Luyen & On Thi Luong Giac (2) .pdf

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN =+ π ⎡ =⇔ ⎢ =π− + π ⎣ uvk2 sin u sin v uvk2 cos u cos v u v k2=⇔=±+π π ⎧ ≠+π ⎪ =⇔ ⎨ ⎪ =+ π ⎩ uk tgu tgv 2 uvk' ( ) k,k ' Z∈ uk cot gu cot gv uvk' ≠π ⎧ =⇔ ⎨ =+ π ⎩ Đặc biệt : si n u 0 u k=⇔=π π = ⇔=+πco s u 0 u k 2 ( sin u 1 u k2 k Z 2 π =⇔= + π ∈ ) cos u 1 u k2 = ⇔= π () kZ∈ sin u 1 u k2 2 π =− ⇔ =− + π cosu 1 u k2 = −⇔ =π+ π Chú ý : sin u 0 cos u 1≠⇔ ≠± cos u 0 sin u 1≠⇔ ≠± Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) [ ] x0,14∈ nghiệm đúng phương trình Tìm ( ) cos 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 *−+−= Ta có (*) : ⇔ () ( ) 32 4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0 − −−+−= ⇔ 32 4cos x 8cos x 0 − = ⇔ ( ) 2 4cos x cosx 2 0 − = ⇔ ( ) ==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤ ⇔ () xkk 2 π =+π∈Z Ta có : [] x0,14 0 k 1 2 4 π ∈⇔≤+π≤ ⇔ k14 22 ππ −≤π≤ − ⇔ 1141 0, 5 k 3, 9 22 −=−≤≤−≈ π Mà k nên Z∈ { } k . Do đó : 0,1,2,3∈ 357 x ,,, 2222 π πππ ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩⎭ Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình : ()( ) ( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=− Ta có (*) ⇔ () ( ) ( ) −+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1− ⇔ ()( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 − +− ⎡⎤ ⎣⎦ = ) ⇔ ()( 2cosx 1 sinx cosx 0 − += ⇔ 1 cos x sin x cos x 2 =∨ =− ⇔ cos x cos tgx 1 tg 34 ππ ⎛⎞ =∨=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () ππ =± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k 34 Z Bài 30 : Giải phương trình + ++=cos x cos2x cos 3x cos4x 0 (*) Ta có (*) ⇔ () ( ) cos x cos4x cos 2x cos 3x 0+++= ⇔ 5x 3x 5x x 2cos .cos 2cos .cos 0 22 22 += ⇔ 5x 3x x 2cos cos cos 0 22 2 ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ 5x x 4 cos cos x cos 0 22 = ⇔ 5x x cos 0 cos x 0 cos 0 22 = ∨=∨= ⇔ ππ π =+π∨=+π∨=+π 5x x kx k k 22 2 22 ⇔ () ππ π =+ ∨=+π∨=π+π ∈ 2k xxkx2, 55 2 kZ Bài 31: Giải phương trình ( ) 22 2 2 sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+ Ta có (*) ⇔ ()()()() 1111 1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 8x 2222 −+−=+++ ⇔ () cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+ ⇔ 2cos4x cos2x 2cos 6x cos 2x−= ⇔ ( ) 2cos2x cos6x cos 4x 0+= ⇔ 4 cos 2x cos5x cos x 0 = ⇔ cos 2x 0 cos5x 0 cos x 0 = ∨=∨= ⇔ ππ π =+π∨ +π∨=+π∈  2x k 5x k x k , k 22 2 ⇔ ππ π π π =+ ∨= + ∨=+πk kk xx x 42 105 2 ∈  ,k Bài 32 : Cho phương trình () π ⎛⎞ −= −− ⎜⎟ ⎝⎠ 22 x7 sin x.cos 4x sin 2x 4 sin * 42 2 Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: − <x1 3 Ta có : (*)⇔ () 17 sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x 