi m = 2, ta cú phng trỡnh (x - x - 2)(x - 1) = x x = x = 1; x = x = x = Vy phng trỡnh cú nghim x 1; x = b) Vỡ phng trỡnh (1) luụn cú nghim x = nờn phng trỡnh (1) cú ỳng nghim phõn bit v ch khi: - Hoc phng trỡnh f(x) = x2 - x - m = cú nghim kộp khỏc 1 = + 4m = m = m= f (1) m m - Hoc phng trỡnh f(x) = x2 - x - m = cú nghim phõn bit ú cú mt nghim bng 1 > + 4m > m > m = f (1) = m = m = Vy phng trỡnh (1) cú ỳng nghim phõn bit v ch m = - ; m = Cõu 4: a) Vỡ MA, MB l tip tuyn ca ng trũn (O) A Nờn MA OA; MB OB; M OI CD (Theo nh lý ng kớnh l dõy cung) O M ã ã ã Do ú MAO = MBO = MIO = 90 => I C D im A, B, I B thuc ng trũn ng kớnh MO hay im M, A, I, O, B cựng thuc mt ng trũn ã ã b) Ta cú: AIM (vỡ gúc ni tip cựng chn cung MA) = AOM ã ã BIM = BOM ã ã (vỡ gúc ni tip cựng chn cung MB) m AOM = BOM (tớnh cht hai tip tuyn) ã ã => AIM => IM l phõn giỏc ca gúc AIB (pcm) = BIM 4 (1) x + y = Cõu 5: 3 2 x + y = x + y (2) T (1) suy ra: x x Tng t y (3) (2) x (1 x ) + y (1 y) = (4), T (3) suy v trỏi ca (4) khụng õm nờn x (1 x ) = x = x = x = x = ; ; ; (4) y = y = y = y = y (1 y) = x = x = ; y = y = Th li thỡ h ch cú nghim l: S 36 Cõu 1: a) P = + + = + + = b) x2 + 2x - 24 = ' = + 24 = 25 => ' = => phng trỡnh cú nghim x1 = - + = 4; x2 = - - = - Cõu 2: a) P = = 10 a a +1 a + + a +3 a ( a 3)( a + 3) a ( a 3) + ( a + 1)( a + 3) a 2a a + a + a + a = ( a 3)( a + 3) ( a 3)( a + 3) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > a2 + b2 + c2 (vỡ (a + b + c)2 = 9) Du = xy mt s a, b, c cú mt s bng 2, mt s bng v mt s bng p Cõu 3: Gi s x = q (p, q Z, q > 0) v (p, q) = p p Ta cú + + = n (n N) p2 = q(-P - 6q + n2q) q q => q l c ca p2 nhng (p, q) = => q = lỳc ú x = p => p2 + p + = n2 (p, n Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do ú 2n - 2p - = v 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 v 2n + 2p + = (vỡ 23 P v 2n + 2p + > v 2n - 2p - > 0) p = (t/m) ; p = - (t/m) Vy s hu t x cn tỡm l hoc Cõu 4: a) T giỏc MNKB ni tip c +N = 1800) T giỏc MNCI (vỡ K cng ni tip c (vỡ ã ã MNC = 900) MNC = MIC ã ã ã ã => BNK , INC (1) = BMK = IMC (vỡ gúc ni tip cựng chn mt cung) ã ã Mt khỏc BMK (2) = IMC ã ã ã ã BMK + KMC = KMC + IMC (vỡ cựng bự vi gúc A ca tam giỏc ABC) ã ã T (1), (2) suy BNK = INC nờn A S H P O K C B N I M Q 25 im K, N, I thng hng ã ã b) Vỡ MAK = MCN = (vỡ gúc ni tipcựng chn cung BM) => AK CN AB BK CN AB BK CN = = cot g => = = hay (1) MK MN MK MN MK MK MN Tng t cú: M AC CI BN AI BN = + = hay MI MN MI MI MN (2) IC BK ã ã = = tg ( = BMK ) = IMC MI MK T (1), (2), (3) => AB AC BC + = MK MI MN (3) (pcm) c) Gi giao ca AH, MN vi