Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trung học cơ sở

Các giáo viên hợp tác làm việc với nhau về một số “bài học nghiên cứu” bao gồm: lên kế hoạch bài học, hoạt động dạy học, kiểm tra và thảo luận về những gì họ quan sát được về thể hiện vi

HOA ÁNH TƯỜNG

SỬ DỤNG NGHIÊN CỨU BÀI HỌC

ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-HOA ÁNH TƯỜNG

SỬ DỤNG NGHIÊN CỨU BÀI HỌC

ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN VUI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây công trình nghiên cứu này là của cá nhân tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận án

là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình khác

Tác giả

Hoa Ánh Tường

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4

DANH SÁCH HÌNH ẢNH 5

DANH SÁCH BẢNG BIỂU 8

MỞ ĐẦU 9

1 Định nghĩa các thuật ngữ 9

2 Giới thiệu 11

3 Mục đích nghiên cứu 19

4 Câu hỏi nghiên cứu 19

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 20

6 Ý nghĩa của nghiên cứu 20

7 Bố cục của luận án 21

8 Tóm tắt phần mở đầu 23

Chương 1 GIAO TIẾP TOÁN HỌC TRONG LỚP HỌC 24

1.1 Xuất xứ của giao tiếp toán học 24

1.2 Giao tiếp trong lớp học toán 24

1.3 Các nghiên cứu khác về giao tiếp toán học 25

1.4 Vai trò của giao tiếp toán học trong lớp học 29

1.5 Các thang mức đánh giá năng lực giao tiếp toán học 29

1.5.1 Sáu mức độ hiểu biết toán học 30

1.5.2 Biểu diễn toán học 31

1.5.2.1 Các hình thức của biểu diễn toán học 32

1.5.2.2 Ví dụ về tình huống dạy học có sử dụng biểu diễn toán học 33

1.5.3 Các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học 41

1.5.4 Tiêu chuẩn về giao tiếp toán học 42

1.5.5 Các mức đo thể hiện giao tiếp toán học 44

1.6 Tóm tắt chương 1 49

Chương 2 NGHIÊN CỨU BÀI HỌC VÀ BÀI TOÁN KẾT THÚC MỞ 50

2.1 Nghiên cứu bài học 50

2.1.1 Xuất xứ của nghiên cứu bài học 50

2.1.2 Các nghiên cứu khác về nghiên cứu bài học 51

2.1.3 Quy trình nghiên cứu bài học 52

2.1.4 Các yếu tố thực hiện thành công nghiên cứu bài học 57

2.1.5 Ví dụ minh họa về nghiên cứu bài học 58

2.2 Bài toán kết thúc mở 62

2.2.1 Xuất xứ của bài toán kết thúc mở 63

2.2.2 Một số vai trò của bài toán kết thúc mở 64

2.2.3 Ví dụ về tình huống dạy học có sử dụng bài toán kết thúc mở 64

2.3 Tóm tắt chương 2 72

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 73

3.1 Thiết kế quy trình nghiên cứu 73

3.2 Đối tượng nghiên cứu 74

3.3 Phạm vi nghiên cứu 74

3.4 Thu thập dữ liệu 75

3.5 Phương pháp phân tích dữ liệu 75

3.6 Công cụ nghiên cứu theo quy trình của nghiên cứu bài học 76

3.7 Các nội dung toán học nghiên cứu 78

3.7.1 Nội dung nghiên cứu 78

3.7.2 Khái quát về các bài học nghiên cứu 80

3.8 Tóm tắt chương 3 87

Chương 4 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC QUA CÁC BÀI HỌC NGHIÊN CỨU 88

4.1 Bài học nghiên cứu 1 Diện tích hình thang 89

4.2 Bài học nghiên cứu 2 Luyện tập 1 Diện tích đa giác 104

4.3 Bài học nghiên cứu 3 Luyện tập 2 Diện tích đa giác 109

4.4 Bài học nghiên cứu 4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình (dạng toán chuyển động) 117

4.5 Tóm tắt chương 4 129

Chương 5 KẾT QUẢ CHO CÁC CÂU HỎI NGHIÊN CỨU VÀ VẬN DỤNG 130

5.1 Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 130

5.2 Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 137

5.2.1 Khả năng giao tiếp toán học của học sinh trong lớp học 137

5.2.2 Khảo sát môi trường học tập 138

5.2.3 Cách tổ chức lớp học để đẩy mạnh hoạt động giao tiếp 140

5.3 Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 147

5.3.1 Vai trò của nghiên cứu bài học 148

5.3.2 Cách thiết kế bài học 149

5.3.3 Nội dung bài học trong chương trình toán 8 thúc đẩy HS giao tiếp toán học 153

5.4 Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư 160

5.4.1 Đánh giá các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học của học sinh 161

5.4.2 Đánh giá các mức độ giao tiếp toán học của học sinh 168

5.5 Vận dụng – đề xuất 171

5.5.1 Vận dụng 171

5.5.2 Đề xuất 178

5.6 Tóm tắt chương 5 179

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 181

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 183

TÀI LIỆU TRÍCH DẪN VÀ THAM KHẢO 185

PHỤ LỤC 191

PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH 191

1 Kế hoạch bài học “Diện tích hình thang” 194

2 Kế hoạch bài học “Luyện tập 1 Diện tích đa giác” 202

3 Kế hoạch bài học “Luyện tập 2 Diện tích đa giác” 205

4 Kế hoạch bài học “Giải toán bằng cách lập phương trình” 210

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV: Giáo viên GV1: Giáo viên thứ nhất HS: Học sinh

HS1: Học sinh thứ nhất NCBH: Nghiên cứu bài học NCTM: Hội giáo viên toán của Mỹ NNC: Nhóm nghiên cứu

nnk: Những người khác PISA: Chương trình đánh giá học sinh Quốc tế PPDH: Phương pháp dạy học

THCS: Trung học cơ sở

DANH SÁCH HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Mô hình giao tiếp toán học 25

