Giaso ÁN bồi dưỡng hsg toán 8

Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn CHUYấN - PHN TCH A THC THNH NHN T A MC TIấU: * H thng li cỏc dng toỏn v cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t * Gii mt s bi v phõn tớch a thc thnh nhõn t * Nõng cao trỡnh v k nng v phõn tớch a thc thnh nhõn t B CC PHNG PHP V BI TP I TCH MT HNG T THNH NHIU HNG T: nh lớ b sung: + a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q ú p l c ca h s t do, q l c dng ca h s cao nht + Nu f(x) cú tng cỏc h s bng thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + Nu f(x) cú tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + f(1) f(-1) + Nu a l nghim nguyờn ca f(x) v f(1); f(- 1) khỏc thỡ v u l s nguyờn nhanh chúng a-1 a+1 loi tr nghim l c ca h s t Vớ d 1: 3x2 8x + Cỏch 1: Tỏch hng t th 3x2 8x + = 3x2 6x 2x + = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2) Cỏch 2: Tỏch hng t th nht: 3x2 8x + = (4x2 8x + 4) - x2 = (2x 2)2 x2 = (2x + x)(2x x) = (x 2)(3x 2) Vớ d 2: x3 x2 - Ta nhõn thy nghim ca f(x) nu cú thỡ x = 1; 2; , ch cú f(2) = nờn x = l nghim ca f(x) nờn f(x) cú mt nhõn t l x Do ú ta tỏch f(x) thnh cỏc nhúm cú xut hin mt nhõn t l x Cỏch 1: 2 2 x3 x2 = ( x x ) + ( x x ) + ( x ) = x ( x ) + x( x 2) + 2( x 2) = ( x ) ( x + x + ) 3 2 Cỏch 2: x x = x x + = ( x ) ( x ) = ( x 2)( x + x + 4) ( x 2)( x + 2) 2 = ( x ) ( x + x + ) ( x + 2) = ( x 2)( x + x + 2) Vớ d 3: f(x) = 3x3 7x2 + 17x Nhn xột: 1, khụng l nghim ca f(x), nh vy f(x) khụng cú nghim nguyờn Nờn f(x) nu cú nghim thỡ l nghim hu t Ta nhn thy x = l nghim ca f(x) ú f(x) cú mt nhõn t l 3x Nờn 3 2 2 f(x) = 3x 7x + 17x = x x x + x + 15 x = ( x x ) ( x x ) + ( 15 x ) = x (3 x 1) x(3 x 1) + 5(3x 1) = (3 x 1)( x x + 5) Vỡ x x + = ( x x + 1) + = ( x 1) + > vi mi x nờn khụng phõn tớch c thnh nhõn t na Vớ d 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhn xột: Tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l nờn a thc cú mt nhõn t l x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Vớ d 5: f(x) = x5 2x4 + 3x3 4x2 + Tng cỏc h s bng thỡ nờn a thc cú mt nhõn t l x 1, chia f(x) cho (x 1) ta cú: x5 2x4 + 3x3 4x2 + = (x 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vỡ x4 - x3 + x2 - x - khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn khụng phõn tớch c na Vớ d 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Vớ d 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn = x2 - x 20012 - 2001 = (x2 20012) (x + 2001) = (x + 2001)(x 2002) II THấM , BT CNG MT HNG T: Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin hiu hai bỡnh phng: Vớ d 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 36x2 = (2x2 + 9)2 (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 6x + 9) Vớ d 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 16x2(x4 + 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin nhõn t chung Vớ d 1: x7 + x2 + = (x7 x) + (x2 + x + ) = x(x6 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x2 - x + 1) Vớ d 2: x7 + x5 + = (x7 x ) + (x5 x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 1)(x3 + 1) + x2(x3 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x 1)(x4 + x) + x2 (x 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 x4 + x2 x) + (x3 x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x3 x + 1) Ghi nh: Cỏc a thc cú dng x3m + + x3n + + nh: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; u cú nhõn t chung l x2 + x + III T BIN PH: Vớ d 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 t x2 + 10x + 12 = y, a thc cú dng (y 12)(y + 12) + 128 = y2 144 + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Vớ d 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + Gi s x ta vit 1 + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x x4 + 6x3 + 7x2 6x + = x2 ( x2 + 6x + )+7] x x x x 1 t x = y thỡ x2 + = y2 + 2, ú x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x ) + 3x]2 = (x2 + 3x 1)2 x Chỳ ý: Vớ d trờn cú th gii bng cỏch ỏp dng hng ng thc nh sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + = x4 + (6x3 2x2 ) + (9x2 6x + ) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2 Vớ d 3: A = ( x + y + z )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx) 2 2 2 2 = ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx) ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx) t x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta cú A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 Vớ d 4: B = 2( x + y + z ) ( x + y + z ) 2( x + y + z )( x + y + z ) + ( x + y + z ) t x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú: B = 2a b2 2bc2 + c4 = 2a 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a b2) + (b c2)2 Ta li cú: a b2 = - 2( x y + y z + z x ) v b c2 = - 2(xy + yz + zx) Do ú; B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 = x y y z z x + x y + y z + z x + x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) Vớ d 5: (a + b + c)3 4(a + b3 + c ) 12abc t a + b = m, a b = n thỡ 4ab = m2 n2 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn a3 + b3 = (a + b)[(a b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta cú: m + 3mn 4c3 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PHNG PHP H S BT NH: Vớ d 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhn xột: cỏc s 1, khụng l nghim ca a thc, a thc khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t Nh vy nu a thc phõn tớch c thnh nhõn t thỡ phi cú dng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = ac + b + d = 12 ng nht a thc ny vi a thc ó cho ta cú: ad + bc = 14 bd = C = (m + c)3 Xột bd = vi b, d Z, b { 1, 3} vi b = thỡ d = h iu kin trờn tr thnh a + c = ac = 2c = c = a + c = 14 ac = a = bd = Vy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Vớ d 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhn xột: a thc cú nghim l x = nờn cú tha s l x - ú ta cú: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a = b 2a = a = b = = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c c 2b = c = 2c = Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta li cú 2x3 + x2 - 5x - l a thc cú tng h s ca cỏc hng t bc l v bc chn bng nahu nờn cú nhõn t l x + nờn 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Vớ d 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy ac = 12 bc + ad = 10 a = 1) x3 - 7x + c = 3c a = 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 bd = 12 b = d = 3) x3 - 6x2 - x + 30 3d b = 12 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y 1) BI TP: 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: 4) 2x3 - x2 + 5x + 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn 10) 64x4 + y4 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 14) x8 + x + 15) x8 + 3x4 + 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63 CHUYấN TNH CHIA HT I VI A THC A Dng 1: Tỡm d ca phộp chia m khụng thc hin phộp chia a thc chia cú dng x a (a l hng) a) nh lớ Bdu (Bezout, 1730 1783): S d phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a bng giỏ tr ca f(x) ti x = a Ta cú: f(x) = (x a) Q(x) + r ng thc ỳng vi mi x nờn vi x = a, ta cú f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia ht cho x a f(a) = b) f(x) cú tng cỏc h s bng thỡ chia ht cho x c) f(x) cú tng cỏc h s ca hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l thỡ chia ht cho x + Vớ d : Khụng lm phộp chia, hóy xột xem A = x3 9x2 + 6x + 16 chia ht cho B = x + 1, C = x khụng Kt qu: A chia ht cho B, khụng chia ht cho C a thc chia cú bc hai tr lờn Cỏch 1: Tỏch a thc b chia thnh tng ca cỏc a thc chia ht cho a thc chia v d Cỏch 2: Xột giỏ tr riờng: gi thng ca phộp chia l Q(x), d l ax + b thỡ f(x) = g(x) Q(x) + ax + b Vớ d 1: Tỡm d ca phộp chia x7 + x5 + x3 + cho x2 Cỏch 1: Ta bit rng x2n chia ht cho x2 nờn ta tỏch: x7 + x5 + x3 + = (x7 x) + (x5 x) +(x3 x) + 3x + = x(x6 1) + x(x4 1) + x(x2 1) + 3x + chia cho x2 d 3x + Cỏch 2: Gi thng ca phộp chia l Q(x), d l ax + b, Ta cú: x7 + x5 + x3 + = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vi mi x ng thc ỳng vi mi x nờn vi x = 1, ta cú = a + b (1) vi x = - ta cú - = - a + b (2) T (1) v (2) suy a = 3, b =1 nờn ta c d l 3x + Ghi nh: an bn chia ht cho a b (a -b) an + bn ( n l) chia ht cho a + b (a -b) Vớ d 2: Tỡm d ca cỏc phộp chia a) x41 chia cho x2 + b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + Gii a) x41 = x41 x + x = x(x40 1) + x = x[(x4)10 1] + x chia cho x4 d x nờn chia cho x2 + d x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 x) + (x9 x) + (x3 x) + 4x = x(x26 1) + x(x8 1) + x(x2 1) + 4x chia cho x2 d 4x c) x99 + x55 + x11 + x + = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) 2x + chia cho x2 + d 2x + B S HORN S tỡm kt qu ca phộp chia f(x) cho x a + Hệ số thứ (a l hng s), ta s dng s horn 1đa thức bị a Nu a thc b chia l a0x3 + a1x2 + a2x + a3, chia a thc chia l x a ta c thng l b0x2 + b1x + b2, d r thỡ ta cú a0 a a1 a2 a3 Hệ số thứ đa thức bị chia Vớ d: a thc b chia: x3 -5x2 + 8x Hệ số đa thức chia b = a0 b = ab + a1 b = ab + a2 r = ab + a3 4, a thc chia x Ta cú s -5 -4 2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = r = 2 +(- 4) = Vy: x3 -5x2 + 8x = (x 2)(x2 3x + 2) + l phộp chia ht p dng s Horn tớnh giỏ tr ca a thc ti x = a Giỏ tr ca f(x) ti x = a l s d ca phộp chia f(x) cho x a Vớ d 1: Tớnh giỏ tr ca A = x3 + 3x2 ti x = 2010 Ta cú s : -4 a = 2010 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 2010.4046130 = 4046130 = 8132721296 Vy: A(2010) = 8132721296 C Chng minh mt a thc chia ht cho mt a thc khỏc I Phng phỏp: Cỏch 1: Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t cú mt tha s l a thc chia Cỏch 2: bin i a thc b chia thnh mt tng cỏc a thc chia ht cho a thc chia Cỏch 3: Bin i tng ng f(x) Mg(x) f(x) g(x) Mg(x) cỏch 4: Chng t mi nghim ca a thc chia u l nghim ca a thc b chia II Vớ d 1.Vớ d 1: Chng minh rng: x8n + x4n + chia ht cho x2n + xn + Ta cú: x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta li cú: x4n + x2n + = x4n + 2x2n + x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia ht cho x2n + xn + Vy: x8n + x4n + chia ht cho x2n + xn + Vớ d 2: Chng minh rng: x3m + + x3n + + chia ht cho x2 + x + vi mi m, n N Ta cú: x3m + + x3n + + = x3m + - x + x3n + x2 + x2 + x + = x(x3m 1) + x2(x3n 1) + (x2 + x + 1) 3m Vỡ x v x3n chia ht cho x3 nờn chia ht cho x2 + x + Vy: x3m + + x3n + + chia ht cho x2 + x + vi mi m, n N Vớ d 3: Chng minh rng Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia ht cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta cú: f(x) g(x) = x99 x9 + x88 x8 + x77 x7 + + x11 x + = x9(x90 1) + x8(x80 1) + + x(x10 1) chia ht cho x10 M x10 = (x 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia ht cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) g(x) chia ht cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nờn f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia ht cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Vớ d 4: CMR: f(x) = (x2 + x 1)10 + (x2 - x + 1)10 chia ht cho g(x) = x2 x a thc g(x) = x2 x = x(x 1) cú nghim l x = v x = Ta cú f(0) = (-1)10 + 110 = x = l nghim ca f(x) f(x) cha tha s x f(1) = (12 + 1)10 + (12 + 1)10 = x = l nghim ca f(x) f(x) cha tha s x 1, m cỏc tha s x v x khụng cú nhõn t chung, ú f(x) chia ht cho x(x 1) hay f(x) = (x2 + x 1)10 + (x2 - x + 1)10 chia ht cho g(x) = x2 x Vớ d 5: Chng minh rng a) A = x2 x9 x1945 chia ht cho B = x2 x + b) C = 8x9 9x8 + chia ht cho D = (x 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n x2n 2x chia ht cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Gii a) A = x2 x9 x1945 = (x2 x + 1) (x9 + 1) (x1945 x) Ta cú: x2 x + chia ht cho B = x2 x + x9 + chia ht cho x3 + nờn chia ht cho B = x2 x + x1945 x = x(x1944 1) chia ht cho x3 + (cựng cú nghim l x = - 1) nờn chia ht cho B = x2 x + Vy A = x2 x9 x1945 chia ht cho B = x2 x + b) C = 8x9 9x8 + = 8x9 - 9x8 + = 8(x9 1) 9(x8 1) = 8(x 1)(x8 + x7 + + 1) 9(x 1)(x7 + x6 + + 1) = (x 1)(8x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1) (8x x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1) chia ht cho x vỡ cú tng h s bng suy (x 1)(8x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1) chia ht cho (x 1)2 c) a thc chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) cú ba nghim l x = 0, x = - 1, x = Ta cú: C(0) = (0 + 1)2n 02n 2.0 = x = l nghim ca C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n (- 1)2n 2.