Kĩ thuật giải toán ÕY

Phân tích,tìm hướng giải cho số toán Oxy có liên quan tới diện tích Đặt vấn đề:Chúng ta thường xuyên gặp toán hình phẳng có liên quan tới diện tích tam giác,tứ giác,để làm tốt dạng toán này,chúng ta cần nắm số tính chất,công thức sau: 1,Cho tam giác ABC,cạnh BC=a,AC=b,AB=c,đường cao ứng với đỉnh A,B,C : .hb , hc ,R bán kính đường tròn ngoại tiếp.ta có: S ABC  1 abc a.ha (a : BC , : AH)  b.hb  c.hc  2 4R 2,Cho hình chữ nhật ABCD,ta có: S ABCD  AB.BC  d (a, BC ).d (b, AB) 3,Khoảng cách từ M( x0, y0 ) tới đường thẳng ax  by  c  là: |ax  by0  c | a  b2 ,ta hiểu nhanh thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng cho 4,Cho đường thẳng d: ax  by  c  có vtpt (a,b),d’:a’x+b’y+d=0 có vtpt (a’,b’),ta có góc tạo (d,d’)= |aa ' bb ' | a  b a '2  b '2 (Nghĩa tích vô hướng chia tích độ dài),chú ý góc nằm đoạn [00 ,900 ] 5, Muốn tìm vtpt đường thẳng,thông thường ta chọn hai cách sau: 5a:Đường thẳng d’ qua M( x0, y0 ),tạo với d’:ax+by+c=0 góc a [00 ,900 ] ta gọi vtpt d=(m,n),có vtpt d’=(a,b) …giống 4,tìm mối quan hệ m,n nghĩa tìm vtpt,qua điểm ta viết phương trình đường thẳng 5b:Đường thẳng d qua M( x0, y0 ),một điểm biết tọa độ ví dụ N (x1 , y1 ) biết d(N,d) ta làm sau:Gọi vtpt d (a,b)=>Phương trình d: a( x  x0 )  b( y  y0 )   d : ax  by  ax0  by0  ,sau ta áp dụng công thức tính khoảng cách lưu ý 3,cũng tìm vtpt d,từ viết phương trình! Sau vào toán cụ thể để thấy mức độ vận dụng tính chất , công thức nào: Ví dụ 1: ( Thi thử Mỹ đức A-HN -L1-2015):Cho tam giác ABC,đỉnh B(-2,-2),phân giác góc A đường cao qua B có phương trình:x+y=0,3x-y+4=0.Tìm tọa độ A C tam giác biết diện tích tam giác ABC 24 xC>0 Phân tích, định hướng giải:Đọc đề thấy có phương trình tia phân giác,chúng ta nghĩ đến việc lấy đối xứng,điểm đối xứng thuộc AC,biết đường cao qua B,nghĩa vuông góc AC,từ viết phương trình AC,tìm A rồi,sử dụng nốt S vào khoảng cách ta tìm C thỏa mãn!.Ta vào lời giải chi tiết: Lời giải: Giả sử phân giác qua A AD.Gọi E điểm đối xứng B qua phân giác AD=> E thuộc AC K=AD giao BE,thì K trung điểm BE BE vuông góc AD  BE : x  y  K  AD  BE  K (0, 0) K trung điểm BE nên E(2,2) Đường cao qua B vuông góc AC nên AC : x  y   A  AC  AD  A(4, 4) AB  (2, 6)  2(1, 3)  vtptAB  (3,1)  AB : 3x  y   AB  10 AB= 10 1 S ABC  AB.d(C, AB)  10.d(C, AB)  24 2 24  d(C, AB)  10 Tham số C(8-3a,-a) (a< ) d (M , BC )  AB  d (M , BC )  | 3(8  3a)  a  | 24  10 10  a  7( L) | 32  8a | 24 |  a |    a  1(TM )  C (5,1) d (C, AB)  Vây : A(-4,4),C(5,1) Bình luận: Bài toán nhẹ nhàng, nắm vững số tính chất lấy đối xứng,khoảng cách toán hoàn thành! Ví dụ 2: (THTT -06-2014) Cho hai đường thẳng (d1):x+y-1=0,(d2):x-y+1=0.Lập phương trình đường tròn ( C ),cắt (d1) A (d2) hai điểm B,C cho tam giác ABC có diện tích 24 Phân tích: Định hướng giải:Bài toán hay,có điểm đặc biệt mà phải lưu ý,tránh nhầm hiểu lầm ý tưởng toán mà sai hướng: 1,( C ) cắt (d1) A,chúng ta nên hiểu rõ cắt điểm điểm A,tránh hiểu nhầm cắt điểm nghĩa tiếp xúc,bởi nghĩ không vẽ hình,từ hình dung hướng làm! 2, Thấy rõ ràng (d1) vuông góc (d2),đây điểm lưu ý giải toán,chúng ta cần xem xét kĩ xem đường thẳng liên quan không 3, Biết d1 vuông d2 điều trở nên sáng sủa nhiều d1 trung trực d2.