Hình 1.2 Môi trường giao tiếp toán học ở Mã Lai 27

Hình 1.3 Hình vuông và hình thoi có độ dài cạnh bằng 5 34

Hình 1.4 Hình vuông và hình thoi có cùng chu vi 35

Hình 1.5 Sơ đồ đoạn thẳng minh họa phân số chỉ số học sinh thích đá bóng 36

Hình 1.6 Lưới tam giác đều cạnh 6 đơn vị 37

Hình 1.7 Tam giác cạnh k đơn vị 37

Hình 1.8 Lưới tam giác đều cạnh n đơn vị 40

Hình 1.9 Tương ứng tam giác đều và hình vuông có độ dài cạnh là n đơn vị 41

Hình 2.1 Sơ đồ quy trình nghiên cứu bài học 53

Hình 2.2 Tứ giác ABCD đã vẽ thêm đường chéo 58

Hình 2.3 Điểm O nằm trong tứ giác ABCD 60

Hình 2.4 Dạng tứ giác MNPH 64

Hình 2.5 Hai tiếp tuyến cắt nhau 70

Hình 2.6 Các cặp tiếp tuyến cắt nhau 70

Hình 2.7 Luyện tập hai tiếp tuyến cắt nhau 71

Hình 3.1 Hình thang ABCD 81

Hình 3.2 Hình bình hành ABCD 81

Hình 3.3 Hình chữ nhật và hình bình hành có cùng diện tích 81

Hình 3.4 Hình chữ nhật và hình thang có cùng diện tích 82

Hình 3.5 Sơ đồ tìm diện tích hình thang và hình bình hành 82

Hình 3.6 Hình thang ABCD 83

Hình 3.7 Hình thang ABCD 84

Hình 3.8 Hình vuông ABCD 85

Hình 3.9 Hình vuông ABCD 86

Hình 4.1 Các hình cần tính diện tích 90

Hình 4.2 Hình thang ABCD 90

Hình 4.3 Hình bình hành ABCD 91

Hình 4.4 Hình thang và hình chữ nhật có cùng diện tích 91

Hình 4.5 Mảnh đất của ba gia đình 92

Hình 4.6 Chia hình đã cho thành tam giác vuông và hình chữ nhật 93

Hình 4.7 Sắp xếp lại hình đã cho thành hình đa giác đã biết tính diện tích 93

Hình 4.8 Chia hình thang thành hai hình tam giác 94

Hình 4.9 Chia hình thang thành hai hình tam giác vuông và một hình chữ nhật 95

Hình 4.10 Mảnh đất của ba gia đình An, Bá, Cả sau khi sắp xếp lại 99

Hình 4.11 Mảnh đất của ba gia đình An, Bá, Cả bị chia sai 99

Hình 4.12 Mảnh đất của ba gia đình An, Bá, Cả dự kiến chia lại 100

Hình 4.13 Bổ sung hai hình tam giác vuông vào hình thang 101

Hình 4.14 Hiệu diện tích của hình chữ nhật và hình tam giác 101

Hình 4.15 Hình thang và hình tam giác có cùng diện tích 102

Hình 4.16 Hình thang và hình chữ nhật có cùng diện tích 103

Hình 4.17 Định hướng cách tìm diện tích 104

Hình 4.18 Hình thang và hình tam giác có cùng diện tích 104

Hình 4.19 Miếng bìa hình tam giác vuông và hình vuông 105

Hình 4.20 Định hướng cách tìm diện tích 106

Hình 4.21 Kết quả của các nhóm 106

Hình 4.22 Hình vuông V 106

Hình 4.23 Kết quả của HS 107

Hình 4.24 Kết quả của nhóm 4 và nhóm 2 107

Hình 4.25 Các nhóm cử đại diện HS giải bài toán 2 108

Hình 4.26 Hình vuông ABCD 109

Hình 4.27 So sánh diện tích các hình 110

Hình 4.28 Định hướng cách tìm diện tích 110

Hình 4.29 Cắt bánh Pizza 111

Hình 4.30 Định hướng cách tìm diện tích 111

Hình 4.31 Hai tấm bìa hình vuông 112

Hình 4.32 Sắp xếp, lắp ghép hình 113

Hình 4.33 Liên hệ phần bánh Pizza với hình đã biết tìm diện tích 114

Hình 4.34 Liên hệ phần chung 2 hình vuông với hình đã biết tìm diện tích 114

Hình 4.35 Kết quả của học sinh 116

Hình 4.36 So sánh diện tích các hình 117

Hình 5.1 Ghép hai hình tam giác vuông và một hình chữ nhật 132

Hình 5.2 So sánh diện tích 145

Hình 5.3 Tam giác và tứ giác có diện tích bằng nhau 153

Hình 5.4 Các hình tứ giác có cùng diện tích 154

Hình 5.5 Các hình tứ giác thay đổi thành tam giác có cùng diện tích 155

Hình 5.6 Tìm vị trí điểm E để tam giác ADE có diện tích bằng tứ giác ABCD 155

Hình 5.7 Miếng đất nhà cô Thu Ba 156

Hình 5.8 Các hình chữ nhật cần tìm diện tích 157

Hình 5.9 Mối liên hệ về diện tích của các hình chữ nhật 157

Hình 5.10 Hai hình chữ nhật có diện tích bằng nhau trên giấy kẻ ô vuông 158

Hình 5.11 Hai hình chữ nhật có diện tích bằng nhau 159

Hình 5.12 Giá trị tuyệt đối của số 3 và số -3 171

Hình 5.13 Giá trị tuyệt đối của số 10 và  10 173

Hình 5.14 Giá trị tuyệt đối của số x với x 2 174

Hình 5.15 Các tấm bìa 175

Hình 5.16 Sắp xếp các tấm bìa thành hình chữ nhật 176

Hình 5.17 Thực hành tìm tính chất trọng tâm của tam giác 177

Hình 5.18 Tính chất trọng tâm của tam giác 178

DANH SÁCH BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Khung giao tiếp toán học theo Brenner 28

Bảng 1.2 Bảng mô tả tóm tắt sáu mức độ hiểu biết toán học 30

Bảng 1.3 So sánh diện tích hình thoi và hình vuông có cùng chu vi 34

Bảng 1.4 Tỉ lệ % HS thể hiện 48

Bảng 2.1 Quy nạp tìm biểu thức tổng số đo các góc của đa giác n đỉnh 59

Bảng 2.2 Một số biểu thức theo n 60

Bảng 2.3 Quy nạp tìm biểu thức tổng số đo các góc của đa giác n đỉnh 61

Bảng 2.4 Tổng số đo các góc của đa giác n đỉnh 61

Bảng 2.5 Kết quả chia tam giác thành 2 hình có diện tích bằng nhau 66

Bảng 2.6 Kết quả chia hình thang thành 2 hình có diện tích bằng nhau 67

Bảng 3.1 Các tiến trình của bài học được nghiên cứu 77

Bảng 4.1 Tỉ lệ % HS thực hiện tính diện tích các hình đã cho 93

Bảng 4.2 Tỉ lệ % HS thực hiện chứng minh công thức tính diện tích hình thang 95

Bảng 4.3 HS thể hiện các suy luận và chứng minh 96

Bảng 4.4 Bảng biểu diễn các đại lượng và phương trình (đại lượng vận tốc) 124

Bảng 4.5 Bảng biểu diễn các đại lượng và phương trình (đại lượng quãng đường) 124

Bảng 5.1 Cách HS thể hiện cách tìm công thức tính diện tích hình bình hành 136

Bảng 5.2 Suy nghĩ của học sinh về việc học toán 138

Bảng 5.3 Suy nghĩ của học sinh về cách học toán 139

Bảng 5.4 Suy nghĩ của học sinh về lớp học toán 139

Bảng 5.5 Những việc thường xuyên xảy ra trong lớp học toán của em 140

MỞ ĐẦU

Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày định hướng cho nghiên cứu Từ việc giới thiệu vấn đề và nhu cầu nghiên cứu, chúng tôi đề xuất tên đề tài, mục đích nghiên cứu, nêu lên những câu hỏi nghiên cứu và ý nghĩa của nghiên cứu Định nghĩa những thuật ngữ và cấu trúc của luận án cũng được chúng tôi đề cập trong phần này

1 Định nghĩa các thuật ngữ

Trong phần này, chúng tôi giải thích một số thuật ngữ cốt lõi trong luận án giúp người đọc hiểu rõ một số khái niệm còn mới và xa lạ ở Việt Nam

Giao tiếp toán học: là một hình thức của giao tiếp mà một người cố gắng để thuyết

phục những người khác về những ý tưởng, suy nghĩ, câu hỏi hay giả thuyết toán học của mình nhằm chia sẻ ý tưởng và làm rõ sự hiểu biết về những vấn đề toán học đó Thông qua thảo luận và đặt câu hỏi, các ý kiến toán học được: phản ánh, thảo luận

và chỉnh sửa Quá trình HS lập luận, phân tích một cách có hệ thống giúp các em củng cố kiến thức và hiểu biết toán một cách sâu sắc hơn Thông qua giao tiếp, học sinh giải quyết vấn đề hiệu quả hơn, có thể lý giải các khái niệm toán học và có kỹ năng giải toán (Lim, 2008)

Năng lực giao tiếp toán học: bao gồm việc bộc lộ được chính kiến riêng của bản

thân về các vấn đề toán học, hiểu được ý tưởng của người khác khi người đó trình bày về vấn đề đó, diễn đạt ý tưởng của mình chính xác và rõ ràng, sử dụng được ngôn ngữ toán học, quy ước và ký hiệu toán học (Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang, 2002; Mónica Miyagui, 2007)

Bài toán kết thúc mở: là một bài toán không phải đơn thuần chỉ có một cách trả lời

đúng, nó có nhiều cách trả lời khác nhau (Erkki, 1997) Trong bài toán kết thúc mở, giáo viên đưa ra một tình huống và yêu cầu HS trình bày kết quả qua bài làm của mình Yêu cầu này có thể sắp xếp từ mức độ đơn giản như HS chỉ rõ một lập luận toán đã thực hiện đến mức độ phức tạp hơn như HS thêm giả thiết hoặc giải thích các tình huống toán học, viết ra phương hướng, tạo ra những vấn đề liên quan mới,

hoặc đưa ra những khái quát hóa Theo Foong, (2002) “Bài toán kết thúc mở thường

có cấu trúc thiếu, vì nó thiếu dữ liệu, giả thiết và không có thuật toán sẵn để giải Điều này dẫn đến có nhiều lời giải cho một bài toán kết thúc mở”

Nghiên cứu bài học: là một hình thức phát triển nghiệp vụ sư phạm lâu dài được

định hướng bởi GV đứng lớp nhằm giúp họ phát triển thói quen về việc tự phản ánh

và cải tiến phương pháp dạy học thông qua nỗ lực hợp tác với đồng nghiệp (James W.Stigler & nnk, 2009; Nguyễn Thị Duyến, 2013) Các giáo viên hợp tác làm việc với nhau về một số “bài học nghiên cứu” bao gồm: lên kế hoạch bài học, hoạt động dạy học, kiểm tra và thảo luận về những gì họ quan sát được về thể hiện việc học toán của học sinh Thông qua quá trình lặp đi lặp lại các đổi mới phù hợp, giáo viên

có nhiều cơ hội để thảo luận về việc học tập của học sinh và giảng dạy của mình ảnh hưởng đến học sinh như thế nào

