Phương trình không mẫu mực-toán ôn thi đại học

PH NG TRÌNH KHÔNG M U M CƯƠ Ẫ Ự PH NG TRÌNH KHÔNG M U M CƯƠ Ẫ Ự L I GI I THI UỜ Ớ Ệ L I GI I THI UỜ Ớ Ệ rong quá trình h c toán, các b n h c sinh có th g p đây đó mà đ u đ có vọ ạ ọ ể ặ ầ ề ẻ “l ” , nh ng bài toán này không th tr c ti p áp d ng nh ng quy t c quenạ ữ ể ự ế ụ ữ ắ thu c. Nh ng bài toán nh v y th ng đ c g i “không m u m c” (non –ộ ữ ư ậ ườ ượ ọ ẫ ự standard problems), có tác d ng không nh trong vi c rèn luy n t duy toán h c vàụ ỏ ệ ệ ư ọ th ng là th thách c a sinh trong nh ng kì thi h c sinh gi i , thi vào các l p chuyênườ ử ủ ữ ọ ỏ ớ toán , thi vào đ i h c.ạ ọ T Đ các ph ng trình và h ph ng trình “không m u m c” d n tr thành “quenể ươ ệ ươ ẫ ự ầ ở thu c” v i mình, chúng tôi xin gi i thi u v i các b n h c sinh yêu toán m t chuyên độ ớ ớ ệ ớ ạ ọ ộ ề v v n d trên .ề ấ ề Trong lúc biên so n ch n không th không sai sót, r t mong đ c s góp ý c a cácạ ắ ể ấ ượ ự ủ đ c gi .ộ ả Nguy n Lê Anh Khoaễ Nguy n Lê Anh Khoaễ Thái H u Đăng Khangữ Thái H u Đăng Khangữ Nguy n Kh c Thiên Ch ngễ ắ ươ Nguy n Kh c Thiên Ch ngễ ắ ươ Nguy n Minh Hùng.ễ Nguy n Minh Hùng.ễ 1 M c l c:ụ ụ PH NG TRÌNHƯƠ PH NG TRÌNHƯƠ I. Ph ng pháp th ng v n d ngươ ườ ậ ụ 1. Đ a v ph ng trình tíchư ề ươ 2. Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ 3. Ch ng minh nghi m duy nh tứ ệ ấ 4. Đ a v h ph ng trìnhư ề ệ ươ II.Bài t p v n d ngậ ậ ụ 1. Đ bàiề 2. H ng d n gi iướ ẫ ả 2 PH NG TRÌNHƯƠ I.PH NG PHÁP TH NG V N D NG:ƯƠ ƯỜ Ậ Ụ 1. Đ a v ph ng trình tíchư ề ươ a) Các b cướ  Tìm t p xác đ nh c a ph ng trình.ậ ị ủ ươ  Dùng các phép bi n đ i đ i s , đ a ph ng trình d ng f(x) . g(x) … h(x) = 0ế ổ ạ ố ư ươ ạ (g i là ph ng trình tích). T đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; … ; h(x) = , là nh ngọ ươ ừ ữ ph ng trình quen thu c. Nghi m c a ph ng trình là t p h p các nghi m c aươ ộ ệ ủ ươ ậ ợ ệ ủ các ph ng trình f(x)=0; g(x) = 0; … ;h(x) = 0 thu c t p xác đ nh.ươ ộ ậ ị  Đôi khi dùng n ph thay th cho m t bi u th c ch a n, đ a v d ng tíchẩ ụ ế ộ ể ứ ứ ẩ ư ề ạ (v i n ph ). Gi i ph ng trình v i n ph , t đó tìm nghi m c a ph ngớ ẩ ụ ả ươ ớ ẩ ụ ừ ệ ủ ươ trình đã cho.  Dùng cách nhóm s h ng, ho c tách các s h ng … đ đ a ph ng trình vố ạ ặ ố ạ ể ư ươ ề d ng quen thu c mà ta đã bi t cách gi iạ ộ ế ả b) Thí dụ 1.Gi i ph ng trình:ả ươ 2 10 21 3 3 2 7 6x x x x + + = + + + − (1) Gi iả (1) ⇔ ( 3)( 7) 3 3 2 7 6 0x x x x+ + − + − + + = ⇔ 3( 7 3) 2( 7 3) 0x x x+ + − − + − = ⇔ ( 7 3)( 3 2) 0x x+ − + − = ⇔ 3 2 0 7 3 0 x x  + − =  + − =   ⇔ 7 9 3 4 x x + =   + =  ⇔ 