PHUONG TRINH KHONG MAU MUC

Chuyên đề các bài toán phương trình không mẫu mực. Nội dung các bài toán rất phong phú giúp các bạn sinh viên nghiên cứu và tham khảo , đặc biệt là các bạn sinh viên sư phạm toán đang học và làm luận án

Trang 1

TRƯỜNG CĐSP BÌNH DƯƠNG

KHOA TỰ NHIÊN

Chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẤT QUI TẮC

Trong quá trình học toán, các bạn học sinh có thể gặp những bài toán mà đầu đề có vẽ

“lạ” , “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các qui tắc , các phương pháp quen thuộc Những bài toán như vậy thường được gọi là “không mẫu mực “ các bài toán đó có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học Đương nhiên , quen thuộc hay “không mẫu mực”chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình độ , vào kinh nghiệm của người giải toán; có bài toán là “lạ”,”không mẫu mực”đối với người này , nhưng là quen thuộc đối với người khác

Do vậy qua kinh nghiệâm giảng dạy bộ môn phương pháp dạy học toán, chúng tôi đã tổng hợp, phân loại và hương dẫn phương pháp giải đối với nhiều phương trình “ không mẫu mực” ở các lớp 8,9 và đầu phổ thông trung học Chúng tôi vui mừng giới thiệu với các bạn yêu toán về chuyên đề này, rất mong được đóng góp những điều bổ ích cho các bạn yêu thích toán

Người viết chuyên đề

Trang 2

A PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

I PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Bằng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình cần giải về phương trình tích dạng

f(x).g(x)… h(x) = 0 , với f(x)=0, g(x)=0….h(x)=0 là những phương trình quen thuộc

Nghiệm của phương trình cần giải là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x)=0 , g(x)=0….h(x)=0

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Giải : (1)⇔ x2(x2 −1)−10x(x2 −1)+24(x2 −1)=0

⇔ (x2 −1)(x2 −10x+24)=0

⇔ (x+1)(x-1)(x-4)(x-6) =0

Vậy ; x1 =−1;x2 =1;x3 =4;x4 =6 là nghiệm của phương trình

Giải : Điều kiện x≥-3

(2)⇔ (x+3)(x+7)-3 x+3- 2 x+7+6 = 0 ⇔ x+3( x+7 - 3)-2( x+7 - 3) = 0

⇔( x+7 - 3)( x+3 - 2) = 0

⇔

023

037

=

−+

=

−+

⇔ 2x −4=0 ⇔ (x1 =3 ; x2 =2) là nghiệm của phương trình

1 Giải phương trình x4 −10x3 +23x2 +10x−24=0 (1) (lớp 8 )

2 Giải phương trình : x2 +10x+21 = 3 x+3+2 x+7 - 6 (2)( lớp 9)

3 Giải phương trình : 6x−27.2x −4.3x +108=0 (3) ( lớp 8 )

Trang 3

Giải : Aùp dụng hằng đẳng thức : (a+b)3 −(a3 +b3)=3ab(a+b)

21

⇔ 2x+1 = 0 ⇔ x =

-21

⇔ 3(x-3)(x+1)(x-1) = 0 Nghiệm của phương trình đã cho là: 3 ; -1 ; 1

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn , đưa phương trình cần giải về dạng phương quen thuộc ( với ẩn phụ ) Giải phương trình với ẩn phụ , từ đó tìm ra nghiệm của phương trình đã cho

5 Giải phương trình : 8x3 =(4x+1)3−(2x+1)3 (5) (lớp 8)

6 Giải phương trình : (x−3)3 +(x+1)3 =8(x−1)3 (6) (lớp 8)

Trang 4

Giải : (7) ⇔[(x−2)(x+6)][.(x−4)(x+8)]+36=0 ⇔

036)324)(

Ta có : 2x−3=1⇔ x=2 Nghiệm của phương trình đã cho là : 2

Giải : Đặt y = 3 x2 +5x−2 thì x2 +5x= y3 +2 (9) trở thành y3 −2y+4=0

⇔(y+2)(y2 −2y+2)=0 Vì y2 −2y+2=(y−1)2 +1> 0 > Nên y+2 = 0

tức y = -2 ⇒ x2 +5x=(−2)3 +2 ⇔(x + 2 )(x + 3) = 0

Nghiệm của phương trình đã cho là : -2 ; -3

Giải : Đặt x+1 = y , khi đó (10) trở thành :

