Chon HSG lop 8 cap truong

Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd a, b, c, d số dương thì: a = b = c = d Bài 3: (1,5điểm) Cho 1 b+c c+a a +b + + = Tính giá trị biểu thức M = + + a b c a b c Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z số tự nhiên Chứng minh rằng: M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 số phương Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm nằm B C Từ M kẻ MD song song AB (D ∈ AC), kẻ ME song song AC ((E ∈ AB) a) Xác định vị trí M nằm BC để DE ngắn · b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); ABC = 600 - Hết - Trường THCS P Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd a, b, c, d số dương thì: a = b = c = d Bài 3: (1,5điểm) Cho 1 b+c c+a a +b + + = Tính giá trị biểu thức M = + + a b c a b c Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z số tự nhiên Chứng minh rằng: M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 số phương Bài 5: (2,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm nằm B C Từ M kẻ MD song song AB (D ∈ AC), kẻ ME song song AC ((E ∈ AB) a) Xác định vị trí M nằm BC để DE ngắn · b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); ABC = 600 - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II NĂM HỌC 2013 – 2014 x + x – = x + x2 – x2 + x – Bài 1: (2,0điểm) = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) = x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) = (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1] = (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1) Bài 2: (2,0điểm) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,25 đ) (0,5 đ) (0,25 đ) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd ⇔ a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = (0,5 đ) ⇔ (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = (0,5 đ) ⇔ a = b  2 c = d ab = cd  (0,5 đ) Do a, b, c, d > nên a = b = c = d (0,5 đ) Bài 3: (1,5điểm) Ta có: M = b+c c+a a+b + + a b c b + c  c+a  a+b  + 1 +  + 1 +  + 1 − M=   a   b   c  M= a +b+c a+b+c a +b+c + + −3 a b c 1 a b 1 c (0,5 đ) (0,5 đ) M = ( a + b + c ) + +  − (0,25 đ) M = –3 (0,25 đ) Bài 4: (2,0điểm) M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ) Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ) 2 M = 4a(a + yz) + y z (0,5 đ) M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ) M = (2a + yz)2 số phương (0,25 đ) Bài 5: (2,5điểm) A D E B a) Tứ giác ADME có: M C µ = 900 (gt) AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) A ⇒ tứ giác ADME hình chữ nhật (0,5 đ) ⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ) ⇒ DE ngắn ⇔ AM ngắn Mà AM ngắn AM ⊥ BC tức AM đường cao ∆ ABC (0,25 đ) Vậy M chân đường cao kẻ từ A đến BC ∆ ABC (0,25 đ) · b) Xét ∆ ABM vuông M có ABM = 600 ⇒ ∆ ABM nửa tam giác có cạnh AB ⇒ BM = (0,25 đ) AB = = 2(cm) 2 ⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ) ⇒ AM = 12 cm Vậy AM ngắn nhất bằng 12 cm ⇒ DE ngắn nhất bằng 12 cm - Hết Ghi chú: Mọi cách giải khác, cho điểm tối đa Điểm toàn tổng điểm (0,5 đ)