2 1 x x =   =  Đs: 2 ; 1 2.Gi i ph ng trình:ả ươ 3 3 2 3 ( 3 2) ( 1) (2 3) 0x x x x x− + + − + + + − = (2) Gi iả Áp d ng h ng đ ng th cụ ằ ẳ ứ : (a-b) 3 + (b-c) 3 + (c-a) 3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) 3 V i : ớ 2 2 1 2 3 4 a x x b x c x x = − − = − = + − Đs: 1 5 3 2;1; ; 2 2 ± 4 3.Gi i ph ng trình:ả ươ 5 4 3 2 2x x x x x = + + + + (3) Gi iả Đs: 2 4. Gi i ph ng trình:ả ươ 2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18x x x x x x + + = + + + + + + (4) Gi iả 1 1 1 1 (4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18x x x x x x ⇔ + + = + + + + + + (đi u ki n x ≠ -4 ,-5, -6, -7) ề ệ 2 1 1 1 1 1 1 1 (4) 4 5 5 6 6 7 18 1 1 1 4 7 18 11 26 0 ( 13)( 2) 0 x x x x x x x x x x x x ⇔ − + − + − = + + + + + + ⇔ − = + + ⇔ + − = ⇔ + − = Đs: -13; 2 5. Gi i ph ng trình:ả ươ 294 296 298 300 4 1700 1698 1696 1694 x x x x − − − − + + + = (5) Gi iả ( ) 294 296 298 300 (5) 1 1 1 1 0 1700 1698 1696 1694 1 1 1 1 1994 0 1700 1698 1696 1694 1994 0 x x x x x x − − − −         ⇔ − + − + − + − =  ÷  ÷  ÷  ÷           ⇔ − + + + =  ÷   ⇔ − = Do 1 1 1 1 0 1700 1698 1696 1694 + + + 〉 Đs: 1994 6. Gi i ph ng trình:ả ươ 1 1 1 1 3 2 2 1 1x x x x x x + + = + + + + + + + + (6) Gi iả Đi u ki n:ề ệ x ≥ 0 ( ) ( ) ( ) (6) 3 2 2 1 1 1 3 1 1 x x x x x x x x x ⇔ + − + + + − + + + − = ⇔ + − = ⇔ = Đs:1 5 5 4 3 2 4 3 2 (3) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) 0 x x x x x x x x x x ⇔ − − + + + + ⇔ − + + + + = 7. Gi i ph ng trình:ả ươ ( ) ( ) ( ) 4 3 4 2 2 13 50 2 13x x x + = + + + (7) Gi iả Đ t ặ 2 3 5 4 2 2 x y x y + = ⇒ + = − 4 3 5 (7) 16 100 2 y y y   ⇔ − = +  ÷   4 2 5 25 16 0 2 4 y y y     ⇔ − − + =  ÷  ÷     (*) Ta có 2 2 2 25 5 5 4 2 y y y   + = − +  ÷   nên(*)đ c vi t là:ượ ế 4 2 2 2 5 5 16 80 0 2 2 y y y y     − − − − =  ÷  ÷     (**) Đ t ặ 2 5 2 t y   = −  ÷   (**) tr thành :ở ( ) ( ) 2 2 16 80 0 4 20 0 t yt y t y t y − − = ⇔ + − = Gi i ra ta đ cả ượ Đs: 10 6 1 10 6 1 ; 4 4 − − − 8. Gi i ph ng trình:ả ươ ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x + + − = (8) (câu 3 d 52 b tuy n sinh đ i h c 1993)ề ộ ể ạ ọ Gi iả Đ t ặ ( ) 2 3 x y = − (y > 0) Đs: 2 ; -2 9. Gi i ph ng trình:ả ươ ( ) ( ) 2 2 4 1 1 2 1 2 1x x x x− + = + + − (9) (Trích câu 2 đ 78 b d thi tuy n sinh đ i h c 1993)ề ộ ề ể ạ ọ Gi iả 6 ( ) 2 2 1 2 1 (8) 4 1 4 2 3 3 2 ; 2 3 y y y y y y y ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = + = − Đ t: ặ 2 1 ; 1y x y= + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (9) 4 1 2 2 1 2 4 1 2 1 0 2 4 2 2 1 0 2 1 2 1 0 x y y x y x y x y xy y y x y x y ⇔ − = + − ⇔ − − + − = ⇔ − + − − + = ⇔ − + − = Đs: 4 0 ; 3 2. Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ a) Các b cướ  Bi n đ i ph ng trình v d ng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a là h ng s )ế ổ ươ ề ạ ằ ố Nghi m c a ph ng trình là các giá tr x th a mãn đ ng th i f(x) = a và g(x) = aệ ủ ươ ị ỏ ồ ờ  Bi n đ i ph ng trình v d ng h(x) = m (m là h ng s )mà ta luôn có h(x) ≥ mế ổ ươ ề ạ ằ ố ho c h(x) ≤ m thì nghi m c a h là các giá tr x làm cho d u đ ng th c x y ra.ặ ệ ủ ệ ị ấ ẳ ứ ả  Áp d ng các b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ  Cauchy, Bunhiac pki,…ố b) Thí dụ 1. Gi i ph ng trình:ả ươ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 13 3 6 2 7 5 12 33x x x x x x   − + + − + = − +     Gi iả Áp d ng b t đ ng th c Bunhiac pki cho 4 s :ụ ấ ẳ ứ ố ố ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b c d ac bd+ + ≥ + D u “=” x y ra khi ấ ả a b c d = V iớ 2 2 2; 3; 3 6; 2 7a b c x x d x x= = = − + = − + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 6 2 7 2 3 6 3 2 7 5 12 33x x x x x x x x x x     + − + + − + ≥ − + + − + = − +       Do đó: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 6 2 2 7 5 4 0 x x x x x x − + = − + ⇔ − + = Đs: 1; 4 2. Gi i ph ng trình:ả ươ ( ) ( ) 2 2 2 3 3.5 2 2 4 5x x x x x x − + = − + − + Gi i:ả Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 4 5 2 1 0 2 2 4 5 3 3.5 2 x x x x x x x x x x x x − + = − + 〉 − + = − + 〉 − + + − + − + = 7 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 2 s d ng ụ ấ ẳ ứ ố ươ ( ) 2 2 2x x− + và ( ) 2 4 5x x− + Đs: 3 2 3. Gi i ph ng trình:ả ươ 2 2 2 4 6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x − + + − + + − + = + (3) Gi i:ả ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 (3) 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = + (*) Mà ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = + Nên (*) x y ra khi và ch khi ả ỉ ( ) ( ) 2 2 3 0 2 0 x x  − =   − =   Đi u này không th có đ c. V y ph ngề ể ượ ậ ươ trình v nghi mộ ệ 4. Gi i ph ng trình:ả ươ 2 2 2 6 15 6 18 6 11 x x x x x x − + = − + − + (4) Gi i:ả ( ) ( ) 2 2 4 (4) 1 3 9 3 2 x x ⇔ + = − + − + Mà ( ) 2 4 4 1 1 3 2 3 2x + ≤ + = − + ( ) 2 3 9 3x − + ≥ Do đó ta có: ( ) 2 3 0 3x x− = ⇔ = Đs:x = 3 5. Gi i ph ng trình:ả ươ 6 4 2 2 1 1 3 2 19 5 95 3 x x x x − − − + + + = Gi i:ả *Đi u ki n:ề ệ 2 2 1 0 1 0 3 2 0 x x x x − ≥   − ≥   − + ≥  *Ta có: 6 4 2 2 1 1 3 2 0 0 0 19 5 95 19 5 95 3 x x x x − − − + + + ≥ + + = Nên 2 2 1 0 ; 1 0 ; 3 2 0x x x x− = − = − + = Đs: 1 3. Ch ng minh nghi m duy nh tứ ệ ấ a) Các b cướ m t s ph ng trình ta có th th tr c ti p đ th y nghi m c a chúng, r iỞ ộ ố ươ ể ử ự ế ể ấ ệ ủ ồ tìm cách ch ng minh r ng ngoài nghi m này ra không còn nghi m nào khác n a.