Chuong 4 uoc luong

Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệnh mẫu, độ lệnh mẫu

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

(Số tiết: 45)

I Lý thuyết mẫu

Khi nghiên cứu 1 vấn đề nào đó, cách tốt nhất là quan sát tất cả mọi đối tượng thuộc lĩnh vực nghiên cứu( gọi là tổng thể) Tuy nhiên việc làm này tốn nhiều thời gian và chi phí Thống kê học đưa ra 1 phương pháp là nghiên cứu trên

1 nhóm các đối tượng( gọi là mẫu) rồi từ đó suy rộng ra cho tổng thể.

Để đảm bảo tính khách quan thì việc chọn mẫu phải

được thực hiện sao cho tất cả các phần tử của tổng thể đều

có khả năng được chọn như nhau Khi đó mẫu thu được gọi

là mẫu ngẫu nhiên Có 2 cách chọn mẫu: có hoàn lại và

• Khi chọn mẫu, giả sử thu thập được số liệu của : X = (x1, x2,

…, xn) , n: kích thước mẫu, tuy nhiên các giá trị xi có thể lặp lại nên người ta có thể tiến hành sắp xếp số liệu để được các bảng

số liệu có dạng( dạng 2)

,trong đó: x1 < x2 <…< xk và ni là số lần xi xuất hiện, n1 + n2 +

…+ n = n

, trong đó x1 < x2 <… < xk < xk+1 và mỗi nửa

khoảng [xi; xi+1) (trừ cái cuối cùng là đoạn [xk;

xk+1]) chứa ni số liệu.

6

a) Kỳ vọng mẫu (trung bình mẫu):Cho mẫu

Ta có kỳ vọng mẫu( trung bình mẫu):

Ý nghĩa: Người ta chứng minh được rằng khi cỡ

mẫu đủ lớn thì kỳ vọng mẫu hội tụ về kỳ vọng

1

1 k

i i i

X n x

n 

b) Phương sai mẫu

c) Phương sai mẫu hiệu chỉnh

d) Độ lệch mẫu và đô lệch mẫu hiệu chỉnh

Với

Ý nghĩa: Người ta chứng minh được là khi n

đủ lớn phương sai mẫu hiệu chỉnh hội tụ về phương sai tổng thể

n

Mẫu có kích thước n và trong đó có m

Tính các đặc trưng mẫu.

X X

X

1

n 1

Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

 Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệnh mẫu, độ lệnh mẫu hiệu chỉnh của chỉ tiêu X

 Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19 cm trở xuống được xếp vào loại B Tính tỉ lệ các sản phẩm loại B trong mẫu

14

 Trước hết ta thay các khoảng xi- xi+1 bằng giá trị

trung bình của hai đầu mút

 Nên ta có:

 Độ lệch mẫu của X là:

 Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:

 Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là:

S = 7.4827 (cm)

 Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B của X là:

f = 17/100 = 17%

X (g) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 250-260 260-270

18

Thu thập số liệu về trọng lượng X (g) mỗi trái xoài

trong vườn, ta được kết quả sau:

a/ Hãy xác định kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệnh mẫu, độ lệnh mẫu hiệu chỉnh của chỉ tiêu X.

b/ Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 250g trở lên được

xếp vào loại 1 Tính tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại 1.

X X

1. Ước lượng điểm

2. Ước lượng khoảng

 a; b hay  a; b 

Khi cần ước lượng một đặc trưng nào đó của tổng thể,

có 2 cách ước lượng:

- Ước lượng điểm:

- Ước lượng khoảng:

Ước lượng cho ta 1 giá trị cụ thể của , có thể dùng làm kết quả thay cho trong tính toán, nhưng không đánh giá được sai số Trong khi ước lượng khoảng không cho giá trị cụ thể

nhưng có thể đánh giá được sai số Tùy bài toán mà người ta có thể dùng ước lượng điểm hoặc ước lượng khoảng hoặc cả hai

