SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo s{t biến thiên v| vẽ đồ thị h|m số y 2x x 1 Câu (1,0 điểm) Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ h|m số f(x) (x 2).e 2x đoạn *–1 ; 2] Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 3i Tìm môđun số phức w iz z b) Giải phương trình log x log (x 2) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x (2x 1)3 dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2 ; ; 1) đường thẳng d: x y z 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A v| vuông góc với đường thẳng d 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho khoảng c{ch từ M đến mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) a) Cho góc thỏa mãn 5sin 2 6cos Tính gi{ trị biểu thức: A cos sin 2015 co t 2016 2 b) Cho đa gi{c 12 đỉnh, có đỉnh tô m|u đỏ v| đỉnh tô m|u xanh Chọn ngẫu nhiên tam gi{c có đỉnh l| 12 đỉnh đa gi{c Tính x{c suất để tam gi{c chọn có đỉnh m|u Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam gi{c ABC.A’B’C’ có cạnh đ{y a, góc hai mặt phẳng (A’BC) v| (ABC) 600 Gọi M l| trung điểm cạnh BC, N l| trung điểm cạnh CC’ Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C khoảng c{ch từ M đến mặt phẳng (AB’N) x 3y xy y x y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 x y x 14y 12 (x, y R) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam gi{c ABC có trực t}m H, phương trình đường thẳng AH 3x y , trung điểm cạnh BC M(3 ; 0) Gọi E v| F l| ch}n đường cao hạ từ B v| C đến AC v| AB, phương trình đường thẳng EF l| x 3y Tìm tọa độ điểm A, biết A có ho|nh độ dương Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P 4a 2c b c 1 1 b b a a bc 2ca 2ab a(b 2c) b(c a) c(2a b) –––––––––––– Hết –––––––––––– Cảm ơn bạn lovemath ( lovemath@yahoo.com) chia sẻ đến www.laisac.page.tl SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Đáp án – Thang điểm gồm 05 trang) Câu Câu (1,0 điểm) Đáp án (Trang 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y * Tập xác định: D * Sự biến thiên: y' Điểm 2x x 1 \{1} 0,25 (x 1) Vì y’ > 0, x nên hàm số đồng biến khoảng (– ; 1), (1 ;+) Giới hạn tiệm cận: lim y , lim y ; tiệm cận đứng x = x1 x 1 0,25 lim y ; tiệm cận ngang y = x Bảng biến thiên x y’ – + + + +∞ 0,25 y –∞ * Đồ thị : y 0,25 O Câu (1,0 điểm) x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f(x) (x 2).e 2x đoạn [–1 ; 2] Hàm số f(x) liên tục đoạn [–1 ; 2], f '(x) 2(x x 2)e 2x 0,25 f '(x) x x x 1 x (1; 2) x (1; 2) 1 f (1) e2 , f (1) , f (2) 2e4 e Câu Câu 0,25 0,25 GTLN f(x) đoạn [–1 ; 2] 2e4, x = 2, GTLN f(x) đoạn [–1 ; 2] – e2 , x = 0,25 Đáp án (Trang 2) Điểm a) (0,5) Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 3i Tìm môđun số phức w iz 2z (1,0 điểm) (2 i)z 3i z 2i 0,25 w iz 2z i(1 2i) 2(1 2i) 5i Vậy | w | 41 b) (0,5) Giải phương trình log x log (x 2) (1) 0,25 Điều kiện: x > (*) 0,25 (1) log2 (x 2x) x 2x x 2x x = – x = 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) suy phương trình (1) có nghiệm x = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x (2x 1)3 dx Đặt t 2x dt 4xdx x = t = 1; x = t = 0,25 0,25 3 1 1 Khi I dt (0,25) (0,25) t 8t Câu (1,0 điểm) Cho điểm A(–2 ; ; 1) đường thẳng d : 0,5 x y z 1 Viết phương trình mặt phẳng 2 (P) qua A vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) 0.25 Một vectơ phương d u (2;1; 2) Mặt phẳng (P) qua A nhận vectơ u (2;1; 2) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình 2(x + 2) + y – – 2(z – 1) = hay 2x + y – 2z + = Vì M thuộc d nên M(3 + 2t; + t; – 2t) Khoảng cách từ M đến (P) là: d(M, (P)) | 2(3 2t) t 2(1 2t) | | 3t | 0.25 (2) d(M,(P)) | 3t 3| t = t = –2 2 0.25 Vậy M(3 ; ; 1) M(–1 ; ; 5) Câu (1,0 điểm) 0.25 a) (0,5) Cho góc thỏa mãn 5sin 2 6cos (1) Tính giá trị biểu sin 2015 co t 2016 2 thức: A cos Vì nên cos > 0, cot > (1) 10sin .cos 6cos cos.