ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC-10 I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức quy đổi độ – Rađian: 180 a α π = ( a tính bằng độ, α tính bằng rad) 2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian. sđ(ox, ot) = a 0 + k360 0 hoặc sđ(ox, ot) = α + k2 π , k ∈ Z. (với 0 0 ≤ a < 360 0 , 0 0 ≤ α < 2π) sđ AB = a 0 + k360 0 hoặc sđ AB = α + k2 π , k ∈ Z. ( với 0 0 ≤ a < 360 0 , 0 0 ≤ α < 2π) 3. Công thức tính độ dài cung: l = α .R ( α tính bằng rad) II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1: 1. Hằng đẳng thức lượng giác: sin 2 x + cos 2 x = 1⇔ = − = − 2 2 2 2 sin x 1 cos x cos x 1 sin x ⇔ 2 2 1 1 = ± − = ± − x x x x sin cos cos sin 1+tan 2 x = 2 1 cos x ⇔ cos 2 x = + 2 1 1 tan x ⇔ cosx = ± + 2 1 1 tan x 1+cot 2 x = 2 1 sin x ⇔ sin 2 x = + 2 1 1 cot x ⇔ sinx = ± + 2 1 1 cot x tanx.cotx = 1 ⇔ tanx = = sin x 1 cos x cot x ⇔ cotx = = cos x 1 sin x tan x Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác. 2. Cung liên kết: –x π – x π 2 – x π + x π 2 + x sin –sinx sinx cosx –sinx cosx cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx 3. Chú ý: a + b = π ≡ 180 0 cosb = –cosa sinb = sina a + b = π 2 ≡ 90 0 cosb = sina sinb = cosa ∆ABC sin(B + C) = sinA cos(B + C) = –cosA tan(B + C) = – tanA + = B C A sin cos 2 2 + = B C A cos sin 2 2 + = B C A tan cot 2 2 sin(x + k2π) = sinx cos(x + k2π) = cosx tan(x + kπ) = tanx cot(x + kπ) = cotx III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2: 1.Công thức cộng: cos(a ± b) = cosa.cosb m sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa tan(a ± b) = ± m tana tanb 1 tana. tanb 2.Công thức nhân: Đặng Thanh Cầu_Tài liệu ôn hè 1 cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a = − + 2 2 1 tan a 1 tan a sin2a = 2sina.cosa = + 2 2 tana 1 tan a ; tan2a = − 2 2 tana 1 tan a 3.Công thức hạ bậc: − = 2 1 cos2a sin a 2 ; + = 2 1 cos2a cos a 2 ; − = + 2 1 cos2a tan a 1 cos2a 4.Công thức tính theo t : = a t tan 2 = + 2 2t sina 1 t − = + 2 2 1 t cos a 1 t = − 2 2t tana 1 t 5. Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ] 2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b) 6. Công thức biến đổi tổng thành tích: + − + = a b a b cosa cosb 2 cos cos 2 2 + − − =− a b a b cos a cosb 2 sin sin 2 2 tana + tanb = a b a b sin( ) cos .cos + + − + = a b a b sina sinb 2 sin cos 2 2 + − − = a b a b sina sinb 2 cos sin 2 2 tana – tanb = a b a b sin( ) cos .cos − Hệ quả: cosx + sinx = 2 sin( x) 2 cos( x) 4 4 π π + = − cosx – sinx = 2 sin( x) 2 cos( x ) 4 4 π π − = + III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC: 1. Định lý hàm số sin và cos: a b c 2R sinA sinB sinC = = = 2 2 2 a b c 2bc.cos A= + − 2 2 2 b a c 2ac.cosB= + − 2 2 2 c a b 2ab.cos C= + − 2. Chuyển cạnh sang góc: a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC 3. Chuyển góc sang cạnh: a sinA 2R = 2 2 2 b c a cos A 2bc + − = 4. Công thức diện tích: = = = = = = a b c 1 1 1 1 1 1 S a.h b.h c.h bc sin A ac sinB absinC 2 2 2 2 2 2 abc S pr p(p a)(p b)(p c) 4R = = = − − − , với + + = a