Bài học nghiên cứu: là bài học được nhóm nghiên cứu (gồm các GV tham gia vào

quy trình của NCBH) lựa chọn để khám phá chủ đề nghiên cứu Kế hoạch của bài học nghiên cứu được soạn với sự nỗ lực hợp tác của các thành viên trong nhóm nghiên cứu, được dạy trên lớp cụ thể để các giáo viên quan sát, phản ánh, chỉnh sửa

và dạy lại trên một lớp học khác (Research for Better Schools, 2007) Số lần chỉnh sửa và dạy lại trên các lớp khác nhau nhiều hay ít là tùy thuộc vào điều kiện của nhóm nghiên cứu

Bài học nghiên cứu khác với bài học thao giảng Bài học thao giảng thường chú

trọng đến việc trình bày của GV có kinh nghiệm và nó được xem là một điển hình

để các GV trẻ học tập Còn bài học nghiên cứu thì chú trọng nhiều hơn đến việc học của HS và làm thế nào để thúc đẩy khả năng học tập của các em Bài học nghiên cứu này có thể đem lại hoặc không đem lại kết quả học tập cho HS như đã dự kiến nhưng nó sẽ giúp cho GV có hiểu biết sâu sắc hơn về việc dạy và học trong lớp của mình

- Chia sẻ những ý tưởng và cách thức giao tiếp toán học ở các nước thành viên của tổ chức hợp tác kinh tế Châu Á Thái Bình Dương (APEC)

- Phát triển các phương pháp dạy học về giao tiếp toán học thông qua nghiên cứu bài học ở các nền kinh tế thành viên APEC

 Hội Giáo viên toán của Mỹ (2007) cũng đưa ra các tiêu chí về giao tiếp toán học

và chương trình đánh giá học sinh quốc tế khi thiết kế các bài kiểm tra cũng có

đề cập đến giao tiếp toán học

 “Quá trình học tập cần đến giao tiếp Nghiên cứu về giao tiếp là nghiên cứu quan trọng trong giáo dục toán” (Maitree Inprasitha, 2012) Hội nghị đổi mới phương pháp dạy học môn toán của tổ chức APEC tại Thái Lan vào năm 2008 tập trung bàn luận về chủ đề giao tiếp toán học Mục tiêu chính nhắm đến trong giao tiếp toán học là việc học sinh chia sẻ ý tưởng, làm rõ sự hiểu biết về toán, bộc lộ được chính kiến riêng của bản thân về toán

 Nghiên cứu bài học đã thu hút sự chú ý của các nhà giáo dục quốc tế trong thập

kỷ qua Chẳng hạn: nó là một trong những trọng tâm của Hội nghị Giáo dục Toán Quốc tế (ICME) năm 2002, tầm quan trọng của nó đã được nhấn mạnh tại ICME lần thứ 11 từ ngày 6 đến 13 tháng 7 năm 2008 tại Mexico và mở rộng sang nhiều nước khác Và hàng chục hội nghị quốc tế, hội thảo đã được tổ chức trên khắp thế giới, ở đó mọi người chia sẻ kinh nghiệm và tiến bộ của mình về nghiên cứu bài học khi giáo viên trải nghiệm những hình thức mới của phát triển

nghiệp vụ dạy học toán trong các bối cảnh riêng ở từng quốc gia (Maitree Inprasitha, 2008)

Các nước trên thế giới quan tâm đến giao tiếp toán học và nghiên cứu bài học bởi vì:

 “Giao tiếp là một phần thiết yếu của toán học và giáo dục toán Giao tiếp là cách chia sẻ ý tưởng, phản ánh kịp thời và thảo luận Quá trình giao tiếp giúp HS hiểu toán sâu sắc hơn” (NCTM, 2007)

 “Giao tiếp đã được xác định là một trong những năng lực cốt lõi để phát triển cho học sinh” (Luis Radford, 2004)

 “Giao tiếp toán học là ý tưởng quan trọng không những cải tiến việc học môn Toán mà còn phát triển năng lực cần thiết cho người học và có nhiều khía cạnh thúc đẩy tư duy toán học” (Isoda, 2008)

 Chang (2008) cho rằng “Mục tiêu đầu tiên của giao tiếp toán học là hiểu ngôn ngữ toán học Chẳng hạn như ký hiệu, biểu tượng, thuật ngữ, bảng biểu, đồ thị

và các suy luận thông thường Chúng ta nên xem xét giao tiếp toán học là một trong những năng lực có thể được dạy và học trong chương trình” Còn Emori (2008) cho rằng “Tất cả các kinh nghiệm về toán học được thực hiện thông qua giao tiếp Giao tiếp toán học cần thiết để phát triển tư duy toán học bởi vì sự phát triển tư duy được lý giải bởi ngôn ngữ của chủ thể và những cách thức của giao tiếp”

 Nghiên cứu bài học giúp giáo viên nhằm không ngừng đổi mới việc dạy và nâng cao việc học cho học sinh Trong nghiên cứu bài học, giáo viên đóng vai trò trung tâm trong việc quyết định cái gì là mới trong dạy và học và là những người trực tiếp thực hiện đổi mới trong các lớp học thực sự của mình Thông qua hoạt động nghiên cứu bài học, giáo viên tích lũy những kinh nghiệm thực tế, trải nghiệm và cải tiến bài học nghiên cứu

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến nhu cầu nghiên cứu

2.1 Nhu cầu nghiên cứu

Giáo viên Việt Nam chưa quen làm việc theo nhóm, theo hướng hợp tác để chia

sẻ các ý kiến và trao đổi kinh nghiệm dạy học Thông thường khi một trường trung học lên tiết dạy thao giảng cấp trường hoặc cấp thành phố thì giáo viên trong tổ bộ môn cùng bàn bạc đưa ra kế hoạch và cách thực hiện tiết dạy thế nào hay nhất và phù hợp với học sinh hơn Việc thực hiện này nhằm “đối phó” hoặc “thể hiện” bề nổi về nghiệp vụ sư phạm của đơn vị Và thực tế hiện nay, giáo viên chưa thực sự

có sự hợp tác trong việc soạn từng bài học cụ thể mà chỉ có hoạt động thống nhất kế hoạch, nội dung giảng dạy cho mỗi bài hoặc mỗi chương Hơn nữa, sau mỗi tiết dự giờ, những người tham gia chủ yếu đánh giá nghiệp vụ sư phạm của giáo viên đứng lớp mà chưa quan tâm đến học sinh đã học được những gì từ bài học đó Trong khi

đó, cốt lõi của nghiên cứu bài học là làm cho giáo viên có ý thức hơn về những gì

“học sinh suy nghĩ” và học sinh “học như thế nào” Khi các giáo viên tham gia vào

quy trình của nghiên cứu bài học sẽ thấy được cần thực hiện và bổ sung thế nào để cách tổ chức lớp học thực sự phát huy việc học tập cho học sinh

Nghiên cứu bài học có thể có rất nhiều mục đích tùy thuộc vào nhóm nghiên cứu Nếu chúng ta quan tâm phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh THCS, thì nghiên cứu bài học sẽ phục vụ cho mục đích đó Chúng tôi chọn mục đích là phát triển năng lực giao tiếp toán học của học sinh với các lý do sau:

i) Quá trình phát triển của giao tiếp toán học có nhiều khía cạnh thúc đẩy tư duy toán học

Theo Isoda (2008) “Con người có thể giao tiếp tư duy toán học của mình với người khác bằng lời nói và điệu bộ, với những mô hình thực hay ảo của khoa học công nghệ, bằng hình vẽ, bài viết, bằng đồ thị, biểu bảng và những thiết bị khác Tất cả những dạng khác nhau của giao tiếp này là quan trọng khi học sinh tự mình tìm tòi và khám phá kiến thức” ii) Định hướng đổi mới PPDH môn Toán ở trường THCS có nhấn mạnh (Nguyễn

Bá Kim, 2007):

- Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động cho HS, tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác Rèn luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như linh hoạt, độc lập và sáng tạo Bước đầu hình thành cho HS có thói quen tự học, năng lực giao tiếp bao gồm năng lực diễn đạt chính xác ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác

- Yêu cầu đổi mới việc dạy toán phải chuyển đổi từ việc chú trọng kiến thức, thành thạo các kĩ năng cơ bản và các thuật toán có sẵn để giải quyết một lớp các bài toán quen thuộc sang việc hình thành năng lực giải quyết vấn đề có tính thực tiễn cho HS GV cần phải nghĩ đến việc dạy toán theo nhiều hoạt động, phải tạo ra được môi trường học tập tích cực kích thích HS tự tìm tòi

và kiến tạo tri thức cho riêng mình thông qua các tiếp cận dạy học tích cực Lớp học là môi trường giao tiếp GV-HS, HS-HS Định hướng này giúp triển khai hoạt động giao tiếp toán học cho HS

iii) Sách giáo khoa chú trọng đến việc xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập, có các gợi ý về những hoạt động nghiên cứu, thực nghiệm, thực hành Có những câu hỏi, bài tập nhỏ nhằm tái hiện, gợi mở, củng cố, tập vận dụng trực tiếp tại lớp,

có những bài tập rèn luyện kỹ năng suy luận chứng minh Sách giáo khoa hiện nay có thể hỗ trợ cho quá trình tự học, tự phát hiện, tự chiếm lĩnh tri thức mới và thực hành theo năng lực của người học