Giả sử dùng mẫu để

ước lượng tham số của tổng thể Giả sử chọn được thống kê làm ước lượng điểm của Ta nói:

- T là ước lượng đúng của nếu

Ngược lại ta nói T là một ước lượng sai của -Nếu có 2 ước lượng đúng T1 và T2 và

D(T1 ) < D( T2 ) thì ta nói T1 là ước lượng

 1) Trung bình mẫu là ước lượng đúng của trung

Mỗi ước lượng đúng của có thể được dùng để

thay cho trong giải quyết các bài toán ước lượng

khoảng và các bài toán kiểm định 24

Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại B Hãy ước lượng giá trị trung bình, phương sai của chỉ tiêu X và tỉ lệ các sản phẩm loại B

Ta ước lượng:

 Giá trị trung bình của X là:

 Phương sai của X là:

 Tỉ lệ các sản phẩm loại B của X là:

Định nghĩa:

Ta nói (a; b) là khoảng ước lượng của

ở độ tin cậy nếu .

Nếu thống kê T có hàm mật độ đối xứng qua Oy thì T

có khoảng ước lượng đối xứng ( -C; C) hoặc , viết

: sai số ( độ chính xác của ước lương)

 Tr ng h p :ường hợp : ợ đã biết ph ng sai t ng thươ ổ ể

Với C tra từ bảng phân phối Gauss:

• Tr ng h p : ường hợp : ợ ch a bieát ph ng sai t ng th ư ươ ổ ể

Với C tra từ bảng phân phối Student:

Khi , do phấn phối student có thể xấp xỉ bằng phân phối chuẩn tắc nên có thể tra C bằng bảng phân phối Gauss thay cho bảng pp Student

• Trường hợp: biết giá trị trung bình của tổng thể

• Trường hợp: chưa biết giá trị trung bình của tổng thể

42

44

Bài toán tìm cỡ mẫu:

Khi biết thông tin mẫu:

46

1/ Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho tiền lương trung bình trong 1 giờng hợp : của công nhân ngành thép ở Mỹ, biết rằng khi khảo sát một mẫu gồm 50 công nhân ta thu được

và độ lệch tiêu chuẩn s = 3 (USD)

52

) (

75 ,

14 USD

x 

2/ Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một rừng bạch đàn rất lớn, người ta chọn ngẫu nhiên 35 cây để đo Kết quả thu đươc như sau :

 Tìm khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình của

3/ Một trường đại học tiến hành một cuộc điều tra xem trung bình một sinh viên của trường tiêu hết bao nhiêu tiền gọi điện thoại trong một học kỳ Một mẫu ngẫu nhiên gồm 59 sinh viên được chọn và số tiền chi cho việc gọi điện thoại của họ như sau : (đvị:1.000đ)

4/ Để xác dịnh trọng lượng trung bình của các bao bột mì được đóng gói bằng máy tự động, ngường hợp :i ta chọn ngẫu nhiên 15 bao và tính được .Tìm khoảng tin cậy 99% của trọng lượng trung bình của các bao bột (giả sử có phân phối chuẩn)

144 ,

0 8

,

 kg và s x

5/ Để khảo sát chiều cao trung bình của

thanh niên trong một vùng A nào đó, một

mẫu ngẫu nhiên gồm 15 thanh niên được

chọn và đo được như sau : (cm)

172 173 173 174 174 175 176 166

166 167 173 171 170 171 170

 Tìm khoảng tin cậy cho .(giả sử có phân

phối chuẩn) độ tin cậy 0.95

56

.



