Đề và đáp án thi thử môn toán THPT tham khảo thi đại học (137)

SỞ GD-ĐT BẮC NINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ ————————— NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán học (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) ————————— Câu (1 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x2 + Câu (1 điểm) Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(m + 1)x2 − 2m − đạt cực đại x = −1 Câu (1 điểm) Giải phương trình mũ 6x + = 3x + 2x+1 Câu (1 điểm) Tính I = dx sin x Câu (1 điểm) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(0; 1; 1), B(−1; 0; 2), C(2; 3; 0) Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (Oyz) Câu (1 điểm) a) Cho 5sin2 α − cos2 α = Tính giá trị biểu thức T = sin4 α − sin2 2α − 5cos4 α b) Một hộp đựng 10 viên bi, gồm viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng Bạn A lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp 10 viên bi Sau bạn B lấy ngẫu nhiên viên bi từ viên bi lại hộp Tính xác suất để A lấy viên bi mầu, đồng thời B lấy hai viên bi mầu Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, ABC = 60o , BC = 2a, hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O AC BD, SO = a, G trọng tâm tam giác SBO Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD CG Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tứ giác lồi ABCD có chu vi 12 diện tích 9, đỉnh A(2; −1), đường phân giác góc BAD có phương trình x − y − = Tìm tọa độ điểm B, C, D biết D có hoành độ tung độ dương √ Câu (1 điểm) Giải bất phương trình 2x2 2x3 + 24x < x2 + 24x + 12 Câu 10 (1 điểm) Cho ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến tam giác có √ chu vi diện tích S Chứng minh 3.S ≤ m2a + m2b + m2c < HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Khảo sát vẽ đồ thị hàm số • Tập xác định: D = R • Giới hạn: lim y = +∞, lim y = −∞ x→+∞ x→−∞ x=0 x=2 Hàm số nghịch biến (0; 2), đồng biến (−∞; 0) (2; +∞) Cực trị: xCĐ = 0, yCĐ = y(0) = xCT = 2, yCT = y(2) = −2 • Bảng biến thiên: Điểm 1,00 0,25 • Đạo hàm: y = 3x2 − 6x Ta có y = ⇔ 3x2 − 6x = ⇔ x −∞ f (x) + − f (x) −∞ • Đồ thị: 0,25 +∞ 0,25 + +∞ −2 Tâm đối xứng I(1; 0) Bảng số giá trị x −1 y −2 −2 0,25 Tìm m 1,00 Ta có y = −4x + 4(m + 1)x, y = −12x + 4(m + 1) 0,25 HS đạt cực đại x = −1 y (−1) = ⇔ − 4m − = ⇔ m = 0,50 Với m = y (−1) = −12 + 4(m + 1) = −8 < nên x = −1 điểm cực 0,25 đại hàm số Vậy m = giá trị cần tìm 3 Giải phương trình mũ 6x +2= 3x + 2x+1 ⇔ (2x − 1) (3x 1,00 1,00 1,00 − 2) = ⇔ x = x = log3 Tính tích phân bất định (họ nguyên hàm) d(cos x − 1) − cosx − sin x dx = (1 − cos x)(1 + cos x) cos x − 1 = ln + C cos x + I = d(cos x + 1) = cosx + Viết phương trình mặt cầu 1,00 Gọi I(0; b; c) ∈ (Oyz) tâm mặt cầu (S) Ta có IA = IB = IC ⇔ 0,50 17 17 2b − 2c = −3 3b − 2c = Tìm b = 7, c = Vậy I 0; 7; 2 369 Bán kính mặt cầu (S) R = IA = 17 369 2 Vậy (S) : x + (y − 7) + z − = 0,50 a 1,00 0,50 Tính giá trị biểu thức lượng giác 3 Ta có 5sin2 α − cos2 α = sin2 α + cos2 α = nên sin2 α = , cos2 α = b 0,25 0,50 Tính thể tích khoảng cách 1,00 √ √ 2a3 0,25 0,25 3 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox, Oy, Oz trùng √ với tia OD, OC, OS O(0; 0; 0), A(0; −a; 0), B(−a 3; 0; 0), C(0; a; 0), √ √ a a ; 0; ) D(a 