Có thể nói rằng, chương trình toán THCS hiện nay là giảm nhẹ mức độ kiến thức lý thuyết và tính trừu tượng để nâng cao tính ứng dụng và sát thực tiễn của toán và có những nội dung có thể tạo cơ hội cho học sinh bước đầu có năng lực tự học, phát triển năng lực giao tiếp toán học

Ngoài ra, trong chương trình toán 8:

- Khi học về vấn đề diện tích đa giác, HS đơn thuần thực hiện yêu cầu của SGK hoặc giải các bài tập nhằm củng cố kiến thức do các em đã học công thức tính diện tích các hình (hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác, hình thang) ở tiểu

học Luận án trên cơ sở nghiên cứu cách trình bày của sách giáo khoa, thiết kế các kế hoạch bài học nhằm giúp HS thể hiện: các ý tưởng toán học trong việc chứng minh công thức tính diện tích hình thang và hình bình hành; khai thác tính trực quan của các hình vẽ; có kỹ năng quan sát, đọc hình vẽ; sử dụng ngôn ngữ toán học, ký hiệu toán học; sử dụng ngôn ngữ của bản thân; có sự liên hệ toán học với cuộc sống nhờ vận dụng hợp lý các kiến thức được học từ chủ đề diện tích đa giác

- Khi học về dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình, HS có thể gặp lại các bài toán quen thuộc ở các lớp dưới chỉ khác là giải bằng phương pháp đại số Với dạng toán này, có rất nhiều HS gặp khó khăn trong việc hiểu ngôn từ trong bài toán Có em không hiểu nội dung của bài toán nên không thiết lập phương trình Để giải dạng toán này, HS cần có khả năng phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong bài toán thành các biểu thức và phương trình Ngoài ra, các em cần có kỹ năng giải phương trình và lựa chọn nghiệm thích hợp Muốn lập phương trình, HS cần biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ giữa chúng HS chưa phát huy năng lực giải toán và chưa liên hệ các yếu tố có trong đề bài để thiết lập phương trình HS chưa quen biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng cho bởi biểu thức một ẩn, trong đó

ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết Trên cơ sở đó, kế hoạch bài học của luận án minh họa: HS thể hiện cách đặt ẩn cho đại lượng sẽ dẫn đến thiết lập phương trình đơn giản hay phức tạp; HS nói được các điều cần lưu ý cho dạng toán này; HS khai thác các dữ kiện trong bài toán như thế nào để thiết lập được phương trình

Giáo viên mong muốn học sinh có kỹ năng, hiểu và vận dụng kiến thức vào giải toán từ các bài giảng của giáo viên Tất nhiên không phải tất cả học sinh đều thành công trong việc học toán bởi nhiều lý do khác nhau Trong lớp học toán, học sinh trung bình, yếu miễn cưỡng thực hiện nhiệm vụ được giao, các em chưa tích cực tham gia vào bài học Cần tổ chức lớp học như thế nào để tất cả học sinh thể hiện

được quan điểm của mình cũng như thúc đẩy các em tự mình tìm ra các giải pháp riêng và trình bày được ý tưởng với bạn, với giáo viên?

Học cách hợp tác có thể tạo điều kiện cho học sinh thể hiện quan điểm với bạn Hoạt động nhóm thúc đẩy từng thành viên bộc lộ suy nghĩ, sự hiểu biết và giúp HS tăng tính tự tin, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân HS tích cực thảo luận, tranh luận, đặt câu hỏi cho bản thân hoặc cho thầy hoặc cho bạn, đó cũng là dấu hiệu thể hiện tính tích cực học tập của học sinh Học sinh có cơ hội thảo luận với giáo viên, bạn học hoặc tự mình trải nghiệm thì giờ học trở nên sinh động

và việc tiếp thu bài học ở các em có thể hiệu quả hơn Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ Qua đó, trình độ người học có thể được nâng cao Bài học vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi HS, của cả lớp chứ không phải chỉ dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của giáo viên

Theo ý kiến chúng tôi, HS sẽ học toán tốt nhất khi các em được đặt trong một môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toán học theo cách riêng của mình Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động cho học sinh để các em tự mình kiến tạo ra tri thức, hình thành kỹ năng và thái độ, tức là dạy học sinh đến với tri thức đồng thời dạy học sinh cách học, qua đó duy trì trí nhớ bền vững hơn Bằng cách nói ra những điều đang suy nghĩ, mỗi người có thể nhận

rõ trình độ hiểu biết của mình về chủ đề nêu ra, thấy mình đã học hỏi thêm những

gì Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải chỉ là sự tiếp nhận thụ động từ giáo viên Qua đó, quá trình giao tiếp của học sinh ngày càng nâng cao, thể hiện khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác

Trong quá trình học toán, HS có nhu cầu giao tiếp với bạn học và thầy cô giáo

để hiểu rõ vấn đề toán học và chia sẻ cách giải toán của mình HS Việt Nam rất thành thạo các thuật toán và quy tắc giải toán, nhưng không thành công trong việc giải quyết các vấn đề không quen thuộc mà các em chưa có cách giải trước đó Một phần cũng do cách dạy học toán nặng về rèn luyện các kỹ năng và quy trình giải

toán một số lớp bài toán cụ thể quen thuộc ở phổ thông mà không chú trọng đến khám phá kiến thức mới Việc giao tiếp toán học tạo ra các tương tác tích cực để hỗ trợ HS nắm bắt một cách chắc chắn các kiến thức toán học cơ bản đã được nhiều nước phát triển quan tâm nghiên cứu Chúng tôi với mục đích giúp HS phát triển năng lực giao tiếp toán học trong lớp học trên cơ sở thiết kế các bài học nghiên cứu, dựa vào sự làm việc theo nhóm của GV GV thảo luận về từng kế hoạch bài học để định hướng thiết kế các kế hoạch bài học có sử dụng bài toán kết thúc mở và HS làm việc theo nhóm nhỏ hoặc theo cặp tìm cách giải quyết bài toán Chúng tôi sử dụng bài toán kết thúc mở tạo nên môi trường giao tiếp toán học cho HS thông qua các biểu diễn toán học bởi vì:

- Thông qua bài toán kết thúc mở, HS có thể đưa ra nhiều phán đoán có thể đúng hoặc sai, định hướng được các vấn đề có liên quan Sau đó, các em sẽ cùng nhau thảo luận về các phán đoán và vấn đề bạn mình đưa ra Điều này kích thích được khả năng lập luận, giải thích, tranh luận ở HS

- Các biểu diễn toán học tác động trực tiếp đến nhận thức ở HS; cụ thể, đó là cách

HS sử dụng các kí hiệu toán học, các thuật ngữ toán học, các quy tắc, cách giải quyết vấn đề, cách thể hiện về mặt lý luận cũng như quan điểm

Khi GV làm việc theo nhóm, ngoài việc tìm ra kế hoạch bài học phù hợp, thông qua dạy và quan sát lớp học, GV thấy được bối cảnh lớp học thực sự, cách HS thể hiện quan điểm cũng như quá trình giao tiếp nói và viết của HS Ngoài ra, GV sẽ góp ý cần điều chỉnh kế hoạch bài học cho phù hợp hơn nữa

Trong nghiên cứu của mình, chúng tôi cố gắng thiết kế các tình huống dạy học trên cơ sở thảo luận với các đồng nghiệp theo quy trình của nghiên cứu bài học, nhằm giúp học sinh thể hiện được giao tiếp toán học khi giải quyết các bài toán kết thúc mở Giáo viên tạo điều kiện để học sinh: Lập luận, tranh luận, suy diễn, chứng minh Từ đó, nhu cầu giao tiếp toán học và trao đổi ý tưởng ở HS xuất hiện trong quá trình hình thành tri thức mới Giáo viên nghiên cứu cách tổ chức lớp học để học sinh trao đổi những suy nghĩ và hướng giải quyết vấn đề Cụ thể, giáo viên cần:

- Động viên, khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội kiến thức;

- Chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có của học sinh để giúp các em phát triển năng lực của bản thân;

- Thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động học tập với các hình thức đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn phù hợp với đặc trưng bài học, và với trình độ học sinh;

- Tích hợp các nội dung dạy học có gắn liền với thực tế tác động sâu sắc đến thái

độ học tập của học sinh

2.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Sử dụng nghiên cứu bài học giúp giáo viên chuẩn bị được những bài dạy tạo điều

kiện cho học sinh thể hiện những ý tưởng toán học của mình, qua đó năng lực giao

tiếp toán học của học sinh được phát triển từ mức độ thấp đến cao Điều này

còn phụ thuộc vào môi trường sư phạm mà giáo viên tạo ra có đủ sức để khuyến khích học sinh thể hiện giao tiếp hay không

Điều chúng tôi đặc biệt quan tâm nghiên cứu là:

- Làm thế nào để góp phần khắc phục tình trạng còn "ngồi im lặng" của một số đối

tượng học sinh cùng với việc một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến những nhu cầu giao tiếp của học sinh trong lớp học toán?