Áp dụng công thức S ta dễ dàng tính đường cao… toán giải Lời giải: Ta có vtpt d1=(1,1),vtpt d2=(1,-1).Tích vô hướng d1.d2=1.1-1.1=0 Từ ta có d1 vuông góc d2,mà tam giác ABC nên d1 trung trực d2 Gọi d1 giao d2 M  M (0,1) S ABC  Đặt cạnh tam giác a.Ta có: AM  a a3   24 4R a    R  a  Gọi O tâm đường tròn:Ta có OM  AM  OM  2 O(a,1-a) (do O thuộc d1).từ  a  2  O(2, 1)), O(2,3) (c) : ( x  2)  ( y  1)  32  2 (c) : ( x  2)  ( y  1)  32 Bình luận:Để giải cần nắm vững công thức tính diện tích tam giác liên quan tới bán kính R,đây cho tam giác nên dễ dàng tìm được.Nhưng quan trọng phát d1 vuông góc d2,mấu chốt nằm ngườii đề dấu đi! Ví dụ 3: (Toanhoc24h-07-2015) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB,CD.biết AB=BC,điểm A(2,3),đường phân giác góc ABC có phương trình x-y-1=0,hình chiếu vuông góc điểm B lên đường thẳng CD H( 29 , ) 5 Tìm tọa độ B,C,D hình thang biết diện tích hình thang 12 Phân tích: Giả thiết cho AB=BC,nghĩa tam giác ABC cân B,biết phương trình phân giác góc B, hay phân giác đồng thời trung tuyến,đường cao,ta viết phương trình AC rồi,từ tìm C,viết phương trình BH giao phân giác tìm B,còn lại tìm D dựa vào diện tích! Lời giải: Gọi giao phân giác góc B với AC=M.Từ giả thiết có AM trung trực AC  AC :1(x  2)  1(y 3)   AC : x  y   (Do M trung điểm AC) M  AM  AC  M (3, 2)  C (4,1) Ta có: DC : x  y   BH  DC  BH : x  y  19  B  BH  BM  B(5, 4) AB  10, BH  10 2S 2.12 BH(AB CD)  CD  ABCD  AB   10  10 BH 10  a   D(10,3) D(3a  1, a), CD  10  (3a  3)  ( a  1)  40  ( a  1)     a  1  D(2, 1) S ABCD  Ra điểm D,liệu có cách loại không?Câu trả lời có!Thấy B,D phải khác phía so với AC,nên dễ dàng loại D(10,3),ta D(-2,-1) Kết luận: B(5,4),C(4,1),D(-2,-1) Bình luận: Bài toán kết thúc, đặt vấn đề loại điểm sau tìm ra! Chúng ta mong muốn điểm tốt để đỡ phải công loại điểm đề không cho điều kiện.Nhìn lại trên, liệu cách tìm điểm D mà tính độ dài không????Bằng trực quan sau tính CD, thấy CD=2AB hay DC  AB ,biết điểm A,B,C rồi,ta dễ dàng tìm D mà loại cả.Cái phụ thuộc vào mắt tinh tế người giải!Đôi người đề không cho điều kiện loại nghiệm ta nên lựa chọn lời giải phù hợp,tinh tế để toán nhẹ nhàng,mà không bị phân vân loại nghiệm! Ví dụ : (Toanhoc24h-12-2015)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30,hai điểm E(3,3),F nằm 14 3 H( , ) 5 Biết đường thẳng BC.Hình chiếu vuông góc điểm D đường thẳng AF điểm 1 M ( , 0) trung điểm AD đường thẳng BC có hệ số góc số nguyên.Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Phân tích:Rất khó để khai thác E,F chúng chuyển động,xem yếu tố cố định M,H xem có đặc biệt không?Ta phải ý rằng,định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền hay người đề hướng tới họ muốn kiểm tra kiến thức toàn diện hình học người giải.Quay lại trên,tam giác ADH vuông H,trung tuyến MH ứng với cạnh huyền AD tính được=>AD,dựa vào S=>BC,một ý kiến không tồi phải không?Nhưng….chúng ta tính BC làm B,C chưa tham số,không có yếu tố cố định?Quay lại câu hỏi,người ta cho điều kiện:”đường thẳng BC có hệ số góc số nguyên”,đây cần làm,tính BC để