0)4)(

10(

0406

82)1(

)

1

Vì y2 +10≠0 nên y2 −4=0 hay (x+1)2 =4⇔x1 =1;x2 =−3

Nghiệm của phương trình đã cho là : 1 ; -3

Chú ý : Đối với phương trình dạng (x+a)4 +(x+b)4 =c (a,b,c là hằng số)

Đặt ẩn phụ y = x + a+b thì phương trình cần giải đưa về dạng quen thuộc

7 Giải phương trình : (x-2)(x-4)(x+6)(x+8) = -36 (7) ( lớp 8 )

8 Giải phương trình : 2x−2+2 (2x−3) + 2x+13+8 (2x−3) =7 (8) (lớp 9)

9 Giải phương trình : x(x+5)=23 x2 +5x−2−2 (9) (lớp 9)

10 Giải phương trình : (x+2)4 +x4 =82 (10) (lớp 8 )

Trang 5

là dy4 +ey2 +g=0 ( d,e,g là hằng số )

Giải : Đặt (x2 −2x+2)2 = y ( y≥0 ) Phương trình đã cho trở thành

0)16)(

4(064

22

⇔ x x x x ; x2 +2x+2=(x+1)2 +1≠0 Vậy x2 −6x+2=0

7)

3

⇔ x Vậy x= 7+3 hoặc x=− 7+3

Nghiệm của phương trình đã cho là : 2+2 ; − 2+2 ; 7+3 ; − 7+3

Giải : Rõ ràng x=1 không phải là nghiệm của (12) Chia hai vế của (12) cho n (x−1)2

x

x x

x

1

12

3)1(

)1(

1

⇔ y y Vậy y = 1 hoặc y = -3

2011

13)

3(1

13

x

x x

13+

−

= n n

x khi và chỉ khi n lẻ

Giải : Đặt 2x+13 = 2y , khi đó x+4 = y

13(04

2516

11 Giải phương trình : (x2 −2x+2)4 −20x2(x2 −2x+2)2 +64x4 =0 (11) (lớp 8)

12 giải phương trình : n (x+1)2 −3n (x−1)2 =−2 n (x2 −1) (12) ( lớp 9 )

với n∈N ; n≥2

13 Giải phương trình : (x+4)4 =2(2x+13)3 +50(2x=13) (13) (lớp 9)

Trang 6

mà y y 5y

2

54

4

250

42

=+

−

⇔

=+

4

25250

202

22

256

22

256

;4

16

Giải : Đặt y =x2 +9x+a phương trình đã cho trở thành : x y = y y−+x x

Từ đó xy−x2 = y2xy ⇒x= y Nhưng khi đó mẫu số bằng 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi a

III PHƯƠNG PHÁP NHÓM , THÊM BỚT , TÁCH CÁC SỐ HẠNG

Đưa phương trình đã cho về dạng quen thuộc bằng cách nhóm các số hạng ở hai vế

Hoặc tách mỗi số hạng thành hiệu ( tổng ) của hai biểu thức Nhờ đó có thể thu gọn được từng cặp biểu thức trung gian

18

1)7)(

6(

1)

6)(

5(

1)

5)(

4(

++

+++

x x x

x x

x

14 Giải phương trình :

a x x

x

++

=+

130

11

120

9

1

2 2

++

+++

++

x

Trang 7

x x

Như vậy vế trái của (16) là : x+1−1

Phương trình đã cho trở thành : x+1−1=4 ⇔ x=24

Nghiệm của phương trình đã cho là : 24

1694

2971

1696

2951

1698

2931

19911698

19911700

11698

11700

1)1991

11698

11700

324

51

325

41

326

31

329325

329326

329327

2222

=

+++

++++

x x

x x x x

2951698

2931700

5325

4326

3327

2

=

++

x

(18) ( lớp 8 )