ng trũn (O) th t l Q, S => AQMS l hỡnh thang cõn (vỡ AQ // MS => AS = QM) V HP // AS (P MS) => HQMP l hỡnh thang cõn, cú BN l trc i xng (vỡ Q v H i xng qua BC) => N l trung im ca PM m HP // KN (vỡ KN // AS ã ã ã vỡ cựng bng NMC ) => KN i qua trung im ca HM SAC = AIN (pcm) 2 2x xy y = p Cõu 5: a v bi toỏn tỡm P h phng trỡnh: 2 x + 2xy + 3y = cú nghim 8x 4xy 4y = 4p (1) H trờn Ly (1) - (2), ta cú: px + 2pxy + 3py = 4p (2) (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nu y = => (8 - p)x2 = x = hoc p = p = 0; p = - Nu y chia v pt (3) cho y2 ta cú : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = + Nu p = thỡ t = 26 x (4) vi t = y + Nu p 8: Phng trỡnh (2) cú nghim ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > p2 - 12p - 18 < - p + Du = cú xy Vy P = - , max P = +3 S Cõu 1: a) T gi thit ta cú: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b ( a - b) ( a - c) Nhõn v ca ng thc vi ta cú: b-c a ( b - c) = ab - b - ac + c ( a - b) ( a - c) ( b - c) Vai trũ ca a, b, c nh nhau, thc hin hoỏn v vũng quanh gia a, b, c ta cú: b ( c - a) = cb - c - ab + a ( a - b) ( a - c) ( b - c) , c ( a - b) = ac - a - bc + b ( a - b) ( a - c) ( b - c) Cng v vi v cỏc ng thc trờn, ta cú a b c + + = (pcm) 2 (b - c) (c - a) (a - b) b) t 2010 = x 2010 = x ; 2010 = x Thay vo ta cú: x -x 1+x A= + ữ x 1-x 2 2 + x x = ữ + x2 x 1+ + ữ x + x2 1 = ữ - ữ =0 x x Cõu 2: a) Vỡ a, b, c l di cnh ca tam giỏc nờn a, b, c > p dng BT Cụ-si ta cú: a2 + bc 2a bc, b + ac 2b ac ; c + ab 2c ab Do ú 1 1 1 + + + + ữ a + bc b + ac c + ab a bc b ac c ab 27 a +b b+c c+a + + 2 = a + b + c , pcm abc 2abc = ab + bc + ca abc Du bng xy v ch a = b = c, tc l tam giỏc ó cho l tam giỏc u b) iu kin x 0; y A = (x - xy + y) + 2y - x +1 Ta cú: ( =( x - y x - y - + (2y - y + ( x - y -1 =[ = ) -2 ) ) ( 2 ) x - + ( y + 1] - y + 2y 1 )2 2 1 y 2 ) x= x y = A= y = y - = Vy minA = 4 Cõu 3: a) iu kin : x p dng BT Bunhiacpski ta cú: (2 x-1+3 5-x ) (2 + 32 ) ( x - + - x) = 13.4 x - + - x 13 Du bng xy v ch x - = - x x = Thay vo pt ó cho th li thỡ tha Vy pt cú nghim x = 29 13 b) Xột ng thc: f(x) + 3f ữ = x x (1) x Thay x = vo (1) ta cú: f(2) + f ữ = 28 29 13 Thay x = 1 vo (1) ta cú: f ữ + 3.f(2) = 2 t f(2) = a, f ữ = b ta cú Vy f(2) = - a + 3b = 13 Gii h, ta c a = 32 3a + b = 13 32 Cõu 4: Gi O l tõm ca ng trũn ngoi tip lc giỏc u thỡ A, O, D thng f 1 hng v OK = AB Vỡ FM = EF m 2 EF = AB ú FM = OK ã Ta li cú AF = R AF = OA v AFM = a b o k c m d e 1200 ã ã ã ã AOK + AOB = 1800 = AOK + 60 AOK = 120 Do ú: AFM = AOK (c.g.c) ã AM = AK, MAK = 600 AMK u Cõu 5: Gi BH l ng cao