b c p 2 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC 5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ∆ ABC: + = − 2 2 2 2 a b c a m 2 4 + = − 2 2 2 2 b a c b m 2 4 + = − 2 2 2 2 c a b c m 2 4 (m a , m b , m c − độ dài trung tuyến) = + a 2bc A l cos b c 2 = + b 2ac B l cos a c 2 = + c 2ab C l cos a b 2 (l a , l b , l c − độ dài phân giác) Đặng Thanh Cầu_Tài liệu ôn hè 2 B. BÀI TẬP . VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính giá trị lượng giác của cung sau. 1) sina = 3 5 với 0 < a < 2 π 2) tana = - 2 với 2 π < a < π 3) cosa = 5 1 với - 2 π < a < 0 4) sina = 3 1 với a ∈ ( 2 π , π ) 5) tana = 2 với a∈ (π, 2 3π ) 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin 2 x + tan 2 x = 2 1 cos x - cos 2 x 2) tan 2 x - sin 2 x = tan 2 xsin 2 x 3) 2 2 tan3 3 tan tan 1 3tan x x x x − = − 4) 2 2 2 2 cos sin cot tan x x x x − − = sin 2 xcos 2 x 5) 2 2 2 1 (1 cot )( 1) cos 1 tan x x x + − + = 1 6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin 2 a -sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a 8) 2 2 2 2 tan tan 1 tan tan a b a b − − = tan(a +b)tan(a - b) 9) cos 3 xsinx - sin 3 xcosx = 1 4 sin4x 10) cos sin cos sin x x x x − + = 1 cos2x - tan2x 11) sin 2 2sin sin 2 2sin x x x x − + = -tan 2 2 x 12) sin3xcos 3 x + sin 3 xcos3x = 3 4 sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos 3 2 x cosxsin 2 x 14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos 2 x 15) 4 4 2 2 2 sin cos cos cos 2(1 cos ) 2 x x x x x − + = − 3. Rút gọn các biểu thức sau: 1) A = sin(x + 5 2 π ) - 3cos(x - 7 2 π ) + 2sin(x + π ) 2) B= ( ) 11 sin cos 5sin 2 2 x x x π π π − + − − + ÷ ÷ 3) ( ) ( ) ( ) os os 2 sin os 2 C c c c π α π α π α π α = + + − + − + + ÷ 4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot( 3 2 π - a) 5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan( 3 2 π - a ) + cot(2π - a) 4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. 1) A = cos 4 a + cos 2 asin 2 a +sin 2 a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin 2 a 3) C = 2(sin 6 a + cos 6 a) - 3(sin 4 a + cos 4 a) 4) D = 1 cot 1 cot a a + − - 2 tan 1a − 5) E = 2 sin 4 4cosa a+ + 4 2 cos 4sina a+ 6) F = cos 2 a + sin(30 0 + a)sin(30 0 - a) 7) G = sin 6 a + cos 6 a + 3sin 2 acos 2 a 8) H = 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 a a a a + − + − Đặng Thanh Cầu_Tài liệu ôn hè 3 Đặng Thanh Cầu_Tài liệu ôn hè 4 . ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC-10 I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức quy đổi độ – Rađian: 180 a α π = ( a tính bằng độ, α tính bằng rad) 2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và. (l a , l b , l c − độ dài phân giác) Đặng Thanh Cầu_Tài liệu ôn hè 2 B. BÀI TẬP . VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính giá trị lượng giác của cung sau. 1) sina = 3 5 . a < 360 0 , 0 0 ≤ α < 2π) 3. Công thức tính độ dài cung: l = α .R ( α tính bằng rad) II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1: 1. Hằng đẳng thức lượng giác: sin 2 x + cos 2 x = 1⇔ = − =