22 ⎡π⎤ ⎛⎞ 2 − −=−− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ − ⇔ −+ =−− 11 3 sin x cos 4x cos4x 2sin x 22 2 ⇔ 1 sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0 2 +++= ⇔ ⎛⎞⎛⎞ ++ += ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 11 cos 4x sin x 2 sin x 0 22 ⇔ () 1 cos 4x 2 sin x 0 2 ⎛⎞ + += ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () cos 4x 2 loại 1 sin x sin 26 =−⎡ ⎢ π ⎛ ⎢ =− = − ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎣ ⎞ ⇔ π ⎡ = −+ π ⎢ ⎢ π ⎢ = +π ⎢ ⎣ xk 6 7 x2 6 2 h Ta có : − <x1 3 ⇔ ⇔ 3x13−< − < 2x4 − << Vậy : 2k2 6 π −<− + π<4 ⇔ 22k 4 66 ππ −< π<+ ⇔ 11 21 k 12 12 −<<+ ππ Do k nên k = 0. Vậy Z∈ x 6 π = − π −< + π< 7 2h2 6 4 ⇔ π π −− < π< − ⇔− − < < − π π 77172 2h24 h 6612 7 12 ⇒ h = 0 ⇒ π = 7 x 6 .Tóm lại − ππ == 7 xhayx 66 Cách khác : − π =− ⇔ = − + π ∈  k 1 sin x x ( 1) k , k 26 Vậy : −π − − −<− +π< ⇔ <− + < π π kk 21 2(1) k 4 (1) k 66 4 ⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với − ππ == 7 xhayx 66 Bài 33 : Giải phương trình ( ) 33 3 sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+= Ta có : (*)⇔ () ( ) 33 3 3 3 sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − = ⇔ 33 3 3 33 3 4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4sin x cos x sin 4x−+− = ⇔ () 22 3 3sin x cos x cos x sin x sin 4x−= ⇔ 3 3 sin 2x cos 2x sin 4x 2 = ⇔ 3 3 sin 4x sin 4x 4 = ⇔ 3 3sin 4x 4sin 4x 0 − = ⇔ sin12x = 0 ⇔ ⇔ 12x k=π () k xk 12 Z π =∈ Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình : ( ) 22 22 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=− Ta có : (*)⇔ ()()()() 11 1 1 1 cos 6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x 22 2 2 −−+=− −+ ⇔ cos 6x cos 8x cos10x cos12x+= + ⇔ 2cos7xcosx 2cos11xcosx= ⇔ ( ) 2cos x cos7x cos11x 0−= ⇔ cos x 0 cos7x cos11x=∨ = ⇔ π =+π∨ =± + πxk7x11xk 2 2 ⇔ πππ =+π∨=− ∨= ∈  kk xkx x,k 229 Bài 35 : Giải phương trình ()() sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++ ⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos2x+= + ⇔ () ( ) += +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1 ⇔ ()( ) 2cos x 1 sin 2x cos2x 0 + −= ⇔ 12 cos x cos sin 2x cos 2x 23 π =− = ∨ = ⇔ 2 xk2tg2x1 34 tg π π =± + π∨ = = ⇔ () π ππ =± + π∨ = + ∈ 2 xk2xk,k 382 Z Bài 36: Giải phương trình ( ) ++ =+ 23 cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x.cos 3x * Ta có : (*)⇔ ( ) ( ) 3 cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x++ = + − ⇔ () cos10x cos 8x 1 cos x 2cos x.cos 9x++=+ ⇔ 2cos9x cos x 1 cos x 2cos x.cos 9x+= + ⇔ cos x 1= ⇔ ( ) xk2kZ=π∈ Bài 37 : Giải phương trình ( ) 33 2 4 sin x 3 cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− = Ta có : (*) ⇔ () ( ) 22 sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0 2 − −−= ⇔ () ( ) ⎡⎤ −− − − = ⎣⎦ 22 sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0 2 = = ⇔ () () 2 4sin x 3 sinx cosx 0−− ⇔ ()( ) 2 1 cos2x 3 sin x cos x 0−− − ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔ 12 cos 2x cos 23 sin x cos x π ⎡ =− = ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ 2 2x k2 3 tgx 1 π ⎡ =± + π ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ xk 3 xk 4 π ⎡ = ±+π ⎢ ⎢ π ⎢ = +π ⎢ ⎣ ( ) kZ∈ Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) Giải phương trình : ( ) sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0 *+++ + = Ta có : (*) ⇔ 2 sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0++ + = ⇔ ( ) sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + = ⇔ ()( sin x cos x 1 2cos x 0++ ) = ⇔ sin x cos x 12 cos 2x cos 23 =− ⎡ ⎢ π ⎢ =− = ⎣ ⇔ tgx 1 2 xk 3 =− ⎡ ⎢ π ⎢ =± + π ⎣ 2 ⇔ xk 4 2 xk2 3 π ⎡ =− + π ⎢ ⎢ π ⎢ =± + π ⎢ ⎣ () kZ∈ Bài 39 : Giải phương trình ()( ) ( ) 2 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+= Ta có : (*) ⇔ () ( ) ( ) 2 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0++−+−−= ⇔ ()( ) ( ) ( ) 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0 + +−++ − = ⇔ () ( ) 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0 + +−+− ⎡⎤ ⎣⎦ = = ⇔ ()() 3cos4x 1 2sinx 1 0−+ ⇔ 1 cos 4x 1 sin x sin 26 π ⎛⎞ =∨ =− = − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ ππ =π∨=−+π∨= + 7 4x k2 x k2 x k2 66 π ⇔ () ππ π = ∨=−+π∨= +π ∈ k7 xxk2xk2,k 26 6 Z Bài 40: Giải phương trình () ( ) += + 66 88 sin x cos x 2 sin x cos x * Ta có : (*) ⇔ 6868 sin x 2sin x cos x 2 cos x 0−+−= ⇔ () ( ) 6262 sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0−− −= ⇔ −= 66 sin x cos 2x cos x.cos 2x 0 ⇔ () 66 cos 2x sin x cos x 0−= ⇔ 66 cos 2x 0 sin x cos x=∨ = ⇔ 6 cos2x 0 tg x 1 = ∨= ⇔ () 2x 2k 1 tgx 1 2 π =+∨=± ⇔ () x2k1 x k 44 ππ =+∨=±+π ⇔ k x 42 ππ =+ ,k ∈  Bài 41 : Giải phương trình () 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x * 16 = Ta thấy xk = π không là nghiệm của (*) vì lúc đó cos x 1,cos2x cos 4x cos 8x 1=± = = = (*) thành : 1 1 16 ±= vô nghiệm Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0 ≠ ta được (*)⇔ và () 16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx= sin x 0≠ ⇔ và () 8sin 2x cos 2x cos 4x.cos8x sin x= sin x 0 ≠ ⇔ và si () 4sin4xcos4x cos8x sinx= n x 0 ≠ ⇔ và 2sin8xcos8x sinx= sin x 0 ≠ ⇔ sin16x sin x = và sin x 0 ≠ ⇔ () πππ =∨=+ ∈ k2 k xx ,k 15 17 17 Z Do : không là nghiệm nên =πxh ≠ k 15m và () +≠ ∈2k 1 17n n, m Z Bài 42: Giải phương trình () 3 8cos x cos 3x * 3 π += ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Đặt