(- 1) = x = - l nghim ca C(x) 1 1 C(- ) = (- + 1)2n (- )2n 2.(- ) = x = l nghim ca C(x) 2 2 Mi nghim ca a thc chia l nghim ca a thc b chia pcm Vớ d 6: Cho f(x) l a thc cú h s nguyờn Bit f(0), f(1) l cỏc s l Chng minh rng f(x) khụng cú nghim nguyờn Gi s x = a l nghim nguyờn ca f(x) thỡ f(x) = (x a) Q(x) Trong ú Q(x) l a thc cú h s nguyờn, ú f(0) = - a Q(0), f(1) = (1 a) Q(1) Do f(0) l s l nờn a l s l, f(1) l s l nờn a l s l, m a l hiu ca s l khụng th l s l, mõu thun Vy f(x) khụng cú nghim nguyờn Bi v nh: Bi 1: Tỡm s d a) x43 chia cho x2 + b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + Bi 2: Tớnh giỏ tr ca a thc x4 + 3x3 ti x = 2009 Bi 3: Chng minh rng a) x50 + x10 + chia ht cho x20 + x10 + b) x10 10x + chia ht cho x2 2x + c) x4n + + 2x2n + + chia ht cho x2 + 2x + d) (x + 1)4n + + (x 1)4n + chia ht cho x2 + e) (xn 1)(xn + 1) chia ht cho (x + 1)(x 1)2 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn CHUYấN CC BI TON V BIU THC HU T A Nhc li kin thc: Cỏc bc rỳt gn biu thc hu t a) Tỡm KX: Phõn tớch mu thnh nhõn t, cho tt c cỏc nhõn t khỏc b) Phõn tớch t thnh nhõn , chia t v mu cho nhõn t chung B Bi tp: x4 5x2 + Bi 1: Cho biu thc A = x 10 x + a) Rỳt gn A b) tỡm x A = c) Tỡm giỏ tr ca A x = Gii a)kx : x4 10x2 + [(x2)2 x2] (9x2 9) x2(x2 1) 9(x2 1) x x x 2 (x 1)(x 9) (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3) x x x T : x4 5x2 + = [(x2)2 x2] (x2 4) = x2(x2 1) 4(x2 1) = (x2 1)(x2 4) = (x 1)(x + 1)(x 2)(x + 2) Vi x 1; x thỡ (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) = A= (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 2)(x + 2) b) A = = (x 2)(x + 2) = x = (x - 3)(x + 3) x = x = x = c) x = x = x = x = (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 = = * Vi x = thỡ A = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) * Vi x = - thỡ A khụng xỏc nh Bi 2: x x 12 x + 45 Cho biu thc B = x 19 x + 33 x a) Rỳt gn B b) Tỡm x B > Gii a) Phõn tớch mu: 3x3 19x2 + 33x = (3x3 9x2) (10x2 30x) + (3x 9) = (x 3)(3x2 10x + 3) = (x 3)[(3x2 9x) (x 3)] = (x 3)2(3x 1) kx: (x 3)2(3x 1) x v x b) Phõn tớch t, ta cú: 2x3 7x2 12x + 45 = (2x3 6x2 ) - (x2 - 3x) (15x - 45) = (x 3)(2x2 x 15) = (x 3)[(2x2 6x) + (5x 15)] = (x 3)2(2x + 5) Vi x v x 3 (x - 3) (2x + 5) 2x + x x 12 x + 45 = Thỡ B = = (x - 3) (3x - 1) 3x - x 19 x + 33 x Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn x > x > x > x> x + > 2x + c) B > > 3x - x < x < x < x + < x < Bi x 2x + : Cho biu thc C = ữ x x +1 x x a) Rỳt gn biu thc C b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x giỏ tr ca biu thc B l s nguyờn Gii a) kx: x x x + x + 2(1 x) ( x 1)( x + 1) + : = = C= ữ 2x 2x x x + 1 x x (1 x)(1 + x) b) B cú giỏ tr nguyờn x l s nguyờn thỡ cú giỏ tr nguyờn 2x x = x = x = x = 2x l (2) x = x = 1,5 x = x = i chiu kx thỡ ch cú x = tho Bi x3 + x x Cho biu thc D = x x + x2 + a) Rỳt gn biu thc D b) Tỡm x nguyờn D cú giỏ tr nguyờn c) Tỡm giỏ tr ca D x = Gii a) Nu x + > thỡ x + = x + nờn x3 + x x x3 + x x x( x 1)( x + 2) x2 x = = D= = x x + x2 + x( x + 2) x + x( x + 2) ( x 2)( x + 2) Nu x + < thỡ x + = - (x + 2) nờn x3 + x x x3 + x x x( x 1)( x + 2) x = = D= = 2 x x+2 x +4 x ( x + 2) x + x ( x + 2) ( x 2)( x + 2) Nu x + = x = -2 thỡ biu thc D khụng xỏc nh x x2 x b) D cú giỏ tr nguyờn thỡ hoc cú giỏ tr nguyờn 2 x - x M2 x(x - 1) M2 x2 x +) cú giỏ tr nguyờn x > - x > - Vỡ x(x 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip nờn chia ht cho vi mi x > - x M2 x = 2k x x = 2k (k Z; k < - 1) +) cú giỏ tr nguyờn x < - x < - c) Khia x = x > - nờn D = 6(6 1) x2 x = 15 = 2 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Bi v nh Bi 1: x x x x + Cho biu thc A = ữ: ữ x + x + x + 5x + x a) Rỳt gn A b) Tỡm x A = 0; A > Bi 2: y3 y + y Cho biu thc B = y3 y y + a) Rỳt gn B 2D b) Tỡm s nguyờn y cú giỏ tr nguyờn 2y + c) Tỡm s nguyờn y B * Dng 2: Cỏc biu thc cú tớnh quy lut Bi 1: Rỳt gn cỏc biu thc 2n + a) A = (1.2) + (2.3) + + [ n(n + 1)] Phng phỏp: Xut phỏt t hng t cui tỡm quy lut 2n + 2n + 1 = Ta cú = Nờn 2 n ( n + 1) n ( n + 1) [ n(n + 1)] 1 1 1 1 1 n( n + 1) = = A = + + + 2 2 3 n n (n + 1) ( n + 1) ( n + 1) 1 b) B = ữ ữ ữ ữ n k ( k + 1)(k 1) Ta cú = = Nờn k k k2 1.3 2.4 3.5 (n 1)(n + 1) 1.3.2.4 (n 1)(n + 1) 1.2.3 (n 1) 3.4.5 (n + 1) n + n + = = = = B = n2 22.32.42 n 2.3.4 ( n 1) n 2.3.4 n n 2n 1 1 1 150 150 150 150 ữ + + + + c) C = = 150 + + + 8 11 47 50 5.8 8.11 11.14 47.50 1 = 50 ữ = 50 = 45 10 50 1 1 1 1 1 + + + + + + + d) D = = ữ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n + 1) 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n(n + 1) = Bi 2: 1 (n 1)(n + 2) = 1.2 n(n + 1) 4n(n + 1) a) Cho A = m m 2 1 1 A + + + + ; B = + + + + Tớnh m n n B Ta cú n n 1 n n 1 + + + 1ữ = n + + + + A = + + + ữ 11+412 ữ ( n 1) 43 n n n n 2 n 1 1 1 + + = n + + + ữ+ = n + + ữ = nB n n n n 2 1 1 + + + + b) A = ; B=1+ 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 A =n B 1 + + 2n - Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Tớnh A : B Gii 1 + ữ+ + 1ữ A= + ữ+ + ữ+ + 2n 2n - 2n - 2n - 3 2n - 1 1 = + + + + + 1ữ + + + ữ+ 2n 2n - 2n - 2n - 2n - 3 1 A + + + + 2.B = ữ= 2n 2n - 2n - 2n B n Bi v nh Rỳt gn cỏc biu thc sau: 1 12 32 52 n2 + + + a) b) 1.2 2.3 (n - 1)n (n + 1) 1 1 + + + c) 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2) * Dng 3: Rỳt gn; tớnh giỏ tr biu thc tho iu kin ca bin = = Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau : x 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; x x x Bi 1: Cho x + d) D = x + Li gii x5 ổ 1ử a) A = x + = ỗ x+ ữ ữ ỗ ữỗ ố xứ x ổ 1ử ữ ỗ b) B = x + = ỗx + ữữ ỗ ố xứ x 2 =9- =7 ; ổ 1ử ; 3ỗ x+ ữ ữ ỗ ữ= 27 - = 18 ỗ ố xứ ổ2 c) C = x + = ỗ ; x + 2ữ ữ ỗ ữ- = 49 - = 47 ỗ ố x x ứ ổ2 ổ3 1 ữ ỗ x + 2ữ x + = x + + x + = D + D = 7.18 = 123 d) A.B = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữỗ ữ ỗ ố ố x ứ x3 ứ x x5 Bi 2: Cho a b c x y z + + = (2) + + = (1); x y z a b c 2 b a c Tớnh giỏ tr biu thc D = ữ + ữ + ữ x z y T (1) suy bcx + acy + abz = (3) T (2) suy 2 2 2 b ab ac bc b ab ac bc a c a c ữ + ữ + ữ + + + ữ = ữ + ữ + ữ = + + ữ (4) x z x z y xy xz yz y xy xz yz Thay (3) vo (4) ta cú D = 2.0 = Bi a b 2c + + a) Cho abc = 2; rỳt gn biu thc A = ab + a + bc + b + ac + 2c + Ta cú : a ab 2c a ab 2c + + = + + A= ab + a + abc + ab + a ac + 2c + ab + a + 2 + ab + a ac + 2c + abc 10 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn = ab c +abd2+cda2+cdb2 =ac(bc+ad) +bd(ad+bc) = (bc+ad)(ac+bd)= (do ac+bd=0) Vậy ab+cd=0 x y z = = thì: a b c (x2+y2+c2)( a2+b2+c2) = (ax+by+cz)2 PP : Bài toán có GT dãy tỉ số cần sử dụng kiến thức tỉ lệ thức để vận dụng vào trình giải x y z Lời giải Đặt = = = k Do x=ak , y=bk, c=kc a b c VT= (a2+b2+c2)2k2 VP= (a2 +b2+c2)2k2 Suy ra: VP=VT Vậy (x2+y2+c2)( a2+b2+c2) = (ax+by+cz)2 Bài toán 4: Cho a,b,c ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 a3+b3+c3=1 Chứng minh rằng: a2005+b2005+c2005=1 PP Đây toán khó HS luỹ thừa lớn nên HS thờng sử lý nh Với nên dạy cho HS cách phán đoán trớc giải: Bài ta dự đoán số a;b;c cong hai số lại Lời giải: Do a3+b3+c3=1 a+b+c=1 ta có a3+b3+c3 = a+b+c 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 a=-b b=-c c=-a Nếu a=-b ta có a2005+b2005+c2005= a2005- a2005+c2005 = c2005= a-a+c=1 Tơng tự ta có kết luận nh Vậy a2005+b2005+c2005=1 Bài toán 5: Cho x+y = a + b x2+y2=a2+b2 Chứng minh rằng: x2009+y2009 = a2009+b2009 ( Trong đề chọn HSG tỉnh năm 2009) PP: Đây toán với yêu cầu chứng minh với số mũ tơng đối lớn cần hớng dẫn học sinh định hớng trớc giải là: Sử dụng giả thiết để có cặp hai số đối hợc cặp Lời giải: Từ x+y = a + b x-a=b-y Từ x2+y2=a2+b2 x2- a2=b2-y2 (x-a)(x+a) = (b-y)(b+y) Suy (b-y)(x+a) - (b-y)(b+y) = (b-y)(x+a-b-y)=0 b=y x+a-b-y=0 Nếu b=y x=a x2009+y2009 = a2009+b2009 Nếu x+a-b-y=0 x-y = b-a kết hợp với x+y = a + b suy x=b y=a ( ĐPCM) x2009+y2009 = a2009+b2009 1 1 1 1 Bài toán Cho + + = Chứng minh rằng: 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a+b+c a b c a +b + c 2009 PP Bài toán trớc làm cần hớng dẫn HS xét xem toán xảy dấu nào? Bài toán xảy ba số a; b; c đôi đối nhau, từ giả thiết ta biến đổi tơng đơng để đa dạng (a+b) (b+c)(c+a) = Lời giải: 1 1 a+b ( a + b) = Ta có: + = a b a+b+c c ab c(a + b + c) a+b a+b + =0 ab c(a + b + c) (a+b)(b+c)(c+a) = Suy : a=-b; b=-c; c=-a 1 1 1 1 Nếu a = -b Ta có 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 = 2009 2009 2009 a b c a a c c a +b + c 2009 Tơng tự ta có kết luận nh với b=-c; c=-a 1 1 Vậy + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a +b + c 2009 Bài toán 3: Chứng minh Nếu: 34 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Mở rộng : Bài toán chứng minh với luỹ thừa bậ n ( n lẻ) chứng minh rằng: 1 1 sảy vhỉ a=-b; b=-c; c=-a + + = a b c a+b+c Bài toán 7: a CMR: Nếu x = by+cz , y = ax+ cz , z= ax+by x+y+z 1 + + =2 Thì a +1 b +1 c +1 PP: Trong điều kiện tởng nh bình thờng x+y+z lại điều kiện cần xem xét gợi cho ta việc cộng ba giả thiết đầu lại với Từ kết hợp với giả thiết để làm xuất 1 ; ; a +1 b +1 c +1 Lời giải: a Ta có x+y+z = 2(ax+by+cz) Khi đó: 2x = x+y+z = 2(ax + x) = 2x( a+1) a +1 x + y + z 2y 2z = = Tơng tự ta có: b +1 x + y + z c +1 x + y + z 2x 2y 2z 1 + + Suy ra: =2 + + = a +1 b +1 c +1 x + y + z x + y + z x + y + z 1 Vậy + + =2 a +1 b +1 c +1 1 1 1 Bài toán 8: CMR: Nếu = va x =y +z + + = x y z x y z PP Bài đẳng thức yêu cầu chứng minh có luỹ thừa phân luỹ thừa đẳng thức 1 =1 để tạo cần có nhìn GT Ta tạo cách bình phơng hai vế x y z 1 2 1 + =1 Lời giải: Ta có = + + xy yz zx x y z x y z 1 2 + + = 1+ + x y z xy yz zx 1 y+ z 2 + + = 1+ = 1+ = (vì x=y+z) x y z x yz yz yz yz 1 + + =1 x y z Vậy a b c a2 b2 c2 + + = CMR: + + =0 b+c a+c a+b b+c a+c a+b PP Bài toán toán khó em HS tìm cách tạo a2,,trong đẳng thức cần chứng minh Ta thấy mẫu GT nh dẳng thức cần chứng minh nh nên không nên sử lý mẫu mà tạo luỹ thừa cách nhân hai vế GT với (a +b+c) a b c Lời giải: Ta có + + =1 b+c a+c a+b a b c ( + + )(a + b + c) = a + b + c b+c a+c a+b a + a (b + c ) b ( a + c ) + b c ( a + b ) + c + + = a+b+c b+c a+c a+b a2 b2 c2 +a+ +b+ +c = a+b+c b+c a+c a+b a2 b2 c2 + + =0 b+c a+c a+b Bài toán 9: Cho 35 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Vậy a b c a2 b2 c2 + + =1 + + = Khi b+c a+c a+b b+c a+c a+b Bài toán 10: a Cho 1 1 1 + + = (1) + + = (2) a b c a b c CMR: a+b+c=abc a b c a2 b2 c2 x y z + + = (1) b + + = (2) CMR: + + = x y z x y z a b c PP: Bình phơng hai vế của (1), biến đổi để sử dụng giả thiết (2) Lời giải: a Từ (1) ta có + + = a b c 1 1 + + + + =4 a b c ab bc ac b 1 1 1 + + =0 ( + + = ) ab bc ac a b c a+b+c=abc (ĐPCM) a b c a b c Tacó: + + = ( + + ) = x y z x y z ab bc ac a2 b2 c2 + + + + + = x y z xy yz xz abz + bcx + acy a2 b2 c2 = + + + xyz x y z Mặt khác Vậy abz + bcx + acy x y z + + = Nên =0 xyz a b c a2 b2 c2 + + =4 x2 y2 z a a b = , a 0, c 0, a-b b-c c bc 1 1 + = CMR: a ab bc c PP: Quy đồng hai vế giả thiết yêu cầu CM để đẳng thức a ab a(b-c) = c(a-b) (1) = Lời giải: Từ c bc 1 1 1 1 Từ + = + = a ab bc c c ab bc a a b+ c a b+c = a(b-c) = c(a-b) (2) c (a b) a (b c) Từ (1) (2) ta có ĐPCM a b c Bài toán 12: Cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 + + = x y z CMR: ax2+ by2+cz2=0 PP: Sử dụng giả thiết x+y+z =0 để thay x ,y,z vào biể thức A = ax2+ by2+cz2, đặt nhân tử chung thy a,b,c a+b+c=0 biểu thức Lời giải: Từ x+y+z =0 Ta có: x2 = (y+z)2; y2= (x+z)2; z2= (x+y)2 Bài toán 11: Cho 36 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Đặt A = ax + by +cz = a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 = ay2 +2axy+az2 + bx2+2bxz+bz2+cx2+2cxy+cy2 = x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(axy+bxz+cxy) Mà a+b+c=0 nên b+c=-a; a+c=-b; a+b=-c Khi đó: A = -ax2 by2 cz2 +2(axy+bxz+cxy) a b c Mặt khác: + + = axy+bxz+cxy = x y z Suy A = -ax2 by2 cz2= ax2+ by2+cz2 ax2+ by2+cz2=0 Vậy ax2+ by2+cz2=0 xy + yz + xz + = = CMR: x=y y=z x=z x2y2z2=1 Bài toán 13: Cho y z x PP: Đối với kiểu cần hớng HS đến việc sử dụng giả thiết để biến đổi dạng tích (x-y)(y-z)(z-x)(x2y2z2-1) = xy + yz + 1 Lời giải: = x+ = y + y y z z 1 yz x-y = = z y yz x y zx Tơng tự ta có: y-z= ; z-x = xy xz ( x y )( y z )( z x ) Suy (x-y)(y-z)(z-x) = x2 y2 z (x-y)(y-z)(z-x)(x2y2z2-1) = (ĐPCM) x=y y=z z=x x2y2z2=1 Bài tập đề nghị: a b c a b c + + =0 Cho + + = CMR: 2 (b c ) (c a ) ( a b) bc ca ab CMR: Nếu (a2-bc)(b-abc) = (b2- ac)(a-abc) a,b,c, a-b khác 1 Thì + + = a + b + c a b c 1 1 CMR: Nếu x+y+z=a + + = tồn ba số x y z a a CMR:Nếu m=a+b+c thì: ( am+bc)(bm+ac)(cm+ab)= (a+b)2(b+c)2(c+a)2 CMR: Nếu a+b+c=0 abc thì: b a a b b c c a c + + + + =9 a b a b c a b c c Một số toán quan hệ đại số toán học: Trong dạy học môn toán đặc biệt đại số đối tợng đại số có mối quan hệ định đó, việc chứng minh đợc mối quan hệ khó nhng dễ số đối tợng HS Việc cung cấp cho HS đặc biệt HS khá, giỏi cần thiết lớp mà hành trang cho HS sau Với lợng không nhiều nhng tin sau em làm xong toán sau vững tin vào khác bắt gặp Về phơng pháp chung với toán loại thờng là: áp dụng hợp lý giả thiết toán để đa dạng tích tổng bình phơng, sử dạng điều kiện sảy dấu bất đẳng thức Bài toán 1: CMR: Nếu x2+y2+z2=xy+yz+xz x=y=z PP: Bài toán để suy đợc x=y=z ta cần biến đổi giả thiết dạng tổng bình phơng Lời giải: Ta có: x2+y2+z2=xy+yz+xz 2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2xz 2x2-2y2-2z2-2xy-2yz-2xz = (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = Do (x-y)2 ; (y-z)2 ; (z-x)2 Nên: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = 2 37 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn (x - y)2 = x y = x = y (y - z) = y z = y = z x = y = z z x = z = x ( z - x ) = 2 Vậy x +y +z =xy+yz+xz x=y=z Bài toán 2: Cho a b,c ba số dơng CMR: (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc a=b=c PP: Ta biến đổi tơng đơng giả thiết để đa dạng tổng bình phơng, nhng ta sử dụng bất đẳng thức (x+y)24xy đợc kết dễ dàng Lời giải: Do a,b,c ba số dơng nên ta có: (a+b)2 4ab (b+c)2 4bc (c+a)2 4ac Suy (a+b)2(b+c)2(c+a)2 64a2b2c2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu xảy a=b=c Vậy (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc a=b=c Bài toán 3: CMR: Trong ba số a,b,c tồn hai số Nếu: a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = PP: Đa dạng tích a,b,c Lời giải: Ta có: a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = a2(b-c) + b2c b2a +c2a-c2b =0 a2(b-c) +bc(b-c) a(b2-c2) =0 (b-c)( a2+bc ab-ac) = (b-c)( a-b)(c-a) = b-c=0 a-b=0 c-a=0 b=c a=b c=a Vậy Trong ba số a,b,c tồn hai số Bài toán 4: CMR: Nếu ba số x,y,z ba số dơng thoả mãn x3+y3+z3=3xyz x=y=z PP: Bài toán để suy đợc x=y=z ta cần biến đổi giả thiết dạng tổng bình phơng Lời giải: Ta có: x3+y3+z3=3xyz x3+y3+z3-3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0 Do x,y,z dơng nên x+y+z dơng (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0 x2+y2+z2-xy-yz-zx = 2x2-2y2-2z2-2xy-2yz-2xz = (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = Do (x-y)2 ; (y-z)2 ; (z-x)2 Nên: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = (x - y)2 = x y = x = y (y - z) = y z = y = z x = y = z z x = z = x ( z - x ) = Vậy: Nếu ba số x,y,z ba số dơng thoả mãn x3+y3+z3=3xyz x=y=z Bài toán 5: CMR: Nếu a4+b4+c4 +d4= 4abcd a,b,c,d số dơng Thì: a=b=c=d PP: Bài toán để suy đợc a=b=c= d ta cần biến đổi giả thiết dạng tổng bình phơng Lời giải: Ta có: a4+b4+c4 +d4= 4abcd a4+b4+c4 +d4- 4abcd = (a4+b4 2a2b2) +( c4 +d4- 2c2d2) +( 2a2b2 +2c2d2 ( a2-b2)2 +( c2-d2)2 +2(ab-cd)2=0 Do ( a2-b2)2 0, ( c2-d2) 0, 2(ab-cd)20 Nên: ( a2-b2)2 +( c2-d2)2 +2(ab-cd)2=0 ( a2-b2)2 =0, ( c2-d2)2 =0, 2(ab-cd)2=0 a2-b2=0 c2-d2và ab-cd a= b, c=d, ab=cd a=b=c=d 38 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Vậy a=b=c=d Bài toán 6: Cho a,b,c số hữu tỉ thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=1 CMR: (1+a2)(1+b2)(1+c2) bình phơng số hữu tỉ? PP: Thay 1= ab +bc+ca vào (1+a2),(1+b2),(1+c2) để phân tích thành nhân tử Lời giải: Do ab+bc+ca=1 Nên 1+a2=ab+bc+ca+a2 = (a+b)(a+c) 1+b2= ab+bc+ca+b2=( a+b)(b+c) 1+c2 = ab+bc+ca+c2= (b+c)(c+a) Khi đó: (1+a2)(1+b2)(1+c2) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2= [ (a + b)(b + c)(c + a)] Vậy (1+a2)(1+b2)(1+c2) bình phơng số hữu tỉ a b c b c a Bài tập 7: Cho + + = + + CMR: ba số a,b,c tồn hai số b c a a b c PP: Phân tích giả thiết dạng tích a b c b c a Lời giải: Ta có + + = + + b c a a b c 2 a c +b a+c2b =b2c+c2a+a2b a2c +b2a+c2b - b2c-c2a-a2b =0 (a2c - c2a) +( b2a - b2c) (a2b- c2b) = ac(a-c) + b2(a-c) b(a2- c2) = (a-c)(ac +b2- ab bc) = (a-c)(b-c)(a-b) =0 a-c =0; b-c = 0; a-b = a= c ; b=c; a=b Vậy: ba số a,b,c tồn hai số CHUYấN - CC BI TON V NH L TA-LẫT A.Kin thc: nh lớ Ta-lột: ABC AM AN = * Định lí Ta-lét: MN // BC AB AC * H quả: MN // BC AM AN MN = = AB AC BC A M B N C B Bi ỏp dng: Bi 1: Cho t giỏc ABCD, ng thng qua A song song vi BC ct BD E, ng thng qua B song song vi AD ct AC G a) chng minh: EG // CD B b) Gi s AB // CD, chng minh rng AB2 = CD EG A Gii Gi O l giao im ca AC v BD O OE OA = a) Vỡ AE // BC (1) OB OC G E OB OG = BG // AC (2) OD OA OE OG EG // CD = Nhõn (1) vi (2) v theo v ta cú: C D OD OC b) Khi AB // CD thỡ EG // AB // CD, BG // AD nờn AB OA OD CD AB CD = = = = AB2 = CD EG EG OG OB AB EG AB Bi 2: Cho ABC vuụng ti A, V phớa ngoi tam giỏc ú cỏc tam giỏc ABD vuụng cõn B, ACF vuụng cõn C Gi H l giao im ca AB v CD, K l giao im ca Ac v BF 39 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn Chng minh rng: D a) AH = AK A b) AH = BH CK H Gii F K t AB = c, AC = b BD // AC (cựng vuụng gúc vi AB) AH AC b AH b AH b = = = = nờn C B HB BD c HB c HB + AH b + c AH b AH b b.c = = AH = Hay (1) AB b + c c b+c b+c AK AB c AK c AK c = = = = AB // CF (cựng vuụng gúc vi AC) nờn KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c = = AK = Hay (2) AC b + c b b+c b+c T (1) v (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC = = v = = suy = = b) T (Vỡ AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH AH2 = BH KC Bi 3: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ng thng a i qua A ln lt ct BD, BC, DC theo th t ti E, K, G Chng minh rng: a) AE2 = EK EG 1 = + b) AE AK AG c) Khi ng thng a thay i v trớ nhng qua A thỡ tớch BK DG cú giỏ tr khụng i A a B Gii a) Vỡ ABCD l hỡnh bỡnh hnh v K BC nờn b K AD // BK, theo h qu ca nh lớ Ta-lột ta cú: E EK EB AE EK AE = = = AE = EK.EG AE ED EG AE EG C G D AE DE AE BE = = b) Ta cú: ; nờn AK DB AG BD AE AE BE DE BD 1 + = + = = AE + = + (pcm) ữ= AK AG BD DB BD AE AK AG AK AG BK AB BK a KC CG KC CG = = = = c) Ta cú: (1); (2) KC CG KC CG AD DG b DG BK a = BK DG = ab khụng i (Vỡ a = AB; b = AD l di hai Nhõn (1) vi (2) v theo v ta cú: b DG cnh ca hỡnh bỡnh hnh ABCD khụng i) Bi 4: Cho t giỏc ABCD, cỏc im E, F, G, H theo th t chia cỏc cnh AB, B BC, CD, DA theo t s 1:2 Chng minh rng: E A a) EG = FH b) EG vuụng gúc vi FH Gii P H F Gi M, N theo th t l trung im ca CF, DG O 1 BM BE BM Q D = = = Ta cú CM = CF = BC BC BA BC M N EM BM 2 EM // AC = = EM = AC (1) AC BE 3 G NF CF 2 = = NF = BD (2) Tng t, ta cú: NF // BD C BD CB 3 40 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn m AC = BD (3) T (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) AC (b) ã Mt khỏc EM // AC; MG // BD V AC BD EM MG EMG = 900 (4) ã Tng t, ta cú: FNH = 900 (5) ã ã T (4) v (5) suy EMG = FNH = 900 (c) T (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gi giao im ca EG v FH l O; ca EM v FH l P; ca EM v FN l Q thỡ ã ã ã ã ã ã ã (i nh), OEP ( EMG = FNH) PQF = 900 QPF + QFP = 900 m QPF = OPE = QFP ã ã Suy EOP = PQF = 90 EO OP EG FH Tng t nh trờn ta cú: MG // BD, NH // AC v MG = NH = Bi 5: Cho hỡnh thang ABCD cú ỏy nh CD T D v ng thng song song vi BC, ct AC ti M v AB ti K, T C v ng thng song song vi AD, ct AB ti F, qua F ta li v ng thng song song vi AC, ct BC ti P Chng minh rng a) MP // AB b) Ba ng thng MP, CF, DB ng quy Gii CP AF = a) EP // AC (1) PB FB CM DC D C = AK // CD (2) AM AK cỏc t giỏc AFCD, DCBK la cỏc hỡnh bỡnh hnh nờn AF = DC, FB = AK (3) P CP CM I M MP // AB (nh lớ = Kt hp (1), (2) v (3) ta cú Ta-lột PB AM o) (4) CP CM K F B = b) Gi I l giao im ca BD v CF, ta cú: = A PB AM DC DC = AK FB DC DI CP DI IP // DC // AB (5) = = M (Do FB // DC) FB IB PB IB T (4) v (5) suy : qua P cú hai ng thng IP, PM cựng song song vi AB // DC nờn theo tiờn clớt thỡ ba im P, I, M thng hang hay MP i qua giao im ca CF v DB hay ba ng thng MP, CF, DB ng quy Bi 6: Cho ABC cú BC < BA Qua C k ng thng vuụng goỏc vi tia ã B phõn giỏc BE ca ABC ; ng thng ny ct BE ti F v ct trung tuyn BD ti G Chng minh rng on thng EG b on thng DF chia lm hai phn bng Gii M Gi K l giao im ca CF v AB; M l giao im ca DF v BC K G ti KBC cú BF va l phõn giỏc va l ng cao nờn KBC cõn F B BK = BC v FC = FK Mt khỏc D l trung im AC nờn DF l ng trung bỡnh ca A D E C AKC DF // AK hay DM // AB Suy M l trung im ca BC DF = AK (DF l ng trung bỡnh ca AKC), ta cú BG BK BG BK 2BK = = = ( DF // BK) (1) GD DF GD DF AK 41 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD = = = (Vỡ AD = DC) = = = DE DE DE DE DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB = = 2= (vỡ Hay = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF CE AK + BK 2(AK + BK) CE 2(AK + BK) 2BK = = (Do DF = AK) = 2= Suy (2) DE DE AK DE AK AK BG CE EG // BC T (1) v (2) suy = GD DE OG OE FO = Gi giao im ca EG v DF l O ta cú = ữ OG = OE MC MB FM Bi v nh Bi 1: Cho t giỏc ABCD, AC v BD ct ti O ng thng qua O v song song vi BC ct AB E; ng thng song song vi CD qua O ct AD ti F a) Chng minh FE // BD b) T O k cỏc ng thng song song vi AB, AD ct BD, CD ti G v H Chng minh: CG DH = BG CH Bi 2: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, im M thuc cnh BC, im N thuc tia i ca tia BC cho BN = CM; cỏc ng thng DN, DM ct AB theo th t ti E, F Chng minh: a) AE2 = EB FE AN b) EB = ữ EF DF CHUYấN CC BI TON S DNG NH L TALẫT V TNH CHT NG PHN GIC Mt khỏc A Kin thc: Tớnh cht ng phõn giỏc: A ABC ,AD l phõn giỏc gúc A BD AB = CD AC B D C A ADl phõn giỏc gúc ngoi ti A: BD' AB = CD' AC B Bi dng Bi 1: D' Cho ABC cú BC = a, AB = b, AC = c, phõn giỏc AD a) Tớnh di BD, CD AI b) Tia phõn giỏc BI ca gúc B ct AD I; tớnh t s: ID Gii BD AB c ã = = a) AD l phõn giỏc ca BAC nờn CD AC b BD c BD c ac = = BD = CD + BD b + c a b+c b+c ac ab Do ú CD = a = b+c b+c AI AB ac b+c ã = =c: = b) BI l phõn giỏc ca ABC nờn ID BD b+c a Bi 2: B C A c b I B D C a 42 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn < 600 phõn giỏc AD Cho ABC, cú B a) Chng minh AD < AB b) Gi AM l phõn giỏc ca ADC Chng minh rng BC > DM Gii à à ã + A > A + C = 180 - B = 600 a)Ta cú ADB =C 2 >B ã AD < AB ADB A b) Gi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ADC, AM l phõn giỏc ta cú DM AD DM AD DM AD = = = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC CD.AD CD d ab DM = = ; CD = ( Vn dng bi 1) AD + AC b + d b+c D C B M abd DM = (b + c)(b + d) 4abd c/m BC > DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Tht vy : c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd Bt ng thc (1) c c/m Bi 3: Cho ABC, trung tuyn AM, cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc AMB , AMC ct AB, AC theo th t D v E a) Chng minh DE // BC b) Cho BC = a, AM = m Tớnh di DE c) Tỡm hp cỏc giao dim I ca AM v DE nu ABC cú BC c nh, A AM = m khụng i d) ABC cú iu kin gỡ thỡ DE l ng trung bỡnh ca nú Gii I E DA MB D ã = a) MD l phõn giỏc ca AMB nờn (1) DB MA EA MC ã = ME l phõn giỏc ca AMC nờn (2) EC MA B C M DA EA DE // BC = T (1), (2) v gi thit MB = MC ta suy DB EC x DE AD AI m= = b) DE // BC t DE = x x x = 2a.m = BC AB AM a m a + 2m a.m c) Ta cú: MI = DE = khụng i I luụn cỏch M mt on khụng i nờn hp cỏc im I l a + 2m a.m ng trũn tõm M, bỏn kớnh MI = (Tr giao im ca nú vi BC a + 2m d) DE l ng trung bỡnh ca ABC DA = DB MA = MB ABC vuụng A Bi 4: Cho ABC ( AB < AC) cỏc phõn giỏc BD, CE a) ng thng qua D v song song vi BC ct AB K, chng minh E nm gia B v K b) Chng minh: CD > DE > BE Gii A a) BD l phõn giỏc nờn AD AB AC