Đề thi sinh giỏi toán 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 Đề Câu 1( đ) x3 + x2 + x +1 + 2(a − 1) + 4(1 − a) + 4a − = có nghiệm phân biệt x x x x Câu 2( đ) giải hệ pt :   x (1 + x + y ) =    y (1 − ) =  x+ y Câu 3(3 đ) Giải pt : log (1 + x + x ) = log x Câu 4(2 đ) Tìm tất số tự nhiên không chia hết cho 45 mà ước số N = 1890.1930.1970 Có số ? Câu 5( đ) Cho tam giác ABC M điểm thuộc miền tam giác ABC Các đường thẳng AM,BM,CM theo thứ tự cắt BC,CA,AB A1,B1,C1 Hãy xác định vị trí M để diện tích tam giác A1B1C1 lớn Câu 6(2 đ) Tìm cặp hàm số f(x) ,g(x) xác định R cho f(x) - f(y) = (x + y)g(x – y) ∀x, y ∈ R Câu 7(2 đ) Cho x > , y > , z > , a > , b > , c ∈ R thỏa 1 + + ≤ a 9b > ca2 x y z 1 Tìm giá trị nhỏ P = b( x + y + z ) + c( + + ) x y z Tìm a để pt : HD 1/ Đặt t = x+ x đs : a < - 11 + 22 − ;y= 21 12 y 3/ đặt x = dùng tính nghịch biến hs đs x = 212 4/ phân tích N thành thừa số nguyên tố lí luận đến có 320 ước N không chia hết cho 45 5/ đặt S = SABC , S1 = SMBC … M trọng tâm tam giác ABC 6/ Thay y = -x f(x) = ax2 + b , g(x) = ax b 9 b 9 7/ P = P + ( + + ) − ( + + ) a ax ay az a ax ay az a c + 9b Áp dụng b đ t Cô Si P = x = y = z = 3/a a2 2/ đs x = ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 Đề Câu 1(3 đ) Giải pt : 2x2 + − x + x − x = Câu 2(3 đ) Tìm tất giá trị m cho hệ pt sau có nghiệm :  x = 2| x| + | x | − y − m  2  x = − y Câu 3(3 đ) Chứng minh với số nguyên a ,đa thức : F(x) = x4 -2001x3 + (2000 + a)x2 - 1999x + a có hai nghiệm nguyên ( phân biệt hay trùng ) Câu 4(2 đ) Tìm số nguyên tố p,q cho 2p + 2q chia hết cho p.q Câu 5( đ) a/ Cho tam giác ABC cạnh a.M điểm nằm mặt phẳng chứa tam giác C/mr ta có : MA.MB + MB.MC + MC.MA ≥ a2 b/ Cho hình lập phương cạnh Một góc nhị diện vuông có cạnh chứa đường chéo hình lập phương Tìm thể tích lớn phần giới hạn nhị diện với hình lập phương Câu (2 đ) Cho dãy số (un) với un = 2012 + 2012 + + 2012 (n dấu ) Chứng minh (un) dãy bị chặn Câu 7(2 đ) n  1 Chứng minh với số nguyên dương ta có : ≤ 1 + ÷ <  n HD 1/ chuyển vế bình phương ta có x(1- − x + x − x ) = 5− 2/ m = hệ có nghiệm x = 0, y = 3/ c/m x0 nghiệm nguyên f(x) x0 phải số chẵn Xét trường hợp f(x) có nghiệm nguyên phân biệt ,f(x) có nghiệm kép 4/ đs (2;2), (3;2) ,(2;3) 5/ Dùng bổ đề : Cho tam giác ABC Mlà điểm nằm mp chứa tam giác Ta có: BC.MA2 + CA.MB2 + AB.MC2 ≥ BC.CA.AB b/ Vlớn khi nhị diện qua trung điểm cạnh hình vuông mặt lại qua đỉnh cạnh kề 6/ c/m 45 < uk < 46 với k ≥ ( qui nạp ) 44 < un < 46 k k k2 7/ C/m + ≤ (1 + ) k < + + (qui nạp ) n n n n Thay k = n ta có bđ t cần c/m Đs : x = ; x = -