- Học sinh THCS ở một số trường của Việt Nam có thể phát triển giao tiếp toán học theo những phương thức nào?

- Giúp học sinh thông hiểu, ghi nhớ những gì đã nắm được và phát huy tính sáng tạo khi các em nỗ lực học tập trong hoạt động và bằng hoạt động

Chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng

lực giao tiếp toán học cho học sinh trung học cơ sở”

3 Mục đích nghiên cứu

Chúng tôi sẽ sử dụng nghiên cứu bài học để tìm kiếm và xác định các phương thức

cơ bản của giao tiếp toán học cụ thể của học sinh trong lớp học gồm: biểu diễn toán học, giải thích, lập luận, và trình bày chứng minh Nghiên cứu của luận án sẽ nhằm đạt được các mục đích cụ thể sau:

- Nghiên cứu cách tổ chức lớp học có khả năng thúc đẩy và phát triển quá trình giao tiếp toán học cho HS

- Nghiên cứu và thiết kế một số nội dung bài học trong chương trình toán 8 có nhiều cơ hội thúc đẩy HS giao tiếp toán học

- Nghiên cứu các thang mức về năng lực giao tiếp toán học được sử dụng trong đánh giá học sinh thông qua các bài học nghiên cứu cụ thể được thực nghiệm Các mục đích cụ thể này sẽ định hướng cho các nhiệm vụ nghiên cứu của luận án

4 Câu hỏi nghiên cứu

Nhằm đạt được các mục đích cụ thể của luận án, chúng tôi sẽ bám sát bốn câu hỏi nghiên cứu sau:

Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: HS thể hiện các phương thức cơ bản của giao tiếp

toán học (biểu diễn toán học, giải thích – tranh luận, lập luận, và trình bày chứng minh) trong lớp học toán như thế nào?

Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Tổ chức lớp học toán như thế nào để thúc đẩy và

phát triển quá trình giao tiếp toán học cho HS?

Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Cách thiết kế bài học trong chương trình toán 8 theo

quy trình của nghiên cứu bài học như thế nào sẽ tạo cơ hội thúc đẩy HS giao tiếp toán học?

Câu hỏi nghiên cứu thứ tư: Làm thế nào để đánh giá quá trình phát triển năng lực

giao tiếp toán học của HS thông qua các bài học được nghiên cứu?

Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu này, chúng tôi dựa vào thiết kế nghiên cứu, thu thập dữ liệu, phân tích thực nghiệm Việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu này sẽ góp phần minh họa ý nghĩa thực tiễn của luận án trong giai đoạn dạy học toán hiện nay

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án đặt ra những nhiệm vụ nghiên cứu để tìm ra các phương thức và điều kiện để học sinh giao tiếp toán học Các nhiệm vụ cụ thể được thể hiện như sau:

- Tìm ra được các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học phù hợp với HS THCS

- Tìm ra các điều kiện hoặc tình huống trong lớp học có thể xảy ra các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học

- Chọn được các bài học nghiên cứu theo quy trình nghiên cứu bài học có thể tạo điều kiện cho học sinh thể hiện các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học

- Đưa ra được các thang mức đánh giá năng lực giao tiếp toán học

6 Ý nghĩa của nghiên cứu

Những kết quả nghiên cứu của luận án sẽ có ý nghĩa trong việc xác định các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học, từ đó đề xuất các cách tổ chức lớp học

cụ thể để phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh Luận án sẽ có ý nghĩa giáo dục thể hiện cụ thể như sau:

- Khảo sát được các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học cụ thể mà học sinh Việt Nam thể hiện được trong lớp học

- Đề xuất hình thức tổ chức dạy học để phát triển năng lực giao tiếp toán học tùy

theo khả năng của mình, qua đó hình thành cho học sinh Việt Nam tính tự tin

vào bản thân trong khi chia sẻ, trao đổi kiến thức toán học với bạn học và thầy

Chương 1 GIAO TIẾP TOÁN HỌC TRONG LỚP HỌC

Chúng tôi trình bày xuất xứ giao tiếp toán học, giao tiếp trong lớp học toán, điểm qua các kết quả nghiên cứu có liên quan, vai trò của giao tiếp toán học và các thang mức đánh giá năng lực giao tiếp toán học của học sinh

Chương 2 NGHIÊN CỨU BÀI HỌC VÀ BÀI TOÁN KẾT THÚC MỞ

Chúng tôi đề cập nghiên cứu bài học là công cụ nghiên cứu và bài toán kết thúc mở

là công cụ hỗ trợ cho học sinh giao tiếp toán học

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng, phương pháp và công cụ nghiên cứu; phương pháp thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu làm định hướng và quy trình cho quá trình nghiên cứu Bên cạnh đó, các bài

học nghiên cứu được chúng tôi đề cập một cách khái quát và phân tích phù hợp với chủ đề nghiên cứu như thế nào

Chương 4 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC QUA CÁC BÀI HỌC NGHIÊN CỨU

Chương này chúng tôi phân tích quy trình nghiên cứu bài học theo ba bước chính là lên kế hoạch, dạy và quan sát, phản ánh cho từng bài học nghiên cứu Bên cạnh đó,

có nêu lên những hạn chế của từng bài học chưa đáp ứng về yêu cầu của giao tiếp toán học; đồng thời đánh giá từng kế hoạch bài học đã thể hiện được ưu thế cũng như nhược điểm cần chỉnh sửa

Chương 5 KẾT QUẢ CHO CÁC CÂU HỎI NGHIÊN CỨU VÀ VẬN DỤNG

Thực hiện quy trình đề ra ở chương 3, chương này nêu các kết quả nghiên cứu để trả lời cho từng câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở phần mở đầu

Với câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về

các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học cụ thể của học sinh trong lớp học và nên được sử dụng như thế nào là có hiệu quả trong việc phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh

Với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chúng tôi nêu các kết quả khảo sát đối với học

sinh về những việc thường xuyên xảy ra trong lớp học toán và môi trường học tập

có thúc đẩy học sinh thể hiện giao tiếp toán học Từ đó, chúng tôi trình bày việc xây dựng cách tổ chức lớp học toán như thế nào sẽ có khả năng thúc đẩy và phát triển quá trình giao tiếp toán học cho HS

Với câu hỏi nghiên cứu thứ ba, chúng tôi trình bày những nội dung bài học và

cách thiết kế bài học như thế nào trong chương trình toán 8 tạo được cơ hội thúc đẩy HS giao tiếp toán học

Với câu hỏi nghiên cứu thứ tư, chúng tôi đánh giá năng lực giao tiếp toán học mà

HS thể hiện được thông qua các bài học nghiên cứu

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN

8 Tóm tắt phần mở đầu

Trong phần mở đầu, chúng tôi đã nêu lên nhu cầu nghiên cứu, phát biểu đề tài nghiên cứu để từ đó nêu lên mục đích và câu hỏi nghiên cứu Ý nghĩa của việc nghiên cứu và định nghĩa các thuật ngữ cũng được đề cập ở phần này

Chúng tôi sẽ trình bày giao tiếp toán học trong lớp học ở chương 1

Chương 1 GIAO TIẾP TOÁN HỌC TRONG LỚP HỌC

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề cơ bản về giao tiếp toán học của học sinh trong lớp học toán Từ đó, chúng tôi sẽ trình bày những thực hành dạy học thúc đẩy học sinh giao tiếp toán học

1.1 Xuất xứ của giao tiếp toán học

“Giao tiếp toán học là một hình thức của giao tiếp Theo tiếng Hy Lạp, nguồn gốc của từ “giao tiếp” liên quan đến cộng đồng, giao tiếp dựa vào cộng đồng và thật sự phát triển liên quan đến sự phát triển của văn hóa hoặc hội nhập văn hóa trong cộng đồng Nguồn gốc của thuật ngữ giao tiếp chỉ hạn chế vào việc sử dụng trong cộng đồng con người” (Isoda, 2008) Mục đích giao tiếp là

