Đề học sinh giỏi toán 12-số 6

1. M là một điểm trên cạnh AB của tam giác ABC. r, r 1 , r 2 lần lượt là bán kính của các đường tròn nội ti ếp các tam giác ABC, AMC, BMC. q là bán kính c ủa đường tròn ti ếp xúc vớ i ba cạnh AB, và CA, CB kéo dài. q 1 là bán kính c ủa đường tròn ti ếp xúc vớ i BC và AB, AC kéo dài. q 2 là bán kính của đường tròn tiế p xúc với CA và BA, BC kéo dài. Chứ ng minh rằng: r 1 r 2 q = rq 1 q 2 2. Cho 0 x i < b v ớ i i = 0, 1, , n và x n > 0, x n-1 > 0. N ếu a > b, và: A = x n a n + x n-1 a n-1 + + x 0 a 0 ; B = x n b n + x n-1 b n-1 + + x 0 b 0 A' = x n-1 a n-1 + x n-2 a n-2 + + x 0 a 0 ; B' = x n-1 b n-1 + x n-2 b n-2 + + x 0 b 0 . Ch ứ ng minh r ằ ng: A'B < AB'. 3. Cho các số thực a 0 , a 1 , a 2 , thoả mãn: 1 = a 0 a 1 a 2 các số thự c b 1 , b 2, b 3 , được đị nh nghĩa b ởi: (a) Chứng minh rằng: 0 b n < 2. (b) Cho c tho ả mãn 0 c < 2. Ch ứ ng minh r ằ ng ta có th ể tìm đượ c a n sao cho b n > c v ớ i m ọ i n đủ lớn. 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tập {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} có thể được chia ra thành hai tập con mà tích của tất cả các số trong mỗi tập con là bằng nhau. 5. Cho tứ diện ABCD có và chân đường cao h ạ từ D xuống m ặt ph ẳng ABC là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: (AB + BC +CA) 2 6(AD 2 + BD 2 + CD 2 ). Trong tr ường hợ p nào thì dấ u đẳng th ức xả y ra ?. 6. Cho 100 điểm đồng phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng nhiề u nh ấ t có 70% số tam giác đượ c tạ o thành t ừ các đ i ể m trên có tấ t c ả các góc đề u nh ọn. . của tam giác ABC. Chứng minh rằng: (AB + BC +CA) 2 6( AD 2 + BD 2 + CD 2 ). Trong tr ường hợ p nào thì dấ u đẳng th ức xả y ra ?. 6. Cho 100 điểm đồng phẳng, trong đó không có ba điểm. nhiề u nh ấ t có 70% số tam giác đượ c tạ o thành t ừ các đ i ể m trên có tấ t c ả các góc đề u nh ọn.