AE AD AE = < = < (1) K D DC BC BC EB DC EB E AD AK = Mt khỏc KD // BC nờn (2) DC KB M B C 43 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn T (1) v (2) suy AK AE AK + KB AE + EB < < KB EB KB EB AB AB < KB > EB E nm gia K v B KB EB ã ã ã ã b) Gi M l giao im ca DE v CB Ta cú CBD (Gúc so le trong) KBD = KDB = KDB ã ã ã ã ã ã KBD EBD EB < DE m E nm gia K v B nờn KDB > EDB > EDB > EDB ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã DEC DEC Ta li cú CBD > ECB > DCE (Vỡ DCE = ECB ) + ECB = EDB + DEC Suy CD > ED CD > ED > BE Bi 5: Cho ABC vi ba ng phõn giỏc AD, BE, CF Chng minh a DB EC FA = DC EA FB H 1 1 1 + + > + + b AD BE CF BC CA AB Gii DB AB ã F = a)AD l ng phõn giỏc ca BAC nờn ta cú: (1) DC AC EC BC FA CA = = Tng t: vi cỏc phõn giỏc BE, CF ta cú: (2) ; EA BA FB CB (3) DB EC FA AB BC CA B = T (1); (2); (3) suy ra: =1 DC EA FB AC BA CB b) t AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C k ng thng song song vi AD , ct tia BA H BA.CH c.CH c AD BA AD = = = = CH Theo L Talột ta cú: CH BH BH BA + AH b + c b+c 11 1 11 2bc > = + ữ > + ữ Do CH < AC + AH = 2b nờn: d a < d a 2bc b c da b c b+c Chng minh tng t ta cú : A E D C 11 1 11 > + ữ V > + ữ Nờn: db a c dc a b 1 1 1 1 1 1 1 1 + + > + + ữ + + > + ữ+ + ữ+ + ữ d a d b d c b c a c a b d a db dc a b c 1 1 1 + + > + + ( pcm ) da db dc a b c Bi v nh Cho ABC cú BC = a, AC = b, AB = c (b > c), cỏc phõn giỏc BD, CE a) Tớnh di CD, BE ri suy CD > BE b) V hỡnh bỡnh hnh BEKD Chng minh: CE > EK c) Chng minh CE > BD CHUYấN 10 CC BI TON V TAM GIC NG DNG A Kin thc: * Tam giỏc ng dng: a) trng hp th nht: (c.c.c) AB AC BC = = ABC ABC A'B' A'C' B'C' b) trng hp th nht: (c.g.c) 44 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn AB AC = A' = ;A A'B' A'C' c Trng hp ng dng th ba (g.g) = A' ;B = B' ABC ABC A ABC ABC SA'B'C' A'H' AH; AHl hai ng cao tng ng thỡ: AH = k (T s ng dng); SABC =K B Bi ỏp dng Bi 1: =2C , AB = cm, BC = 10 cm Cho ABC cú B a)Tớnh AC b)Nu ba cnh ca tam giỏc trờn l ba s t nhiờn liờn tip thỡ mi cnh l bao nhiờu? A Gii Cỏch 1: Trờn tia i ca tia BA ly im E cho:BD = BC AC AD E = ACD ABC (g.g) B AB AC AC = AB AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cỏch 2: C ã ABE ACB V tia phõn giỏc BE ca ABC D AB AE BE AE + BE AC = = = = AC = AB(AB + CB) = 8(8 + AC AB CB AB + CB AB + CB 10) = 144 AC = 12 cm b) Gi AC = b, AB = a, BC = c thỡ t cõu a ta cú b2 = a(a + c) (1) Vỡ b > anờn cú th b = a + hoc b = a + + Nu b = a + thỡ (a + 1)2 = a2 + ac 2a + = ac a(c 2) = a = 1; b = 2; c = 3(loi) + Nu b = a + thỡ a(c 4) = - Vi a = thỡ c = (loi) A - Vi a = thỡ c = (loi) - vi a = thỡ c = ; b = Vy a = 4; b = 5; c = Bi 2: Cho ABC cõn ti A, ng phõn giỏc BD; tớnh BD bit BC = cm; AC = 20 cm Gii D CD BC = = CD = cm v BC = cm Ta cú AD AC Bi toỏn tr v bi B C Bi 3: Cho ABC cõn ti A v O l trung im ca BC Mt im O di ng trờn AB, A OB2 ly im E trờn AC cho CE = Chng minh rng BD a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO ln lt l phõn giỏc ca cỏc gúc BDE, CED E d) khong cỏch t O n on ED khụng i D di ng trờn AB I Gii D H CE OB OB2 =C (gt) DBO OCE = a) T CE = v B OB BD BD B O C 45 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn 3= E (1) b) T cõu a suy O + DOE ã ã Vỡ B, O ,C thng hng nờn O + EOC = 1800 (2) à2 +C + EOC ã tam giỏc EOC thỡ E = 1800 (3) ã =C T (1), (2), (3) suy DOE =B DOE v DBO cú DO OE = (Do DBO OCE) DB OC DO OE ã =C = (Do OC = OB) v DOE =B DB OB nờn DOE DBO OCE à1 =D DO l phõn giỏc ca cỏc gúc BDE c) T cõu b suy D à1 = E EO l phõn giỏc ca cỏc gúc CED Cng t cõu b suy E c) Gi OH, OI l khong cỏch t O n DE, CE thỡ OH = OI, m O c nh nờn OH khụng i OI khụng i D di ng trờn AB Bi 4: ( HSG huyn Lc h nm 2007 2008) A Cho ABC cõn ti A, cú BC = 2a, M l trung im BC, ly D, E thuc AB, ã AC cho DME =B a) Chng minh tớch BD CE khụng i ã b)Chng minh DM l tia phõn giỏc ca BDE c) Tớnh chu vi ca AED nu ABC l tam giỏc u E Gii I ã ã ã + BDM ã ã (gt) a) Ta cú DMC , m DME = DME + CME =B =B D ã ã =C ( ABC cõn ti A) nờn CME , kt hp vi B = BDM H K suy BDM CME (g.g) BD BM = BD CE = BM CM = a khụng i CM CE B M C DM BD DM BD = = b) BDM CME ME CM ME BM ã ã ã (do BM = CM) hay DM l tia phõn giỏc ca BDE DME DBM (c.g.c) MDE = BMD ã c) chng minh tng t ta cú EM l tia phõn giỏc ca DEC k MH CE ,MI DE, MK DB thỡ MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED l PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vỡ AH = AK) MC a = ABC l tam giỏc u nờn suy CME cng l tam giỏc u CH = 2 AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a Bi 5: F Cho tam giỏc ABC, trung tuyn AM Qua im D thuc cnh BC, v ng thng song song vi AM, ct AB, AC ti E v F a) chng minh DE + DF khụng i D di ng trờn BC K A b) Qua A v ng thng song song vi BC, ct FE ti K Chng minh rng K l trung im ca FE Gii E DE BD BD = DE = AM (1) a) DE // AM AM BM BM DF CD CD CD = DF = AM = AM (2) DF // AM AM CM CM BM D M T (1) v (2) suy B C v 46 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn CD BC BD CD BD + AM = 2AM khụng i AM + AM = ữ.AM = BM BM BM BM BM FK KA = b) AK // BC suy FKA AMC (g.g) (3) AM CM EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = = = (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (Vỡ CM = BM) FK EK FK = EK hay K l trung im ca FE = T (1) v (2) suy AM AM Bi 6: ( HSG huyn Thch h nm 2003 2004) = 600 , mt ng thng bt k qua C ct tia i ca cỏc tia BA, DA ti M, Cho hỡnh thoi ABCD cnh a cú A N a) Chng minh rng tớch BM DN cú giỏ tr khụng i b) Gi K l giao im ca BN v DM Tớnh s o ca gúc BKD Gii M MB CM = a) BC // AN (1) BA CN CM AD = CD// AM (2) C CN DN B K T (1) v (2) suy MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a BA DN ã ã b) MBD v BDN cú MBD = 1200 = BDN N A D MB MB CM AD BD = = = = (Do ABCD l hỡnh thoi cú BD BA CN DN DN = 60 nờn AB = BC = CD = DA) MBD BDN A à1=B MBD v BKD cú BDM à1=B nờn BKD ã ã ã ã Suy M v M = MBD = 1200 = BDK Bi 7: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo ln AC,tia Dx ct SC, AB, BC ln lt ti I, M, N V CE vuụng gúc vi AB, CF vuụng gúc vi AD, BG vuụng gúc vi AC Gi K l im i xng vi D qua I