để chia sẻ những ý tưởng, quan điểm và làm rõ sự hiểu biết Thông qua trò chuyện, đặt câu hỏi, các ý kiến sẽ trở thành vấn đề để trao đổi, thảo luận, phân tích, tranh luận sau đó trình bày thông tin với sự thay đổi ý nghĩa ban đầu sang dạng khác rõ ràng, mạch lạc và dễ hiểu “Quá trình giao tiếp cũng giúp xây dựng nên ý nghĩa bền

vững cho những ý tưởng toán học đối với cộng đồng” (NCTM, 2000)

“Môn toán là môn học thích hợp để phát triển giao tiếp bởi vì: phương thức giao tiếp toán học và tư duy toán học rất cần thiết cho cuộc sống tương lai; toán học là một ngôn ngữ đặc biệt bao gồm các từ, bảng biểu, hình vẽ, đồ thị và kí hiệu Khi học sinh được thử thách để suy nghĩ tìm tòi và lý giải một vấn đề toán học và trình bày kết quả bằng cách viết hoặc nói, tranh luận thì kiến thức của học sinh sẽ vững vàng và việc học sẽ hiệu quả hơn Khi

đó, chúng ta thu được hai thành quả: học sinh giao tiếp để học toán và học sinh học để giao tiếp toán học Chúng ta có cơ sở đánh giá khả năng hiểu vấn đề của HS và tạo điều kiện cho HS thể hiện bản lĩnh nói về toán của mình” (NCTM, 2000)

1.2 Giao tiếp trong lớp học toán

Giao tiếp có thể có nhiều hình thức, giao tiếp diễn ra khi học sinh được phép có tiếng nói trong lớp học Làm cho học sinh nói trở thành một phần quan trọng trong bài học của giáo viên Điều này có thể xảy ra thông qua tương tác với giáo viên, thông qua làm việc theo nhóm nhỏ, hoặc đứng trước lớp để trình bày nhằm làm rõ một ý tưởng được tìm thấy GV có thể cho học sinh “đối mặt và thảo luận” nhằm khuyến khích các em nói lên ý tưởng của mình và dành thời gian để các em thảo

luận với người xung quanh; điều này đặc biệt có lợi cho những học sinh kém tự tin khi chia sẻ ý kiến trước cả lớp

Như vậy, giao tiếp trong lớp học toán là sự tương tác giữa HS-HS và HS-GV, thông qua hoạt động giao tiếp bằng lời nói, sử dụng ngôn ngữ hàng ngày

1.3 Các nghiên cứu khác về giao tiếp toán học

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số thực hành giao tiếp toán học ở một

số nước Sau đó, chúng tôi chọn quan niệm giao tiếp toán học cho luận án

 Theo nghĩa hẹp thông thường, giao tiếp bao gồm nghe, nói, viết và đọc; còn giao tiếp toán học là việc học sinh sử dụng các biểu diễn toán học để trao đổi và chia

sẻ các ý tưởng và kinh nghiệm với bạn Như vậy, để vận dụng giao tiếp toán học vào trong lớp học, người ta cần đến quan điểm rộng hơn về giao tiếp Theo Emori (2008), “Trong mô hình giao tiếp toán học theo nghĩa rộng, giao tiếp toán học theo nghĩa hẹp và những hoạt động tích hợp trong toán học bao gồm: giải quyết vấn đề, lập luận và chứng minh, biểu diễn” được minh họa bởi hình 1.1

Hình 1.1 Mô hình giao tiếp toán học

 Ở Nhật, Emori (2008) nghiên cứu về giao tiếp toán học từ 20 năm trước Vào thời điểm đó, tất cả các giáo viên đều đồng ý với ông về tầm quan trọng của giao tiếp trong lớp học toán, nhưng các giáo viên do dự giới thiệu hoạt động giao tiếp trong các lớp học bởi vì họ không muốn mất nhiều thời gian bởi các hoạt động

Giao tiếp toán học

Lập luận và

giao tiếp Theo Emori, “Khi chúng tôi thảo luận về quá trình học toán, chúng tôi không bao giờ tách biệt giữa giao tiếp và suy nghĩ của con người”

 Ở Úc, chương trình toán tiểu học ở New South Wales đã chú trọng đến giao tiếp

là một trong năm quá trình (thấy, đặt câu hỏi, giao tiếp, giải thích, lập luận) tham gia vào hoạt động toán học Học sinh cần phải học cách sử dụng ngôn ngữ thích hợp và các biễu diễn để thiết lập và thể hiện các ý tưởng toán học thông qua các hình thức: nói, viết, sơ đồ Peter Gould (2008) khẳng định “Học cách giao tiếp lập luận toán học là cơ sở để hiểu toán”

 Ở Brunei, tư duy và giao tiếp toán học đã được chứng tỏ là quan trọng và được nhấn mạnh trong chương trình toán năm 2006 Theo văn bản của chương trình này, toán học cung cấp các phương tiện giao tiếp hữu hiệu được sử dụng để trình bày thông tin bởi hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ và các biểu tượng; và quá trình giao tiếp sẽ được phát triển cùng một lúc với việc dạy học nội dung toán và các kỹ năng (Madihah, 2008)

 Ở Mã Lai, mặc dù tư duy và giao tiếp toán học đã được phát biểu một cách tường minh như là một đối tượng trong chương trình toán tiểu học và trung học

cơ sở nhưng các giáo viên toán vẫn còn thiếu kiến thức và kỹ năng trong việc thúc đẩy chúng trong lớp học Một số tác giả đề cập ngôn ngữ là một công cụ để suy nghĩ và tư duy Trong nghiên cứu của Lim (2008), tác giả quan tâm đến

“Việc sử dụng ngôn ngữ nào để giao tiếp trong lớp học toán” (Lim & nnk, 2008) Trong phân loại các cách tăng cường giao tiếp toán học ở Mã Lai, chương trình nhấn mạnh ba lĩnh vực chính của giao tiếp: giá trị và mục đích của giao tiếp, giao tiếp bằng miệng, và giao tiếp bằng văn bản viết

- Giá trị và mục đích của giao tiếp: các nội dung thích hợp, các tài liệu dạy học đảm bảo lợi ích học tập cho học sinh nhằm khắc sâu các kỹ năng, thái độ học tập và tạo ra một môi trường học tập hữu ích

- Giao tiếp bằng miệng: vài kĩ thuật bao gồm kể chuyện, đặt và trả lời câu hỏi, phỏng vấn có cấu trúc và không cấu trúc, sự thảo luận, trình bày, đánh giá

- Giao tiếp bằng văn bản viết: các hoạt động bao gồm làm các bài tập, giữ các

vở, các tranh ảnh cắt ra, làm các bài kiểm tra, thực hiện các dự án

Cheah (2007)đề cập “Giáo viên tạo cơ hội cho học sinh tìm nhiều phương pháp

và câu trả lời khác nhau, tương tác lẫn nhau, trình bày công việc của mình trước lớp, quá trình thực hiện các công việc khác nhau của học sinh có đánh giá và liên hệ chúng với nhau để đem đến những ý tưởng toán học quan trọng, điều này tạo cơ hội nhiều hơn cho học sinh tư duy và giao tiếp toán học” được minh họa bởi hình 1.2

Hình 1.2 Môi trường giao tiếp toán học ở Mã Lai

 Ở Hồng Kông, thuật ngữ “giao tiếp” không được đề cập trong chương trình giảng dạy toán tiểu học (phiên bản năm 1983) nhưng được đề cập là một trong năm thành tố của mục tiêu chương trình dạy học được chỉnh lý (khảo sát, các khái niệm, giải quyết vấn đề, suy luận và giao tiếp) Thuật ngữ giao tiếp trong tài liệu thường dùng để chỉ tính chất chung chung, chẳng hạn như thảo luận giữa các học sinh, thảo luận giữa học sinh với giáo viên; nó không nhấn mạnh bản chất toán học như chứng minh hoặc biểu diễn

 Ở Nhật Bản, các khía cạnh chính của chương trình dạy học toán năm 2000 nhấn mạnh vào các hoạt động toán học Giao tiếp toán học không được mô tả trong chương trình dạy học, nhưng được nhấn mạnh, phát triển và sử dụng nhiều bởi hoạt động dạy và học tại lớp học Một điều đáng chú ý, giáo viên tạo cơ hội cho học sinh tự mình giải quyết vấn đề trong bài học và lý luận giải pháp của mình

Các nhiệm vụ toán học

Giao tiếp

Bài học tập trung vào tư duy toán Môi trường

Đánh giá / Phân tích

trước lớp Vì vậy giao tiếp toán học được nhấn mạnh để phát triển sự tham gia chủ động và tích cực của học sinh trong lớp học toán (Thi, 2007)

 Theo Brenner (1994), “Giao tiếp toán học có 3 khía cạnh khác nhau: giao tiếp về toán, giao tiếp trong toán, giao tiếp với toán”