Trang 8

0

5

1324

1325

1326

1327

1)329

1325

1326

1327

(

2 2

=+

−

−+

−++

−

−+

−

+

−++

−+

+

−

−+

+

−

⇔

x x x

x x

x

x x x

x x

x

0)54()63()63()252()252()116

0)54()116

mà (x2 −6x+11)=(x−3)2 +2 > 0 và (x2 −4x+5)=(x−2)2 +1 > 0

nên từ (20') ta có x2 −6x+11= x2 −4x+5 ⇔ x=3

IV PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG KIẾN THỨC BẤT ĐẲNG THỨC

* Loại 1 : Đưa phương trình cần giải về dạng f(x) = g(x) mà f(x)≥a; g(x)≤a

(a là hằng số ) Nghiệm của phương trình là các giá trị x thoả mãn đồng thời

f(x) = a , g(x) = a

• Loại 2 : Đưa phương trình cần giải về dạng h(x)=a ( a là hằng số )

Mà ta luôn có h (x) ≥a hoặc h(x)≤a thì nghiệm phương trình là giá trị của biến x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

1

11

2

12

3

++

++++

+++

)1)(

1172()42)(

883()9)(

1311

3

( x2 − x+ −x2 −x+ + x2 − x+ x2 − x− =− x2 − x+ x+ (20) (lớp 9)

Trang 9

Giải : (21) ⇔ 3(x+1)2 +4 + 5(x+1)2 +9 = 5−(x+1)2 ( 21')

Mà 3(x+1)2 +4+ 5(x+1)2 +9 ≥ 4+ 9 =5 ; 5−(x+1)2 ≤5

Ta có ( 21') khi và chỉ khi (x+1)2 =0 hay x = -1

Nghiệm của phương trình đã cho là : -1

Do đó (24')⇔ (x−3)2 =0 hay x = 3 Nghiệm của phương trình đã cho là : 3

21 Giải phương trình : 3x2 +6x+7+ 5x2 +10x+14 =4−2x−x2 (21) (lớp 9)

22 Giải phương trình : 2x2 −8x+12 =3− 4 3x2 −12x+13 (22) (lớp 9)

x2 −6x+11+ x2 −6x+13+4 x2 −4x+5 =3+ 2 (23) (lớp 9)

116

−

+

x x

x

19 x− 1 +54x2− 1 +916x2− 3x+ 2 =3 (25) (lớp 9)

Trang 10

Giải : Để các căn thức có nghĩa x phải thoả : x−1≥0; x2 −1≥0 ; x2 −3x+2≥0

Khi đó 19 1 54 2 1 916 2 3 2 190 50 910 3

=++

≥+

x

Ta có (25) khi và chỉ khi có đồng thời x−1=0 ; x2 −1=0 ; x2 −3x+2=0 ⇒ x=1

Giải : Aùp dụng ( , 0)

+

b a ab

b a

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b ( Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm )

Ta có x2 −2x+2=(x−1)2 +1 > 0 ; x2 −4x+5=(x−2)2 +1 > 0

2

)54()22(5,3

42

2)

11

( Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ) Ta có :

2

1322

)25()1(

)25)(

1(

233

5

2 2

x

Do đó (27) ⇔ x2 +x+1=5x−2 ⇔ x2 −4x+3=0⇔ (x−1)(x−3)=0

Nghiệm của phương trình đã cho là : 1 ; 3

Giải : Aùp dụng a + b ≥ a+b ( dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab≥0 )

2 2

28 Giải phương trình : 3x−1 + 2 x−1 = 5x−3 (28) ( Lớp 8 )

Trang 11

Do đó (28) ⇔ (3x−1)(2x−2) ≥0 hay x≥ 1 hoặc

Do đó (30) ⇔ ( x−1−2)(3− x−1) ≥0 Từ đó ta tìm được nghiệm của (30)

Giải : Aùp dụng :(a2 +b2)(x2 + y2≥(ax+by)2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a x = b y

( Bất đẳng thức Bunhia cốpxki – Côsi )

)72(3)63(2)72()63()32

6

2

=+

−

⇔+

−

=+

−

⇔ (x−1)(x−4)=0 Vậy x = 1 hoặc x =4

Nghiệm của phương trình đã cho là : 1 ; 4

29 Giải phương trình : 4 x+1 − x−2 − 3 x+2 =0 (29) (lớp 8)

30 Giải phương trình : x+3−4 x−1+ x+8−6 x−1 =1 (30) (lớp 9 )

13[(x2 −3x+6)2 +(x2 −2x+7)2] =(5x2 −12x+33)2 (31) (lớp 10)