tx xt 33 ππ =+⇔=− Thì () ( ) cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t=−π=π−=− Vậy (*) thành =− 3 8cos t cos3t ⇔ 33 8cos t 4cos t 3cost=− + ⇔ 3 12 cos t 3cos t 0 − = ⇔ () 2 3cost 4cos t 1 0−= ⇔ () 3 cos t 2 1 cos 2t 1 0+− ⎡⎤ ⎣⎦ = ⇔ () cos t 2 cos 2t 1 0+= ⇔ 12 cos t 0 cos 2t cos 23 π =∨ =−= ⇔ () ππ =+∨=±+ 2 t2k1 2t k2 23 π ⇔ ππ =+π∨=±+πtkt 23 k Mà xt 3 π =− Vậy (*)⇔ () ππ =+ π∨=π∨= +π ∈ 2 xk2xkx k,vớik 63 Z Ghi chú : Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn ta phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không. + Thay các giá trò x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. Bài 43 : Giải phương trình ( ) 2 tg x tgx.tg3x 2 *−= Điều kiện 3 cos x 0 cos 3x 4 cos x 3cos x 0 ≠ ⎧ ⎨ =−≠ ⎩ ππ ⇔≠⇔≠+ h cos3x 0 x 63 Lúc đó ta có (*) ⇔ () tgx tgx tg3x 2 − = ⇔ sin x sin x sin 3x 2 cos x cos x cos 3x ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () 2 sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x−= ⇔ ( ) 2 sin x sin 2x 2cos x.cos 3x−= ⇔ 22 2sin xcosx 2cos xcos3x−= ⇔ (do cos 2 sin x cos x cos 3x−= x 0 ≠ ) ⇔ ()() 11 1cos2x cos4xcos2x 22 −− = + ⇔ cos 4x 1 4x k2 = −⇔ =π+ π ⇔ () k xk 42 ππ =+ ∈Z so với điều kiện Cách 1 : Khi k x 42 π =+ π thì () 33k 2 cos 3x cos 0 nhận 42 2 ππ ⎛⎞ =+=±≠ ⎜⎟ ⎝⎠ Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : (*) ⇔ k x 42 π π =+ Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 : Nếu π ππ =+ =+ 33k 3x h 422 π h6k Thì +=+36k 24h ⇔ 14 =− ⇔ =− 1 2h 3k 2 (vô lý vì ∈ k, h Z ) Bài 44: Giải phương trình () 222 11 tg x cot g x cot g 2x * 3 ++ = Điều kiện cos x 0 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 ≠ ⎧ ⎪ ≠⇔ ≠ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ Do đó : (*) ⇔ 222 11 1 11 1 cos x sin x sin 2x 3 ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ 11 ⇔ 22 22 11 1 cos x sin x 4 sin x cos x 3 ++ = 20 ⇔ 22 22 4sin x 4cos x 1 20 4sin xcos x 3 ++ = ⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 ⇔ 2 3 sin 2x 4 = (nhận do sin2x 0 ≠ ) ⇔ () 13 1cos4x 24 −= ⇔ 12 cos 4x cos 23 π =− = ⇔ 2 4x k2 3 π =± + π ⇔ () k xk 62 ππ =± + ∈Z Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : 2 tgx cot gx sin 2x += Vậy (*)⇔ () 2 2 11 tgx cot gx 2 1 sin x 3 ⎛⎞ +−+−= ⎜⎟ ⎝⎠ 1 ⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình () 222 xx sin tg x cos 0 * 24 2 π ⎛⎞ −−= ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện : cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠± lúc đó : (*) ⇔ [] 2 2 1sinx1 1cosx 1cosx 0 22cosx2 ⎡π⎤ ⎛⎞ − −−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ⇔ () () () 2 2 1sinx1cosx 1cosx 0 1sinx −− − += − ⇔ () 2 1cosx 1cosx 0 