6/ Trong một khảo sát 64 khách hàng tại một tiệm ăn nhanh, thờng hợp :i gian chờng hợp : đợi trung bình

là 3 phút và độ lệch tiêu chuẩn là 1,5 phút.Tìm khỏang tin cậy 98% cho thờng hợp :i gian chờng hợp : đợi trung bình ở tiệm này

7/ Trong một khảo sát của cơ quan y tế, 150 ngường hợp :i hút thuốc được chọn ngẫu nhiên Số điếu thuốc hút trung bình trong một tuần của nhóm ngường hợp :i này là 97 điếu, độ lệch tiêu chuẩn 36 Tìm khỏang tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình của tất cả ngường hợp :i nghiện thuốc.

58

8/ Tại một khu công nghiệp khảo sát một mẫu 12 công nhân thấy số lần họ đi xem phim trong một năm là:

14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35

 Tìm khoảng tin cậy 95% cho số lần đi xem phim trung bình của công nhân khu công nghiệp này.(giả sử có phân phối chuẩn)

9/ Ta muốn xây dựng một khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình của các gói đường hợp :ng đóng bằng máy tự động Một mẫu điều tra sơ bộ cho ta

Hỏi phải lấy mẫu kích thước tối thiểu bao nhiêu để sai số không quá 0,2 kg?

60

kg s

và kg

x  11 , 8  0 , 7

10/ Ngường hợp :i ta muốn xây dựng khoảng tin cậy 90% cho chiều cao trung bình của ngường hợp :i trưởng thành dựa trên một mẫu kích

thước n Hãy xác định n để sai số giữa

trung bình mẫu và trung bình tổng thể

không quá 0,5 inches (1inches=2,54cm) Biết rằng độ lệch tiêu chuẩn của tổng thể

là 3 inches

11/ Tại môt thành phố nhỏ, trong số 500 ngường hợp :i mua xe gắn máy có 325 ngường hợp :i mua

xe tay ga Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỷ

lệ ngường hợp :i mua xe tay ga trong số những ngường hợp :i mua xe gắn máy

62

12/ Một mẫu điều tra cho thấy trong số 40 bệnh nhân dùng thuốc A có 32 ngường hợp :i kết quả tốt

a.Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ bệnh nhân dùng thuốc A có kết quả tốt

b.Giả sử trong 400 bệnh nhân dùng thuốc

A có 320 ngường hợp :i có kết qủa tốt Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ bệnh nhân dùng thuốc A có kết quả tốt

13/ Kiểm tra hệ thống phanh của 40 chiếc

xe tải trên quốc lộ thấy có 14 chiếc phanh kém an tòan

a Tìm khỏang tin cậy 98% cho tỷ lệ xe có phanh kém an tòan

b Tìm khỏang tin cậy 98% cho tỷ lệ xe có phanh tốt

64

14/Một cuộc điều tra 2074 gia đình trí thức thấy có 373 gia đình có máy vi tính ở nhà Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỷ lệ gia đình trí thức có máy vi tính ở nhà

15/ Trước ngày bầu cử ,để biết tỷ lệ phần trăm các cử tri còn do dự chưa biết bầu cho ai ,ngường hợp :i ta hỏi ý kiến n cử tri được chọn ngẫu nhiên Số n phải là bao nhiêu

để khỏang tin cậy 95% có độ dài không quá 0,04 ?

66

16/ Ngường hợp :i ta muốn tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ những gia đình có máy giặt với

độ chính xác 0,04 Hỏi kích thước mẫu cần lấy là bao nhiêu? Giả sử rằng một điều tra sơ bộ cho thấy tần suất f=0,72

17/ Một khách sạn tiến hành một nghiên cứu để xác định tỷ lệ khách trọ thờng hợp :i gian hơn 1 ngày Chủ khách sạn muốn đạt độ tin cậy 95% và sai số không quá 0,05 Anh

ta sơ bộ ước lượng tỷ lệ này là 30% Hỏi cần lấy mẫu kích thước bao nhiêu ?

68

Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng lương thực là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là: 48 kg,

và phương sai mẫu điều chỉnh là s2   0,5kg  2

1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng

2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác định độ tin cậy

3) Với độ chính xác 160 g, độ tin cậy là 95% Tính cở