Trang 12

V PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT

Với một số phương trình , có thể thử trực tiếp để thấy một vài nghiệm của phương trình , rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài ra phương trình không có nghiệm nào khác nữa

Giải : Có thể thấy ngay rằng x = 0 là nghiệm của (32)

Nếu x≠ 0 , ta có 2 2 3 3 2 20 3 30 9

=+

≥

Do đó x≠0 không thể là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 0

Giải : (33) 1 (33)

5

45

Ta nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình Nếu x > 2 thì : x

5

45

5

45

Vậy x < 2 không phải là nghiệm của phương trình

Kết luận : phương trình có nghiệm duy nhất là 2

32 Giải phương trình : 2x2+ 3 + 3x2 = 9 (32) ( lớp 8 )

33 Giải phương trình : 3x + 4x =5x ( 33 ) ( lớp 10 )

34 Giải phương trình : 2

10x x x

x = − ( x > 0 ) ( 34 ) ( lớp 10 )

Trang 13

Giải : Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 1

Giải : Điều kiện x≥0

• Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

• Với 0 ≤ x < 1 thì : 3 x2 +26+3 x + x+3 < 31+26+3 1+ 1+3=8 phương trình vô nghiệm với 0≤ x < 1

• Với x > 1 thì : 3 x2 +26+3 x + x+3 > 31+26+3 1+ 1+3=8 phương trình vô nghiệm với x > 1

Kết luận : phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : 1

Giải : Điều kiện : x≥1

• Ta nhận thấy x = 2 là nghiểm của phương trình đã cho

• Nếu 1 ≤x < 2 thì 5 x2 +28+23 x2 +23+ x−1+ x < 5 32+23 27+ 1+ 2 = = 9+ 2 Vậy với 1≤ x < 2 phương trình đã cho vô nghiệm

• Nếu x > 2 thì thì 5 x2 +28+23 x2 +23+ x−1+ x > 5 32+23 27+ 1+ 2

=

= 9 + 2 Vậy với x > 2 phương trình đã cho vô nghiệm

Kết luận : phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : 2

35 Giải phương trình : 3 x2 +26+3 x + x+3=8 (35) (lớp 9)

5 x2 +28+23 x2 +23+ x−1+ x = 2+9 ( 36 ) ( lớp 9 )

37 Giải phương trình : x−316 + x−4 17 =1 (37) ( lớp 8 )

Trang 14

Giải : Dễ nhận thấy x = 3 hoặc x = 4 là nghiệm của phương trình

* Néu 3 < x < 4 ta có : x−3 < 4 – 3 = 1 và x−4 < 1 ;

Vậy 3 < x < 4 không thể là nghiệm của phương trình đã cho

Kết luận : phương trình đã cho có nghiệm là : 3 ; 4

Kết luận : : phương trình đã cho có nghiệm là : 2 ; -2

Giải tương tự bài 33

VI PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đặt các ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình đã cho về việc giải một hệ phương trình quen thuộc

19 4 8 2 17 5 4 8 2 18 91 4 8 2 16 45

=+

Trang 15

Nghiệm của phương trình (40) là nghiệm của phương trình : 2x− x+1 = x+1

Hay x = 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : 3

Cả hai giá trị : 2 ; -2 đều là nghiệm của phương trình đã cho

41 Giải phương trình : x= a− a+x ( a là tham số ) (41) ( lớp 9 )

42 Giải phương trình :  7+ 48x + 7− 48x =14 ( 42 ) ( lớp 9 )

Trang 16

Nghiệm của phương trình đã cho là : x = 0

Gợi ý : Điều kiện x≤2 Đặt 2−x = y; y≥0 −x2 +2= y

Ta được : x=2 y− 2 và có hệ :

−y2 +2= x

⇒ y2 −x2 = y−x hay (y−x)(y+x−1)=0 Từ đó tìm được nghiệm của phương trình

Gợi ý : Điều kiện

1

3 +x+ −x = (45) (lớp 9 )