ứ ằ ệ ệ ữ 8 b) Thí dụ 1. Gi i ph ng trình:ả ươ 2 2 3 2 3 9 x x + + = (1) Gi i:ả  x = 0 là m t nghi m (1)ộ ệ  N u x ≠ 0 ta có ế 2 2 3 0 3 0 2 3 2 3 9 x x + + + 〉 + 〉 Do đó x ≠ 0 không th là nghi m c a (1)ể ệ ủ Đs: 0 2. Gi i ph ng trình:ả ươ ( ) 2 3 1 x x = + (2) Gi i:ả * D th y x = 2 không ph i là nghi m c a (2)ễ ấ ả ệ ủ * Xét x > 2.Ta có: 2 2 3 1 3 1 1 2 2 2 2 x x         + 〈 + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         x < 2. Ta có: 2 2 3 1 3 1 1 2 2 2 2 x x         + 〉 + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         Đs: 2 3. Gi i ph ng trình:ả ươ 1 1 1 2 3 5 2 3 5 x x x x x x− − − − + + = + + (3) Gi i:ả ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 (3) 2 2 1 3 3 1 5 5 1 0 x x x x x x − − − − − − ⇔ − + − + − = * 1 2 x = là nghi m c a (3)ệ ủ * Xét 1 2 x〉 => 2 1 2 1 2 1 2 1 ; 3 1; 5 1 x x x− − − 〉 〉 〉 ⇒ v trái c a (*) l n h n 0ế ủ ớ ơ * Xét 1 2 x〈 . T ng t v i lý lu n trên ươ ự ớ ậ ⇒ v trái c a (*) nh h n 0.ế ủ ỏ ơ Đs: 1 2 4. Gi i ph ng trình:ả ươ 5 2 3 2 28 2 23 1 2 9x x x x + + + + − + = + Gi i:ả  x = 2 là nghi m c a (3)ệ ủ  Xét 1 2 à x 2 x v≤ 〈 〉 không th a (3)ỏ Đs: 2 5. Gi i ph ng trình:ả ươ 1994 1995 3 4 1x x − + − = Gi i:ả  x = 3 và x = 4 là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ  Xét 3 ; 4 ; 3 4x x x〈 〉 〈 〈 Đs: 3 ; 4 9 6. Gi i ph ng trình:ả ươ 4 2 4 2 4 2 8 17 8 18 8 16 19 5 94 45 x x x x x x− + − + − + + + = (6) Gi i:ả *Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 8 17 4 1 0 8 18 4 2 0 8 16 4 0 x x x x x x x x x − + = − + 〉 − + = − + 〉 − + = − ≥ Nh n th y: x = ± 2 là nghi m c a ph ng trình (6)ậ ấ ệ ủ ươ * Xét x ≠ ± 2: không là nghi m c a ph ng trình (5)ệ ủ ươ Đs: ±2 4. Đ a v h ph ng trìnhư ề ệ ươ a) Các b cướ  Tìm đi u ki n t n t i c a ph ng trìnhề ệ ồ ạ ủ ươ  Bi n đ i ph ng trình đ xu t hi n nhân t chungế ổ ươ ể ấ ệ ử  Đ t n ph thích h p đ đ a vi c gi i ph ng trình v vi c gi i h ph ngặ ẩ ụ ợ ể ư ệ ả ươ ề ệ ả ệ ươ trình quen thu cộ b) Thí dụ 1. Gi i ph ng trình:ả ươ 3 3 1x a x b+ − + = Gi i:ả Đ t: ặ 3 u x a= + và 3 v x b= + Ta có: 3 3 1u v u v − =   −  ⇔ 1 1 . 3 u v a b u v − =   − −  =   ⇔ ( ) ( ) 1 1 . 3 u v a b u v  + − =   − + + − =   u, -v là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ 2 1 0 3 a b y y − + + − + = ⇔ 2 3 3 1 0y y a b− − + + = ( ) 3 4 4 1a b∆ = − −  N u ế 1 4 a b− 〈 thì 0∆〈 : ph ng trình vô nghi mươ ệ  N u ế 1 4 a b− = thì 0 ∆ = : suy ra 3 1 2.3 2 u v= − = = 10 [...]