ÔN LUYỆN LƯỢNG GIÁC

ÔN LUYỆN LƯỢNG GIÁC Phần 1: Các công thức lượng giác 1.Công thức lượng giác bản: • • • • • • -1 sinx -1cosx 2 sin x + cos x = tanx = cotx = tanxcotx = 1+ tan2x = +cot2x = Công thức nhân đôi: • • • sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – = - 2sin2x tan2x = Công thức nhân ba: • • sin3x = 3sinx – 4sin3x cos3x = 4cos3x – 3cosx Công thức hạ bậc: • • • sin2x = cos2x = tan2x = Công thức cộng: • • sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny sin(x – y) = sinxcosy – cosxsiny • • • • cos(x + y) = cosxcosy – sinxsiny cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny tan(x + y) = tan(x – y) = Công thức biến đổi tổng thành tích : • • • • Công thức biến đổi tích thành tổng : • • • • cosxcosy = sinxsiny = sinxcosy = cosxsiny = Một số công thức đặc biệt: • sin4x +cos4x = - sin22x Chứng minh: Ta có: VT = sin4x + cos4x = (sin2x)2 + (cos2x)2 = (sin2x)2 + 2sin2xcos2x+ (cos2x)2 – 2sin2xcos2x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x = 1- sin22x = VP (đpcm) • sin4x – cos4x = - cos2x Chứng minh : Ta có : VT = sin4x – cos4x = (sin2x)2 - (cos2x)2 = (sin2x +cos2x)(sin2x – cos2x) = - cos2x = VP (đpcm) • sin6x + cos6x = 1- sin22x Chứng minh : Ta có : VT = sin6x + cos6x = (sin2x)3 +(cos2x)3 = (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x – cos4x) = - sin22x - sin22x = - sin22x = VP (đpcm) • • – sin2x = (cosx – sinx)2 + sin2x = (cosx + sinx)2 Phần 2: Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác bản: a) Phương trình sinx = m • Nếu m [-1; 1] : pt vô nghiệm • Nếu m [-1; 1] : pt có nghiệm + m = sin sinx = sin x = +k2 x = - +k2 + m sin sinx = m x = arcsinm + k2 (k z) x = - arcsinm + k2 b) Phương trình cosx = m • Nếu m [-1; 1] : pt vô nghiệm • Nếu m [-1; 1] : pt có nghiệm + m = cos cosx = cos x = +k2 x = - +k2 + m cos cosx = m x = arccosm + k2 (k z) x = - arccosm + k2 c) Phương trình tanx = m Xét pt tanx = m (m R) TXĐ : D = R\ { +k, k z} + m = tan tanx = tan x = + k, (k z) + m tan tanx = m x = arctanm + k d) Phương trình cotx = m Xét pt cotx = m (m R) TXĐ : D = R\ { k, k z} + m = cot cotx = cot x = + k, (k z) + m cot cotx = m x = arccotm + k Phương trình lượng giác đơn giản: a) Phương trình bậc Dạng: asinx + b = acosx + b = (a, b R; a 0) atanx + b = b) acotx + b = Giải: Đưa dạng sinx = (Tương tự pt lại) Phương trình bậc hai Dạng: (1) asin2x + bsinx + c = (a 0) (2) acos2x + bcosx + c = (a 0) (3) atan2x + btanx + c = (a 0) (4) acot2x + bcotx + c = (a 0) Phương pháp: (1) Đặt t = sinx (-1 t 1) Pttt : at2 + bt + c = (2) Đặt t = cosx (-1 t 1) Pttt : at2 + bt + c = (3) TXĐ : D = R\ { +k, k z} Đặt t = tanx, t R Pttt : at2 + bt + c = (4) TXĐ : D = R\ { k, k z} Đặt t = cotx, t R Pttt : at2 + bt + c = c) Phương trình sinx cosx Dạng : asinx + bcosx = c (a2 + b2 0) Phương pháp: Pt có nghiệm a2 + b2 c2 Để giải pt chia vế pt cho Pt sinx + cosx = cos (x – ) = với sin = cos = Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx Dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Phương pháp : PP1 : + Xét cosx = có thỏa pt hay không + Xét cosx chia vế pt cho cos2x Ta