46 Giải phương trình : 3 x+a−3 x+b =1 (46) (lớp 9 )

Trang 17

3 1

2

3)(41

;2

3)(41

Trang 18

B PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TÌNH TÍCH

Đưa phương trình đã cho về dạng một vế là tích các biểu thực nguyên chứa ẩn Còn vế kia là một số nguyên Xét mọi trường hợp có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp

Ta gán cho cách giải này là phương pháp đưa về phương trình “ tích “

Nghiệm nguyên ( x,y ) của phương trình cần tìm là : ( 2,2 ) ; ( 0, 0 )

Giải : ( 49 ) ⇔ (y−4)(x+5)=15 Vì x,y∈N Nên x+5≥5 và là ước của 15 , do đó : x + 5 = 5 , y – 4 = 3 hoặc x + 5 = 15 , y - 4 = 1 ⇔ x = 0 , y = 7

47 Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 +91 y= 2 (47) (lớp 8)

48 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + y = x.y (48) (lớp 8)

49 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : xy−4x=35−5y (49) ( lớp 8 )

Trang 19

Giải : Với x≤ y thì 2x −2y ≤0 Đẳng thức (50) không xảy ra

Với x = 0 thì 2x−1=1984 , không có số tự nhiên x nào thoả mãn đẳng thức này Xét x > y ≥1 : (50) ⇔ 2y(2x−y −1)=26.31⇔(2x =26 ;2x−y −1=31⇔ ( x=11; y=6 ) Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình : x =11 ; y = 6

Gợi ý : (51) ⇔ 2x(2y−x +2z−x +1)=25.73⇒ ( 2x =25, 2y−x +2z−x +1=73)

11

;8

;

=

Giải : ( 52 ) ⇔ y2 −2x =135 (52' ) Xét hai trường hợp :

* / x chẵn : đặt x = 2n , (n∈Z) Từ (52') ta có : (y+2n)(y−2n)=153

mà 153 = 1.153 = 3.51 = 9.17 Vì y 2− n < y 2+ n nên từ (52') ta suy ra :

(a) / y+2n =153 (b) / y+2n =51 (c) / y+2n =17

y−2n =1 y−2n =3 y−2n9

Hệ (a) và (b) vô nghiệm tự nhiên Hệ (c) có nghiệm là : y = 13 ; n = 2 tức x = 4

* / x lẻ : ⇒ y2 +1−(2x +1)=153 ; 1533 và 2x +13( x lẻ ) nên : y2 +13 Điều này không thể xảy ra Do đó phương trình vô nghiệm với x lẻ

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x =4 ; y =13

Giải : (53) ⇔ x2 −(y+3)2 =16 ⇔ ( x + y+3 ( x − y+3 )=16 (53')

Do x + y > 0 nên từ (53') ta có x − y+3 > 0 ; mà x + y+3 ≥ x − y+3

Và ( x + y+3 ) (+ x − y+3 )=2 x chẵn , nên x + y+3 và x − y+3 cùng tính chẵn lẻ Ta có ; 16 = 4.4 = 8.2

50 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x−2y =1984 (50) (lớp 8 )

51 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

Trang 20

x q

p q

Suy ra ; p = 5 hoặc p = -6 thử lại , cả haigiá trị đều thoả mãn

Vậy số hữu tỷ x cần tìm là : x = 5 : x = -6

II PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH “TỔNG”

1 Đưa phương trình nghiệm nguyên đã cho về dạng :

n k

k k

n k

f1 ( , )+ 2 ( , )+ + ( , )= 1 + 2 + + với a1,a2 ,a n ∈Z

f1(x,y ),f2(x,y ) f n(x,y )∈Z Từ đó tìm ra nghiệm thích hợp

2 Dưa phương trình nghiệm nguỵen cầ giải về dạng : g f x x y y = b a

),(

, a , b là hằng số Viết hai vế dưới dạng liên phân số hữu hạn ; từ đó tìm được nghiệm nguyên của phương trình

54 Tìm các số hữu tỷ x sao cho giá trị của biểu thức : x2 +x+6 là một số chính phương (54) ( lớp 8 )

55 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	1,65 MB