... a,b,c ta có: +Thay a,b,c bởi +Thay a,b,c bởi Theo hệ thức Viet ⇔ là nghiệm của PT: ⇔ ⇒ B ài 3: Dành cho bạn đọc Bài 4: +HD: Bình phương số đã cho là nghiệm của PT: ⇒ số đã cho là số vô tỉ Bài 5: *L ưu ý: Không dùng cách của bài 4 do bình phương số đã cho là 1 số hữu tỉ ⇒ Không thể kết luận +HD: Gi ả s ử là số hữu tỉ ;Đ ặt : Bi ến đ ổi là số vô tỉ ⇒ Bài 6: Dành cho bạn đọc Bài 7: Giải: 2 vế của PT là... 1 3 3 ⇔ 3v 2 + 6v + 3 = 0 ⇔ 3 ( v + 1) 2 =0 ⇔ v = −1 ⇒ u = 1 3  u = 3 x + 1 = 1 ⇒x=0 Vậy ta có:   v = 3 3 x − 1 = −1  3 Giải phương trình: 1+ x −1 1− x +1 = 2x ( )( ) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 Đặt: 1 + x = u 0 ≤ u ≤ 2 ( 11 Đs: 0 Giải: ) Suy ra: x = u 2 − 1 Phương trình trở thành: ( u − 1) ⇔ ( u − 1)    ( ) ( ) ( ) 2 − u 2 +1 = 2 u 2 −1 2 − u 2 + 1 − 2 ( u + 1)  = 0   u − 1 = 0 ⇔ 2  2 − u +... phương trình: ⇒x 3 ( 3x + 1) 2 3  ÷ −b ÷  −3 + 3 ( 4a − 4b − 1) 6 3  ÷ −b ÷  + 3 ( 3x − 1) + 9 x 2 − 1 = 1 2 (6) Giải: Đặt: u = 3 x + 1 và v = 3 x − 1 u 2 + v 2 + u.v = 1  (6) trở thành:  3 3 u − v = 2  ⇒u−v = 2⇒u = v+2 2 Do đó: ( v + 2 ) + v 2 + v ( v + 2 ) = 1 3 3 ⇔ 3v 2 + 6v + 3 = 0 ⇔ 3 ( v + 1) 2 =0 ⇔ v = −1 ⇒ u = 1 3  u = 3 x + 1 = 1 ⇒x=0 Vậy ta có:   v = 3 3 x − 1 = −1  3 Giải phương. .. Giải PT: Bài 23: Giải PT: Bài 24: Giải PT: Bài25: Giải PT: Bài 26: Giải PT: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: 14 Bài 31: Bài 32: Bài 33: Giải PT: Bi ết r ằng: B ài 34: B ài 35: B ài 36: Bài 37: Giải phương trình: 3 2 8 38 x = 2 x + 8 3 39 x + 1 + x + 2 = 5 40 x 4 + 8 x + x 4 + 8 x 2 + 4 x + 11 + x 4 + 11x 2 + 6 x + 19 = 2 41 x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3x 2 + 4 x + 1 42 2 x 3 − x 2 + 3 2 x 3 − 3 x + 1 = 3... d)(4) f)(6) g) Bài 19: +HD: C1: chuyển vế bình phương C2: ĐK: Ta thấy PT có 1 nghiệm = 1 Xét x ⇔ Làm tương tự cho x0 . = Do 1 1 1 1 0 17 00 16 98 16 96 16 94 + + + 〉 Đs: 19 94 6. Gi i ph ng trình: ả ươ 1 1 1 1 3 2 2 1 1x x x x x x + + = + + + + + + + + (6) Gi iả Đi u ki n:ề ệ x ≥ 0 ( ) ( ) ( ) (6) 3 2 2 1 1 1 3 1 1 x. 1 9 20 11 30 13 42 18 x x x x x x + + = + + + + + + (4) Gi iả 1 1 1 1 (4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18 x x x x x x ⇔ + + = + + + + + + (đi u ki n x ≠ -4 ,-5 , -6 , -7 ) ề ệ 2 1 1 1 1 1 1 1 (4) 4. 16 94 x x x x − − − − + + + = (5) Gi iả ( ) 294 296 298 300 (5) 1 1 1 1 0 17 00 16 98 16 96 16 94 1 1 1 1 19 94 0 17 00 16 98 16 96 16 94 19 94 0 x x x x x x − − − −         ⇔ − + − + − + − = 