Chng minh rng a) IM IN = ID2 F KM DM = b) KN DN c) AB AE + AD AF = AC2 Gii D C IM CI = a) T AD // CM (1) I G ID AI M CI ID K = T CD // AN (2) AI IN A E IM ID N B T (1) v (2) suy = hay ID2 = IM IN ID IN DM CM DM CM DM CM = = = b) Ta cú (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB T ID = IK v ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = = = = (4) IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB KM DM = T (3) v (4) suy KN DN AE AC = AB.AE = AC.AG AB AE = AG(AG + CG) (5) c) Ta cú AGB AEC AG AB DE + DF = 47 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn AF CG CG = = (vỡ CB = AD) AC CB AD AF AD = AC CG AF AD = (AG + CG) CG (6) Cng (5) v (6) v theo v ta cú: AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vy: AB AE + AD AF = AC2 Bi v nh Bi Cho Hỡnh bỡnh hnh ABCD, mt ng thng ct AB, AD, AC ln lt ti E, F, G AB AD AC + = Chng minh: AE AF AG HD: K DM // FE, BN // FE (M, N thuc AC) Bi 2: Qua nh C ca hỡnh bỡnh hnh ABCD, k ng thng ct BD, AB, AD E, G, F chng minh: FE a) DE2 = BE2 EG b) CE2 = FE GE (Gi ý: Xột cỏc tam giỏc DFE v BCE, DEC v BEG) Bi Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ng cao AH, trung tuyn BM, phõn giỏc CD ct ti mt im Chng minh rng BH CM AD =1 a) HC MA BD CGB AFC 48 [...]... 1 1 1 + + ab ac bc ba ca cb 2 2 2 + + = VP (ĐPCM) ab bc ca Chú ý Bài toán trên có thể biến đổi tơng tơng bằng cách chuyển VP sang VT 2 Bài toán có điều kiện: Đa số các bài toán nói chung và bài toán chứng minh đẳng thức và quan hệ đại số nói riêng là bài toán có điều kiện ban đầu( hay gọi là giả thiết) Trong quá trình giải toán HS thờng băn khoăn không biết sử dụng giả thiết nh thế nào cho đúng ?... 6x 8 = 0 (1) V phi ca Pt l mt a thc cú tng cỏc h s bng 0, nờn cú mt nghim x = 1 nờn cú nhõn t l x 1, ta cú (1) (x4 x3) + (x3 x2) + (2x2 2x) + (8x 8) = 0 (x 1)(x3 + x2 + 2x + 8) (x 1)[(x3 + 2x2) (x2 + 2x) + (4x 8) ] = 0 (x 1)[x2(x + 2) x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 (x 1)(x + 2)(x2 x + 4) = 0 c) (x 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 x3 3x2 + 3x 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 27x3 8 = 0 - 18x3... khoăn không biết sử dụng giả thiết nh thế nào cho đúng ? Đây là một vấn đề nhạy cảm vì vậy cần hình thành cho HS một cái nhìn bao quán trong quá trình giải toán Sau đây là một số bài toán nh thế, qua đó ta có thể rèn luyện kỉ năng vận dụng giả thiết vào giải toán Bài toán 1 : Cho ba số a,b,c thoả mãn a+b+c =0 Chứng minh rằng: (a2+b2+c2)2= 2(a4+b4+c4) PP: Ta thấy VT và VP của đẳng thức là các luỹ thừa... 3) = 18 (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72 (1) t 2x + 2 = y, ta cú (1) (y 1)y2(y + 1) = 72 y2(y2 1) = 72 y4 y2 72 = 0 t y2 = z 0 Thỡ y4 y2 72 = 0 z2 z 72 = 0 (z + 8) ( z 9) = 0 * z + 8 = 0 z = - 8 (loi) * z 9 = 0 z = 9 y2 = 9 y = 3 x = b) (x + 1)4 + (x 3)4 = 82 (2) t y = x 1 x + 1 = y + 2; x 3 = y 2, ta cú (2) (y + 2)4 + (y 2)4 = 82 y4 +8y3 + 24y2 + 32y + 16 + y4 - 8y3 +... ( a 2b ) 2 + ( a 2c ) 2 + ( a 2d ) 2 + ( a 2c ) 2 0 ( )( )( ) ) ( )( ) Vớ d 2: Chng minh rng: a 10 + b10 a 2 + b 2 a 8 + b 8 a 4 + b 4 Gii: a 10 + b10 a 2 + b 2 a 8 + b 8 a 4 + b 4 a 12 + a 10 b 2 + a 2 b10 + b12 a 12 + a 8 b 4 + a 4 b 8 + b12 a 8 b 2 a 2 b 2 + a 2 b 8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 x y.z = 1 1 1 1 Vớ d 4: cho ba s thc khỏc khụng x, y, z... x-y = b-a kết hợp với x+y = a + b suy ra x=b y=a ( ĐPCM) x2009+y2009 = a2009+b2009 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài toán 6 Cho + + = Chứng minh rằng: 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a+b+c a b c a +b + c 2009 PP Bài toán này trớc khi làm cần hớng dẫn HS xét xem bài toán xảy ra dấu bằng khi nào? Bài toán này xảy ra khi ba số a; b; c đôi một đối nhau, chính vì vậy từ giả thiết ta biến đổi tơng đơng để đa về... luận nh trên với b=-c; c=-a 1 1 1 1 Vậy + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a +b + c 2009 Bài toán 3: Chứng minh rằng Nếu: 34 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn 8 Mở rộng : Bài toán trên có thể chứng minh với luỹ thừa bậ n ( n lẻ) hoặc chứng minh rằng: 1 1 1 1 sảy ra khi và vhỉ khi a=-b; b=-c; c=-a + + = a b c a+b+c Bài toán 7: a CMR: Nếu x = by+cz , y = ax+ cz , z= ax+by và x+y+z 0 1 1 1 + + =2 Thì a +1 b +1 c... + 3x) (2x + 6) = 0 (x + 3)(x 2) = 0 * y + 3 = 0 x2 + x 2 + 3 = 0 x2 + x + 1 = 0 (vụ nghim) b) (x 4)( x 5)( x 6)( x 7) = 1 680 (x2 11x + 28) ( x2 11x + 30) = 1 680 t x2 11x + 29 = y , ta cú: (x2 11x + 28) ( x2 11x + 30) = 1 680 (y + 1)(y 1) = 1 680 y2 = 1 681 y = 41 y = 41 x2 11x + 29 = 41 x2 11x 12 = 0 (x2 x) + (12x 12) = 0 (x 1)(x + 12) = 0 11 121 159 * y = - 41 x2 11x +... Suy ra: VP=VT Vậy (x2+y2+c2)( a2+b2+c2) = (ax+by+cz)2 Bài toán 4: Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1 Chứng minh rằng: a2005+b2005+c2005=1 PP Đây là bài toán khó đối với HS vì luỹ thừa lớn nên HS thờng không biết sử lý nh thế nào Với bài này chúng ta nên dạy cho HS cách phán đoán trớc khi giải: Bài này ta có thể dự đoán một trong các số a;b;c bằng 1 cong hai số còn lại bằng... giải: 1 Đặt VT = a3 + b3 = (a- b)3 +3a2b - 3ab2 32 Giỏo ỏn bi dng HSG Toỏn 8 = ( a b) + 3ab( a-b) = VP (ĐPCM) 2 Đặt VT= b3-3b2c+3bc2-c3+c3-3c2a+3ca2-a3+a3-3a2b+3ab2-b3 = 3(-b2c+bc2-c2a+ca2-a2b+ab2) = 3(a-b)(b-c)(c-a) =VP (ĐPCM) 2 2 2 x + 3 xy + y 1 Bài toán 2: Chứng minh rằng: = 3 2 2 3 x y 2 x + x y 2 xy y PP: Đây thực ra là một bài toán rút gọn biểu thức, cho nên muốn làm đợc bài này ta cần phân tích ... khụng õm: a1 ; a2 ; a3 ; ; an Khi ú: a1 + a2 + a3 + + an n a1.a2 a3 .an Du = xy a1 = a2 = a3 = = an n * Bt ng thc Bunhiacụpxki: Cho 2n s thc: a1 ; a2 ; a3 ; ; an v b1 ; b2 ; b3 ; ; bn Khi... > An > Bn n An > Bn vi n l +A>B An > Bn vi n chn + A > B + m > n > v A > A m > A n + m > n > v +A < B v A.B > A B - mt s hng bt ng thc + A vi A ( du = xy A = ) + An. .. biến đổi tơng tơng cách chuyển VP sang VT Bài toán có điều kiện: Đa số toán nói chung toán chứng minh đẳng thức quan hệ đại số nói riêng toán có điều kiện ban đầu( hay gọi giả thiết) Trong trình