ca ABO Ta cú 2SAOB = OA BH Nhng BH BO nờn 2SAOB OA OB m OA.OB OA + OB2 2 b o c h OA + OB a Du = xy OA OB v OA = OB Do ú 2SAOB Chng minh tng t ta cú: 2SBOC d OB2 + OC OC2 + OD ; 2SCOD 2 29 2SAOD OD + OA 2 Vy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ( OA + OB2 + OC + OD ) Hay 2S OA2 + OB2 + OC2 + OD2 Du bng xy v ch OA = OB = OC = OD ã ã ã ã v AOB = BOC = COD = DOA = 900 ABCD l hỡnh vuụng tõm O Li bỡnh: Cõu III.b 1) Chc chn bn s hi x = t õu m ra? Gi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) l cỏc a thc ca bin x v f(x) l hm s c xỏc nh bi phng trỡnh A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) tỡnh giỏ tr ca hm s f(x) ti im x = a ta lm nh sau Bc 1: Gii phng trỡnh Q(x) = P(a) (2) Gi s x = b l mt nghim ca (2) Bc 2: Thay x = a, x = b vo phng trỡnh (1), v t x = f(a), y = f(b) ta cú h A(a ) x + B (a ) y = C (a ) B (b) x + A(b) y = C (b) (3) Gii h phng trỡnh (3) (ú l h phng trỡnh bc nht i vi hai n x, y) Trong bi toỏn trờn: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = x Phng trỡnh Q(x) = P(a) S x = 30 =2 x c ngh nh th ú 2 x = , tc l b = 2) Chỳ ý: Khụng cn bit phng trỡnh (2) cú bao nhiờu nghim Ch cn bit (cú th l oỏn) c mt nghim ca nú l cho li gii thnh cụng 3) Mt s bi tng t a) Tớnh giỏ tr ca hm s f(x) ti x = nu f(x) + 3.f( x) = + 3x (vi x Ă ) b) Tớnh giỏ tr ca hm s f(x) ti x = nu f ( x) + f ữ= x x (vi x 1) c) Tớnh giỏ tr ca hm s f(x) ti x = nu 1 ( x 1) f ( x) + f ữ = (vi x 1) x x S Cõu 1: a) T x2 + y2 = 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y 2) xy Vỡ x + y + nờn x + y + = x+y -1 (1) p dng BT Bunhiacopski, ta cú: x + y ( x + y2 ) x + y 2 (2) xy T (1), (2) ta c: x + y + - Du "=" x 0, y x = y x=y= x + y2 = Vy maxA = - b) Vỡ x2 + y2 + z2 = nờn: 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 + + = + + x + y2 y2 + z2 z2 + x x + y2 y2 + z2 z2 + x 31 z2 x2 y2 + + +3 x + y2 y2 + z2 x + z2 z2 z2 2 Ta cú x + y 2xy 2 , x +y 2xy x2 x2 y2 y2 Tng t 2 , y +z 2yz x + z 2xz 2 z x z2 x2 y y2 Vy 2 + 2 + 2 + + + +3 x +y y +z 2xy 2yz x +z 2xz 2 x + y3 + z3 + + + , pcm x + y2 y2 + z2 z2 + x 2xyz 10 Cõu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) iu kin: x (2) (1) (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 = 3x + 10 - = x = - (tha k (2) x + = = Vy phng trỡnh (1) cú nghim x = -3 2x x y - 2x + y = (1) y = x + b) 2x - 4x + = - y y3 = - (x - 1) - Ta cú: 2x y2 - y 1+x (1) Mt khỏc: - (x - 1)2 - - y3 - y - (2) T (1) v (2) y = - nờn x = Thay vo h ó cho th li thỡ tha Vy x = v y = -1 l cỏc s cn tỡm Cõu 3: a) t x = b > v y = c > ta cú x2 = b3 v y2 = c3 Thay vo gt ta c b3 + b 2c + c3 + bc = a a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b c ( b + c ) a2 = (b + c)3 32 a = b + c hay x2 + y = a , pcm b) Gi s x0 l mt nghim ca phng trỡnh, d thy x a 1 Suy x 02 + ax0 + b + x + x = x + + a x + ữ + b = x0 x0 0 1 2 t x0 + x = y0 x + x = y - , y y02 - = - ay0 - b 0 p dng bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: (y -2 ) = ( ay0 + b ) (a +b (y 02 2) Ta chng minh y0 + )( ) 2 y + a +b (y 02 2) (1) y 02 + (2) Thc vy: (2) 5(y04 4y02 + 4) 4(y02 + 1) 5y04 24y 02 + 16 5(y02 4)(y 02 ) ỳng vi y nờn (1) ỳng T (1), (2) suy a + b2 5(a + b ) , pcm c Cõu 4: t AH = x ã Ta cú AMB = 900 (OA = OB = OM) m k Trong vuụng AMB ta cú MA = AH AB = 2Rx (H l chõn ng vuụng gúc h t M xung a BC) Mt khỏc: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vỡ MKOH l hỡnh ch nht) Theo bi ta cú: 4Rx = 15(R - x)2 Do H AB O x 2R Phng trỡnh tr thnh: 15x2 - 34Rx + 15R2 =0 (5x - 3R) (3x - 5R) = x = h o h' b 3R 5R ;x= C giỏ tr ny u tho Vy ta tỡm c im H v H im M v M l giao im ca na ng trũn vi cỏc ng vuụng gúc vi AB dng t H v H 33 a b Cõu 5: Gi I l trung im ca CD e Ni EF, EI, IF, ta cú IE l ng trung bỡnh ca BDC IE // d BC M GF BC IE GF (1) Chng minh tng t EG IF (2) T (1) v (2) G l trc tõm ca EIF IG EF (3) D chng minh EF // DC (4) T (3) v (4) IG DC Vy DGC cõn ti G DG = GC f g c i S 9x Cõu 1: 1) Tr vo v ca phng trỡnh vi 2x x + 2 x2 18x 9x 18x - 40 = (1) Ta cú: x ữ + ữ = 40 x+9 x + x+9 x + x2 t = y (2), phng trỡnh (1) tr thnh y2 + 18y - 40 = x+9 (y + 20) (y - 2) = y = -20 ; y = x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) Thay vo (2), ta cú x = 2(x + 9) = x - 2x - 18 = (4) Phng trỡnh (3) vụ nghim, phng trỡnh (4) cú nghim l: x = 19 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = 19 2) iu kin x > x+1 (*) x-3 x - x+1 =4 Phng trỡnh ó cho (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x-3 34 x+1 t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phng trỡnh tr thnh: t2 + 3t - = t = 1; t = - t t = ( x - 3) Ta cú: (x -3) x + = (1) ; ( x 3) x - x + = (2) x x > x > x = 1+ (x 3)(x + 1) = x 2x = + (1) (t/m (*)) x < x < x = (t/m (*)) (x 3)(x + 1) = 16 x 2x 19 = + (2) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = + ; x = Cõu 2: 1) iu kin: - x2 > - < x < - 3x > A 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16 16 Vy A = - x2 - x2 Du bng xy - 5x = x = Vy minA = 2) Chng minh: a + b + b + c + c + a (a + b + c) (1) S dng bt ng thc: 2(x + y2 ) (x + y) , ta cú: 2(a + b ) (a + b) a + b a + b (2) Tng t, ta c: b + c b + c c + a c + a (3) v (4) Ly (2) + (3) + (4) theo tng v v rỳt gn, suy (1) ỳng, pcm Cõu 3: (1) cú nghim y = x x 2; x (3) (2) (y + 1) = x 2x cú nghim x 2x x (4) T (3), (4) ta cú: x = - 2, t ú ta cú y = - Vy h cú nghim (m ; - 1) Cõu 4: K MP // BD (P AD) MD ct AC ti K Ni NP ct BD ti H k e i f a o h b n 35 AM AP AM CM = = (gt) m AB AD AB CD AP CN = PN // AC Gi O l giao im AD CD BO CO MK OC = , = ca AC v BD Ta cú OD OA PK OA NH OC NH MK = = KH // MN v Suy ra: PH OA PH PK Ta cú Cỏc t giỏc KENH, MFHK l hỡnh bỡnh hnh nờn MF = KH v EN = KH MF = EN ME = NF ã ã Cõu 5: 1) T giỏc MEHF ni tipvỡ MEH + MFH = 1800 ã ã ã ã AMB = 1800 - EHF = EHA + FHB (1) ã ã ằ ) Ta cú MHF (gúc ni tip chn MF = MEF ã ã ã ã Li cú MHF + FHB = 900 = MEF + EMD ã ã FHB = EMD (2) ã ã T (1) v (2) EHA , Gi N l giao im ca MD vi ng = DMB ã ã ằ ) EHA ã ã trũn (O) ta cú DMB (gúc ni tip chn NB = NAB = NAB ã ú AN // EH m HE MA nờn NA MA hay MAN = 900 AN l ng kớnh ca ng trũn Vy MD i qua O c nh 2) K DI MA, DK MB, ta cú AH S AM HE AD S AM DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF AH AD MA HE DI = (1) BD BH MB2 DK HF ã ã ã ã ã Ta cú HMB (cựng ph vi MHF ) m FHB (CMT) = FHB = EMD ã ã ã ã v EHF EFH = DIK = DMH Vy ã ã ã ã T giỏc MEHF ni tip nờn AMH = EFH EHF = 1800 - AMB ã ã ã ã T giỏc MIDK ni tip nờn DMB = DIK IDK = 1800 - AMB ã ã ã ã DIK HFE (g.g) ú EFH = DIK EHF = IDK ID DK HE.DI ID HE = DK HF = = (2) HF HE DK.HF MA AH AD = T (1), (2) MB BD BH suy 36 S Cõu 1: Ta cú: A= 1- 2- + + + -1 -1 24 - 25 -1 = - + - + - + + 25 = - + = Cõu 2: a) T gi thit suy ra: x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + =0 2 2 ữ 2 ữ 2 ữ a +b +c b a +b +c c a +b +c a 1 1 x - 2 ữ + y - 2 ữ + z - 2 ữ = (*) a a +b +c b a +b +c c a +b +c 1 1 1 Do - 2 > 0; - 2 > 0; - 2 > a a +b +c b a +b +c c a +b +c Nờn t (*) suy x = y = z = 0, ú M = a + 8a - b) x = 2a + 3x a - ữ ữ 3 x3 = 2a + 3x ( - 2a ) 3 x = 2a + x(1 - 2a) x + (2a - 1) x - 2a = (x - 1) (x2 + x + 2a) = x - = x = x + x + 2a = (vô nghiệm a > ) nờn x l số nguyờn duơng Cõu 3: 4c 35 4c 35 35 a) Ta cú: 4c + 57 + a + 35 + 2b + a 2b + 35 > ( )( ) 1 4c (1) 35 Mt khỏc + a 4c + 57 - 35 + 2b + a - 4c + 57 35 + 2b 4c 35 2b +1 1= +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b 37 2b 57 57 + 35 + 2b 1+a 4c + 57 ( + a ) ( 4c + 57 ) 4c >0 (2) 35 Ta cú: - + a - 4c + 57 + 35 + 2b a 57 35 + 1+a 4c + 57 35 + 2b 35 57 ( 4c + 57 ) ( 35 + 2b ) > (3) T (1), (2), (3) ta cú: 8abc 35 57 ( + a ) ( 4c + 57 ) ( 2b + 35 ) ( + a ) ( 2b + 35 ) ( 4c + 57 ) Do ú abc 35.57 = 1995 Du = xy v ch a = 2, b = 35 v c = 57 Vy (abc) = 1995 b) t t = A B C D = = = A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D t = a+b+c+d Vỡ vy aA + bB + cC + dD = a t + b t + c 2t + d t = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) A+B+C+D a+b+c+d = (a + b + c +d)(A + B + C + D) A Cõu 4: a) Xột ABC cú PQ // BC AQ QP = AB BC BQ QM = Xột BAH cú QM // AH BA AH Cng tng v ta cú: AQ BQ QP QM QP QM + = + 1= + AB AB BC AH BC AH 38 Q B M P H N C 2SMNPQ QM QP QM QP 1= + = ữ AH BC AH SABC BC S SMNPQ ABC S QP QM BC max SMNPQ = ABC = = QP = BC AH 2 Tc l PQ l ng trung bỡnh ca ABC, ú PQ i qua trung im AH b) Vỡ = QP QM QP + QM + QP + QM = BC m BC = AH = BC AH BC Do ú chu vi (MNPQ) = 2BC (khụng i) Cõu 5: HCD ng dng vi ABM (g.g) m B AB = 2AM nờn HC = 2HD t HD = x thỡ HC = 2x Ta cú: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x A HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x Vy AH = 3HD H M C D 39 [...]... hơn 1 (vô lí vì trái với giả thi t) Chứng tỏ C∈ (C1) hoặc C∈ (C2) Như vậy 99 điểm đã cho đều thuộc (C1) và (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + 1 nên theo nguyên tắc Dirichle ắt phải có một hình tròn chứa không ít hơn 50 điểm ĐỀ SỐ 2 Câu 1: a) Theo bài ra ta có: 2011( x + y − 2011) = 2 010 ( y − x + 2 010) 23 + Nếu x + y - 2011 = 0 thì y - x + 2 010 = 0  x − y = 2 010 2x = 4021  x = 2 010, 5 ⇒ ⇔ ⇔   x + y = 2011... 600 = 300 1 Do đó 1 · · ADE = AED = (1800 − 300 ) = 750 2 b) Từ giả thi t, dễ thấy tam giác BEF vuông cân tại B, nên Eµ1 = 450 Từ đó ta có: 3 2 1 M F O 1 2 1 A B · · ¶ +E µ = 750 + 600 + 450 = 1800 suy ra 3 điểm D, E, F thẳng DEF = DEA +E 2 1 hàng, đpcm µ =A ¶ (cùng chắn cung EM) suy ra B µ = 300 nên B ¶ = 300 c) Ta có: B 1 1 1 2 ¶ nên E ¶ = 300 Mà E¶ 3 = B 2 3 0 ¶ ¶ Vậy E 2 + E 3 = 60 + 300 =... + 2 2 + 2 2 + 3 ≤ + + +3 x +y y +z 2xy 2yz x +z 2xz 2 2 2 x 3 + y3 + z3 ⇔ 2 + + ≤ + 3 , đpcm x + y2 y2 + z2 z2 + x 2 2xyz 10 Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 (1) Điều kiện: x ≥ − (2) 3 (1) ⇔ (3x + 10 - 2 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = 0 ⇔ ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 = 0  3x + 10 - 1 = 0 ⇔  ⇔ x = - 3 (thỏa mãn đk (2)  x + 3 = 0 = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3 2x  2  x 2 y 2 - 2x + y... = 2 010 2x = 4021  x = 2 010, 5 ⇒ ⇔ ⇔   x + y = 2011 2y = 1  y = 0,5 + Nếu y - x + 2 010 = 0 thì x + y - 2011 = 0, ta cũng được kết quả như trên 2011 y − x + 2 010 = vô lý (vì VP là số 2 010 x + y − 2011 + Nếu x + y - 2011 ≠ 0 thì hữu tỉ, VT là số vô tỉ) Vậy x = 2 010, 5 và y = 0,5 là cặp số duy nhất thoả mãn đề bài b) Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2012 (z + 1)(xy + y + x +... x = y 2 + 1 ≤ 1 ⇒ x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 1 (3) (4) 19 Từ (3) và (4), suy ra x = -1, thay vào hệ đã cho ta được y = 1 Vậy P = 2 II - LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỀ SỐ 1 Câu 1: a) Đặt x - 2 4 = t (1), suy ra x 2 + 2 = t 2 + 4 x x  t = −1 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 – 4t – 5 = 0 ⇔  t = 5 Lần lượt thay các giá trị của t vào (1) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1 = 1; x2 = - 2; x 3 = 5 + 33 5 − 33... trình bậc nhất đối với hai ẩn x, y) • Trong bài toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = 1 , C(x) = x2, a = 2 x Phương trình Q(x) = P(a) ⇔ Số x = 30 1 =2 x 1 được nghĩ ra như thế đó 2 1 2 ⇔ x = , tức là b = 1 2 2) Chú ý: Không cần biết phương trình (2) có bao nhiêu nghiệm Chỉ cần biết (có thể là đoán) được một nghiệm của nó là đủ cho lời giải thành công 3) Một số bài tập tương tự a) Tính giá trị... - c) ( b - c) , c ( a - b) 2 = ac - a 2 - bc + b 2 ( a - b) ( a - c) ( b - c) Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta có a b c + + = 0 (đpcm) 2 2 (b - c) (c - a) (a - b) 2 b) Đặt 4 2 010 = x ⇒ 2 010 = x 2 ; 2 010 = x 4 Thay vào ta có: 2 x -x 1+x  A=  + ÷ x   1-x 2 2 2 2 1 + 4 2 x x =  1 2  ÷ 1 + x2 x 1+ 2 1   1 + 2 ÷ x   1 + x2 2 1 1 =  ÷ -  ÷ =0 x x Câu 2: a) Vì a, b, c là độ... - x) = 13.4 ⇒ 2 x - 1 + 3 5 - x ≤ 2 13 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3 x - 1 = 2 5 - x ⇔ x = Thay vào pt đã cho thử lại thì thỏa mãn Vậy pt có nghiệm x = 29 13 1   2 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f  ÷ = x ∀x ≠ 0 (1) x 1   Thay x = 2 vào (1) ta có: f(2) + 3 f  ÷ = 4 2 28 29 13 Thay x = 1 1 1 vào (1) ta có: f  ÷ + 3.f(2) = 4 2 2 1 Đặt f(2) = a, f  ÷ = b ta có 2 Vậy f(2) = - a + 3b =... trong (C1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C1) Ta có: AB > 1 (1) Vẽ hình tròn (C2) tâm B, bán kính bằng 1 + Giả sử C là một điểm bất kì khác A và B Khi đó điểm C thuộc một trong hai hình tròn (C1) và (C2) Thật vậy, giả sử C không thuộc hai hình tròn nói trên Suy ra: AC > 1 và BC > 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra bộ 3 điểm A, B, C không có hai điểm nào có khoảng... = x; = =3 2 2 x ≥ 0 Do đó: - Hoặc: x 2 + 1 = x ⇔  2 2 vô nghiệm x + 1 = x - Hoặc: x 2 + 1 = 3 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ± 2 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ± 2 2 ĐỀ SỐ 39 Câu 1: (2 điểm) 1) Tính: 48 - 2 75 + 108 = 16 3 - 2 25 3 + 36 3 = 4 3 - 10 3 + 6 3 = 0 2) Rút gọn biểu thức: P = = 1 +   x - 1 + x  x - 1 ÷ ÷ ÷ 1- x x ÷  = 1   1  ÷ 1 - x 1 + x  2 x 1- x 1   1 ÷ x  -2 x -1 =