1sinx − −+ = + ⇔ () 1cosx 1cosx 1 0 1sinx − ⎡⎤ +− ⎢⎥ + ⎣⎦ = = ⇔ ()( ) 1 cos x cos x sin x 0+−− ⇔ () cosx 1 nhậndocosx 0 tgx 1 =− ≠ ⎡ ⎢ =− ⎣ ⇔ =π+ π ⎡ ⎢ π ⎢ =− + π ⎣ xk2 xk 4 Bài 46 : Giải phương trình () ( ) 2 sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Điều kiện : ⇔ sin x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 2 sin x 0 2cos x 1 0 ≠ ⎧ ⎨ − ≠ ⎩ ⇔ cos x 1 2 cos x 2 ≠± ⎧ ⎪ ⎨ ≠± ⎪ ⎩ Ta có : cos x sin 2x cot gx tg2x sin x cos 2x += + cos2x cos x sin 2x sin x sin x cos 2x + = cos x sin x cos 2x = Lúc đó : (*) ⎛⎞ ⇔= ⎜⎟ ⎝⎠ 2 cos x 2sinxcosx 4cos x sin x cos 2x ⇔ 2 2 2cos x 4cos x cos 2x = ( ) Do sin x 0 ≠ ⇔ cos x 0 1 2 cos2x = ⎡ ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ () ⎡ ⎛⎞ = ≠≠± ⎢ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎢ π ⎢ == ≠ ⎣ 2 cosx 0 Nhậndocosx và 1 2 1 cos 2x cos , nhận do sin x 0 23 ⇔ π ⎡ =+π ⎢ ⎢ π ⎢ =± + π ⎢ ⎣ xk 2 xk 6 () ∈kZ Bài 47 : Giải phương trình: () 22 cot g x tg x 16 1 cos 4x cos 2x − =+ Ta có : 22 22 22 cos x sin x cot g x tg x sin x cos x −= − 44 22 2 cos x sin x 4 cos2x sin x cos x sin 2x − == Điều kiện : ⇔ si sin 2x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ n 4x 0 ≠ Lúc đó (*) () 2 4 16 1 cos4x sin 2x ⇔=+ () ()() () () () ⇔= + ⇔= + − ⇔= − = ⇔ =≠ ⇔− = ππ ⇔=⇔=+∈  2 22 2 141cos4xsin2x 1 2 1 cos 4x 1 cos 4x 121cos4x 2sin4x 1 sin 4x nhận do sin 4x 0 2 11 1cos8x 22 k cos 8x 0 x , k 16 8 Bài 48 : Giải phương trình: () 44 7 sin x cos x cot g x cot g x * 836 ππ ⎛⎞⎛⎞ += + − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Điều kiện sin x 0 sin x 0 33 2 sin 2x 0 3 sin x 0 cos x 0 63 ⎧⎧ ππ ⎛⎞ ⎛⎞ +≠ +≠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ π ⎪⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎛⎞ ⇔⇔+ ⎨⎨ ⎜⎟ ππ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪⎪ −≠ + ≠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩⎩ ≠ [...]... π ] 5 ( ĐS: m = 0 ∨ m < −1 ∨ m > 3 ) Cho phương trình: 4 cos5 x sin x − 4 sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) Biế t rằ n g x = π là mộ t nghiệ m củ a (1) Hã y giả i phương trình trong trườ n g hợ p đó Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn . − <x1 3 ⇔ ⇔ 3x13−< − < 2x4 − << Vậy : 2k2 6 π −<− + π<4 ⇔ 22k 4 66 ππ −< π<+ ⇔ 11 21 k 12 12 −<<+ ππ Do k nên k = 0. Vậy Z∈ x 6 π = − π −< + π< 7 2h2 6 4 . π π −− < π< − ⇔− − < < − π π 77172 2h24 h 6612 7 12 ⇒ h = 0 ⇒ π = 7 x 6 .Tóm lại − ππ == 7 xhayx 66 Cách khác : − π =− ⇔ = − + π ∈  k 1 sin x x ( 1) k , k 26 Vậy : −π − − −<−. v uvk2 cos u cos v u v k2=⇔=±+π π ⎧ ≠+π ⎪ =⇔ ⎨ ⎪ =+ π ⎩ uk tgu tgv 2 uvk' ( ) k,k ' Z∈ uk cot gu cot gv uvk' ≠π ⎧ =⇔ ⎨ =+ π ⎩ Đặc biệt : si n u 0 u k=⇔=π π = ⇔=+πco