pt: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x) PP2 : Dùng công thức hạ bậc Pt a + b + c = bsin2x + (c – a)cos2x = - a – c e) Phương trình đối xứng với sinx cosx Dạng : a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx (- ) sinxcosx = Pttt : at + b + c = t2 + at + (c - ) = Hàm số lượng giác cung(góc) liên kết : a) Hai góc đối • cos(- x) = cosx • sin(- x) = - sinx • tan(- x) = - tanx • cot(-x) = - cotx b) Hai góc bù • sin( - x) = sinx • cos( - x) = - cosx • tan( - x) = - tanx • cot( - x) = - cotx c) Hai góc phụ • sin( - x) = cosx • cos( - x) = sinx • tan( - x) = cotx • cot( - x) = tanx d) Hai góc • sin( + x) = cosx • cos( + x) = - sinx • tan( + x) = - tanx • cot( + x) = - cotx e) Hai góc • sin( + x) = - sinx • cos( + x) = - cosx • tan( + x) = tanx • cot( + x) = cotx Một số phương trình đặc biệt: a) Đối với sinx d) sinx = x = + k2 • sinx = -1 x = + k2 • sinx = x = k • sinx = cosu sinx = sin - u) • sinx = - cosusinx = sin(u - ) Đối với cosx • cosx =1 x = k • cosx = -1 x = + k • cosx = x = + k • cosx = sinu cosx = cos - u) • cosx = - sinu cosx = cos + u) Đối với tanx • tanx = x = + k • tanx = - x = + k (x = + k) • tanx = x = k • tanx = cotu tanx = tan( - u) • b) c) • tanx = - cotu tanx = tan( + u) Phần : Bài tập củng cố BT : Giải phương trình sau a) cos(x +) + sin(2x - ) = Lời giải : TXĐ : D = R Ta có : cos(x +) = - sin(2x - ) cos(x +) = cos( + 2x - ) cos(x +) = cos( + 2x) x + = + 2x + k2 x + = - 2x + k2 (k z) x= x = + k (k z) Vậy pt có họ nghiệm S = { ; + k ;k z} b) cos3x = sin2x Lời giải : TXĐ : D = R Ta có : cos3x = cos( – 2x) 3x = - 2x + k2 3x = + 2x + k2 (k z) x= +k x = + k2 (k z) Vậy pt có họ nghiệm S = { + k ; + k2; k z} c) tan2x – (1 + )tanx +1 = Lời giải: TXĐ: D =R\ { + k; k z} Đặt t = tanx , t R Pttt : t2 – (1 + )t +1 = t=1 tanx = t= x= tanx = = tan +k x= +k (k z) Vậy pt có họ nghiệm S = { + k; + k; k z} d) sin2x + cos2x = Lời giải: TXĐ: D = R Ta có: ( )2 + 12 = > nên chia vế pt cho Pt sin2x + cos2x = sin sin2x + cos cos2x = cos cos ( - 2x ) = cos - 2x = + k2 - 2x = + k2 (k z) x= k x= +k (k z) Vậy pt có họ nghiệm S = { k; + k ;k z} e) 3cos2x – 2sin2x + sin2x = Lời giải: TXĐ: D = R + Xét cosx =0 sin2x = 1, thay vào pt ta có =1 Suy pt có nghiệm x = + k (k z) + Xét cosx 0, chia vế pt cho cos2x Pt – 4tanx + tan2x = + tan2x - 4tanx + = tanx = x = arctan + k (k z) Vậy pt có họ nghiệm S ={ + k; arctan + k; k z} f) (2 + )(cosx + sinx) – 2sinxcosx – (2 +1) = Lời giải: TXĐ: D =R Đặt t = sinx + cosx (- ) sinxcosx = Pttt : (2 + )t – – (2 +1) = t2 - (2 + )t + = t = (loại) t= Với t = sinx + cosx = cos(x - ) = cos(x - ) = x = = + k (k z) g) 4sinxcos(x - ) + 4sin( + x)cosx + 2sin( - x)cos( + x)=1 Lời giải: TXĐ: D = R Pt 4sinx.sinx – 4sinxcosx – 2cosx(- cosx) =1 4sin2x – 4sinxcosx + 2cos2x =1 + Xét cosx = sin2x =1, thay vào pt: = 1(vô lí) Suy cosx = không thỏa pt + Xét cosx 0, chia vế pt cho cos2x Pttt: 4tan2x – 4tanx + = + tan2x 3tan2x – 4tanx + = tanx = x= +k tanx = x = arctan + k (k z) h) cos3x + cos2x – cosx – = Lời giải: TXĐ: D = R Pt 4cos3x – 3cosx + 2cos2x – – cosx = 4cos3x + 2cos2x – 4cosx – = cosx = cosx = - x = k2 x= +k cosx = x= +k