3; 0; 0), S(0; 0; a), G(− 3 √ √ −−→ −→ −−→ −→ a a Từ tính AD = (a 3; a; 0), CG = (− ; −a; ), AD, CG = 3 √ √ a2 a2 2a2 −→ = ( ;− ;− ), AC = (0; 2a; 0) 3 −−→ −→ −→ √ AD, CG AC a Vậy d(AD, CG) = = −−→ −→ AD, CG 0,25 Tìm tọa độ điểm B, C, D 1,00 Ta có OA = OC = a, OB = OD = a 3, VS.ABCD = SO.SABCD = 0,25 Vậy T = sin2 α − 4sin2 αcos2 α − cos2 α = −1 Tính xác suất × C = 45.28 = 1260 Gọi M biến cố cần tính xác n(Ω) = C10 suất TH1: A lấy bi xanh, B lấy bi đỏ bi vàng, có C32 C32 + C42 = 27 cách TH2: A lấy bi đỏ, B lấy bi xanh bi vàng, có C32 C32 + C42 = 27 cách TH3: A lấy bi vàng, B lấy bi xanh bi đỏ bi vàng, có C42 C32 + C32 + C22 = 42 cách 96 = Do n(M ) = 27 + 27 + 42 = 96 Vậy P (M ) = 1260 105 1,00 0,25 0,25 0,25 Đặt a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, a + b + c + d = 12 Ta có 1 = SABCD = SABC + SCDA = ab sin ABC + cd sin ADC ≤ (ab + cd), 2 1 = SABCD = SABD + SBCD = ad sin DAB + bc sin BCD ≤ (ad + cb), 2 ⇒ 36 ≤ (ab + bc + cd + da) (1) 0,25 Đẳng thức (1) xảy ABC = ADC = DAB = BCD = 900 hay ABCD hình chữ nhật Hơn ta có ab + bc + cd + da ≤ a+b+c+d 2 (2) Thật vậy, (2) ⇔ (a − b + c − d)2 ≥ Đẳng thức (2) xảy a + c = b + d Thay a + b + c + d = 12 vào (2) ab + bc + cd + da ≤ 36 (3) Từ (1) (3) suy (1) (3) phải xảy đẳng thức, tức ABCD hình chữ nhật thỏa mãn a + c = b + d, a + b + c + d = 12, dẫn tới ABCD hình vuông có cạnh Khi đường thẳng AC có phương trình x − y − = √ Gọi C(t + 3; t), ta có AC = ⇔ 2(t + 1)2 = 18 ⇔ t = 2, t = −4 - Với t = C(5; 2) Trung điểm AC I( ; ) Đường thẳng BD 2 vuông góc với AC I nên trình x + y − = Gọi √ BD có phương D(m; − m) Ta có ID = ⇔ 2(m − ) = ⇔ m = 5, m = 2 2 Nhưng điểm D có hoành độ tung độ số dương nên ta lấy m = D(2; 2), suy B(5; −1) - Với t = −4 C(−1; −4), D(2; −4) D(−1; −1), không thỏa mãn Vậy B(5; −1), C(5; 2), D(2; 2) 0,25 0,25 0,25 Giải bất phương trình 1,00 √ Giải bất phương trình 2x2 2x3 + 24x < x2 + 24x + 12 (1) √ Xét phương trình 2x2 2x3 + 24x = x2 + 24x + 12 (2) Điều kiện 2x3 + 24x ≥ ⇔ x ≥ Thấy x = không nghiệm (2) Với x > ta đặt 0,25 x2 + 12 y= y > x2 + 12 = 2xy (3) 2x Từ (2) (3) ta có 2x2 2x.2xy = 2xy +24x, ⇔ 12+y = 2x2 y (4) (do x > 0, y > 0) Từ (3) (4) suy x2 −y = 2xy −2x2 y ⇔ (x−y)(x+y+2xy) = ⇔ x = y (do x > 0, y > 0) Thế y = x vào (3) ta 12 + x2 = 2x3 ⇔ x = 2, suy y = (thỏa mãn x > 0, y > 0) Thử lại thấy x = thỏa mãn phương trình (2) Như (2) có nghiệm x = 0,25 0,25 √ 10 Bây giờ, ta xét hàm số liên tục f (x) = 2x2 2x3 + 24x − x2 − 24x − 12 với x ∈ [0; +∞) Nhờ lập luận trên, ta có f (x) = ⇔ x = Do tập [0; 2) , (2; +∞) hàm f (x) không đổi dấu Kiểm tra thấy f (0) = −12 < 0,25 √ nên f (x) < với x ∈ [0; 2) , f (3) = 18 126 − 93 > nên f (x) > với x ∈ (2; +∞) Vậy (1) ⇔ ≤ x < Chứng minh bất đẳng thức 1,00 2 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác cho, p = (a + b + c) = Chứng minh Suy p2 = a+b+c a+b+c 2 ≤ ≤ a2 + b + c (1) 3 a + b2 + c2 = m2a + m2b + m2c (2) 0,50 (p − a) + (p − b) + (p − c) p4 = 27 √ √ 2 2 nên 3S ≤ p (3) Từ (2) (3) suy 3S ≤ ma + mb + mc (4) Đẳng thức (4) xảy a = b = c = 1 Chỉ < a < , < b < , < c < 2 1 Dẫn tới m2a + m2b + m2c = a2 + b2 + c2 < (a + b + c) = 2 2 hay ma + mb + mc < (5) Từ (4) (5) ta có điều phải chứng minh Ta lại có S = p(p − a)(p − b)(p − c) ≤ p 0,50