- Giao tiếp về toán: đề cập đến quá trình HS suy nghĩ, giải quyết vấn đề và HS

nêu được lý do tại sao chọn phương án đó để giải quyết bài toán

- Giao tiếp trong toán: đề cập đến việc HS sử dụng ngôn ngữ, các ký hiệu và

các biểu diễn toán học nào là hợp lý với vấn đề đặt ra

- Giao tiếp với toán: đề cập đến việc HS sử dụng kiến thức toán để giải quyết

vấn đề theo cách hiểu của HS

Bảng 1.1 Khung giao tiếp toán học theo Brenner

Giao tiếp về toán Giao tiếp trong toán Giao tiếp với toán học

1 Sự phản ánh về quá

trình nhận thức

Mô tả, giới thiệu, trình

bày, lập luận, nêu lý do

1 Ngôn ngữ toán học

Từ vựng Định nghĩa

Cú pháp

1 Công cụ giải quyết vấn

đề Khảo sát Cơ sở cho hoạt động toán học

2 Giao tiếp với những

người khác

Đưa ra quan điểm cá nhân

Lắng nghe, dung hoà các

quan điểm

2 Sự biểu diễn Các ký hiệu, quy ước toán học

Bằng lời Thao tác

Sơ đồ, đồ thị Hình học

2 Giải pháp linh hoạt

Sử dụng toán để giải quyết vấn đề

 Cheng (2007) mô tả quá trình giao tiếp toán học như sau:

Sự hiểu biết toán học của nội bộ cá nhân: nó là một quá trình tư duy mà các vấn

đề toán học và cách thức giải quyết vấn đề được gắn kết HS có các giải pháp thông qua các biểu diễn như sơ đồ, ký hiệu, quy ước, chữ hoặc biểu tượng

Giải thích các giải pháp cho những người khác: điều này liên quan đến sự hiểu biết về những suy nghĩ của người khác trong việc tìm hiểu những câu hỏi và giải pháp Với một biểu diễn tốt hay một biểu diễn có thể chấp nhận, học sinh hiểu được

ý tưởng người khác và nội dung của toán học

Mở rộng nội dung toán học sao cho thuyết phục người khác và đưa ra vấn đề khác hoặc đặt ra vấn đề mới

Qua tìm hiểu các nghiên cứu khác về giao tiếp toán học, luận án của chúng tôi: Tiếp cận cách sử dụng NCBH để hỗ trợ cho việc nghiên cứu các phương thức giao tiếp toán học cụ thể nào sẽ phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh THCS ở Việt Nam Và chọn quan điểm giao tiếp toán học theo Brenner (1994) và cách thức HS thể hiện quan điểm toán học của mình theo Cheng (2007)

1.4 Vai trò của giao tiếp toán học trong lớp học

Nhiều nhà giáo dục Toán cho rằng giao tiếp là một phần quan trọng và nền tảng của giáo dục Toán Theo Emori (2008), “Giao tiếp toán học là một ý tưởng chủ chốt quan trọng không chỉ đối với việc cải thiện học toán mà còn cho việc phát triển các khả năng cần thiết cho xã hội”

Việc phát triển khả năng về lập luận toán của HS sẽ liên quan đến sự phát triển trí tuệ và khả năng giao tiếp của HS Khả năng HS thể hiện kiến thức toán học bằng nhiều cách khác nhau là một dấu hiệu quan trọng của sự kết nối các kiến thức toán học cho HS Quá trình HS lập luận có phân tích và có hệ thống giúp củng cố, tăng cường kiến thức và hiểu biết về toán sâu sắc hơn; những kỹ năng này được kết hợp trong giải toán để giúp các em nhận biết, thiết lập, đánh giá cách trình bày

1.5 Các thang mức đánh giá năng lực giao tiếp toán học

Trong phần này, từ việc trình bày sáu mức độ hiểu biết toán học, chúng tôi chọn

ra các phương thức cơ bản của giao tiếp toán học và đề cập các tiêu chuẩn về giao tiếp toán học Từ đó, chúng tôi đưa ra các thang mức thể hiện giao tiếp để đánh giá năng lực giao tiếp toán học của HS

1.5.1 Sáu mức độ hiểu biết toán học

Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế (Programme for International Student Assessment: PISA) đặt nền tảng trên mô hình học tập suốt đời ở đó kiến thức và các

kỹ năng mới cần thiết cho việc thích nghi thành công với một thế giới đang thay đổi

là không ngừng đạt được trong suốt cuộc sống PISA đánh giá kiến thức của học sinh, và cũng xem xét khả năng của các em để phản ánh và áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào các vấn đề thực tế Mục đích đầu tiên của đánh giá OECD/PISA là xác định phạm vi mà những người trẻ tuổi đã đạt được những kiến thức và các kỹ năng rộng hơn trong đọc hiểu, hiểu biết toán và hiểu biết khoa học

mà các em sẽ cần đến trong cuộc sống trưởng thành Học sinh không thể học ở trường học mọi thứ mà các em sẽ cần biết trong đời sống trưởng thành Những gì các em phải gặt hái được là những điều kiện tiên quyết cho việc học thành công trong tương lai Học sinh phải có khả năng tổ chức và điều chỉnh việc học của chính mình, học độc lập hay theo nhóm, và để vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập

Trong phần này, chúng tôi đề cập đến sáu mức độ hiểu biết toán học theo chương trình đánh giá của PISA

Bảng 1.2 Bảng mô tả tóm tắt sáu mức độ hiểu biết toán học

Mức 1 Học sinh trả lời các câu hỏi có liên quan đến bối cảnh quen thuộc do

thông tin và câu hỏi đưa ra rõ ràng Các em hiểu thông tin, thực hiện các hoạt động ngay lập tức

Mức 2 Học sinh giải thích và nhận ra tình huống trong các bối cảnh khác nhau

Học sinh ở mức độ này sử dụng các thuật toán cơ bản, công thức, quy trình, quy ước và sử dụng một kiểu biểu diễn Các em có khả năng lập luận và giải thích các kết quả

Mức 3 Học sinh có thể thực hiện các quy trình được mô tả rõ ràng Các em có

thể lựa chọn và áp dụng chiến lược để giải quyết vấn đề một cách đơn

giản Học sinh ở mức độ này hiểu và sử dụng các biểu diễn, trình bày ngắn các diễn giải, kết quả và lập luận

Mức 4 Học sinh làm việc với các mô hình cho các tình huống phức tạp Các em

lựa chọn và tích hợp các biểu diễn khác nhau, bao gồm cả những biểu tượng, liên kết trực tiếp chúng đến các khía cạnh của tình huống thực tế Học sinh ở mức độ này có thể sử dụng linh hoạt các biểu diễn, giao tiếp, giải thích và lập luận

Mức 5 Học sinh làm việc với các mô hình cho các tình huống phức tạp, nhận ra

các hạn chế và chỉ rõ các giả định Các em lựa chọn, so sánh, và đánh giá các phương án giải quyết vấn đề thích hợp Học sinh ở mức độ này có khả năng tư duy và kỹ năng lập luận, sử dụng linh hoạt các biểu diễn Các em phản ánh về hoạt động của mình, giao tiếp, giải thích và lập luận

Mức 6 Học sinh khái quát, tổng hợp, và sử dụng thông tin dựa trên sự khảo sát

và mô hình hóa các tình huống phức tạp Các em liên kết các nguồn thông tin khác nhau và sử dụng linh hoạt các biểu diễn Học sinh ở mức độ này

có khả năng tư duy toán học và lập luận tốt Những học sinh này vận dụng sự hiểu biết để phát triển các phương pháp tiếp cận mới và phương

án giải quyết cho tình huống mới lạ Các em phản ánh về hành động của mình, giao tiếp, giải thích và lập luận phù hợp với các tình huống ban đầu

Như vậy, trong sáu mức độ hiểu biết toán học kể từ mức độ thứ ba đều có đề cập đến các năng lực: biểu diễn, giải thích, lập luận, chứng minh và các năng lực này phát triển cùng với giao tiếp toán học

1.5.2 Biểu diễn toán học

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về biểu diễn toán học góp phần hỗ trợ cho HS trong việc thể hiện các phương thức cơ bản khác của giao tiếp toán học phù hợp với nhận định “HS ở mọi lớp tạo ra và sử dụng các biểu diễn

để tổ chức, ghi lại, và giao tiếp ý tưởng toán học, lựa chọn, áp dụng và chuyển dịch giữa các biểu diễn toán học để giải quyết vấn đề và sử dụng biểu diễn để mô hình hóa và giải thích hiện tượng vật lý, xã hội, và toán học” (NCTM, 2000); sau đó minh họa ví dụ về tình huống dạy học có sử dụng biểu diễn toán học