viết phương trình BC!Sử dụng lưu ý 5b AB=d(N,BC),ta hoàn toàn tìm “nút thắt” toán Lời giải:Thấy tam giác ADH vuông H,M trung điểm AD nên MH trung tuyến ứng với cạnh huyền AD,vì AD=2MH.Ta có: MH   AD  S ABCD  AD AB  30  AB  30 2 AD Mà d (M , BC )  AB  d (M , BC )  Gọi vtpt BC =(a,b) ( b  Z , a  b2  ) a Ta có phương trình BC:2x+y=9 AD / / BC  AD : x  y   A(a, 2a  1), AM  MH   a   A(1, 3)  D(2,3) (2a  1) 45   (2a  1)   (2a  1)    4  a  2  A(2,3)  D(1, 3)  x  y    B(5, 1), C (2,5)  x  y    B(2,5), C (5, 1) Ứng với trường hợp trên,ta có phương trình AB là:   A(1, 3), B(5, 1), C(2,5), D( 2,3)  A(2,3), B(2,5), C(5, 1), D(1, 3) Kết luận:  Bình luận:Bài toán chứa nút thắt viết phương trình BC,để làm điều ta cần ý lưu ý 5b,để làm việc cần tinh tế nhận MH trung tuyến ứng với cạnh huyền,khai thác S tìm điều muốn.Để có lời giải tự nhiên trên,chúng ta cần bám sát biết để khai thác cách triệt để,đồng thời tránh việc không làm mà thừa giả thiết! Ví dụ 5: (Toanhoc24h-20-2015) Cho hình chữ nhật ABCD có B(1,3) diện tích 30.Gọi E điểm 5 H( , ) 2 hình chiếu vuông góc đỉnh B lên DE,yCEC= ,DC=y,ta giải phương trình:1 phương trình pitago tam giác vuông DEC,1 phương trình diện tích hình chữ nhật,thì hoàn toàn tìm BC.Vậy toán kết thúc! Lời giải: Ta có: 10 DH : x  y   S S BE    S DBE  DBC  ABCD  BC 3 BH  S DBE S DBC S DBE   DE.BH  DE  S DBE  10 BH Đặt BC=x,DC=y,thì EC  2x Sử dụng định lí Pitago tam giác vuông DEC diện tích hình chữ nhật,ta có hệ phương trình:  4x2  x  45  y  40     xy  30  y   2(a  1)  x  a  x  3a  E (a,3a  5), C ( x, y ), BE  EC     C (3a  2,9a  21), DK : (a  ) 2(3a  8)  y   3a  y  9a  21  a  2(T M ) BC  45  (3a  3)  (9a  24)  45    a  3( Loai )  C (4, 3), DC : x  y  10  0, D  DC  DH  D(0, 5)  A(3,1) Kết luận:A(-3,1),C(4,-3),D(0,-5) Bình luận: Bài toán hay,việc tìm độ dài BC việc khó,nhưng theo phân tích,dẫn dắt hẳn bạn đọc hiểu cách tìm phương hướng tìm nó.Để giải trên,chúng ta phải nắm nhiều kĩ giải Oxy kiến thức hình học,đặc biệt liên quan tới diện tích.Chúng ta cần hướng,giả sử tham số D thuộc DH giải hệ phương trình,việc làm nặng tính toán!Nên chọn giải pháp tốt để ,đường làm theo hướng trên! Ví dụ 6: (Toanhoc24h-25-2015) Cho hình chữ nhật ABCD có A(5,1) diện tích 10.Đường thẳng qua A,vuông góc với AC A cắt đường thẳng BC E(5,6).Biết xCNAM=BHM(2),từ (1) (2)=>MBN=NAM=>BKN=AH'B=90 độ Từ đó=>H,B đối xứng qua AM 21 3   H '(5, )  B(6, ) 2 25 S AMB  S ABC  1 S AMB  AM BH '  BM 2 5  BM  M (2a  4, a )  a   25  5a  a  0 16  a  1  13 TH 1: a   M ( , ) 4 BH: x  y  Tìm C(7,4).Tính tích vô hướng AB AC   A(4,0) (Loại A(9, ) A,C khác phía với BH) TH2:Tương tự tìm A(6,1),C(1,1) Kết luận:A(4,0), B(6,-3/2), C(7,1) Hoặc A(6,1),B(6,-3/2),C(1,1) 3 M( , ) 2 Ví dụ (Mathlinks 05-2015) : Cho hình chữ nhật ABCD,diện tích 16,điểm A(-3,1) điểm thuộc đường chéo BD cho DM=3BM.