(5sin 3) sin 25 16 (vì cot > 0) cot 9 sin A sin sin co t 2sin co t 15 co t (vì cos>0) 0,25 1 0,25 b) (0,5) Cho đa giác 12 đỉnh, có đỉnh tô màu đỏ đỉnh tô màu xanh Chọn ngẫu nhiên tam giác có đỉnh 12 đỉnh đa giác Tính xác suất để tam giác chọn có đỉnh màu Câu Câu Số phần tử không gian mẫu là: | | C12 220 Gọi A biến cố chọn tam giác có đỉnh màu Số kết thuận lợi cho A 0,25 là: | A | C37 C35 45 Xác suất biến cố A P(A) 0,25 | A | | | 44 Đáp án (Trang 3) Tính thể tích khối chóp A.BB’C’C khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N) Điểm (1,0 điểm) A' Tam giác ABC cạnh a M trung điểm BC nên: C' AM BC AM B' N H A AMBC AA’BCA’M BC Góc hai mặt phẳng (A’BC) D E a 0,25 (ABC) A ' MA 600 Tam giác A’AM vuông A nên: C M AA ' AM.tan 600 B Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là: SBB'C'C BB'.BC AM BC AM BB’ AM (BB’C’C) a 3a 3 2 3a 2 0,25 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V SBB'C'C AM 3a a a 2 Trong mặt phẳng (BB’C’C), B’N cắt BC D Khi đó: C trung điểm BD BAD 900 Gọi E trung điểm AD, ta có: CE AD Dựng CH NE (H NE) AD CE AD CN AD (CNE) AD CH CH NE CH AD CH (AB’N) a 3a AB , CN CC' 2 1 16 52 3a CH 13 CH2 CE2 CN2 a 9a 9a 3 9a Do đó: d(M,(AB' N)) d(C,(AB' N)) CH 2 13 0,25 Ta có: CE Câu (1,0 điểm) 0,25 Giải hệ phương trình (I) x 3y xy y x y 3 x y x 14y 12 x y (x y)(y 1) 2(y 1) (1) (I) 3 x y x 14y 12 (2) 0.25 Điều kiện: x 8, y – 1, (x – y)(y + 1) (*) Nếu (x ; y) nghiệm hệ (I) y > – Suy x – y Do đó: (1) xy xy 20 y 1 y 1 xy xy 1 x 2y y 1 y 1 0.25 Thay x = 2y + vào (2) ta được: 2y y (2y 1)2 14y 12 y 2y 4y 10y 11 4( y 2) 3( 2y 1) 4y2 10y 0.25 (y 3) 2y 1 (3) y 1 2y 3 2 , 2y + > –1 , 2y y 1 2 2y Do đó: (3) y y y 1 2y Vì 1 y nên 0.25 x = (thỏa (*)) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x ; y) = (7 ; 3) Câu Câu Đáp án (Trang 4) Điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường (1,0 điểm) thẳng AH 3x y , trung điểm cạnh BC M(3 ; 0) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C đến AC AB, phương trình đường thẳng EF x 3y Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương A H I F H B I E F J C M A E J C M B Gọi I trung điểm AH Tứ giác AEHF nội tiếp bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn nên IM EF (đoạn nối tâm vuông góc với dây chung) Ta có: IEF ABE (cùng phụ góc A phụ góc EHF) EMF IME MEI 900 MFI MEI 900 và: ABE 0.25 Do tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, tâm trung điểm J IM (Đường tròn (J) đường tròn Euler) Đường thẳng IM qua M vuông góc EF nên có phương trình: 3x + y – = I giao điểm AH IM nên tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình: 3x y 3x y I(1; 6) 0.25 Đường tròn đường kính IM có tâm J(2 ; 3) bán kính r JM 10 nên có phương trình: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10 Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình: x 3y 2 x y 3 10 x 3y x y 3 y 0.25 x 1 E(5 ; 4) E(–1;2) y Vì A AH nên A(a ; 3a + 3) Ta có: IA IE IA IE (a 1) (3a 3) 20 a 0.25 Vì A có hoành độ dương nên A(1 2;6 2) Câu Câu 10 (1,0 điểm) Đáp án (Trang 5) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Điểm 4a 2c b c 1 1 b b a a bc 2ca 2ab a(b 2c) b(c a) c(2a b) , y , z (x, y, z > 0) a b c x y x3 y3 Điều kiện cho trở thành: (*) xyz y x Đặt x (x y)3 Ta có: x y (x y) 4xy 3 0.25 Do đó: x y3 (x y)3 xy(x y) x y xyz 4xyz 4xyz z Mặt khác x y x y xy xy x3 y3 nên 2 4 0 z y x xyz z y x Ta có: P x y 4z x2 y2 4z y 2z 2z x x y xy 2zx 2yz xy x y (x y)2 4z (x y) 4z 2(x y) 4z 2xy 2z(x y) x y (x y) x y x y 4z x y 2z(x y) xy z Suy ra: P xy xy 4 z z xy 2t Đặt t , t Ta có P z t4 t 2t Xét hàm số f (t) (0 t 2) t4 t f '(t) 4(t 8t 16) t (t 4) 0.25 0.25 0, t (0; 2] f(t) nghịch biến (0 ; 2] Suy ra: P f (t) f (2) x y P x y x y z 2a b 4c 2 z Vậy giá trị nhỏ P , 2a = b = 4c Cảm ơn bạn lovemath ( lovemath@yahoo.com) chia sẻ đến www.laisac.page.tl 0.25