Trong thập kỷ qua, các nhà giáo dục toán nhận thấy biểu diễn như là “công cụ hữu ích để giao tiếp cả về mặt thông tin và hiểu biết” (NCTM, 2000) Biểu diễn toán học là cốt lõi của sự hiểu biết một khái niệm toán học và hoạt động giải quyết vấn đề của một người, việc sử dụng đa dạng biểu diễn một cách linh hoạt có khả năng làm cho việc học toán có ý nghĩa và hiệu quả hơn Việc nhận thức biểu diễn là cốt lõi trong toán học được phản ánh rõ nét trong các nỗ lực cải cách gần đây, đặc biệt là tại Mỹ

1.5.2.1 Các hình thức của biểu diễn toán học

Khi Bruner, nhà tâm lý học nhận thức người Mỹ, tập trung vào nghiên cứu nhận thức toán học của trẻ em cũng như tư duy có tính biểu diễn, ông đã chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành ba phạm trù từ thấp đến cao như sau:

- Thực tế: gồm các biểu diễn thực tế ở mức độ thấp nhất, và các biểu diễn thao tác được trực tiếp bằng tay;

- Biểu tượng: các biểu diễn trực quan sử dụng các hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng…

- Ký hiệu: gồm có biểu diễn ngôn ngữ và biểu diễn ký hiệu

Tadao (2007) phân loại các biểu diễn trong giáo dục toán thành năm dạng cụ thể hơn như sau:

- Biểu diễn thực tế: các biểu diễn dựa trên trạng thái thực của đối tượng Loại biểu diễn này có thể tác động trực tiếp, hết sức cụ thể và tự nhiên

- Biểu diễn bằng mô hình thao tác được: chúng như là những công cụ hỗ trợ dạy học Đó là sự thay thế hay các mô hình giả về đối tượng mà HS có thể tác động trực tiếp Loại biểu diễn này có thể tác động, có phần cụ thể và giả tạo

- Biểu diễn bằng hình ảnh (biểu diễn trực quan): các biểu diễn sử dụng tranh minh họa, sơ đồ, đồ thị, biểu đồ Đây là loại biểu diễn giàu tính trực quan và sinh động

- Biểu diễn bằng ngôn ngữ: là các biểu diễn sử dụng ngôn ngữ hằng ngày để diễn đạt (nói hoặc viết) Loại biểu diễn này bị chi phối bởi các quy ước, nhưng thiếu tính ngắn gọn; mặt khác, biểu diễn này có tính mô tả và có thể tạo nên cảm giác quen thuộc

- Biểu diễn bằng kí hiệu: là các biểu diễn sử dụng ký hiệu toán học như số, kí tự, biểu tượng

1.5.2.2 Ví dụ về tình huống dạy học có sử dụng biểu diễn toán học

Việc sử dụng linh hoạt các biểu diễn toán học giúp HS nắm vững kiến thức,

từ đó góp phần hỗ trợ HS thể hiện ý tưởng toán học

Ví dụ 1.1: So sánh diện tích hình vuông và hình thoi có cùng chu vi

Trong ví dụ 1.1, chúng tôi minh họa bài toán so sánh diện tích hình vuông và hình thoi có cùng chu vi được thể hiện qua các cách biểu diễn toán học Đặc biệt, thông qua biểu diễn bằng hình ảnh trực quan trên giấy tập kẻ ô vuông của học sinh, các em từ việc quan sát nhanh chóng nhận thấy kết quả bài toán

 Biểu diễn bằng ngôn ngữ:

Cho một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?

 Biểu diễn bằng hình ảnh:

Trên giấy kẻ ô vuông (mỗi ô vuông có diện tích bằng 1); chúng tôi chọn hình minh họa hình vuông và hình thoi có cạnh có độ dài bằng 5 như hình 1.3 với mục đích tính độ dài đường cao hình thoi là số nguyên Từ đó, qua quan sát hình 1.3, HS giải thích tại sao các tứ giác là hình thoi và hình vuông có cùng chu vi

và hình thoi có diện tích nhỏ hơn hình vuông được minh họa bởi bảng 1.3

Hình 1.3 Hình vuông và hình thoi có độ dài cạnh bằng 5

Bảng 1.3 So sánh diện tích hình thoi và hình vuông có cùng chu vi

Vẽ đường cao DJ, DJ=3; AJ=4; áp dụng định lý

Pythagore vào tam giác ADJ vuông tại J, tính được

AD=5 Từ đó suy ra tứ giác ABCD là hình thoi có

cạnh bằng 5, chu vi là 20 và diện tích của hình thoi

ABCD là 15

Vẽ đường cao HK, EK=4; HK=3; áp dụng định lý

Pythagore vào tam giác EHK vuông tại K, tính được

EH=5 Từ đó suy ra tứ giác EFGH là hình thoi có

cạnh bằng 5, chu vi là 20 và diện tích của hình thoi

EFGH là 20

Hình vuông MNPQ có chu vi là 20 và diện tích 25

 Biểu diễn bằng mô hình thao tác được:

Sử dụng phần mềm Geometer’Sketchpad (GSP), vẽ hình vuông và hình thoi có cùng chu vi Sử dụng chức năng của phần mềm GSP, chúng ta đo chu vi và diện tích của các hình Qua quan sát, HS rút ra được bản chất cho bài toán Vấn đề đặt ra cho các em là chứng minh nhận định đó như thế nào Sau đó, HS lập luận, trình bày chứng minh cho kết quả bài toán

chu vi MNPQ = 16.90 cm

MN = 4.22 cm

diện tích MNPQ = 17.85 cm2

P Q

C

D

Hình 1.4 Hình vuông và hình thoi có cùng chu vi

Ví dụ 1.2 Tìm giá trị phân số của một số cho trước

(Chúng tôi trích dẫn từ SGK Toán lớp 6, tập 2, trang 51, NXBGD, 2002)

“Lớp 6A có 45 học sinh, trong đó 2

3 số học sinh thích đá bóng, 60% thích đá cầu,

2

9 thích chơi bóng bàn và 4

15 thích chơi bóng chuyền Tính số học sinh lớp 6A thích đá bóng, đá cầu, bóng bàn và bóng chuyền

Giải: Để tính số học sinh lớp 6A thích đá bóng, ta phải tìm 2

3 của 45 học sinh Muốn thế,

ta chia 45 cho 3 rồi nhân kết quả với 2, tức là ta nhân 45 với 2

3

Ta có 45 2

3 = 30 (học sinh)”

 Nhận xét: Với cách trình bày lời giải trên của SGK, học sinh khá giỏi có thể

hiểu được vấn đề nhưng đối với học sinh trung bình, các em sẽ không hiểu tại

sao “Để tính số học sinh lớp 6A thích đá bóng, ta phải tìm 2

3 của 45 học sinh

Muốn thế, ta chia 45 cho 3 rồi nhân kết quả với 2, tức là ta nhân 45 với 2

3” Dụng ý của SGK, thông qua ví dụ này, SGK đề cập đến quy tắc “Tìm giá trị

phân số của một số cho trước” là: Muốn tìm m

n của số b cho trước, ta tính b.

m n

(m, n ,n0)

 Sử dụng hình ảnh trực quan

Đầu tiên, GV yêu cầu HS vẽ sơ đồ đoạn thẳng minh họa phân số chỉ số học sinh thích đá bóng Từ đó học sinh tính được số học sinh thích đá bóng (theo cách hiểu của các em được học ở tiểu học) như sau: (45:3).2 = 30 (học sinh) Sau đó,

giáo viên yêu cầu so sánh (45:3).2 và 45.2

Tầng thứ 0 Tầng thứ 1 Tầng thứ 2

Ví dụ 1.3 Lưới tam giác đều

(Ví dụ 1.3 được thực nghiệm tại lớp

8A6 trường Thực hành Sài Gòn vào

ngày 13 tháng 5 năm 2010)

Cho hình 1.6 là một lưới tam giác

đều cạnh 6 đơn vị (các tam giác trong

hình vẽ là tam giác đều)

Hình 1.6 Lưới tam giác đều cạnh 6 đơn vị a) Hãy tìm số tam giác đều cạnh 1 đơn vị có trong hình vẽ

b) Hãy tìm số tam giác đều cạnh 2 đơn vị có trong hình vẽ

c) Tương tự: hãy tìm số tam giác đều cạnh 3 đơn vị hoặc 4 đơn vị hoặc 5 đơn vị có trong hình vẽ

d) Từ đó suy ra trong hình 1.6 có bao nhiêu hình tam giác đều?

tam giác đều

a) HS tìm số tam giác đều cạnh 1 đơn vị có trong hình 1.6 bằng cách đếm theo qui luật sau:

 Tầng 1 có 1 tam giác, tầng 2 có 3 tam giác , do đó số tam giác đều cạnh 1 đơn vị có trong hình vẽ là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

 Tuy nhiên, ta có cách khác: Trong hình 1.6,