Đường thẳng CD qua N(1,1).Tìm tọa độ đỉnh B,D biết xD>-2 Phân tích: Gặp toán này,chúng ta bỏ chút thời gian để phân tích: Một toán liên quan tới diện tích,chúng ta có nên lao vào nghiên cứu không?hay mảng sau để giải đó……chúng ta nghiên cứu giả thiết khác đã! Chúng ta hay gặp toán biết điểm nằm lung tung cạnh hình vuông,chữ nhật,giải cách gọi vtpt khoảng cách nhau,sẽ tìm vtpt ,từ viết phương trình.Liệu có đặc biệt?Thứ biết A cố định-nó thuộc AB,AD ,N thuộc CD,mà AB//CD,ta gọi vtpt chung đường thẳng trên,thì viết phương trình AB,CD theo tham số, giải việc viết phương trình đường thẳng cách tìm khoảng cách từ điểm biết đến đường thẳng theo tỉ lệ đó!Ở có M,vậy d(M,AB) so với d(M,CD) nào?Rất đơn giản,để cho dễ ta hạ vuông góc với AB,CD,cắt AB,CD H,K,thấy MHB MKD đồng dạng nên MH MB    MK  3MH  d ( M , CD)  3d ( M , AB) MK MD ,vậy ta đạt mục đích rồi.Viết phương trình AB,CD,từ mà ta viết phương trình AD=>D=>B.Có lẽ chi tiết S để kiểm tra kết Bài toán kết thúc! Lời giải: Gọi d đường thẳng qua M vuông góc với AB,CD,cắt Ab,CD H,K Do MHB MKD đồng dạng (G.G) nên ta có tỉ lệ: MH MB    MK  3MH  d ( M , CD)  3d ( M , AB) MK MD Gọi vtpt AB=(a,b) ( a  b2  )  AB : a ( x  3)  b( y  1)   AB : ax  by  3a  b  CD : a( x  1)  b( y  1)   CD : ax  by  a  b  a 3b a 3b |   3a  b | |   a  b | 3d ( M , AB)  d ( M , CD)  2  2 2 a b a  b2 a  b  11a  5b  AB : x  y   TH 1: a  b    AD : x  y   CD : x  y   D  CD AD  D(1,3)(T M).B(x, y)  4( x  )  x  x  MB  DB     B (1, 3) 4( y  )  y   y  3  AB  2, AD  2  S ABCD  AB AD  16  AB : x  11 y   TH :11a  5b    AD :11x  y  38  CD : x  11y  16  249 D  AD  CD  D ( , )( Loai ) 73 73 KL : B (1, 3), D(1,3) Bình luận:Bài toán chứa nút thắt việc viết phương trình đường thẳng AB,CD,chúng ta không nên sâu,khai thác diện tích nhìn vào lời giải trên,nó dùng để kiểm tra xem thỏa mãn hay không.Cần phải quan sát kĩ giả thiết DM=3BM để suy tỉ số khoảng cách ,cộng thêm kinh nghiệm viết phương trình,chúng ta nhanh chóng nhận việc viết phương trình đường thẳng,để củng cố việc viết phương trình đường thẳng theo cách trên,tôi có toán gửi tới bạn đọc: F ( ,3) Cho hình vuông ABCD,đỉnh A(0,3) hai điểm E(4,1), tương ứng nằm đường thẳng CD BD.Biết đường thẳng AB có hệ số góc nguyên.Tìm đỉnh lại hình vuông Sau số tập để bạn đọc áp dụng từ ví dụ trên: Bài 1:Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30,và đỉnh B nằm đường thẳng d:x-2y-2=0.Trung điểm AB M(4,3) điểm N(1,-3) nằm CD.Tìm độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết yB>0 Bài 2:Cho hình bình hành ABCD có AC=2AB,phương trình đường chéo BD:x-4=0.Gọi E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC=4AE,M trung điểm đoạn thẳng BC.Tìm tọa độ điểm A,B,C,D biết E ( , 7),SMEDC  36, yB  điểm M nằm đường thẳng 2x+y-18=0 Bài 3: Cho đường tròn (C) có phương trình: x  y  Đường tròn (T) có tâm I,bán kính cắt ( C ) điểm phân biệt A Bsao cho tứ giác OAIB có diện tích 12(O gốc tọa độ).Viết phương trình đường tròn ( T) biết I nằm đường thẳng x-2y+2=0 Bài 4:Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 16,điểm M(4,7) trung điểm BC.Đường tròn ngoại 13 ) Tìm đỉnh biết điểm D thuộc đường thẳng x+y5 tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AC F ( , 3=0 điểm C có hoành độ số nguyên dương Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC x-y+1=0,điểm G(1,4) trọng tâm tam giác ABC,điểm E(0,-3) thuộc đường cao kẻ từ D tam giác ACD.Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết diện tích tứ giác AGCD 32 đỉnh A có tung độ dương Qua toán xét trên,chúng ta phần cảm nhận độ rộng,phong phú toán hình phẳng Oxy liên quan tới diện tích,thông thường toán thường hay,mang nhiều ý tưởng,để giải tốt đòi hỏi người giải phải có nhiều kĩ năng,đặc biệt hình học THCS,có mắt tinh tế nhìn nhận vấn đề.Xin chúc thầy cô, bạn học sinh rút kinh nghiệm riêng cho sử lí toán Oxy…… Thực bởi: Nguyễn Văn Phú-11A3-THPT Mỹ Đức A! [...]... biết diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương Qua các bài toán đã xét ở trên,chúng ta phần nào cảm nhận được độ rộng,phong phú của các bài toán hình phẳng Oxy liên quan tới diện tích,thông thường các bài toán này thường hay,mang trong mình nhiều ý tưởng,để giải quyết tốt nó đòi hỏi người giải phải có nhiều kĩ năng,đặc biệt về hình học THCS,có con mắt tinh tế nhìn nhận vấn đề.Xin chúc...Một bài toán liên quan tới diện tích,chúng ta có nên lao ngay vào nghiên cứu luôn cái đó không?hay đó chỉ là mảng sau để giải quyết gì đó……chúng ta hãy nghiên cứu các giả thiết khác đã! Chúng ta hay gặp các bài toán biết các điểm nằm lung tung trên cạnh của hình vuông,chữ nhật ,giải nó bằng cách gọi vtpt rồi khoảng cách bằng nhau,sẽ tìm được vtpt...  11y  16  0 249 7 D  AD  CD  D ( , )( Loai ) 73 73 KL : B (1, 3), D(1,3) Bình luận:Bài toán trên chứa nút thắt là việc viết phương trình đường thẳng AB,CD,chúng ta không nên quá đi sâu,khai thác diện tích bởi nhìn vào lời giải trên,nó chỉ dùng để kiểm tra xem thỏa mãn hay không.Cần phải quan sát kĩ giả thiết DM=3BM để suy ra tỉ số khoảng cách ,cộng thêm kinh nghiệm về viết phương trình,chúng... 3MH  d ( M , CD)  3d ( M , AB) MK MD 3 ,vậy ta đã đạt được mục đích rồi.Viết được phương trình AB,CD,từ đó mà ta viết được phương trình AD=>D=>B.Có lẽ chi tiết S chỉ để kiểm tra kết quả Bài toán kết thúc! Lời giải: Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AB,CD,cắt Ab,CD lần lượt tại H,K Do MHB và MKD đồng dạng (G.G) nên ta có tỉ lệ: MH MB 1    MK  3MH  d ( M , CD)  3d ( M , AB) MK MD 3 Gọi... tỉ số khoảng cách ,cộng thêm kinh nghiệm về viết phương trình,chúng ta sẽ nhanh chóng nhận ra việc viết phương trình đường thẳng,để củng cố việc viết phương trình đường thẳng theo cách trên,tôi có bài toán gửi tới bạn đọc: 5 F ( ,3) Cho hình vuông ABCD,đỉnh A(0,3) và hai điểm E(4,1), 3 tương ứng nằm trên các đường thẳng CD và BD.Biết đường thẳng AB có hệ số góc nguyên.Tìm các đỉnh còn lại của hình vuông... được phương trình.Liệu bài này có gì đặc biệt?Thứ nhất là biết A cố định-nó thuộc cả AB,AD ,N thuộc CD,mà AB//CD,ta gọi vtpt chung của 2 đường thẳng trên,thì sẽ viết được phương trình AB,CD theo tham số, giải quyết việc viết phương trình đường thẳng bằng cách tìm khoảng cách từ 1 điểm đã biết đến 2 đường thẳng trên theo tỉ lệ nào đó!Ở đây chỉ có M,vậy d(M,AB) so với d(M,CD) như thế nào?Rất đơn giản,để... nó đòi hỏi người giải phải có nhiều kĩ năng,đặc biệt về hình học THCS,có con mắt tinh tế nhìn nhận vấn đề.Xin chúc thầy cô, các bạn học sinh rút ra được những kinh nghiệm riêng cho mình khi sử lí bài toán Oxy…… Thực hiện bởi: Nguyễn Văn Phú-11A3-THPT Mỹ Đức A!